2019年人教版湖南省株洲市中考数学试卷及答案解析

这是一份2019年人教版湖南省株洲市中考数学试卷及答案解析，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2019年湖南省株洲市中考数学试卷
一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣3的倒数是（　　）
A．﹣ B． C．﹣3 D．3
2．（3分）×＝（　　）
A．4 B．4 C． D．2
3．（3分）下列各式中，与3x2y3是同类项的是（　　）
A．2x5 B．3x3y2 C．﹣x2y3 D．﹣y5
4．（3分）对于任意的矩形，下列说法一定正确的是（　　）
A．对角线垂直且相等
B．四边都互相垂直
C．四个角都相等
D．是轴对称图形，但不是中心对称图形
5．（3分）关于x的分式方程﹣＝0的解为（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
6．（3分）在平面直角坐标系中，点A（2，﹣3）位于哪个象限？（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（3分）若一组数据x，3，1，6，3的中位数和平均数相等，则x的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（3分）下列各选项中因式分解正确的是（　　）
A．x2﹣1＝（x﹣1）2 B．a3﹣2a2+a＝a2（a﹣2）
C．﹣2y2+4y＝﹣2y（y+2） D．m2n﹣2mn+n＝n（m﹣1）2
9．（3分）如图所示，在直角平面坐标系Oxy中，点A、B、C为反比例函数y＝（k＞0）上不同的三点，连接OA、OB、OC，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B、C分别作BE，CF垂直x轴于点E、F，OC与BE相交于点M，记△AOD、△BOM、四边形CMEF的面积分别为S1、S2、S3，则（　　）

A．S1＝S2+S3 B．S2＝S3 C．S3＞S2＞S1 D．S1S2＜S32
10．（3分）从﹣1，1，2，4四个数中任取两个不同的数（记作ak，bk）构成一个数组MK＝{ak，bk}（其中k＝1，2…S，且将{ak，bk}与{bk，ak}视为同一个数组），若满足：对于任意的Mi＝{ai，bi}和Mj＝{ai，bj}（i≠j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有ai+bi≠aj+bj，则S的最大值（　　）
A．10 B．6 C．5 D．4
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）若二次函数y＝ax2+bx的图象开口向下，则a　 　0（填“＝”或“＞”或“＜”）．
12．（3分）若一个盒子中有6个白球，4个黑球，2个红球，且各球的大小与质地都相同，现随机从中摸出一个球，得到白球的概率是　 　．
13．（3分）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM是斜边AB上的中线，E、F分别为MB、BC的中点，若EF＝1，则AB＝　 　．

14．（3分）若a为有理数，且2﹣a的值大于1，则a的取值范围为　 　．
15．（3分）如图所示，过正五边形ABCDE的顶点B作一条射线与其内角∠EAB的角平分线相交于点P，且∠ABP＝60°，则∠APB＝　 　度．

16．（3分）如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD＝　 　度．

17．（3分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？“其意思为：速度快的人走100步，速度慢的人只走60步，现速度慢的人先走100步，速度快的人去追赶，则速度快的人要走　 　步才能追到速度慢的人．
18．（3分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，在直线x＝1处放置反光镜Ⅰ，在y轴处放置一个有缺口的挡板Ⅱ，缺口为线段AB，其中点A（0，1），点B在点A上方，且AB＝1，在直线x＝﹣1处放置一个挡板Ⅲ，从点O发出的光线经反光镜Ⅰ反射后，通过缺口AB照射在挡板Ⅲ上，则落在挡板Ⅲ上的光线的长度为　 　．

三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）计算：|﹣|+π0﹣2cos30°．
20．（6分）先化简，再求值：﹣，其中a＝．
21．（8分）小强的爸爸准备驾车外出．启动汽车时，车载报警系统显示正前方有障碍物，此时在眼睛点A处测得汽车前端F的俯角为α，且tanα＝，若直线AF与地面l1相交于点B，点A到地面l1的垂线段AC的长度为1.6米，假设眼睛A处的水平线l2与地面l1平行．

（1）求BC的长度；
（2）假如障碍物上的点M正好位于线段BC的中点位置（障碍物的横截面为长方形，且线段MN为此长方形前端的边），MN⊥l1，若小强的爸爸将汽车沿直线l1后退0.6米，通过汽车的前端F1点恰好看见障碍物的顶部N点（点D为点A的对应点，点F1为点F的对应点），求障碍物的高度．
22．（8分）某甜品店计划订购一种鲜奶，根据以往的销售经验，当天的需求量与当天的最高气温T有关，现将去年六月份（按30天计算）的有关情况统计如下：
（最高气温与需求量统计表）
最高气温T（单位：℃）
需求量（单位：杯）
T＜25
200
25≤T＜30
250
T≥30
400
（1）求去年六月份最高气温不低于30℃的天数；
（2）若以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率，求去年六月份这种鲜奶一天的需求量不超过200杯的概率；
（3）若今年六月份每天的进货量均为350杯，每杯的进价为4元，售价为8元，未售出的这种鲜奶厂家以1元的价格收回销毁，假设今年与去年的情况大致一样，若今年六月份某天的最高气温T满足25≤T＜30（单位：℃），试估计这一天销售这种鲜奶所获得的利润为多少元？

23．（8分）如图所示，已知正方形OEFG的顶点O为正方形ABCD对角线AC、BD的交点，连接CE、DG．
（1）求证：△DOG≌△COE；
（2）若DG⊥BD，正方形ABCD的边长为2，线段AD与线段OG相交于点M，AM＝，求正方形OEFG的边长．

24．（8分）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，等腰△OAB的边OB与反比例函数y＝（m＞0）的图象相交于点C，其中OB＝AB，点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为（2，4），过点C作CH⊥x轴于点H．
（1）已知一次函数的图象过点O，B，求该一次函数的表达式；
（2）若点P是线段AB上的一点，满足OC＝AP，过点P作PQ⊥x轴于点Q，连结OP，记△OPQ的面积为S△OPQ，设AQ＝t，T＝OH2﹣S△OPQ
①用t表示T（不需要写出t的取值范围）；
②当T取最小值时，求m的值．

25．（11分）四边形ABCD是⊙O的圆内接四边形，线段AB是⊙O的直径，连结AC、BD．点H是线段BD上的一点，连结AH、CH，且∠ACH＝∠CBD，AD＝CH，BA的延长线与CD的延长线相交与点P．
（1）求证：四边形ADCH是平行四边形；
（2）若AC＝BC，PB＝PD，AB+CD＝2（+1）
①求证：△DHC为等腰直角三角形；
②求CH的长度．

26．（11分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）
（1）若a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1
①求该二次函数图象的顶点坐标；
②定义：对于二次函数y＝px2+qx+r（p≠0），满足方程y＝x的x的值叫做该二次函数的“不动点”．求证：二次函数y＝ax2+bx+c有两个不同的“不动点”．
（2）设b＝c3，如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴分别相交于不同的两点A（x1，0），B（x2，0），其中x1＜0，x2＞0，与y轴相交于点C，连结BC，点D在y轴的正半轴上，且OC＝OD，又点E的坐标为（1，0），过点D作垂直于y轴的直线与直线CE相交于点F，满足∠AFC＝∠ABC．FA的延长线与BC的延长线相交于点P，若＝，求二次函数的表达式．

2019年湖南省株洲市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．解：∵﹣3×（﹣）＝1，
∴﹣3的倒数是﹣．
故选：A．
2．解：×＝＝4．
故选：B．
3．解：A、2x5与3x2y3不是同类项，故本选项错误；
B、3x3y2与3x2y3不是同类项，故本选项错误；
C、﹣x2y3与3x2y3是同类项，故本选项正确；
D、﹣y5与3x2y3是同类项，故本选项错误；
故选：C．
4．解：A、矩形的对角线相等，但不垂直，故此选项错误；
B、矩形的邻边都互相垂直，对边互相平行，故此选项错误；
C、矩形的四个角都相等，正确；
D、矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误．
故选：C．
5．解：去分母得：2x﹣6﹣5x＝0，
解得：x＝﹣2，
经检验x＝﹣2是分式方程的解，
故选：B．
6．解：点A坐标为（2，﹣3），则它位于第四象限，
故选：D．
7．解：当x≤1时，中位数与平均数相等，则得到：（x+3+1+6+3）＝3，
解得x＝2（舍去）；
当1＜x＜3时，中位数与平均数相等，则得到：（x+3+1+6+3）＝3，
解得x＝2；
当3≤x＜6时，中位数与平均数相等，则得到：（x+3+1+6+3）＝3，
解得x＝2（舍去）；
当x≥6时，中位数与平均数相等，则得到：（x+3+1+6+3）＝3，
解得x＝2（舍去）．
所以x的值为2．
故选：A．
8．解：A、x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），故此选项错误；
B、a3﹣2a2+a＝a2（a﹣1），故此选项错误；
C、﹣2y2+4y＝﹣2y（y﹣2），故此选项错误；
D、m2n﹣2mn+n＝n（m﹣1）2，正确．
故选：D．
9．解：∵点A、B、C为反比例函数y＝（k＞0）上不同的三点，AD⊥y轴，BE，CF垂直x轴于点E、F，
∴S3＝k，S△BOE＝S△COF＝k，
∵S△BOE﹣SOME＝S△CDF﹣S△OME，
∴S1＝S2，
∴S1＜S3，S2＜S3，
∴A，B，C选项错误，
故选：D．
10．解：∵﹣1+1＝0，﹣1+2＝1，﹣1+4＝3，1+2＝3，1+4＝5，2+4＝6，
∴ai+bi共有5个不同的值．
又∵对于任意的Mi＝{ai，bi}和Mj＝{ai，bj}（i≠j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有ai+bi≠aj+bj，
∴S的最大值为5．
故选：C．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．解：∵二次函数y＝ax2+bx的图象开口向下，
∴a＜0．
故答案是：＜．
12．解：∵布袋中有6个白球，4个黑球，2个红球，共有12个球，
∴摸到白球的概率是＝；
故答案为：．
13．解：∵E、F分别为MB、BC的中点，
∴CM＝2EF＝2，
∵∠ACB＝90°，CM是斜边AB上的中线，
∴AB＝2CM＝4，
故答案为：4．
14．解：根据题意知2﹣a＞1，
解得a＜1，
故答案为：a＜1且a为有理数．
15．解：∵五边形ABCDE为正五边形，
∴∠EAB＝108度，
∵AP是∠EAB的角平分线，
∴∠PAB＝54度，
∵∠ABP＝60°，
∴∠APB＝180°﹣60°﹣54°＝66°．
故答案为：66．
16．解：连接OD，如图：
∵OC⊥AB，
∴∠COE＝90°，
∵∠AEC＝65°，
∴∠OCE＝90°﹣65°＝25°，
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCE＝25°，
∴∠DOC＝180°﹣25°﹣25°＝130°，
∴∠BOD＝∠DOC﹣∠COE＝40°，
∴∠BAD＝∠BOD＝20°，
故答案为：20．

17．解：设走路快的人追上走路慢的人所用时间为t，
根据题意得：（100﹣60）t＝100，
解得：t＝2.5，
∴100t＝100×2.5＝250．
答：走路快的人要走250步才能追上走路慢的人．
故答案是：250．
18．解：当光线沿O、G、B、C传输时，
过点B作BF⊥GH于点F，过点C作CE⊥GH于点E，

则∠OGH＝∠CGE＝α，设GH＝a，则GF＝2﹣a，
则tan∠OGH＝tan∠CGE，即：，
即：，解得：a＝1，
则α＝45°，
∴GE＝CE＝2，yC＝1+2＝3，
当光线反射过点A时，
同理可得：yD＝1.5，
落在挡板Ⅲ上的光线的长度＝CD＝3﹣1.5＝1.5，
故答案为1.5．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19．解：原式＝+1﹣2×
＝+1﹣
＝1．
20．解：﹣
＝
＝
＝
＝
＝，
当a＝时，原式＝＝﹣4．
21．解：（1）由题意得，∠ABC＝∠α，
在Rt△ABC中，AC＝1.6，tan∠ABC＝tanα＝，
∴BC＝＝＝4.8m，
答：BC的长度为4.8m；
（2）过D作DH⊥BC于H，
则四边形ADHC是矩形，
∴AD＝CH＝BE＝0.6，
∵点M是线段BC的中点，
∴BM＝CM＝2.4米，
∴EM＝BM﹣BE＝1.8，
∵MN⊥BC，
∴MN∥DH，
∴△EMN∽△EHD，
∴＝，
∴＝，
∴MN＝0.6，
答：障碍物的高度为0.6米．

22．解：（1）由条形统计图知，去年六月份最高气温不低于30℃的天数为6+2＝8（天）；
（2）去年六月份这种鲜奶一天的需求量不超过200杯的概率为＝；
（3）250×8﹣350×4+100×1＝730（元），
答：估计这一天销售这种鲜奶所获得的利润为730元．
23．解：
（1）∵正方形ABCD与正方形OEFG，对角线AC、BD
∴DO＝OC
∵DB⊥AC，
∴∠DOA＝∠DOC＝90°
∵∠GOE＝90°
∴∠GOD+∠DOE＝∠DOE+∠COE＝90°
∴∠GOD＝∠COE
∵GO＝OE
∴在△DOG和△COE中

∴△DOG≌△COE（SAS）
（2）如图，过点M作MH⊥DO交DO于点H
∵AM＝，DA＝2
∴DM＝
∵∠MDB＝45°
∴MH＝DH＝sin45°•DM＝，DO＝cos45°•DA＝
∴HO＝DO﹣DH＝﹣＝
∴在Rt△MHO中，由勾股定理得
MO＝＝＝
∵DG⊥BD，MH⊥DO
∴MH∥DG
∴易证△OHM∽△ODG
∴＝＝＝，得GO＝2
则正方形OEFG的边长为2

24．解：（1）将点O、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx得：4＝2k，
解得：k＝2，
故一次函数表达式为：y＝2x，
（2）①过点B作BM⊥OA，

则∠OCH＝∠QPA＝∠OAB＝∠ABM＝α，
则tanα＝，sinα＝，
∵OB＝AB，则OM＝AM＝2，则点A（4，0），
设：AP＝a，则OC＝a，
在△APQ中，sin∠APQ＝＝＝sinα＝，
同理PQ＝＝2t，
则PA＝a＝t，OC＝t，
则点C（t，2t），
T＝OH2﹣S△OPQ＝（OC•sinα）2﹣×（4﹣t）×2t＝4t2﹣4t，
②∵4＞0，∴T有最小值，当t＝时，
T取得最小值，
而点C（t，2t），
故：m＝t×2t＝．
25．证明：（1）∵∠DBC＝∠DAC，∠ACH＝∠CBD
∴∠DAC＝∠ACH
∴AD∥CH，且AD＝CH
∴四边形ADCH是平行四边形
（2）①∵AB是直径
∴∠ACB＝90°＝∠ADB，且AC＝BC
∴∠CAB＝∠ABC＝45°，
∴∠CDB＝∠CAB＝45°
∵AD∥CH
∴∠ADH＝∠CHD＝90°，且∠CDB＝45°
∴∠CDB＝∠DCH＝45°
∴CH＝DH，且∠CHD＝90°
∴△DHC为等腰直角三角形；
②∵四边形ABCD是⊙O的圆内接四边形，
∴∠ADP＝∠PBC，且∠P＝∠P
∴△ADP∽△CBP
∴，且PB＝PD，
∴，AD＝CH，
∴
∵∠CDB＝∠CAB＝45°，∠CHD＝∠ACB＝90°
∴△CHD∽△ACB
∴
∴AB＝CD
∵AB+CD＝2（+1）
∴CD+CD＝2（+1）
∴CD＝2，且△DHC为等腰直角三角形
∴CH＝
26．解：（1）①∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1
∴y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2
∴该二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣2）

②证明：当y＝x时，x2﹣2x﹣1＝x
整理得：x2﹣3x﹣1＝0
∴△＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13＞0
∴方程x2﹣3x﹣1＝0有两个不相等的实数根
即二次函数y＝x2﹣2x﹣1有两个不同的“不动点”．

（2）把b＝c3代入二次函数得：y＝ax2+c3x+c
∵二次函数与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）（x1＜0，x2＞0）
即x1、x2为方程ax2+c3x+c＝0的两个不相等实数根
∴x1+x2＝﹣，x1x2＝
∵当x＝0时，y＝ax2+c3x+c＝c
∴C（0，c）
∵E（1，0）
∴CE＝，AE＝1﹣x1，BE＝x2﹣1
∵DF⊥y轴，OC＝OD
∴DF∥x轴
∴
∴EF＝CE＝，CF＝2
∵∠AFC＝∠ABC，∠AEF＝∠CEB
∴△AEF∽△CEB
∴，即AE•BE＝CE•EF
∴（1﹣x1）（x2﹣1）＝1+c2
展开得：1+c2＝x2﹣1﹣x1x2+x1
1+c2＝﹣﹣1﹣
c3+2ac2+2c+4a＝0
c2（c+2a）+2（c+2a）＝0
（c2+2）（c+2a）＝0
∵c2+2＞0
∴c+2a＝0，即c＝﹣2a
∴x1+x2＝﹣＝4a2，x1x2＝＝﹣2，CF＝2＝2
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝16a4+8
∴AB＝x2﹣x1＝
∵∠AFC＝∠ABC，∠P＝∠P
∴△PFC∽△PBA
∴
∴
解得：a1＝1，a2＝﹣1（舍去）
∴c＝﹣2a＝﹣2，b＝c3＝﹣4
∴二次函数的表达式为y＝x2﹣4x﹣2
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