人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换巩固练习

课时素养评价  五十四

二倍角的正弦、余弦、正切公式

　　　　　　　　　　　　　 (15分钟　35分)

1.设α是第四象限角，已知sin α=-，则sin 2α，cos 2α和tan 2α的值分别为              (　　)

A.-，，-   B.，，

C.-，-，   D.，-，-

【解析】选A.因为α是第四象限角，且sin α=-，

所以cos α=，所以sin 2α=2sin αcos α=-，

cos 2α=2cos2α-1=，tan 2α==-.

2.若cos xcos y+sin xsin y=，则cos(2x-2y)= (　　)

A.   B.-   C.   D.-

【解析】选B.因为cos xcos y+sin xsin y=cos(x-y)=，

所以cos 2(x-y)=2cos2(x-y)-1=-.

【补偿训练】

　　 化简：= (　　)

A.   B.-   C.-1   D.1

【解析】选B.原式=

=-=-=-.

3.已知cos=-，则sin(-3π+2α)= (　　)

A.   B.-  C.   D.-

【解析】选A.易得cos

=2cos2-1=2×-1=-.

又cos=cos=sin 2α，

所以sin(-3π+2α)=sin(π+2α)=-sin 2α=-=.

4.=_______. 

【解析】原式=×=tan

=tan=.

答案：

5.已知sin α-2cos α=0，则sin 2α=_______. 

【解析】由sin α-2cos α=0，得tan α==2，

则sin 2α===.

答案：

6.已知<α<π，cos α=-.

(1)求tan α的值；

(2)求sin 2α+cos 2α的值.

【解析】(1)因为cos α=-，<α<π，所以sin α=，

所以tan α==-.

(2)sin 2α=2sin αcos α=-.

cos 2α=2cos2α-1=，

所以sin 2α+cos 2α=-+=-.

　　　　　　　　　　　　　 (30分钟　60分)

一、单选题(每小题5分，共20分)

1.(2020·重庆高一检测)已知sin α+cos α=-，2sin α-cos α=-，则cos 2α

= (　　)

A.  B.-   C.   D.-

【解析】选A.两个式子相加得3sin α=-，所以sin α=-，

所以cos 2α=1-2sin2α=1-2×=.

2.设-3π<α<-，化简的结果是 (　　)

A.sin  B.cos  C.-cos  D.-sin

【解析】选C.因为-3π<α<-，所以-<<-，所以=

==-cos.

【补偿训练】- = (　　)

A.-2cos 5°   B.2cos 5°

C.-2sin 5°   D.2sin 5°

【解析】选C.原式=-

=(cos 50°-sin 50°)

=2

=2sin(45°-50°)=-2sin 5°.

3.已知角α在第一象限且cos α=，则= (　　)

A.   B.   C.   D.-

【解析】选C.因为cos α=且α在第一象限，所以sin α=，

所以cos 2α=cos2α-sin2α=-，sin 2α=2sin αcos α=，

原式===.

【补偿训练】已知sin=，则cos的值为 (　　)

A.   B.   C.   D.

【解析】选D.因为sin=，

所以cos=cos

=1-2sin2=.

4.已知α∈，且sin α=，则tan= (　　)

A.-   B.   C.7   D.-

【解析】选D.因为α∈，且sin α=，所以cos α=-，所以tan α=-，由二倍角公式得tan 2α==-，tan==-.

二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

5.下列计算正确的是 (　　)

A.=1

B.1-2sin275°=

C.cos4-sin4=

D.cos275°+cos215°+cos 75°cos 15°=

【解析】选CD.对于选项A，==tan45°=；对于选项B，1-2sin275°=cos 150°=-，对于选项C，cos4-sin4=cos2+sin2cos2-sin2=cos =；对于选项D，原式=sin215°+cos215°+sin 15°cos 15°=1+sin 30°=1+=.

6.若2cos 2α=sin，则sin 2α的值为 (　　)

A.-   B.   C.1   D.

【解析】选AC.若2cos 2α=sin，即2(cos2α-sin2α)=cos α-sin α，当cos α=sin α时，满足条件，此时，tan α=1，sin 2α=1.当cos α≠

sin α时，则2(cos α+sin α)=，即cos α+sin α=，

所以1+2sin αcos α=，

即sin 2α=2sin αcos α=-.

综上可得，sin 2α=1或-.

三、填空题(每小题5分，共10分)

7.已知tan =2，则tan α的值为_______，tanα+的值为_______. 

【解析】因为tan =2，所以tan α===-，

tan===-.

答案：-　-

8.sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°=_______. 

【解析】原式=cos 80°cos 60°cos 40°cos 20°

=

===.

答案：

【补偿训练】

　　 cos cos πcos π=_______. 

【解析】原式=

=

==

===-.

答案：-

四、解答题(每小题10分，共20分)

9.化简：(1)-；

(2).

【解析】(1)原式===tan 2θ.

(2)原式=

=

==

==1.

10.已知sin -2cos =0.

(1)求tan x的值；

(2)求的值.

【解析】(1)由sin -2cos =0，知cos ≠0，

所以tan =2，

所以tan x===-.

(2)由(1)知tan x=-，

所以

=

=

=

=×

=×

=.

1.已知α，β均为锐角，且3sin α=2sin β，3cos α+2cos β=3，则α+2β的值为              (　　)

A.   B.   C.   D.π

【解析】选D.由题意得

①2+②2得cos β=，cos α=，

由α，β均为锐角知，sin β=，sin α=，

所以tan β=2，tan α=，所以tan 2β=-，

所以tan(α+2β)=0.又α+2β∈，

所以α+2β=π.

2.若△ABC的内角A满足sin 2A=，则sin A+cos A的值为_______. 

【解析】因为sin 2A=2sin Acos A=，

所以A为锐角，且1+2sin Acos A=，即sin2A+2sin Acos A+cos2A=，

所以|sin A+cos A|=.

又因为A为锐角，所以sin A+cos A=.

答案：

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