【压轴精讲】数学中考培优竞赛专题 第5讲 几何模型之母子型（含答案）学案

第5讲 几何模型之母子型

模型讲解

△ACD∽△ABC       △ACD∽△BCA∽△BAD

AC2＝AD·AB      射影定理：①AD2＝DBDC

②BA2＝BDBC

③CA2＝CDCB

【圆中母子型】

过圆外一点P作引圆的两条切线PA为圆的切线，    PB交圆于点C

连接OP、AB            则有△PAC∽△PBA

则OP是AB的垂直平分线

【例题讲解】

例题1、如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于F，AD交PC于G，则图中相似三角形有（    ）

A.1对    B.2对   C.3对    D.4对

解：∵∠CPD＝∠B，∠C＝∠C，

∴△PCF∽△BCP．

∵∠CPD＝∠A，∠D＝∠D，

∴△APD∽△PGD．

∵∠CPD＝∠A＝∠B，∠APG＝∠B＋∠C，∠BFP＝∠CPD＋∠C

∴∠APG＝∠BFP，

∴△APG∽△BFP．

则图中相似三角形有3对，

故答案为：C．

例题2、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过C作CD⊥AB，垂足为D.

（1）若AD＝1，BD＝4，求CD的长；（2）若AC＝3，BD＝，求AB的长.

【总结】在直角母子型中，6条线段，已知其中任意2条，即可求出其它所有线段长！

答案：（1）△ADC∽△CDBCD2＝ADBDCD＝2；

（2）△ADC∽△BCA＝AC2＝ADAB，设AD＝x，AB＝x＋，

整理得：5x2＋16x－45＝0，解得x＝，AB＝5.

例题3、如图，在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，过点B作BG⊥AC交⊙O于点E、H，连AD、ED、EC，若BD＝8，DC＝6，则CE的长为         .

解：∵AC为⊙O的直径，

∴∠ADC＝90°，

∵BG⊥AC，

∴∠BGC＝∠ADC＝90°，

∵∠BCG＝∠ACD，

∴△ADC∽△BGC，

∴＝，

∴CG•AC＝DC•BC＝6×14＝84，

连接AE，

∵AC为⊙O的直径，

∴∠AEC＝90°，

∴∠AEC＝∠EGC＝90°，

∵∠ACE＝∠ECG，

∴△CEG∽△CAE，

∴＝，

∴CE2＝CGAC＝84，

∴CE＝2.

例题4、如图，已知⊙O的半径为2，AB为直径，CD为弦，AB与CD交于点M，将弧CD沿着CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP＝OA，连接PC.

（1）求证：PC是⊙O的切线；

（2）点G为弧ADB的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E，交弧BC于点F（F与B、C不重合）。问GE·GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由.

（1）证明：∵PA＝OA＝2，AM＝OM＝1，CM＝CD＝，∠CMP＝∠OMC＝90°，

∴PC＝＝＝2.

∵OC＝2，PO＝2＋2＝4，

∴PC2＋OC2＝（2）2＋22＝16＝PO2，

∴∠PCO＝90°，

∴PC是⊙O的切线；

（2）解：GE•GF是定值，证明如下，

连接GO并延长，交⊙O于点H，连接HF，

∵点G为的中点

∴∠GOE＝90°，

∵∠HFG＝90°，且∠OGE＝∠FGH，

∴△OGE∽△FGH，

∴＝，

∴GE•GF＝OG•GH＝2×4＝8．

例题5、二次函数y＝ax2＋2ax＋c的图象与x轴分别交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P，以AB为直径的圆经过点C，问直线CP与该圆的位置关系并说明理由.

答案：设A（x1，0），B（x2，0），AB的中点为M（即为圆心）

则有x1＋x2＝－2，x1x2＝－,P（－1，c），C（0，c），

由MA＝MB＝MC＝ABac＝1，

设圆的半径为R，

则R2＝AB2＝[(x1＋x2)2－4x1x2]＝1＋＝1＋，

易求直线CP：y＝ax＋c，即ax－y＋c＝0，设圆心M到直线CP的距离为d，

则d2＝＝＝＝1＋＝1＋.

∵d2＝r2,∴d＝r，又C在圆上，故相切.

例题6、如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝（x－m）2－m2＋m的顶点为A，与y轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD＝AC，连结BD.作AE∥x轴，DE∥y轴.

（1）当m＝2时，则点B的坐标为            ；

（2）DE的长是否为定值，若是，请求出该值；若不是，请说明理由.

解：（1）当m＝2时，y＝（x－2）2＋1，

把x＝0代入y＝（x－2）2＋1，得：y＝2，

∴点B的坐标为（0，2）.

（2）延长EA，交y轴于点F，

∵AD＝AC，∠AFC＝∠AED＝90°，∠CAF＝∠DAE，

∴△AFC≌△AED，

∴AF＝AE，

∵点A（m，－m2＋m），点B（0，m），

∴AF＝AE＝|m|，BF＝m－（－m2＋m）＝m2，

∵∠ABF＝90°－∠BAF＝∠DAE，∠AFB＝∠DEA＝90°，

∴△ABF∽△DAE，

∴＝，即：＝，

∴DE＝4．

注：本节内容本身是没有配巩固练习的，是完整的一节内容。