【压轴精讲】数学中考培优竞赛专题 第7讲 双直角三角形模型（含答案）学案

第7讲 双直角三角形模型

双直角三角形模型是在解三角形中最常见的模型，模型的特点为：有一条直角边为公共边，另外一条直角边共线。但在不同的背景下会有不同的变化，需要从中看出模型的本质．

模型讲解

一般类型：将两个直角三角形组合，一条直角边为公共边，其中∠a和∠β的三角函数值为已知．

【例题讲解】

例题1、如图，在一笔直的海岸线l上有AB两个观测站，A在B的正东方向，AB＝2(单位：km)．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．

(1)求点P到海岸线l的距离；

(2)小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向．求点C与点B之间的距离．(上述两小题的结果都保留根号)．

解：(1)如图，过点P作PD⊥AB于点D．设PD＝xkm．

在Rt△PBD中，∠BDP＝90°，∠PBD＝90°－45°＝45°，∴BD＝PD＝xkm．

在RtA△PAD中，∠ADP＝90°，∠PAD＝90°－60°＝30°，∴AD＝PD＝xkm．

∵BD＋AD＝AB，∴x＋x＝2，x＝－1，

∴点P到海岸线l的距离为(－1)km；

(2)如图，过点B作BF⊥AC于点F．

在Rt△ABF中，∠AFB＝90°，∠BAF＝30°，∴BF＝AB＝lkm．

在△ABC中，∠C＝180°－∠BAC－∠ABC＝45°．

在Rt△BCF中，∠BFC＝90°，∠C＝45°，∴BC＝BF＝km，

∴点C与点B之间的距离为km．

例题2、如图，在一条笔直的东西向海岸线l上有一长为1.5km的码头MN和灯塔C，灯塔C距码头的东端N有20km．一轮船以36km/h的速度航行，上午10：00在A处测得灯塔C位于轮船的北偏西30°方向，上午10：40在B处测得灯塔C位于轮船的北偏东60°方向，且与灯塔C相距12km．

(1)若轮船照此速度与航向航行，何时到达海岸线？

(2)若轮船不改变航向，该轮船能否停靠在码头？请说明理由．(参考数据：≈1.4，≈1.7)

解：(1)延长AB交海岸线于点D，过点B作BE⊥海岸线于点E，过点A作AF⊥l于F，如图所示．

∵∠BEC＝∠AFC＝90°，∠EBC＝60°，∠CAF＝30°，

∴∠ECB＝30°，∠ACF＝60°，∴∠BCA＝90°，

∵BC＝12，AB＝36×＝24，∴AB＝2BC，∴∠BAC＝30°，∠ABC＝60°，

∵∠ABC＝∠BDC＋∠BCD＝60°，∴∠BDC＝∠BCD＝30°，∴BD＝BC＝12，

∴时间t＝＝小时＝20分钟，∴轮船照此速度与航向航行，上午11：00到达海岸线．

(2)∵BD＝BC，BE⊥CD，∴DE＝EC，

在RT△BEC中，BC＝12，∠BCE＝30°，

∴BE＝6，EC＝6≈10.2，∴CD＝20.4，

∵20＜20.4＜21.5，∴轮船不改变航向，轮船可以停靠在码头．

【巩固练习】

1、如图，从热气球C上测定建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60°，如果这时气球的高度CD为150米，且点A、D、B在同一直线上，建筑物A、B间的距离为　　　　．

2、如图，在高楼前D点测得楼顶的仰角为30°，向高楼前进60米到C点，又测得仰角为45°，则该高楼的高度大约为　　　　．(保留整数)

3、如图是一山谷的横断面示意图，宽AA′为15m，用曲尺(两直尺相交成直角)从山谷两侧测量出OA＝1m，OB＝3m，O′A′＝0.5m，O′B′＝3m(点A，O，O′,A′在同一条水平线上)，则该山谷的深h为　　　　m．

4、如图所示，一条自西向东的观光大道l上有A、B两个景点，A、B相距2km，在A处测得另一景点C位于点A的北偏东60°方向，在B处测得景点C位于景点B的北偏东45°方向，求景点C到观光大道l的距离．(结果精确到0.1km)

5、如图，在直角坐标系中，直线y＝－x＋6与坐标轴分别交于A、B两点，AB中点为点P，则点P到直线y＝－x的最短距离PQ的长度为　　　　．

6、如图，在△ABC，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转．

(1)当AC平分∠A′CB′时，BD的长为　　　　；

(2)连接AA′，当△AA′C为等边三角形时，BD的长为　　　　．

7、如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝45°，∠ADB＝∠ABC＝105°．

(1)若AD＝2，求AB；

(2)若AB＋CD＝2＋2，求AB．

8、如图所示，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面．已知山坡的坡角∠AEF＝23°，量得树干倾斜角∠BAC＝38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC＝60°，AD＝4m．

(1)求∠CAE的度数；

(2)求这棵大树折断前的高度．(结果精确到个位，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.4)

9、2014年3月8日凌晨，马来西亚航空公司吉隆坡飞北京的MH370航班在起飞一个多小时后在雷达上消失，至今没有被发现踪迹．飞机上有239名乘客，其中154名是中国同胞，中国政府启动了全面应急和搜救机制，派出多艘中国舰船在相关海域进行搜救．如图，某日在南印度洋海域有两艘自西向东航行的搜救船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一疑似物C，求此时疑似物C与搜救船A、B的距离各是多少？(结果保留根号)

10、如图，一艘船以每小时24海里的速度向北偏西75°方向航行，在点A处测得灯塔P在船的西北方向．航行40分钟后到达点B处，这时灯塔P恰好在船的正北方向．已知距离灯塔9海里以外的海区为安全航行区域．问：这艘船能否按原方向继续向前航行？为什么？

11、学习了勾股定理的逆定理，我们知道：在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形为直角三角形．类似地，我们定义：对于任意的三角形，设其三个角的度数分别为x°、y°和z°，若满足x2＋y2＝z2，则称这个三角形为勾股三角形．

(1)根据“勾股三角形”的定义，请你直接判断命题：“直角三角形是勾股三角形”是真命题还是假命题？

(2)如图，△ABC内接于⊙0，AB＝，AC＝1＋，BC＝2，⊙O的直径BE交AC于点D，

①求证：△ABC是勾股三角形；②求DE的长．

参考答案

1.解：∵∠ECA＝30°，∠FCB＝60°，又∵CD⊥AB，CD⊥EF，∴∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，

在Rt△ADC中，tan ∠ACD＝∴4D＝tan 60°DC＝×90＝90，

在Rt△BCD中，tan ∠BCD＝， BD＝tan30°DC＝×90＝30，

∴AB＝AD＋BD＝90＋30＝120．

答：建筑物A、B间距离为120米．

2.解：设楼高AB为x．

在Rt△ADB中有：DB＝ ＝x，在Rt△ACB中有：BC＝＝x．

而CD＝BD－BC＝(－1)x＝60，解得x＝82．

3.解：设A、A′到谷底的水平距离为AC＝m，A′C＝n，∴m＋n＝15，根据题意知，OB∥CD∥O′B′．

∵OA＝1，OB＝3，0′A′＝0.5，O′B′＝3．∴＝＝3，＝＝6，

∴(＋)h＝15，解得h＝30(m)．

4.解：如图，过点C作CD⊥l于点D，设CD＝xkm，

在△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，∴AD＝CD＝xkm，

在△BCD中，∵∠BDC＝90°，∠CBD＝45°，∴BD＝CD＝xkm，

∵AD－BD＝AB，∴x－x＝2，∴X＝＋1＝2.7(k m)．

答：景点C到观光大道的距离约为2.7km．

5.解：可知点P为(4，3),作PH⊥y轴交直线y＝－x于点H，则H(4，－4)，PH＝7,

∴最短距离PQ＝＝＝

6.解：过D作DH⊥BC于H，

(1)可知∠BCD＝45°，设CH＝DH＝t，则BH＝t，∴BC＝t＋t＝4，

解得t＝，∴BD＝t＝.

(2)可知∠BCD＝∠A′CA＝60°，设CH＝DH＝t，则BH＝t，∴BC＝t＋t＝4，

解得t＝2(－1)，∴BD＝×2(－1)＝.

7.解：(1)过D点作DE⊥AB，过点B作BF⊥CD，

∵∠A＝∠C＝45°，∠ADB＝∠ABC＝105°，

∴∠ADC＝360°﹣∠A﹣∠C﹣∠ABC＝360°﹣45°﹣45°﹣105°＝165°，

∴∠BDF＝∠ADC﹣∠ADB＝165°﹣105°＝60°，△ADE与△BCF为等腰直角三角形，

∵AD＝2，∴AE＝DE＝＝，

∵∠ABC＝105°，∴∠ABD＝105°﹣(180°﹣45°﹣60°)＝30°，

∴BE＝＝＝，∴AB＝＋；

(2)设DE＝x，则AE＝x，BE＝＝＝x，∴BD＝2x，

∵∠BDF＝60°，∴∠DBF＝30°，∴DF＝BD＝x，∴BF＝x，∴CF＝x，

∵AB＝AE＋BE＝x＋x，CD＝DF＋CF＝x＋x，AB＋CD＝2＋2，

∴AB＝＋1

8.解：(1)延长BA交EF于点G．在Rt△AGE中，∠E＝23°，∴∠GAE＝67°，又∵∠BAC＝38°，

∴∠CAE＝180°﹣67°﹣38°＝75°．

(2)过点A作AE⊥CD，垂足为H．

在△ADH中，∠ADC＝60°，AD＝8，cos∠ADC＝，

∴DH＝4，sin∠ADC＝，∴AH＝4．

在Rt△ACH中，∠C＝180°﹣75°﹣60°＝45°，∴CH＝AH＝4，AC＝4．

∴AB＝AC＋CD＝4＋4＋4≈20 (米)．

答：这棵大树折断前高约20米．

9.解：过点B作BD⊥AC于D．

由题意可知，∠BAC＝45°，∠ABC＝90°＋15°＝105°，

∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝30°．

在Rt△ABD中，AD＝BD＝AB•sin∠BAD＝20×＝10 (海里)，

在Rt△BCD中，BC＝＝＝20 (海里)，

DC＝＝＝10 (海里)，

∴AD＋CD＝10＋10＝10(＋)(海里)．

答：疑似物C与搜救船A的距离是10(＋)海里，与搜救船B的距离是20海里．

10.解：这艘船能按原方向继续向前航行．理由如下：

如图，过点B作BH⊥AP于H，过点P作PM⊥AB，交AB延长线于M．

由题意，知AB＝24×＝16(海里)，∠BAP＝75°﹣45°＝30°．

∵PB∥AC，∴∠BPH＝∠CAP＝45°．

在Rt△ABH中，BH＝AB＝8，AH＝BH＝8．

在Rt△PBH中，PH＝BH＝8，∴PA＝PH＋AH＝8＋8，

∴PM＝PA•sin∠PAM＝PA＝4＋4＞9，∴能按原方向继续向前航行．

11.解：(1)∵对于任意的三角形，设其三个角的度数分别为x°、y°和z°，若满足x2＋y2＝z2，则称这个三角形为勾股三角形，

∴无法得到，所有直角三角形是勾股三角形，故是假命题；

(2)由题意可得：，解得：x＋y＝102；

(3)①证明：过B作BH⊥AC于H，设AH＝x，Rt△ABH中，BH＝，

Rt△CBH中，()2＋(1＋﹣x)2＝4，解得：x＝，

 所以，AH＝BH＝，HC＝1，∴∠A＝∠ABH＝45°，

∴tan∠HBC＝＝＝，∴∠HBC＝30°，∴∠BCH＝60°，∠B＝75°，

∴452＋602＝752，∴△ABC是勾股三角形；

②连接CE，∵∠A＝45°，∴∠BEC＝∠BAC＝45°，

又∵BE是直径，∴∠BCE＝90°，∴BC＝CE＝2，

过D作DK⊥AB于K，设KD＝h，∵∠EBC＝45°，∠ABC＝75°，∴∠ABE＝30°，

∴BK＝h，AK＝h，∴h＋h＝，解得：h＝，

∴BD＝2KD＝2h＝3﹣，∴BE﹣BD＝2﹣(3﹣)＝﹣．