2021学年第四章 指数函数与对数函数4.4 对数函数精练

4.4.2　对数函数的图象和性质(二)

必备知识基础练

1.不等式log2(2x＋3)>log2(5x－6)的解集为(　　)

A．(－∞，3)  B.

C.     D.

2．若loga<1(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围为________.

3.已知y＝loga(2－ax)在[0,1]上为x的减函数，则a的取值范围为(　　)

A．(0,1)  B．(1,2)

C．(0,2)  D．[2，＋∞)

4．求函数y＝log (x2－3x＋5)的单调区间．

5．讨论函数f(x)＝loga(3x2－2x－1)的单调性．

6.函数f(x)＝lg |x|为(　　)

A．奇函数，在区间(0，＋∞)上是减函数

B．奇函数，在区间(0，＋∞)上是增函数

C．偶函数，在区间(－∞，0)上是增函数

D．偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数

7．函数f(x)＝log2(x2－4x＋12)的值域为(　　)

A．[3，＋∞)  B．(3，＋∞)

C．(－∞，－3)  D．(－∞，－3]

8．函数f(x)＝logax在[2,4]上的最大值与最小值的和为6，则a的值为________．

关键能力综合练

一、选择题

1．若lg(2x－4)≤1，则x的取值范围是(　　)

A．(－∞，7]  B．(2,7]

C．[7，＋∞)  D．(2，＋∞)

2．设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是(　　)

A．奇函数，且在(0,1)上是增函数

B．奇函数，且在(0,1)上是减函数

C．偶函数，且在(0,1)上是增函数

D．偶函数，且在(0,1)上是减函数

3．已知函数f(x)＝lg，f(a)＝b，则f(－a)等于(　　)

A．b  B．－b

C.  D．－

4．已知loga<2，那么a的取值范围是(　　)

A．0<a<  B．a>

C.<a<1  D．0<a<或a>1

5．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝ln(x＋1)，则函数f(x)的图象为(　　)

6．(易错题)已知y＝loga(8－3ax)在[1,2]上是减函数，则实数a的取值范围是(　　)

A．(0,1)  B.

C.  D．(1，＋∞)

二、填空题

7．函数f(x)＝log3(4x－x2)的递增区间是________．

8．若函数f(x)＝logax(其中a为常数，且a>0，a≠1)满足f(2)>f(3)，则f(2x－1)<f(2－x)的解集是________．

9．(探究题)已知f(x)＝log (x2－ax＋3a)在区间[2，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是________．

三、解答题

10．已知f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(a>0且a≠1)．

(1)求函数f(x)的定义域，值域；

(2)若函数f(x)有最小值为－2，求a的值．

学科素养升级练

1．(多选题)下列关于函数f(x)＝|ln|2－x||的描述正确的有(　　)

A．函数f(x)在区间(1,2)上单调递增

B．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称

C．若x1≠x2，但f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝4

D．函数f(x)＝0有且只有两个解

2．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f＝0，则不等式f(logx)>0的解集为________．

3．(学科素养—数学抽象)已知函数f(x)＝loga(x＋1)(0＜a＜1)，函数y＝g(x)的图象与函数f(x)的图象关于原点对称．

(1)写出函数g(x)的解析式；

(2)判断函数f(x)－g(x)的奇偶性，并说明理由；

(3)若x∈[0,1)时，总有f(x)＋g(x)≤m成立，求实数m的取值范围．

4．4.2　对数函数的图象和性质(二)

必备知识基础练

1．解析：由得<x<3.

答案：D

2．解析：loga<1，即loga<logaa.

当a>1时，函数y＝logax在定义域内是增函数，

所以loga<logaa总成立；

当0<a<1时，函数y＝logax在定义域内是减函数，

由loga<logaa，得a<，即0<a<.

所以实数a的取值范围为∪(1，＋∞)．

答案：∪(1，＋∞)

3．解析：题目中隐含条件a>0，且a≠1，u＝2－ax为减函数，故要使y＝loga(2－ax)在[0,1]上是减函数，则a>1，且2－ax在x∈[0,1]时恒为正数，即2－a>0，故可得1<a<2.

答案：B

4．解析：由于x2－3x＋5的判别式Δ＝(－3)2－4×5＝－11＜0，

∴x2－3x＋5＞0，

令u(x)＝x2－3x＋5，当x∈时，u(x)为减函数，当x∈时，u(x)为增函数．

∴y＝log (x2－3x＋5)在上为增函数，在上为减函数．

综上函数y＝log (x2－3x＋5)的增区间为，减区间为.

5．解析：由3x2－2x－1＞0得函数的定义域为

.则当a＞1时，

若x＞1，则u＝3x2－2x－1为增函数，

∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)为增函数．

若x＜－，则u＝3x2－2x－1为减函数．

∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)为减函数．

当0＜a＜1时，

若x＞1，则f(x)＝loga(3x2－2x－1)为减函数；

若x＜－，则f(x)＝loga(3x2－2x－1)为增函数．

6．解析：已知函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于坐标原点对称，且f(－x)＝lg|－x|＝lg|x|＝f(x)，所以它是偶函数．又当x＞0时，f(x)＝lg  x在区间(0，＋∞)上是增函数．又因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝lg|x|在区间(－∞，0)上是减函数．

答案：D

7．解析：∵u＝x2－4x＋12＝(x－2)2＋8≥8，且2>1，∴f(x)≥log28＝3.故选A.

答案：A

8．解析：依题意得

所以3loga2＝6，即loga2＝2，

所以a2＝2，所以a＝(舍－)．

答案：

关键能力综合练

1．解析：∵lg(2x－4)≤1，∴0<2x－4≤10，解得2<x≤7，∴x的取值范围是(2,7]，故选B.

答案：B

2．解析：由题意可得，函数f(x)的定义域为(－1,1)，且f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．又f(x)＝ln＝ln，易知y＝－1在(0,1)上为增函数，故f(x)在(0,1)上为增函数．

答案：A

3．解析：易知f(x)为奇函数，故f(－a)＝－f(a)＝－b.

答案：B

4．解析：当a>1时，由loga<logaa2得a2>，故a>1；当0<a<1时，由loga<logaa2得0<a2<，故0<a<.综上可知，a的取值范围是0<a<或a>1.

答案：D

5．解析：由f(x)是R上的奇函数，即函数图象关于原点对称，排除A、B.又x＞0时f(x)＝ln(x＋1)，故选D.

答案：D

6．解析：因为a>0，所以t＝8－3ax为减函数，而当a>1时，y＝logat是增函数，所以y＝loga(8－3ax)是减函数，于是a>1.由8－3ax>0，得a<在[1,2]上恒成立，所以a<min＝＝.

答案：B

7．解析：由4x－x2＞0得0＜x＜4，

函数y＝log3(4x－x2)的定义域为(0,4)．

令u＝4x－x2＝－(x－2)2＋4，

当x∈(0,2]时，u＝4x－x2是增函数，

当x∈(2,4]时，u＝4x－x2是减函数．

又∵y＝log3u是增函数，

∴函数y＝log3(4x－x2)的增区间为(0,2]．

答案：(0,2]

8．解析：∵f(2)>f(3)，∴f(x)＝logax是减函数，

由f(2x－1)<f(2－x)，得∴

∴1<x<2.

答案：{x|1<x<2}

9．解析：二次函数y＝x2－ax＋3a的对称轴为x＝，由已知，应有≤2，且满足当x≥2时y＝x2－ax＋3a>0，即解得－4<a≤4.

答案：(－4,4]

10．解析：(1)由得定义域为{x|－3<x<1}．

f(x)＝loga(－x2－2x＋3)，

令t＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，

因为x∈(－3,1)，所以t∈(0,4]．

所以f(t)＝logat，t∈(0,4]．

当0<a<1时，ymin＝f(4)＝loga4，值域为[loga4，＋∞)．

当a>1时，值域为(－∞，loga4]．

(2)ymin＝－2，由(1)及题意得得a＝.

学科素养升级练

1．解析：函数f(x)＝|ln|2－x||的图象如下图所示：

由图可得：

函数f(x)在区间(1,2)上单调递增，A正确；函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，B正确；若x1≠x2，但f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝4，C错误；函数f(x)＝0有且仅有两个解，D正确．故选ABD.

答案：ABD

2．解析：∵f(x)是R上的偶函数，∴它的图象关于y轴对称．

∵f(x)在[0，＋∞)上为增函数，∴f(x)在(－∞，0]上为减函数，

作出函数图象如图所示．

由f＝0，得f＝0.

若f(logx)>0，则logx<－或logx>，

解得x>2或0<x<，

∴x∈∪(2，＋∞)．

答案：∪(2，＋∞)

3．解析：(1)∵g(x)的图象与f(x)的图象关于原点中心对称，

∴g(x)＝－f(－x)＝－loga(－x＋1)，

即g(x)＝loga，x＜1.

(2)函数f(x)－g(x)是偶函数．理由如下：

记h(x)＝f(x)－g(x)＝loga(1＋x)－loga(－1<x<1)，

即h(x)＝loga[(1＋x)(1－x)]＝loga(1－x2)，x∈(－1,1)．

∵h(－x)＝loga[1－(－x)2]＝loga(1－x2)＝h(x)，

∴h(x)为偶函数，即f(x)－g(x)为偶函数．

(3)记u(x)＝f(x)＋g(x)＝loga(1＋x)＋loga＝loga，x∈[0,1)．

∵f(x)＋g(x)≤m恒成立，∴m≥max.

令u(x)＝loga＝loga，

∵a∈(0,1)，x∈[0,1)时，u(x)单调递减，

∴u(x)max＝u(0)＝loga1＝0，

∴m≥0.

故实数m的取值范围为[0，＋∞)．