【压轴精讲】数学中考培优竞赛专题 第29讲 存在性问题之特殊四边形（含答案）学案

第29讲  存在性问题之特殊四边形

菱形存在性问题,抓住邻边相等(即等腰三角形)和对角线垂直；

矩形存在性问题,抓住内角90°与对角线相等；

正方形存在性问题,抓住等腰直角三角形的性质即可.

【例题讲解】

例题1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,点P从点B出发,沿BA方向以2cm/s的速度向终点A运动;同时,动点Q从点C出发沿CB方向以1cm/s的速度向终点B运动,将△BPQ沿BC翻折,点P的对应点为点P',设Q点运动的时间t秒,若四边形QPB P'为菱形,求t的值.

解:若四边形QPBP为菱形,t=2秒理由如下:

∵∠C=90°,AC=BC,∴△ABC是等腰直角三角形,∴∠ABC=45°,

∵点P的速度是每秒cm,点Q的速度是每秒1cm,∴BP=tcm,BQ=(6－t)cm,

∵四边形QPBP'为菱形,

∴t×=,解得:t=2;

即若四边形QPBP'为菱形的值为2秒.

例题2.如图，已知O(0,0),A(4,0),B(4,3).动点P从O点出发,以每秒3个单位的速度,沿△OAB的边OA、AB作匀速运动;动直线l从AB位置出发,以每秒1个单位的速度向x轴负方向作匀速平移运动.若它们同时出发,运动的时间为t秒,当直线l运动到O时,它们都停止运动.当P在线段AB上运动时,设直线l分别与OA、OB交于C、D,试问:四边形CPBD是否可能为菱形？若能,求出此时t的值;若不能,请说明理由,并说明如何改变直线l的出发时间,使得四边形CPBD会是菱形.

解:四边形CPBD不可能为菱形.

如图所示,根据题意可得,AC＝t,AP=3t－4,BP=3－AP=7－3t,OC=4－t,

因为CD∥AB,所以△OCD∽△OAB,所以,即,解得:CD=(4－t),

因为CD=BP,所以(4－t)=7－3t,解得:t=,所以BP=,在△ACP中,由勾股定理得,

CP＝,因为CP≠BP,所以四边形CPBD不可能为菱形.

若要使四边形CPBD为菱形,设直线比P点迟x秒出发,则AC=t－x,AP=3t－4,BP=CP=7－3t,因为四边形CPBD为菱形,则CP∥OB,所以△ACP∽△AOB,则,

则,,解得: ,

即直线比P点迟秒出发时可使四边形CPBD为菱形.

例题3.如图,直线y=x+3与y轴交于点A,与x轴交于点B,点P从点B出发以每秒1个单位长度的速度沿BA边向终点A运动,同时点Q以相同的速度从坐标原点O出发沿OB边向终点B运动,设点P运动的时间为t秒.

(1)求点A,B的坐标；

(2)在点P,Q运动的过程中,是否存在点N,使得以点A,P,Q,N为顶点的四边形是矩形?若存在,求t的值并直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.

解:(1)对于直线y=x+3,令x=0,得到y=3,令y=0得到x=4,∴A(0,3),B(4,0);

(2)存在以点APQN为顶点的四边形是矩形,

①如图2所示,当∠APQ=90°时,∠BPQ=∠AOB=90°,

由(2)得:cos∠PBQ=,即,解得:t=此时N坐标为(,)

②如果∠PAQ=90°,∠OAB为锐角,∠PAQ<∠OAB,

∴不成立,∠PAQ≠90°

③如果∠AQP=90°,当Q与O重合时,t=0,此时N坐标为(4,3),

当0<t≤5时如图3所示过P作PM⊥x轴于点M. 由①得：MB＝t，

∴QM=OB－OQ－BM=4－t,

∵∠AOQ=∠QMP=∠AQP=90°,∴∠OAQ=∠MQP，∴Rt△AOQ∽Rt△QMP

∴,即，解得:t=,此时N坐标为(,)

综上所述:当t的值为0, ,时,

以点APQN为顶点的四边形是矩形,点N的坐标分别为(4,3) (,), (,)

例题4.如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(－1,0),B(3,0)两点,顶点M关于x轴的对称点是M'.

(1)求抛物线的解析式；

(2)是否存在过A,B两点的抛物线,其顶点P关于x轴的对称点为Q,使得四边形APBQ为正方形?若存在,求出此抛物线的解析式;若不存在,请说明理由.

解:(1)根据题意,抛物线y=x2+bx+c经过点A(－1,0),B(3,0),则将点A、B坐标代入抛物线解析式可得: ,②+3×①得:12+4c=0,解得c=－3,代入①得b=－2,故原方程组的解为，所以抛物线的表达式为y＝x2－2x－3.

(2)存在.如图所示,四边形APBQ是正方形.因为四边形APBQ是正方形,所以该抛物线顶点肯定在AB的中垂线上,且AB=PQ,AB与PQ相互垂直平分,则点P的坐标为P(1,2)或P(1,－2).①当点P坐标为P(1,2)时,设抛物线解析式为y=a(x－1)2+2.因为抛物线过A、B两点,所以将点A坐标代入函数解析式得a(－1－1)2+2=0,解得a=,

故抛物线的解析式为：y=(x－1)2+2。

②当点P坐标为P(1,－2)时,设抛物线解析式为y=a'(x－1)2－2。因为抛物线过A、B点,所以将点坐标代入函数解析式得a'(－1－1)2－2=0,解得a'=,

故抛物线的解析式为y=(x－1)2－2。

综上所述：存在过A、B两点的抛物线y=(x－1)2+2或y=(x－1)2－2,其顶点P关于轴的对称点为Q,使得四边形APBQ是正方形.

【巩固训练】

1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=6cm,点P从点B出发,沿BA方向以每秒cm的速度向终点A运动;同时,动点Q从点C出发沿CB方向以每秒1cm的速度向终点B运动,将△BPQ沿BC翻折,点P的对应点为点P',设Q点运动的时间t秒,若四边形QPBP'为菱形,则t的值为          .

2.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于A、B两点,B点的坐标为(3,0),与y轴交于C(0,－3),点P是直线BC下方抛物线上的动点.

(1)求二次函数解析式；

(2)连接PO、PC,并将△POC沿y轴对折,得到四边形POP'C,那么是否存在点P,使得四边形POP'C为菱形？若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由；

3.如图，矩形的顶点、分别在、的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图象与边、分别交于点、，并且满足．点是线段上的一个动点．

（1）求的值；

（2）连结，若三角形的面积与四边形的面积之比为，求点的坐标；

（3）设点是轴上方平面内的一点，以、、、为顶点的四边形是菱形，求点的坐标．

4. 如图1，已知中，，，．点由出发沿方向向点匀速运动，同时点由出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为．以、为边作平行四边形，连接，交于点．设运动的时间为（单位：．解答下列问题：

（1）用含有的代数式表示　　．

（2）当为何值时，平行四边形为矩形．

（3）如图2，当为何值时，平行四边形为菱形．

5.如图1，在直角梯形中，，，，．点从点出发以每秒2个单位长度的速度向点运动．同时，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向点运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点作于点．连接交于点，连接．设运动时间为秒．

（1）填空：　　；　 　．（用含的代数式表示）

（2）取何值时，梯形面积等于梯形面积的；

（3）如图2，将沿翻折，得，请问是否存在某时刻，使四边形为正方形？说明理由．

6. 如图，二次函数的图象与轴分别交于、两点，顶点关于轴的对称点是．

（1）若，求二次函数的关系式；

（2）在（1）的条件下，求四边形的面积；

（3）是否存在抛物线，使得四边形为正方形？若存在，请求出此抛物线的函数关系式；若不存在，请说明理由．

7．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于点、．点是线段上动点，过点作于点，点为

轴上一动点，连结、，以、为边作．

（1）求的长（用含的代数式表示）；

（2）当时，是否存在点，使得顶点恰好落在轴上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）点在整个运动过程中，若存在唯一的位置，使得为矩形，请求出所有满足条件的的值．

参考答案

1.答案：2

2.解:(1)将点B、C的坐标代入y=x2+bx+c,得,将②代入①,得b=－2.

故二次函数的解析式为y=x2－2x－3. 

(2)如图1所示,假设抛物线上存在点P,使四边形POP'C为形,连接PP'交CO于点E,因为四边形POP'C为菱形,所以PC=PO,PE⊥CO.故OE=EC=,即点P的纵坐标为.

由x2－2x－3=－,得x=或x=,当x=时,点P不在直线BC下方,

故舍去.故存在这样的点,此时点P的坐标为(,)

3.解：（1）中，令，解得，则的坐标是，，

，

，则的坐标是，

把的坐标代入得，

解得：；

（2），

三角形的面积与四边形的面积之比为，

．

设的横坐标是，则，

解得：，

把代入得．

则的坐标是；

（3）当四边形是菱形时，如图（1），的纵坐标是，把代入，得，解得：，

则的坐标是，，

则的坐标是，；

当四边形是菱形时，如图（2），设的横坐标是，则纵坐标是，

则，

解得：或0（舍去）．

则的坐标是，．

则的中点是，．

则的坐标是，．

故的坐标是，或，．

4.解：（1）中，，，．

由勾股定理得：，

点由出发沿方向向点匀速运动，速度均为，

，

，

四边形为平行四边形，

；

（2）当是矩形时，，

，

即

解之 

当时，是矩形；

（3）当是菱形时，，

则

即

解之 

当时，是菱形．

5.解：（1）如图1．，

．

在直角梯形中，，，于点，

四边形为矩形，

，

；

（2）如图1．梯形的面积等于梯形面积的，

，

解得．

当时，梯形面积等于梯形面积的；

（3）存在时刻，能够使四边形为正方形．理由如下：

，，

．

将沿翻折，得，

，，．

若四边形为正方形，则，

，

，

，

，

，

当时，四边形为正方形．

故答案为：；．

6.解：（1）在二次函数的图象上，

，

解得，

二次函数的关系式为；

（2），

顶点的坐标为，，

，对称轴为，

点的坐标为，

，

，

顶点关于轴的对称点是，

；

（3）存在抛物线，使得四边形为正方形．

理由如下：令，则，设点的坐标分别为，，，，

则，，

所以，，

点的纵坐标为：，

顶点关于轴的对称点是，四边形为正方形，

，

整理得，，

解得，，

又抛物线与轴有两个交点，

△，解得，

的值为，

故存在抛物线，使得四边形为正方形．

7.解：（1），，

，，

，

，

，

，

，即，

；

（2），

，，

，

点落在轴上，（如图

，

，

，

，即，

，

点的坐标为，；

（3）取的中点，过作轴于点，

．

（Ⅰ）当时，

①时，如图3，

，

，

，

根据题意，得

，

解得，

②当时，显然不存在满足条件的的值；

（Ⅱ）当时，点与原点重合，（图

；

（Ⅲ）当时，

①当点与点重合时，如图5，

易证，

即，解得；

②当点与点不重合时，如图6，

，

，

由题意，得

即，

解得，

综上所述：或0或或．