高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.1 任意角和弧度制学案

5.1.2　弧度制

(教师独具内容)

课程标准：了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性．

教学重点：1.弧度制的意义.2.角度与弧度的互化.3.弧度制下，弧长和扇形面积公式的运用．

教学难点：弧度制的概念及角度与弧度的互化.

【知识导学】

知识点一　　　角的单位制

(1)用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的.

(2)长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度，通常略去不写．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制．

(3)弧度数的计算

知识点二　　　角度与弧度的换算

(1)角度制与弧度制的换算

(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应表

知识点三　　　扇形的弧长及面积公式

设扇形的半径为r，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角的弧度数，n为圆心角的角度数，则扇形的弧长：l＝＝αr，扇形的面积：S＝＝lr＝α·r2.

【新知拓展】

(1)无论是以“度”还是以“弧度”为单位，角的大小都是一个与“半径”大小无关的定值，仅仅是为了能使概念描述更具体的一个“过渡量”而已．

(2)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两字可以省略不写，如sin2是指sin(2弧度)，π＝180°是指π弧度＝180°；但如果以度为单位表示角时，度就不能省去．

(3)用弧度为单位表示角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特殊要求，不必把π写成小数，如45°＝弧度，不必写成45°≈0.785弧度．

(4)角度制和弧度制表示的角不能混用．如α＝2kπ＋30°，k∈Z；β＝k·90°＋，k∈Z，都不正确．

(5)弧度制是十进制，而角度制是六十进制．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大．(　　)

(2)圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等．(　　)

(3)用弧度表示的角都是正角．(　　)

(4)“度”和“弧度”是度量角的两种不同的度量单位．(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

2．做一做

(1)在半径为5 cm的圆中，圆心角为周角的的角所对的圆弧长为(　　)

A. cm   B. cm

C. cm   D. cm

(2)－135°化为弧度为________，化为角度为________．

答案　(1)B　(2)－　660°

题型一  弧度制的概念

例1　下列命题中，假命题是(　　)

A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位

B．一度的角是周角的，一弧度的角是周角的

C．1弧度是长度等于半径长的圆弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位

D．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关

[解析]　根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D是假命题．选项A，B，C均为真命题．

[答案]　D

金版点睛

角度制和弧度制的比较

(1)弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，而角度制是以“度”为单位来度量角的单位制．

(2)1弧度的角是指等于半径长的弧所对的圆心角，而1度的角是指圆周角的的角，大小显然不同．

(3)无论是以“弧度”还是以“度”为单位来度量角，角的大小都是一个与“半径”大小无关的值．

(4)用“度”作为单位度量角时，“度”(即“°”)不能省略，而用“弧度”作为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”通常省略不写．但两者不能混用，即在同一表达式中不能出现两种度量方法．

　下列叙述中正确的是(　　)

A．1弧度是1度的圆心角所对的弧

B．1弧度是长度为半径的弧

C．1弧度是1度的弧与1度的角之和

D．大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角一样大

答案　D

解析　弧度是度量角的大小的一种单位，而不是长度的度量单位，1弧度是长度等于半径的圆弧所对圆心角的大小，与圆的半径无关，故选D.

题型二  角度和弧度的换算

例2　把下列各角用另一种度量制表示出来：112°30′；36°；－；3.5.

[解]　112°30′＝×＝.

36°＝36×＝.

－＝－×°＝－75°.

3．5＝3.5×°≈3.5×57.3°＝200.55°(或200°33′)．

金版点睛

用弧度制表示角时“弧度”二字可以省略不写，而用角度制表示角时要特别注意单位“°”不能丢，因为1°与1是完全不同的两个角.

　(1)－300°化为弧度是(　　)

A．－  B．－  C．－  D．－

(2)化为度数是(　　)

A．278°  B．280°  C．288°  D．318°

答案　(1)B　(2)C

解析　(1)－300°＝－300×＝－.

(2)＝×180°＝288°.

题型三  用弧度制表示角的集合

例3　已知角α＝2005°.

(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限的角；

(2)在[－5π，0)内找出与α终边相同的角．

[解]　(1)2005°＝2005× rad＝ rad

＝ rad，

又π<<，

∴角α与终边相同，是第三象限的角．

(2)与α终边相同的角为2kπ＋(k∈Z)，

由－5π≤2kπ＋<0，k∈Z知k＝－1，－2，－3.

∴在[－5π，0)内与α终边相同的角是

－，－，－.

金版点睛

用弧度制表示终边相同的角2kπ＋αk∈Z时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用.

　(1)将－1125°表示成2kπ＋α，0≤α<2π，k∈Z的形式为________；

(2)用弧度表示终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合．

答案　(1)－8π＋　(2)见解析

解析　(1)∵－1125°＝－＝－，

∴－＝－8π＋，即－1125°＝－8π＋.

(2)因为终边落在OA处的角θ＝2kπ＋，k∈Z，终边落在OB处的角θ＝2kπ－，k∈Z，所以终边落在阴影部分的角的集合为2kπ－<θ<2kπ＋，k∈Z.

题型四  扇形的弧长及面积公式的应用

例4　(1)已知扇形的周长为8 cm，圆心角为2，则扇形的面积为________cm2；

(2)已知一半径为R的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的圆心角是多少弧度？面积是多少？

[解析]　(1)设扇形的半径为r cm，弧长为l cm，由圆心角为2 rad，依据弧长公式可得l＝2r，从而扇形的周长为l＋2r＝4r＝8，解得r＝2，则l＝4.

故扇形的面积S＝lr＝×4×2＝4(cm2)．

(2)设扇形的弧长为l，由题意得2πR＝2R＋l，所以l＝2(π－1)R，所以扇形的圆心角是＝2(π－1)，扇形的面积是lR＝(π－1)R2.

[答案]　(1)4　(2)见解析

金版点睛

弧度制下涉及扇形问题的解题策略

(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S＝lr＝|α|r2(其中l是扇形的弧长，r是扇形的半径，α(0<α<2π)是扇形的圆心角)．

(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．

已知扇形AOB的圆心角为120°，半径为6，求：

(1) 的长；

(2)扇形所含弓形的面积(即阴影面积)．

解　(1)∵120°＝，∴的长l＝×6＝4π.

(2)S扇形AOB＝lr＝×4π×6＝12π.

如图所示，过点O作OD⊥AB，交AB于D点，

于是有S△OAB＝AB·OD＝×2×3×3＝9，

∴弓形的面积为S扇形AOB－S△AOB＝12π－9.

1．2145°转化为弧度数为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　D

解析　2145°＝2145× rad＝ rad.

2．α＝－2 rad，则α的终边在(　　)

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

答案　C

解析　∵1 rad≈57.30°，∴－2 rad≈－114.60°.故α的终边在第三象限．

3．在△ABC中，若A∶B∶C＝3∶5∶7，则角A，B，C的弧度数分别为________．

答案　，，

解析　A∶B∶C＝3∶5∶7，则A占总度数的＝；B占总度数的＝；C占总度数的＝.又三角形的内角和为π，则A为，B为，C为.

4．用弧度制表示终边落在第二象限的角的集合为________．

答案　

解析　若角α的终边落在第二象限，则2kπ＋<α<2kπ＋π，k∈Z.

5．(1)把310°化成弧度；

(2)把 rad化成角度；

(3)已知α＝15°，β＝，γ＝1，θ＝105°，φ＝，试比较α，β，γ，θ，φ的大小．

解　(1)310°＝ rad×310＝ rad.

(2) rad＝°＝75°.

(3)解法一(化为弧度)：α＝15°＝15×＝.θ＝105°＝105×＝.

显然<<1<，故α<β<γ<θ＝φ.

解法二(化为角度)：β＝＝×°＝18°，γ＝1≈57.30°，φ＝×°＝105°.

显然，15°<18°<57.30°<105°，故α<β<γ<θ＝φ.