人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）导学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）导学案，共20页。学案主要包含了知识导学，新知拓展等内容，欢迎下载使用。
  5.6.1　匀速圆周运动的数学模型5.6.2　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(教师独具内容)课程标准：1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义.2.会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象.3.能借助图象理解参数φ，ω，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.4.掌握y＝sinx与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤．教学重点：正确理解φ，ω，A对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响，通过图象变换由y＝sinx的图象得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象．教学难点：对图象变换与函数解析式变换的内在联系的理解.【知识导学】知识点一　　　参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响(1)φ对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响(2)ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响(3)A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响知识点二　由函数y＝sinx的图象得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的途径由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．(1)先平移后伸缩 (2)先伸缩后平移知识点三　　　函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质注意隐含条件：(1)两条相邻对称轴之间间隔为个周期；(2)函数在对称轴处取得最大值或最小值．【新知拓展】对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)：(1)A越大，函数的最大值越大，最大值与A是正比例关系．(2)ω越大，函数的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系．(3)φ大于0时，函数y＝Asinωx的图象向左平移个单位长度得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，φ小于0时，函数y＝Asinωx的图象向右平移个单位长度得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，即“加左减右”．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)把y＝sin2x的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin.(　　)(2)函数y＝2sin，x∈R的最大值为2.(　　)(3)函数y＝2sin，x∈R的图象的一个对称中心为.(　　)(4)五点法作函数y＝2sin在一个周期上的简图时，第一个点为.(　　)答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×2．做一做(1)将函数y＝sinx的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式为(　　)A．y＝sinx－   B．y＝sinx＋C．y＝sin   D．y＝sin(2)要得到函数y＝sin的图象，只要将函数y＝sin2x的图象(　　)A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度(3)将函数y＝sinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)得到________的图象．答案　(1)D　(2)C　(3)y＝sin4x题型一   作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象例1　已知函数y＝2sin，用“五点法”画出其简图．[解]　列表：描点，连线得函数y＝2sin在一个周期内的图象．再将这部分图象向左或向右延伸kπ(k∈Z)个单位长度，就可得函数y＝2sin(x∈R)的图象．
金版点睛用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤第一步：列表．第二步：在同一坐标系中描出各点．第三步：用光滑曲线连接这些点，得到一个周期内的图象．　作出函数y＝cos在一个周期内的图象．解　列表： 描点，连线得函数y＝cos在一个周期内的图象，如图.     题型二  函数的图象变换例2　说明y＝－2sin＋1的图象是由y＝sinx的图象经过怎样变换得到的．[解]　解法一(先伸缩后平移)： [条件探究]　将本例改为：y＝2sin＋1的图象是由y＝sinx的图象经过怎样的变换得到的？    金版点睛三角函数图象变换的两种方法及两个注意(1)两种方法：方法一是先平移，后伸缩；方法二是先伸缩，后平移．(2)两个注意：①两种变换中平移的单位长度不同，分别是|φ|和，但平移方向是一致的．②虽然两种平移的单位长度不同，但因平移时平移的对象已有变化，所以得到的结果是一致的．   　函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，所得图象的函数解析式为________．答案　y＝sin解析　将原函数的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin＝sin的图象，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数y＝sin的图象.题型三  求三角函数的解析式例3　如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，求此函数的解析式．[解]　解法一(逐一定参法)：由图象知A＝3，T＝－＝π，∴ω＝＝2，∴y＝3sin(2x＋φ)．∵点在函数图象上，∴0＝3sin，∴－×2＋φ＝kπ(k∈Z)，得φ＝＋kπ(k∈Z)．∵|φ|＜，∴φ＝，∴y＝3sin.解法二(待定系数法)：由图象知A＝3.由图象过点和，且在处下降，在处上升，可令解得∴y＝3sin.解法三(图象变换法)：由A＝3，T＝π，点在图象上，可知函数图象由y＝3sin2x向左平移个单位长度而得，所以y＝3sin，即y＝3sin. 金版点睛求函数y＝Asin(ωx＋φ)解析式的方法若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，则在观察函数图象的基础上，可按以下规律来确定A，ω，φ.(1)由函数图象上的最大值、最小值来确定|A|.(2)由函数图象与x轴的交点确定T，由T＝，确定ω.(3)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)中φ的值的两种方法：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω已知，最好是代入图象与x轴的交点)求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点对应法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口．“五点”的ωx＋φ的值具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；“第五点”为ωx＋φ＝2π.   　下列函数中，图象的一部分如图所示的是(　　)A．f(x)＝3sinB．f(x)＝3sinC．f(x)＝3sinD．f(x)＝3sin答案　C解析　解法一(代值验证法)：把代入选项，可排除B，D；再将代入，可排除A.故C正确．解法二(逐一定参法)：设f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)．由图知，A＝3，又T＝4＝4π，∴ω＝＝.由点，令－×＋φ＝0，得φ＝.∴f(x)＝3sin，选C.解法三(待定系数法)：设f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，由图知，A＝3.又图象过，，根据五点法原理(这两点可理解为“五点法”中的第一点和第二点)，有：解得ω＝，φ＝.故选C. 题型四  函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的综合应用例4　已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值．[解]　∵f(x)在R上是偶函数，∴当x＝0时，f(x)取得最大值或最小值，即sinφ＝±1，得φ＝kπ＋，k∈Z.又0≤φ≤π，∴φ＝.由f(x)的图象关于点M对称，可知sin＝0，解得ω＝k－，k∈Z.又f(x)在上是单调函数，∴T≥π，即≥π，∴0＜ω≤2，∴当k＝1时，ω＝；当k＝2时，ω＝2.综上，φ＝，ω＝或2. 金版点睛函数y＝Asin(ωx＋φ)的综合运用与正弦函数y＝sinx比较可知，当ωx＋φ＝2kπ±(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)取得最大值(或最小值)，因此函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)解出，其对称中心横坐标由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解出，即对称中心为(k∈Z)．同理y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解出，对称中心的横坐标由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)解出．　已知函数f(x)＝2sin＋1(0<φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为.(1)求f的值；(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的单调递减区间．解　(1)因为f(x)为偶函数，所以φ－＝kπ＋(k∈Z)，所以φ＝kπ＋(k∈Z)．又0＜φ＜π，所以φ＝，所以f(x)＝2sin＋1＝2cosωx＋1.又函数f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为，所以T＝＝2×，所以ω＝2，所以f(x)＝2cos2x＋1，所以f＝2cos＋1＝＋1.(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到函数f的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到f的图象，所以g(x)＝f＝2cos＋1＝2cos＋1.当2kπ≤－≤2kπ＋π(k∈Z)，即4kπ＋≤x≤4kπ＋(k∈Z)时，g(x)单调递减．所以函数g(x)的单调递减区间是(k∈Z)．题型五  函数y＝Asin(ωx＋φ)在实际生活中的应用例5　某游乐园的摩天轮最高点距离地面108米，直径长是98米，匀速旋转一圈需要18分钟．如果某人从摩天轮的最低处登上摩天轮并开始计时，那么：(1)当此人第四次距离地面米时用了多少分钟？(2)当此人距离地面不低于米时可以看到游乐园的全貌，求摩天轮旋转一圈过程中有多少分钟可以看到游乐园的全貌？[解]　(1)如图，建立平面直角坐标系，设此人登上摩天轮t分钟时距地面y米，则α＝t＝t.由y＝108－－cost＝－49cost＋59(t≥0)．令－49cost＋59＝，得cost＝，∴t＝2kπ±，故t＝18k±3，k∈Z，故t＝3,15,21,33.故当此人第四次距离地面米时用了33分钟．(2)由题意，得－49cost＋59≥59＋，即cost≤－.不妨在第一个周期内求即可，所以≤t≤，解得≤t≤，故－＝3.因此摩天轮旋转一圈过程中有3分钟可以看到游乐园的全貌．金版点睛     　如图所示，一个摩天轮半径为10 m，轮子的底部在地面上2 m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时．(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.解　(1)设在t s时，摩天轮上某人在高h m处．这时此人所转过的角为t＝t，故在t s时，此人相对于地面的高度为h＝10sint＋12(t≥0)．(2)由10sint＋12≥17，得sint≥，则≤t≤.故此人有10 s相对于地面的高度不小于17 m.1．将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得到的图象对应的函数是(　　)A．y＝cos2x   B．y＝1＋cos2xC．y＝1＋sin   D．y＝cos2x－1答案　B解析　将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，即y＝sin＝cos2x的图象，再向上平移1个单位长度，所得到的图象对应的函数为y＝1＋cos2x.2．已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象(　　)A．关于直线x＝对称   B．关于点对称C．关于直线x＝对称   D．关于点对称答案　A解析　∵ω＞0，T＝＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝sin.∴其对称中心为，k∈Z，故B，D不符合；其对称轴方程由2x＋＝＋kπ，k∈Z得x＝＋，k∈Z.当k＝0时，x＝就是它的一条对称轴．故选A.3．为了得到y＝cos的图象，只需把y＝cosx的图象上的所有点(　　)A．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变答案　A解析　由图象的周期变换可知，A正确．4．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－π＜φ＜π)的部分图象如图，则函数f(x)的解析式为________．答案　f(x)＝2sin解析　由题意，知A＝2，T＝2＝4π，所以ω＝＝＝.因为图象过点，所以f＝2sin＝0.因为－π＜φ＜π，所以φ＝或φ＝－.又因为f＝－2，所以φ＝，所以f(x)＝2sin.5．求函数f(x)＝3sin，x∈R的周期、对称中心、对称轴及单调区间．解　T＝＝＝π，所以周期为π.令2x＋＝kπ，k∈Z，得x＝－，k∈Z，所以对称中心为，k∈Z.令2x＋＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，所以对称轴为x＝＋，k∈Z.令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以它的单调递增区间为，k∈Z；令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以它的单调递减区间为，k∈Z.