人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.5 三角恒等变换第1课时导学案

5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式

第1课时　两角差的余弦公式

(教师独具内容)

课程标准：1.经历推导两角差的余弦公式的过程，知道两角差的余弦公式的意义.2.理解利用两点间的距离公式导出两角差的余弦公式的主要步骤.3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算．

教学重点：两角差的余弦公式的推导与运用．

教学难点：两角差的余弦公式的推导过程.

【知识导学】

知识点　两角差的余弦公式

(1)公式中的α，β都是任意角，可以为常量，也可以为变角．

(2)公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反．

【新知拓展】

(1)逆用：cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)．

(2)角变换后使用

cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ.

(3)移项使用

cosαcosβ＝cos(α－β)－sinαsinβ；

sinαsinβ＝cos(α－β)－cosαcosβ.

(4)特殊化使用导出诱导公式

cos＝coscosα＋sinsinα＝sinα.

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)cos(60°－30°)＝cos60°－cos30°.(　　)

(2)对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cosα－cosβ都不成立．(　　)

(3)对任意α，β∈R，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ都成立．(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)√

2．做一做

(1)cos30°cos60°＋sin30°sin60°等于(　　)

A.  B.  C．－  D．－

(2)设α∈，若sinα＝，则cos等于(　　)

A.  B.  C．－  D．－

(3)cos15°＝________.

(4)已知cosα＝，α∈，则cos＝________.

答案　(1)B　(2)A　(3)　(4)

题型一  给角求值

例1　计算：

(1)cos15°cos105°＋sin15°sin105°；

(2)cos(β－15°)cos(β＋15°)＋sin(β－15°)sin(β＋15°)；

(3)sin75°.

[解]　(1)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝0.

(2)原式＝cos[(β－15°)－(β＋15°)]＝cos(－30°)＝cos30°＝.

(3)sin75°＝cos15°＝cos(45°－30°)

＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°

＝×＋×＝.

金版点睛

两角差的余弦公式常见题型及解法

(1)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解．

(2)含有常数的式子，先将常数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解．

(3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解．

　求下列各式的值：

(1)cos75°cos15°－sin75°sin195°；

(2)sin46°cos14°＋sin44°cos76°；

(3)cos105°＋sin105°.

解　(1)cos75°cos15°－sin75°sin195°

＝cos75°cos15°－sin75°sin(180°＋15°)

＝cos75°cos15°＋sin75°sin15°

＝cos(75°－15°)＝cos60°＝.

(2)sin46°cos14°＋sin44°cos76°

＝sin(90°－44°)cos14°＋sin44°cos(90°－14°)

＝cos44°cos14°＋sin44°sin14°

＝cos(44°－14°)＝cos30°＝.

(3)cos105°＋sin105°

＝cos60°cos105°＋sin60°sin105°

＝cos(60°－105°)＝cos(－45°)＝.

题型二  给值(式)求值

例2　(1)已知tanθ＝，θ∈，求cos；

(2)已知α，β为锐角，且cosα＝，cos(α＋β)＝－，求cosβ的值．

[解]　(1)∵tanθ＝＝，且sin2θ＋cos2θ＝1，

θ∈，sinθ>0，cosθ>0，

解得sinθ＝，cosθ＝.

∴cos＝coscosθ＋sinsinθ＝×＋×＝.

(2)∵0<α<，0<β<，∴0<α＋β<π.

由cos(α＋β)＝－，得sin(α＋β)＝.

又∵cosα＝，∴sinα＝.

∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]

＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα

＝×＋×＝.

[结论探究]　若将本例(2)条件不变，求sinβ的值．

解　∵α，β为锐角，∴0<α＋β<π，

又cos(α＋β)＝－，∴sin(α＋β)＝，

由cosα＝，α为锐角，∴sinα＝，

cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝.

又∵β为锐角，∴sinβ＝＝.

金版点睛

给值(式)求值问题的解题策略

(1)从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．

(2)常见角的变换：①α＝(α－β)＋β；②α＝＋；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．

　已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，求cos的值．

解　因为α，β∈，所以α＋β∈.

所以cos(α＋β)＝＝.

又β－∈，

所以cos＝－，

cos＝cos

＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin

＝×＋×

＝－.

题型三  给值求角问题

例3　(1)已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，α，β∈，则β＝________；

(2)已知α，β均为锐角，且sinα＝，sinβ＝，则α－β＝________.

[解析]　(1)∵α，β∈，∴α＋β∈(0，π)．

∵cosα＝，cos(α＋β)＝－，

∴sinα＝，sin(α＋β)＝，

∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)·sinα＝.

∵0<β<，∴β＝.

(2)∵α，β均为锐角，

∴cosα＝，cosβ＝.

∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ

＝×＋×＝.

又∵sinα>sinβ，∴0<β<α<，

∴0<α－β<.故α－β＝.

[答案]　(1)　(2)

[条件探究]　若本例(1)变为：已知cosα＝，sin(α＋β)＝，且α，β均为锐角，求β的值．

解　∵α为锐角且cosα＝，

∴sinα＝＝＝.

又α，β为锐角，∴α＋β∈(0，π)．

又sin(α＋β)＝<sinα，∴α＋β∈.

∴cos(α＋β)＝－＝－＝－.

∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]

＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα

＝×＋×＝.

又β为锐角，∴β＝.

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已知三角函数值求角的解题步骤

(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．

(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数．

(3)结合三角函数值及角的范围求角．

　已知sinα＋sinβ＝，cosα＋cosβ＝，0<α<β<π，求α－β的值．

解　因为(sinα＋sinβ)2＝2，

(cosα＋cosβ)2＝2，

以上两式展开两边分别相加，得2＋2cos(α－β)＝1.

所以cos(α－β)＝－.

因为0<α<β<π，所以－π<α－β<0，

所以α－β＝－.

1．cos78°cos18°＋sin78°sin18°的值为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　A

解析　原式＝cos(78°－18°)＝cos60°＝.

2．cos80°cos35°＋sin80°cos55°的值是(　　)

A.  B．－  C.  D．－

答案　A

解析　cos80°cos35°＋sin80°cos55°＝cos80°cos35°＋

sin80°sin35°＝cos(80°－35°)＝cos45°＝.

3．已知cosα＝，α∈，则cos的值为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　D

解析　因为α∈，所以sinα＝－，

所以cos＝cosαcos＋sinαsin＝×＋×＝.

4.cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝________.

答案　

解析　原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝.

5．已知sinα－sinβ＝－，cosα－cosβ＝，α，β为锐角，求cos(α－β)的值．

解　由sinα－sinβ＝－，知sinα<sinβ，

又α，β为锐角，∴－<α－β<0.

又

由①2＋②2，得2－2(sinαsinβ＋cosαcosβ)＝，

即cos(α－β)＝×＝.