人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）导学案及答案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）导学案及答案，共11页。学案主要包含了素养目标，学法解读，对点练习等内容，欢迎下载使用。

5.6　函数y＝Asin(ωx＋φ)
【素养目标】
1．深刻理解五点的取法，特别是作正弦型函数的图象时取的五点．(数学运算)
2．从φ、ω、A的变化总结图象．(直观想象)
3．能由y＝sinx平移和伸缩变换为y＝Asin(ωx＋φ)及逆向平移和伸缩变换．(逻辑推理)
【学法解读】
在本节学习中，借助实例构建三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的形式，利用PPT观察φ，A，ω对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响，学会由y＝sinx如何变化为y＝Asin(ωx＋φ)，提升数学素养中的直观想象．

必备知识·探新知

基础知识
知识点1　参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响
(1)φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响．

(2)ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响．

(3)A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响．

思考1：(1)如何由y＝f(x)的图象变换得到y＝f(x＋a)的图象？
(2)函数y＝sinωx的图象是否可以通过y＝sinx的图象得到？
提示：(1)向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度．
(2)可以，只要横向“伸”或“缩”倍y＝sinx的图象即可．
知识点2　函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)中，A，ω，φ的物理意义
(1)简谐运动的振幅就是A．
(2)简谐运动的周期T＝.
(3)简谐运动的频率f＝＝.
(4)ωx＋φ称为相位．
(5)x＝0时的相位φ称为初相．
思考2：若函数y＝Asin(ωx＋φ)中的A<0或ω<0时怎么办？
提示：当A<0或φ<0时，应先用诱导公式将x的系数或三角函数符号前的数化为正数再确定初相φ.
知识点3　函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质
名称
性质
定义域
R
值域
[－A，A]
周期性
T＝
对称中心
(，0)(k∈Z)
对称轴
x＝＋(k∈Z)
__奇偶性__
当__φ＝kπ(k∈Z)__时是奇函数
当__φ＝kπ＋(k∈Z)__时是偶函数
__单调性__
由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得单调递增区间
由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得单调递减区间
思考3：(1)怎样判断函数的奇偶性？
(2)判断函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调性时，应用了什么数学思想？
提示：(1)判断函数的奇偶性，必须先求函数的定义域，若定义域关于原点不对称，则此函数为非奇非偶函数；若定义域关于原点对称，再根据奇偶函数的定义判断．
(2)判断函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调性时，要把ωx＋φ看作一个整体，应用了“整体代入”的数学思想．

基础自测
1．下列说法中正确的个数是(　A　)
①y＝sin3x的图象向左平移个单位所得图象的解析式是y＝sin(3x＋)．
②y＝sinx的图象上所有点的横坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y＝sin2x.
③y＝sinx的图象上所有点的纵坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y＝sinx.
A．0　　 B．1　　
C．2　　 D．3
[解析]　①y＝sin3x的图象向左平移个单位得y＝sin[3(x＋)]＝sin(3x＋π)，故①不正确；②y＝sin2x应改为y＝sinx，故②不正确；③y＝sinx应改为y＝2sinx，故③不正确．故选A．
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋1(A>0，ω>0)的最大值为5，则A＝(　C　)
A．5 B．－5
C．4 D．－4
3．为了得到函数y＝sin(x＋1)的图象，只需把函数y＝sinx的图象上所有的点(　A　)
A．向左平行移动1个单位长度
B．向右平行移动1个单位长度
C．向左平行移动π个单位长度
D．向右平行移动π个单位长度
4．函数f(x)＝sin(x－)的图象的对称轴方程是__x＝＋kπ(k∈Z)__.
5．函数y＝3sin(x－)的频率为____，相位为__x－__，初相为__－__.

关键能力·攻重难

题型探究
题型一　“五点法”作图
例1 用“五点法”画函数y＝2sin(3x＋)的简图．
[分析]　列表时，取值要简单(与y＝sinx中五点比较)．
[解析]　先画函数在一个周期内的图象．令X＝3x＋，则x＝(X－)．列表
X
0

π

2π
x
－




y
0
2
0
－2
0
描点作图，再将图象左右延伸即可．

[归纳提升]　用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤
第一步：列表.
ωx＋φ
0

π

2π
x
－
－
－
－
－
y
0
A
0
－A
0
第二步：在同一坐标系中描出各点．
第三步：用光滑曲线连接这些点，得到一个周期内的图象，再将图象左右延伸即可．
【对点练习】❶ 已知f(x)＝2sin(＋)．
(1)在给定的坐标系内，用“五点法”作出函数f(x)在一个周期内的图象；

(2)写出f(x)的单调递增区间；
(3)求f(x)的最大值和此时相应的x的值．
[解析]　(1)列表：
＋
0

π

2π
x
－




f(x)
0
2
0
－2
0
作图：

(2)由2kπ－≤＋≤2kπ＋，得4kπ－≤x≤4kπ＋，k∈Z.所以函数f(x)的单调递增区间为[4kπ－，4kπ＋]，k∈Z.
(3)当＋＝＋2kπ，即x＝＋4kπ(k∈Z)时，f(x)max＝2.
题型二　三角函数的图象变换
例2 如何由函数y＝sinx的图象得到函数y＝3sin(2x－)＋1的图象？
[分析]　本题主要考查正弦函数的图象变换，可根据两种变换方式中的一种进行，正确写出平移或伸缩变换的方向、大小即可．
[解析]　解法一：y＝sinx
y＝sin(x－)
y＝sin(2x－)
y＝3sin(2x－)
y＝3sin(2x－)＋1.
解法二：y＝sinx
y＝sin2xy＝sin2(x－)
y＝3sin2(x－)
＝3sin(2x－)
y＝3sin(2x－)＋1.
[归纳提升]　1.法一是先平移后伸缩；法二是先伸缩后平移．
2．两种变换中平移的单位长度是不同的，在应用中一定要区分清楚，以免混乱而失误．弄清平移对象是减少失误的好方法．
【对点练习】❷ 将函数y＝2sin(2x＋)的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为(　D　)
A．y＝2sin(2x＋)　 B．y＝2sin(2x＋)
C．y＝2sin(2x－) D．y＝2sin(2x－)
[解析]　函数y＝2sin(2x＋)的周期为π，所以将函数y＝2sin(2x＋)的图象向右平移个单位长度后，得到函数图象对应的解析式为y＝2sin[2(x－)＋]＝2sin(2x－)．故选D．
题型三　由图象确定函数的解析式
例3 (1)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为(　D　)

A．f(x)＝2sin(x＋) B．f(x)＝2sin(x－)
C．f(x)＝2sin(2x－) D．f(x)＝2sin(2x＋)
(2)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，且A(，1)，B(π，－1)，则ω＝__2__，φ＝　__－__.

[分析]　(1)由图象可以确定最大值为2，周期为π，再利用一个点的坐标求φ.
(2)曲线上由A到B是周期的，从而求出ω，再求φ.
[解析]　(1)由图象可知，A＝2，T＝4(－)＝π，所以＝π，所以ω＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋φ)，因为图象过点(，2)，所以2sin(＋φ)＝2，
所以sin(＋φ)＝1，
所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
所以φ＝＋2kπ，k∈Z，
因为|φ|<，所以φ＝，所以f(x)＝2sin(2x＋)．
(2)根据函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象，且A(，1)，B(π，－1)，可得从点A到点B正好经过了半个周期，即·＝π－，所以ω＝2.
再把点A，B的坐标代入可得2sin(2×＋φ)＝－2sinφ＝1,2sin(2×π＋φ)＝2sinφ＝－1，
所以sinφ＝－，
所以φ＝2kπ－，或φ＝2kπ－，k∈Z.
再结合五点法作图，可得φ＝－.
[归纳提升]　由图象确立三角函数的解析式时，若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，则在观察图象的基础上可按以下规律来确定A，ω，φ.
(1)A：一般可由图象上的最大值、最小值来确定．
(2)ω：因为T＝，故往往通过求周期T来确定ω.可通过已知曲线与x轴的交点来确定T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T.
(3)φ：从“五点法”中的第一个点(－，0)(也叫初始点)作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个点的位置．
依据五点列表法原理，点的序号与式子的关系如下：
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；
“第二点”(即图象曲线的“峰点”)为ωx＋φ＝；
“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；
“第四点”(即图象曲线的“谷点”)为ωx＋φ＝；
“第五点”(即图象第二次上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝2π.
在用以上方法确定φ的值时，还要注意题目中给出的φ的范围，不在要求范围内的要通过周期性转化到要求范围内．
(4)A，ω，φ三个量中初相φ的确定是一个难点，除使用初始点(－，0)外，还可在五点中找两个特殊点列方程组来求解φ.
【对点练习】❸ 函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　A　)

A．y＝2sin(2x－) B．y＝2sin(2x－)
C．y＝2sin(2x＋) D．y＝2sin(2x＋)
[解析]　由图知，A＝2，周期T＝2[－(－)]＝π，
所以ω＝＝2，所以y＝2sin(2x＋φ)．因为图象过点(，2)，所以2＝2sin(2×＋φ)，所以sin(＋φ)＝1，所以＋φ＝2kπ＋(k∈Z)．令k＝0得φ＝－，所以y＝2sin(2x－)．
题型四　正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称性
例4 在函数y＝2sin(4x＋)的图象的对称中心中，离原点最近的一个对称中心的坐标是__(，0)__.
[分析]　利用整体代换法求解．
[解析]　设4x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)，所以函数y＝2sin(4x＋)图象的对称中心坐标为(－，0)(k∈Z)．取k＝1得(，0)满足条件．
[归纳提升]　正弦型函数对称轴与对称中心的求法

对称轴
对称中心
y＝Asin(ωx＋φ)
令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)
求对称轴
令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)
求对称中心的横坐标
【对点练习】❹ 将本例中对称中心改为对称轴，其他条件不变，则离y轴最近的一条对称轴方程为__x＝－__.
[解析]　由4x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝－，取k＝0时，x＝－满足题意．

误区警示
例5 函数y＝2sin(－2x＋)的相位和初相分别是(　C　)
A．－2x＋，　　 B．2x－，－
C．2x＋， D．2x＋，
[错解]　对解答本题时易犯的错误具体分析如下：
常见错误
错误原因
相位和初相分别是－2x＋，
错解均忽视了相位和初相的概念：概念中要求A>0，ω>0.当不满足条件时应设法创造出条件.
y＝2sin(－2x＋)＝－2sin(2x－)∴相位和初相分别是2x－，－
[错因分析]　此类问题一定要注意满足定义中的前提条件是“A>0，ω>0”，若不满足，则必须先利用诱导公式转换为“A>0，ω>0”再求．
[正解]　∵y＝2sin(－2x＋)
＝2sin[π－(－2x＋)]＝2sin(2x＋)
∴相位和初相分别是2x＋，.
[方法点拨]　要正确理解函数y＝Asin(ωx＋φ)中A、ω、φ的意义．

学科素养
函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的综合应用
例6 设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ；
(2)求函数y＝f(x)的单调区间及最值；
(3)画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象．
[分析]　本题关键是对图象的对称轴为x＝这一条件的利用，由图象一对称轴为x＝得：当x＝时2x＋φ＝kπ＋(k∈Z)进而可求φ值．
[解析]　(1)由2x＋φ＝kπ＋，k∈Z得x＝＋－，
令＋－＝，解得φ＝kπ＋，k∈Z.
∵－π<φ<0，∴φ＝－.
(2)由(1)知，f(x)＝sin(2x－)，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
故函数的单调递增区间是
[kπ＋，kπ＋](k∈Z)．
同理可得函数的单调递减区间是
[kπ＋，kπ＋](k∈Z)．
当2x－＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)时函数有最大值1；
当2x－＝2kπ－(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)时函数有最小值－1.
(3)由y＝sin(2x－)知，
x
0




π
2x－
－
－
0

π

y
－
－1
0
1
0
－
故函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象是


课堂检测·固双基
1．将函数y＝sin(x＋)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是(　D　)
A．y＝cos2x　　　　　 　 B．y＝sin(2x＋)
C．y＝sin(x＋) D．y＝sin(x＋)
2．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的振幅为，周期为，初相为，则该函数的表达式为(　C　)
A．y＝sin(＋)　　　 B．y＝sin(－)
C．y＝sin(3x＋) D．y＝sin(3x－)
3．函数y＝cos(2x－)＋1的一个对称中心为(　D　)
A．(，0) B．(，0)
C．(，1)　　 D．(，1)
4．要得到函数y＝cos2x的图象，只需将y＝cos(2x＋)的图象(　B　)
A．向左平移个单位长度 　 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 　 D．向右平移个单位长度
[解析]　平移问题遵循“左加右减，只针对x而言”的原则．则y＝cos2x只需向左平移个单位即可．而y＝cos(2x＋)需右移个单位，得到y＝cos2x.
5．函数y＝sinωx(ω>0)在区间[0,1]上恰好有50个最大值，则ω的取值范围是__[，)__.
[解析]　T＝为其最小正周期，则(49＋)T≤1<(50＋)T时，有50个最大值点，所以ω∈[，)．