高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数第1课时同步达标检测题

第四章　4.2　4.2.2　第1课时

A组·素养自测

一、选择题

1．函数y＝的定义域是(　B　)

A．[0，＋∞)　　　　 B．(－∞，0]

C．[1，＋∞) D．(－∞，＋∞)

[解析]　1－3x≥0,3x≤1，∴x≤0，故选B．

2．函数f(x)＝3x－3(1＜x≤5)的值域是(　C　)

A．(0，＋∞) B．(0,9)

C．(，9] D．(，27)

[解析]　因为1＜x≤5，所以－2＜x－3≤2.而函数f(x)＝3x是单调递增的，于是有＜f(x)≤32＝9，即所求函数的值域为(，9]，故选C．

3．已知1>n>m>0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为(　C　)

[解析]　由于0<m<n<1，所以y＝mx与y＝nx都是减函数，故排除A、B项，作直线x＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y＝mx的图象，故选C．

4．若\S]1,2\s<(\S]1,2\s)b<(\S]1,2\s)a<1，则(　D　)

A．a<b<0 B．b>a>1

C．0<b<a<1 D．0<a<b<1

[解析]　∵y＝()x在R上是减函数，<()b<()a<1＝()0，∴0<a<b<1.

5．函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b均为常数，则下列结论正确的是(　D　)

A．a>1，b>0 B．a>1，b<0

C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0

[解析]　从图象的变化趋势可知，0<a<1，从曲线位置看，是由函数y＝ax的图象向左平移|b|个单位，∴－b>0，即b<0，故选D．

6．如果a>1，b<－1，那么函数y＝ax＋b的图象在(　B　)

A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限

C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限

[解析]　∵a>1，∴y＝ax在R上是增函数，

又∵b<－1，∴当x＝0时，ax＋b＝1＋b<0，

∴函数y＝ax＋b的图象如图，

故选B．

二、填空题

7.图中的曲线C1，C2，C3，C4是指数函数y＝ax的图象，而a∈，则图象C1，C2，C3，C4对应的函数的底数依次是____，____，__π__，____.

[解析]　由底数变化引起指数函数图象变化的规律，在y轴右侧，底大图高，在y轴左侧，底大图低．

则知C2的底数<C1的底数<1<C4的底数<C3的底数，而<<<π，故C1，C2，C3，C4对应函数的底数依次是，，π，.

8．函数y＝的值域为__[0,1)__.

[解析]　由3x>0，得－3x<0，∴1－3x<1，又1－3x≥0，所以0≤<1，所以函数y＝的值域为[0,1)．

9．已知指数函数f(x)的图象经过点(－，)，则f(3.14)与f(π)的大小关系为__f(3.14)<f(π)__.

[解析]　∵f(x)是指数函数，∴可设f(x)＝ax(a>0，a≠1)．由已知，得f(－)＝，a－＝＝3－，即a＝3，∴f(x)＝3x.∵3.14<π，∴f(3.14)<f(π)．

三、解答题

10．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点，其中a>0且a≠1.

(1)求a的值；

(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．

[解析]　(1)因为函数图象过点，

所以a2－1＝，则a＝.

(2)由(1)得f(x)＝x－1(x≥0)．

由x≥0，得x－1≥－1，于是0<x－1≤－1＝2.

所以所求函数的值域为(0,2]．

11．求下列函数的定义域和值域．

(1)y＝3；

(2)y＝2x＋1.

[解析]　(1)由5x－1≥0，得x≥.

故所求函数定义域为{x|x≥}．

由≥0，得y≥1.

故所求函数值域为{y|y≥1}．

(2)所求函数定义域为R，

由2x>0，可得2x＋1>1.

故所求函数值域为{y|y>1}．

B组·素养提升

一、选择题

1．函数y＝a|x|(a>1)的图象是(　B　)

[解析]　∵y＝a|x|为偶函数，

∴其图象关于y轴对称，当x>0时，y>1，与y＝ax(a>1)的图象一致，故选B．

2．定义运算a*b＝，如1*2＝1，则函数f(x)＝2x*2－x的值域是(　D　)

A．(0,1) B．(0，＋∞)

C．[1，＋∞) D．(0,1]

[解析]　由题意知函数f(x)的图象如图，

∴函数的值域为(0,1]，故选D．

3．(多选题)函数y＝ax－(a>0，a≠1)的图象可能是(　CD　)

[解析]　当a>1时，∈(0,1)，因此x＝0时，0<y＝1－<1，且y＝ax－在R上单调递增，故C符合；当0<a<1时，>1，因此x＝0时，y<0，且y＝ax－在R上单调递减，故D符合．故选CD．

4．(多选题)设指数函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则下列等式中不正确的有(　CD　)

A．f(x＋y)＝f(x)f(y)

B．f(x－y)＝

C．f(nx)＝nf(x)(n∈Q)

D．[f(xy)]n＝[f(x)]n[f(y)]n(n∈N*)

[解析]　f(x＋y)＝ax＋y＝axay＝f(x)f(y)，A正确；

f(x－y)＝ax－y＝axa－y＝＝，B正确；

f(nx)＝anx＝(ax)n，nf(x)＝nax≠(ax)n，C不正确；

[f(xy)]n＝(axy)n，[f(x)]n[f(y)]n＝(ax)n(ay)n＝(ax＋y)n≠(axy)n，D不正确．

二、填空题

5．已知y＝f(x)是R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝4x，则f(－)＝__－2__.

[解析]　因为当x＞0时，f(x)＝4x，

所以f()＝4＝2.

又因为f(x)是R上的奇函数，

所以f(－)＝－f()＝－2.

6．已知a>0，且a≠1，若函数f(x)＝2ax－4在区间[－1,2]上的最大值为10，则a＝__或__.

[解析]　若a>1，则函数y＝ax在区间[－1,2]上是递增的，

当x＝2时，f(x)取得最大值f(2)＝2a2－4＝10，即a2＝7，又a>1，所以a＝.

若0<a<1，则函数y＝ax在区间[－1,2]上是递减的，

当x＝－1时，f(x)取得最大值f(－1)＝2a－1－4＝10，所以a＝.

综上所述，a的值为或.

7．若函数f(x)＝ax－1(a>0且a≠1)的定义域、值域都是[0,2]，则实数a的值为____.

[解析]　当a>1时，由题意得，解得a＝.

当0<a<1时，由题意得，无解．

综上可知a＝.

三、解答题

8．函数f(x)＝k·a－x(k，a为常数，a＞0且a≠1)的图象过点A(0,1)，B(3,8)．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若函数g(x)＝，试判断函数g(x)的奇偶性，并给出证明．

[解析]　(1)由已知得

∴k＝1，a＝，

∴f(x)＝2x.

(2)函数g(x)为奇函数．

证明：g(x)＝，其定义域为R，

又g(－x)＝＝＝－＝－g(x)，

∴函数g(x)为奇函数．

9．已知函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)在区间[－2,2]上的函数值总小于2，求a的取值范围．

[解析]　当a>1时，f(x)＝ax在[－2,2]上是增函数，

则f(x)max＝f(2)＝a2<2，所以1<a<；

当0<a<1时，f(x)＝ax在[－2,2]上是减函数，

则f(x)max＝f(－2)＝a－2<2，所以<a<1.

综上所述，a的取值范围是(，1)∪(1，)．