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2021年广东省湛江市雷州市中考数学三模试卷 word，解析版
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这是一份2021年广东省湛江市雷州市中考数学三模试卷 word，解析版，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题一，解答题二，解答题三等内容，欢迎下载使用。
2021年广东省湛江市雷州市中考数学三模试卷
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列四个数中，最大的数是（ ）
A．﹣1 B．0 C．﹣ D．2
2．（3分）2020年广东省城镇新增就业1337000人，将1337000用科学记数法表示为（ ）
A．1.337×107 B．13.37×106 C．1.337×106 D．0.1337×108
3．（3分）下列几何体的三视图中，俯视图形状不同的是（ ）
A．圆柱 B．球
C．圆锥 D．长方体
4．（3分）在直角坐标系中，点P（﹣2，6）关于y轴的对称点Q的坐标是（ ）
A．（2，6） B．（﹣2，6） C．（2，﹣6） D．（﹣2，﹣6）
5．（3分）一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（ ）
A． B． C． D．1
6．（3分）如图，△ABC是等边三角形，两个锐角都是45°的三角尺的一条直角边在BC上，则∠1的度数为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
7．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．4x﹣x＝3 B．（3x2）3＝9x6
C．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 D．÷＝2
8．（3分）将y＝2x2的函数图象向左平移2个单位长度后，得到的函数解析式是（ ）
A．y＝2x2+2 B．y＝2（x+2）2 C．y＝（x﹣2）2 D．y＝2x2﹣2
9．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2cm，矩形MNPQ的边MN为2cm，QM＞MN，CA与MN在直线l上．开始时A点与M点重合，让△ABC向右平移，直到C点与N点重合时为止．设△ABC与矩形MNPQ重叠部分（图中阴影部分）的面积为ycm2，MA的长度为xcm，则y与x之间的函数关系大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题4分，共28分）
11．（4分）分解因式：3x+9＝ ．
12．（4分）若x，y为实数，且|x+2y|+＝0，则x的值是 ．
13．（4分）已知关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
14．（4分）方程＝的解为 ．
15．（4分）如图，在菱形ABCD中，AC与BD交于点E，F是BC的中点，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周长是 ．
16．（4分）如图，在等腰△ABD中，AB＝AD，∠A＝32°，取大于AB的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交AD边于点E（作图痕迹如图所示），连接BE，则∠EBD的度数为 ．
17．（4分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点F，E分别在边CD，BC上，且DF＝CE，连接BF、AE交于点P，连接CP，则线段CP的最小值为 ．
三、解答题一（每小题6分，共18分）
18．（6分）计算：﹣（﹣3）+﹣2sin30°﹣（）﹣2．
19．（6分）先化简，再求值：x（x+2）+（x﹣1）（x+1）﹣2x，其中x＝．
20．（6分）某市有序推行“地摊经济”政策．某社区志愿者随机抽取该社区部分居民，按四个类别：A表示“非常支持”，B表示“支持”，C表示“不关心”，D表示“不支持”，调查他们对该政策态度的情况，将结果绘制成如右边两幅不完整的统计图．
根据图中提供的信息，解决下列问题：
（1）这次共抽取了 名居民进行调查统计；扇形统计图中，B类所对应的扇形圆心角是 °；将条形统计图补充完整；
（2）该社区共有1000名居民，请你估计该社区表示“非常支持”的A类和表示“支持”B类居民共有多少人？
四、解答题二（每小题8分，共24分）
21．（8分）随着天气的逐渐变暖，沃尔玛商场准备对某品牌的服装降价促销，若两次降价的百分率均相同，原价1000元的服装经过两次降价后现销售价为810元．
（1）问每次降价的百分率是多少？
（2）第一次降价金额比第二次降价金额多多少元？
22．（8分）如图，已知Rt△ABC中，∠A＝90°，将斜边BC绕点B顺时针方向旋转至BD，使BD∥AC，过点D作DE⊥BC于点E．
（1）求证：△ABC≌△EDB；
（2）若CD＝BD，AC＝3，求在上述旋转过程中，线段BC扫过的面积．
23．（8分）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆，与斜边AC交于点D，∠ABC＝90°，E是BC边的中点，连接DE．
（1）求证：DE是圆O的切线．
（2）若AD＝8，AB＝12，求AC的长．
五、解答题三（每小题10分，共20分）
24．（10分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝﹣的图象交于A（﹣4，2），B（2，c）两点，一次函数与x轴交于点C，
（1）求一次函数的解析式和点C的坐标；
（2）连接AO、BO，求△AOB的面积；
（3）点P为x轴上的一点，连接BP，若S△BCP＝2S△AOB，请求出点P的坐标．
25．（10分）已知，如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC，若点M是x轴上的动点（不与点B重合），MN⊥AC于点N，连接CM．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当MN＝1时，求点N的坐标；
（3）是否存在以点C，M，N为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2021年广东省湛江市雷州市中考数学三模试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列四个数中，最大的数是（ ）
A．﹣1 B．0 C．﹣ D．2
【分析】先根据实数的大小比较法则比较大小，再得出答案即可．
【解答】解：∵﹣＜﹣1＜0＜2，
∴最大的数是2，
故选：D．
2．（3分）2020年广东省城镇新增就业1337000人，将1337000用科学记数法表示为（ ）
A．1.337×107 B．13.37×106 C．1.337×106 D．0.1337×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：1337000＝1.337×106．
故选：C．
3．（3分）下列几何体的三视图中，俯视图形状不同的是（ ）
A．圆柱 B．球
C．圆锥 D．长方体
【分析】俯视图是分别从物体上面看，所得到的图形．
【解答】解：选项D的俯视图是矩形，选项A、B、C的俯视图均为圆．
故选：D．
4．（3分）在直角坐标系中，点P（﹣2，6）关于y轴的对称点Q的坐标是（ ）
A．（2，6） B．（﹣2，6） C．（2，﹣6） D．（﹣2，﹣6）
【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答即可．
【解答】解：点P（﹣2，6）关于y轴的对称点Q的坐标是（2，6）．
故选：A．
5．（3分）一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【分析】根据几何概率的求法：小球落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
【解答】解：∵总面积为9个小正方形的面积，其中阴影部分面积为4个小正方形的面积，
∴小球停在阴影部分的概率是，
故选：B．
6．（3分）如图，△ABC是等边三角形，两个锐角都是45°的三角尺的一条直角边在BC上，则∠1的度数为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【分析】根据等边三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解：∠1＝∠3＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
故选：D．
7．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．4x﹣x＝3 B．（3x2）3＝9x6
C．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 D．÷＝2
【分析】根据平方差公式、合并同类项以及积的乘方和幂的乘方进行计算即可．
【解答】解：A、4x﹣x＝3x，故A错误；
B、（3x2）3＝27x6，故B错误；
C、（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4，故C正确；
D、÷＝，故D错误；
故选：C．
8．（3分）将y＝2x2的函数图象向左平移2个单位长度后，得到的函数解析式是（ ）
A．y＝2x2+2 B．y＝2（x+2）2 C．y＝（x﹣2）2 D．y＝2x2﹣2
【分析】根据“左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将函数y＝2x2的图象向左平移2个长度单位所得到的图象对应的函数关系式是：
y＝2（x+2）2．
故选：B．
9．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．
【解答】解：，
解得，
不等式组的解集是﹣1＜x≤1，
故选：D．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2cm，矩形MNPQ的边MN为2cm，QM＞MN，CA与MN在直线l上．开始时A点与M点重合，让△ABC向右平移，直到C点与N点重合时为止．设△ABC与矩形MNPQ重叠部分（图中阴影部分）的面积为ycm2，MA的长度为xcm，则y与x之间的函数关系大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分类讨论，①点A在线段MN上；②点C在线段MN上，通过等腰直角三角形的性质求得阴影部分的面积．
【解答】解：∵AC＝BC，∠C＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
如图1，当点A在线段MN上，即0≤x≤2时，记AB与MQ的交点为点E，
∵四边MNPQ是矩形，
∴△AEM是等腰直角三角形，
∴y＝＝x2，
∴当0≤x≤2时，函数图象开口向上，可排除选项A、B，
如图2，当点C在线段MN上，即2＜x≤4时，记AB与PN的交点为点D，
同理可得，△ADN为等腰直角三角形，
∵AM＝xcm，MN＝2cm，
∴AN＝x﹣2（cm），
∴y＝S△ABC﹣S△ADN＝×22﹣（x﹣2）2＝﹣x2+2x，
∴当2＜x≤4时，函数图象开口向下，可排除选项D，
故选：C．
二、填空题（每小题4分，共28分）
11．（4分）分解因式：3x+9＝ 3（x+3） ．
【分析】直接找出公因式3，进而提取公因式分解因式即可．
【解答】解：3x+9＝3（x+3）．
故答案为：3（x+3）．
12．（4分）若x，y为实数，且|x+2y|+＝0，则x的值是 2 ．
【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．
【解答】解：根据题意，得，x+2y＝0且y+1＝0，
解得：x＝2，y＝﹣1．
故答案为：2．
13．（4分）已知关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 m＜1 ．
【分析】关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，即判别式Δ＝b2﹣4ac＞0．即可得到关于m的不等式，从而求得m的范围．
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣2，c＝m，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×m＝4﹣4m＞0，
解得：m＜1．
故答案为m＜1．
14．（4分）方程＝的解为 x＝ ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2x＝9x﹣3，
移项合并得：﹣7x＝﹣3，
解得：x＝，
经检验x＝是分式方程的解，
故答案为：x＝
15．（4分）如图，在菱形ABCD中，AC与BD交于点E，F是BC的中点，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周长是 24 ．
【分析】由菱形的性质得AB＝BC＝CD＝AD，AE＝CE，再证EF是△ABC的中位线，得AB＝2EF＝2×3＝6，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AE＝CE，
∵F是BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴AB＝2EF＝2×3＝6，
∴菱形ABCD的周长＝4×6＝24．
故答案为：24．
16．（4分）如图，在等腰△ABD中，AB＝AD，∠A＝32°，取大于AB的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交AD边于点E（作图痕迹如图所示），连接BE，则∠EBD的度数为 42° ．
【分析】根据∠EBD＝∠ABD﹣∠ABE，求出∠ABD，∠ABE即可解决问题．
【解答】解：∵AD＝AB，∠A＝32°，
∴∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣∠A）＝74°，
由作图可知，EA＝EB，
∴∠ABE＝∠A＝32°，
∴∠EBD＝∠ABD﹣∠ABE＝74°﹣32°＝42°，
故答案为：42°．
17．（4分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点F，E分别在边CD，BC上，且DF＝CE，连接BF、AE交于点P，连接CP，则线段CP的最小值为 ．
【分析】首先判断出△ABE≌△BCF，即可判断出∠BAE＝∠CBF，再根据∠BAE+∠BEA＝90°，可得∠CBF+∠BEA＝90°，所以∠APB＝90°；然后根据点P在运动中保持∠APB＝90°，可得点P的路径是一段以AB为直径的弧，设AB的中点为G，连接CG交弧于点P，此时CP的长度最小，最后在Rt△BCG中，根据勾股定理，求出CG的长度，再求出PG的长度，即可求出线段CP的最小值为多少．
【解答】解：如图，∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝BC，
∵DF＝CE，
∴CF＝BE，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF，
∵∠BAE+∠BEA＝90°，
∴∠CBF+∠BEA＝90°，
∴∠APB＝90°，
∵点P在运动中保持∠APB＝90°，
∴点P的路径是一段以AB为直径的弧，
设AB的中点为G，连接CG交弧于点P，此时CP的长度最小，
在Rt△BCG中，CG＝＝＝，
∵PG＝AB＝1，
∴CP＝CG﹣PG＝﹣1，
即线段CP的最小值为﹣1，
故答案为：﹣1．
三、解答题一（每小题6分，共18分）
18．（6分）计算：﹣（﹣3）+﹣2sin30°﹣（）﹣2．
【分析】先化简算术平方根，负整数指数幂，代入特殊角三角函数值，然后再计算．
【解答】解：原式＝3+4﹣2×﹣4
＝3+4﹣1﹣4
＝2．
19．（6分）先化简，再求值：x（x+2）+（x﹣1）（x+1）﹣2x，其中x＝．
【分析】原式利用单项式乘以多项式，以及平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝x2+2x+x2﹣1﹣2x＝2x2﹣1，
当x＝时，原式＝4﹣1＝3．
20．（6分）某市有序推行“地摊经济”政策．某社区志愿者随机抽取该社区部分居民，按四个类别：A表示“非常支持”，B表示“支持”，C表示“不关心”，D表示“不支持”，调查他们对该政策态度的情况，将结果绘制成如右边两幅不完整的统计图．
根据图中提供的信息，解决下列问题：
（1）这次共抽取了 60 名居民进行调查统计；扇形统计图中，B类所对应的扇形圆心角是 216 °；将条形统计图补充完整；
（2）该社区共有1000名居民，请你估计该社区表示“非常支持”的A类和表示“支持”B类居民共有多少人？
【分析】（1）由C类别的人数及其所占百分比可得被调查的总人数，用360°乘以B类所占的百分比，求出B类所对应的扇形圆心角度数，再用总数减去其他类别的人数，求出A类的人数，从而补全统计图；
（2）用总人数乘以“非常支持”的A类和表示“支持”B类所占的百分比即可．
【解答】解：（1）这次抽取的居民数量为：9÷15%＝60（名），
扇形统计图中，B类所对应的扇形圆心角的大小是360°×＝216°，
A类别人数为60﹣（36+9+3）＝12（名），
补全条形图如下：
故答案为：60，216；
（2）1000×＝800（人），
答：估计该社区表示“非常支持”的A类和表示“支持”B类居民共有800人．
四、解答题二（每小题8分，共24分）
21．（8分）随着天气的逐渐变暖，沃尔玛商场准备对某品牌的服装降价促销，若两次降价的百分率均相同，原价1000元的服装经过两次降价后现销售价为810元．
（1）问每次降价的百分率是多少？
（2）第一次降价金额比第二次降价金额多多少元？
【分析】（1）设每次降价的百分率为x，根据该服装的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
（2）利用第一次降价金额﹣第二次降价金额，即可求出结论．
【解答】解：（1）设每次降价的百分率为x，
根据题意，得：1000（1﹣x）2＝810，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去），
答：每次降价的百分率是10%；
（2）1 000×10%﹣[1 000×（1﹣10%）﹣810]＝10（元），
答：第一次降价金额比第二次降价金额多10元．
22．（8分）如图，已知Rt△ABC中，∠A＝90°，将斜边BC绕点B顺时针方向旋转至BD，使BD∥AC，过点D作DE⊥BC于点E．
（1）求证：△ABC≌△EDB；
（2）若CD＝BD，AC＝3，求在上述旋转过程中，线段BC扫过的面积．
【分析】（1）根据AAS证明△ABC≌△EDB即可；
（2）利用等边三角形的性质和扇形面积公式计算即可．
【解答】解：（1）∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
∵AC∥BD，
∴∠A＝∠ABD＝∠DEB＝90°，
∵∠ABC+∠CBD＝90°，
∴∠CBD+∠BDE＝90°，
∴∠ABC＝∠BDE，
∵BC＝BD，
∴△ABC≌△EDB（AAS）．
（2）∵CD＝BD＝BC，
∴△BCD为等边三角形，
∴∠CBD＝60°，∠ABC＝90°﹣∠CBD＝30°，
∵AC＝3，
∴BC＝2AC＝6，
∴线段BC扫过的面积＝6π．
23．（8分）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆，与斜边AC交于点D，∠ABC＝90°，E是BC边的中点，连接DE．
（1）求证：DE是圆O的切线．
（2）若AD＝8，AB＝12，求AC的长．
【分析】（1）连接OD、BD，由AB是半圆O的直径，可得∠ADB＝∠BDC＝90°，又因为E是BC边的中点，可得DE＝BE＝EC，即∠EDB＝∠EBD，半径相等OB＝OD，即∠ODB＝∠OBD，由已知∠EBD+∠OBD＝90°，等量代换即可求解；
（2）由∠ADB＝∠ABC＝90°，∠CAB＝∠BAD可得△ABC∽△ADB，即，即可求解．
【解答】（1）证明：如图，连接OD、BD，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
∵E是BC边的中点，
∴DE＝BE＝EC，
∴∠EDB＝∠EBD，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵∠ABC＝90°，
∴∠EBD+∠OBD＝90°，
∴∠EDB+∠ODB＝90°，即OD⊥DE，
∴DE是圆O的切线；
（2）解：∵AB是直径，
∴∠ADB＝∠ABC＝90°
又∵∠CAB＝∠BAD，
∴△ABC∽△ADB，
∴，
∵AD＝8，AB＝12
∴AC＝18．
五、解答题三（每小题10分，共20分）
24．（10分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝﹣的图象交于A（﹣4，2），B（2，c）两点，一次函数与x轴交于点C，
（1）求一次函数的解析式和点C的坐标；
（2）连接AO、BO，求△AOB的面积；
（3）点P为x轴上的一点，连接BP，若S△BCP＝2S△AOB，请求出点P的坐标．
【分析】（1）首先根据反比例函数可得B的坐标，再将A和B代入一次函数中可求出一次函数的表达式，根据一次函数解析式可得C的坐标；
（2）可将△AOB分成2部分△AOC和△OCB，2个三角形的面积相加即可；
（3）设P的坐标为（x，0），则PC＝|x+2|，然后根据S△BCP＝2S△AOB列方程即可．
【解答】解：（1）把B（2，c）代入，
∴，
∴B（2，﹣4），
把A（﹣4，2），B（2，﹣4）代入y＝kx+b得，
∴，
所以一次函数为：y＝﹣x﹣2．
令y＝0，则﹣x﹣2＝0，
∴x＝﹣2，
∴C（﹣2，0）；
（2）如图，连接OA，OB，
∴，
，
∴S△AOB＝2+4＝6．
（3）设P的坐标为（x，0），则PC＝|x+2|，
由（2）得S△AOB＝6，
∴S△BCP＝2S△AOB＝12，
∴，
∴x+2＝±6，
∴x＝4或﹣8，
∴P的坐标为（4，0）或（﹣8，0）．
25．（10分）已知，如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC，若点M是x轴上的动点（不与点B重合），MN⊥AC于点N，连接CM．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当MN＝1时，求点N的坐标；
（3）是否存在以点C，M，N为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把A、B两点坐标代入解析式求出a、b后可以得解；
（2）过点N作NH⊥x轴于点H，则根据题意可以得到NH及AH的值，再分点M在点A左侧和点M在点A右侧两种情况分别写出点N坐标即可；
（3）由题意可得△ABC为直角三角形，所以若以点C，M，N为顶点的三角形与△ABC相似，则＝或＝，由这两种情况分别求出M的坐标即可．
【解答】解：（1）∵抛物线ya＝ax2+bx﹣与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，
得，
解得：，
∴，
（2）∵
∴当x＝0时，y＝，
∴C（0，），
∴OC＝，
∵A（3，0），
∴OA＝3，
∴∠OAC＝30°，
∵MN＝1，∠MNA＝90°，
在Rt△AMN中，AN＝，
过点N作NH⊥x轴于点H，
∴NH＝，AH＝，
当点M在点A左侧时，N的坐标为（，﹣），
当点M在点A右侧时，N的坐标为（，），
综上，点N的坐标为（）或（，），
（3）设M点为（x，0），
则由（2）可得AB＝4，
BC＝＝2，AC＝＝2，
∵BC2+AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠BCA＝90°，
又由2S△CMA＝AM×OC＝AC×MN得：
MN＝＝，
∴若以点C，M，N为顶点的三角形与△ABC相似，
则：＝，即＝，
即6x＝6，
所以x＝1，
此时M为（1，0）；
＝，即＝，
即x2+3x＝0，
解之可得：x＝0或x＝﹣3，
∴M为（0，0）或（﹣3，0），
综上所述，存在以点C，M，N为顶点的三角形与△ABC相似，且M的坐标为（1，0）或（0，0）或（﹣3，0）．
2021年广东省湛江市雷州市中考数学三模试卷
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列四个数中，最大的数是（ ）
A．﹣1 B．0 C．﹣ D．2
2．（3分）2020年广东省城镇新增就业1337000人，将1337000用科学记数法表示为（ ）
A．1.337×107 B．13.37×106 C．1.337×106 D．0.1337×108
3．（3分）下列几何体的三视图中，俯视图形状不同的是（ ）
A．圆柱 B．球
C．圆锥 D．长方体
4．（3分）在直角坐标系中，点P（﹣2，6）关于y轴的对称点Q的坐标是（ ）
A．（2，6） B．（﹣2，6） C．（2，﹣6） D．（﹣2，﹣6）
5．（3分）一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（ ）
A． B． C． D．1
6．（3分）如图，△ABC是等边三角形，两个锐角都是45°的三角尺的一条直角边在BC上，则∠1的度数为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
7．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．4x﹣x＝3 B．（3x2）3＝9x6
C．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 D．÷＝2
8．（3分）将y＝2x2的函数图象向左平移2个单位长度后，得到的函数解析式是（ ）
A．y＝2x2+2 B．y＝2（x+2）2 C．y＝（x﹣2）2 D．y＝2x2﹣2
9．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2cm，矩形MNPQ的边MN为2cm，QM＞MN，CA与MN在直线l上．开始时A点与M点重合，让△ABC向右平移，直到C点与N点重合时为止．设△ABC与矩形MNPQ重叠部分（图中阴影部分）的面积为ycm2，MA的长度为xcm，则y与x之间的函数关系大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题4分，共28分）
11．（4分）分解因式：3x+9＝ ．
12．（4分）若x，y为实数，且|x+2y|+＝0，则x的值是 ．
13．（4分）已知关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
14．（4分）方程＝的解为 ．
15．（4分）如图，在菱形ABCD中，AC与BD交于点E，F是BC的中点，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周长是 ．
16．（4分）如图，在等腰△ABD中，AB＝AD，∠A＝32°，取大于AB的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交AD边于点E（作图痕迹如图所示），连接BE，则∠EBD的度数为 ．
17．（4分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点F，E分别在边CD，BC上，且DF＝CE，连接BF、AE交于点P，连接CP，则线段CP的最小值为 ．
三、解答题一（每小题6分，共18分）
18．（6分）计算：﹣（﹣3）+﹣2sin30°﹣（）﹣2．
19．（6分）先化简，再求值：x（x+2）+（x﹣1）（x+1）﹣2x，其中x＝．
20．（6分）某市有序推行“地摊经济”政策．某社区志愿者随机抽取该社区部分居民，按四个类别：A表示“非常支持”，B表示“支持”，C表示“不关心”，D表示“不支持”，调查他们对该政策态度的情况，将结果绘制成如右边两幅不完整的统计图．
根据图中提供的信息，解决下列问题：
（1）这次共抽取了 名居民进行调查统计；扇形统计图中，B类所对应的扇形圆心角是 °；将条形统计图补充完整；
（2）该社区共有1000名居民，请你估计该社区表示“非常支持”的A类和表示“支持”B类居民共有多少人？
四、解答题二（每小题8分，共24分）
21．（8分）随着天气的逐渐变暖，沃尔玛商场准备对某品牌的服装降价促销，若两次降价的百分率均相同，原价1000元的服装经过两次降价后现销售价为810元．
（1）问每次降价的百分率是多少？
（2）第一次降价金额比第二次降价金额多多少元？
22．（8分）如图，已知Rt△ABC中，∠A＝90°，将斜边BC绕点B顺时针方向旋转至BD，使BD∥AC，过点D作DE⊥BC于点E．
（1）求证：△ABC≌△EDB；
（2）若CD＝BD，AC＝3，求在上述旋转过程中，线段BC扫过的面积．
23．（8分）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆，与斜边AC交于点D，∠ABC＝90°，E是BC边的中点，连接DE．
（1）求证：DE是圆O的切线．
（2）若AD＝8，AB＝12，求AC的长．
五、解答题三（每小题10分，共20分）
24．（10分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝﹣的图象交于A（﹣4，2），B（2，c）两点，一次函数与x轴交于点C，
（1）求一次函数的解析式和点C的坐标；
（2）连接AO、BO，求△AOB的面积；
（3）点P为x轴上的一点，连接BP，若S△BCP＝2S△AOB，请求出点P的坐标．
25．（10分）已知，如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC，若点M是x轴上的动点（不与点B重合），MN⊥AC于点N，连接CM．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当MN＝1时，求点N的坐标；
（3）是否存在以点C，M，N为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2021年广东省湛江市雷州市中考数学三模试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列四个数中，最大的数是（ ）
A．﹣1 B．0 C．﹣ D．2
【分析】先根据实数的大小比较法则比较大小，再得出答案即可．
【解答】解：∵﹣＜﹣1＜0＜2，
∴最大的数是2，
故选：D．
2．（3分）2020年广东省城镇新增就业1337000人，将1337000用科学记数法表示为（ ）
A．1.337×107 B．13.37×106 C．1.337×106 D．0.1337×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：1337000＝1.337×106．
故选：C．
3．（3分）下列几何体的三视图中，俯视图形状不同的是（ ）
A．圆柱 B．球
C．圆锥 D．长方体
【分析】俯视图是分别从物体上面看，所得到的图形．
【解答】解：选项D的俯视图是矩形，选项A、B、C的俯视图均为圆．
故选：D．
4．（3分）在直角坐标系中，点P（﹣2，6）关于y轴的对称点Q的坐标是（ ）
A．（2，6） B．（﹣2，6） C．（2，﹣6） D．（﹣2，﹣6）
【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答即可．
【解答】解：点P（﹣2，6）关于y轴的对称点Q的坐标是（2，6）．
故选：A．
5．（3分）一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【分析】根据几何概率的求法：小球落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
【解答】解：∵总面积为9个小正方形的面积，其中阴影部分面积为4个小正方形的面积，
∴小球停在阴影部分的概率是，
故选：B．
6．（3分）如图，△ABC是等边三角形，两个锐角都是45°的三角尺的一条直角边在BC上，则∠1的度数为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【分析】根据等边三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解：∠1＝∠3＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
故选：D．
7．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．4x﹣x＝3 B．（3x2）3＝9x6
C．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 D．÷＝2
【分析】根据平方差公式、合并同类项以及积的乘方和幂的乘方进行计算即可．
【解答】解：A、4x﹣x＝3x，故A错误；
B、（3x2）3＝27x6，故B错误；
C、（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4，故C正确；
D、÷＝，故D错误；
故选：C．
8．（3分）将y＝2x2的函数图象向左平移2个单位长度后，得到的函数解析式是（ ）
A．y＝2x2+2 B．y＝2（x+2）2 C．y＝（x﹣2）2 D．y＝2x2﹣2
【分析】根据“左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将函数y＝2x2的图象向左平移2个长度单位所得到的图象对应的函数关系式是：
y＝2（x+2）2．
故选：B．
9．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．
【解答】解：，
解得，
不等式组的解集是﹣1＜x≤1，
故选：D．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2cm，矩形MNPQ的边MN为2cm，QM＞MN，CA与MN在直线l上．开始时A点与M点重合，让△ABC向右平移，直到C点与N点重合时为止．设△ABC与矩形MNPQ重叠部分（图中阴影部分）的面积为ycm2，MA的长度为xcm，则y与x之间的函数关系大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分类讨论，①点A在线段MN上；②点C在线段MN上，通过等腰直角三角形的性质求得阴影部分的面积．
【解答】解：∵AC＝BC，∠C＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
如图1，当点A在线段MN上，即0≤x≤2时，记AB与MQ的交点为点E，
∵四边MNPQ是矩形，
∴△AEM是等腰直角三角形，
∴y＝＝x2，
∴当0≤x≤2时，函数图象开口向上，可排除选项A、B，
如图2，当点C在线段MN上，即2＜x≤4时，记AB与PN的交点为点D，
同理可得，△ADN为等腰直角三角形，
∵AM＝xcm，MN＝2cm，
∴AN＝x﹣2（cm），
∴y＝S△ABC﹣S△ADN＝×22﹣（x﹣2）2＝﹣x2+2x，
∴当2＜x≤4时，函数图象开口向下，可排除选项D，
故选：C．
二、填空题（每小题4分，共28分）
11．（4分）分解因式：3x+9＝ 3（x+3） ．
【分析】直接找出公因式3，进而提取公因式分解因式即可．
【解答】解：3x+9＝3（x+3）．
故答案为：3（x+3）．
12．（4分）若x，y为实数，且|x+2y|+＝0，则x的值是 2 ．
【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．
【解答】解：根据题意，得，x+2y＝0且y+1＝0，
解得：x＝2，y＝﹣1．
故答案为：2．
13．（4分）已知关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 m＜1 ．
【分析】关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，即判别式Δ＝b2﹣4ac＞0．即可得到关于m的不等式，从而求得m的范围．
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣2，c＝m，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×m＝4﹣4m＞0，
解得：m＜1．
故答案为m＜1．
14．（4分）方程＝的解为 x＝ ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2x＝9x﹣3，
移项合并得：﹣7x＝﹣3，
解得：x＝，
经检验x＝是分式方程的解，
故答案为：x＝
15．（4分）如图，在菱形ABCD中，AC与BD交于点E，F是BC的中点，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周长是 24 ．
【分析】由菱形的性质得AB＝BC＝CD＝AD，AE＝CE，再证EF是△ABC的中位线，得AB＝2EF＝2×3＝6，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AE＝CE，
∵F是BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴AB＝2EF＝2×3＝6，
∴菱形ABCD的周长＝4×6＝24．
故答案为：24．
16．（4分）如图，在等腰△ABD中，AB＝AD，∠A＝32°，取大于AB的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交AD边于点E（作图痕迹如图所示），连接BE，则∠EBD的度数为 42° ．
【分析】根据∠EBD＝∠ABD﹣∠ABE，求出∠ABD，∠ABE即可解决问题．
【解答】解：∵AD＝AB，∠A＝32°，
∴∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣∠A）＝74°，
由作图可知，EA＝EB，
∴∠ABE＝∠A＝32°，
∴∠EBD＝∠ABD﹣∠ABE＝74°﹣32°＝42°，
故答案为：42°．
17．（4分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点F，E分别在边CD，BC上，且DF＝CE，连接BF、AE交于点P，连接CP，则线段CP的最小值为 ．
【分析】首先判断出△ABE≌△BCF，即可判断出∠BAE＝∠CBF，再根据∠BAE+∠BEA＝90°，可得∠CBF+∠BEA＝90°，所以∠APB＝90°；然后根据点P在运动中保持∠APB＝90°，可得点P的路径是一段以AB为直径的弧，设AB的中点为G，连接CG交弧于点P，此时CP的长度最小，最后在Rt△BCG中，根据勾股定理，求出CG的长度，再求出PG的长度，即可求出线段CP的最小值为多少．
【解答】解：如图，∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝BC，
∵DF＝CE，
∴CF＝BE，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF，
∵∠BAE+∠BEA＝90°，
∴∠CBF+∠BEA＝90°，
∴∠APB＝90°，
∵点P在运动中保持∠APB＝90°，
∴点P的路径是一段以AB为直径的弧，
设AB的中点为G，连接CG交弧于点P，此时CP的长度最小，
在Rt△BCG中，CG＝＝＝，
∵PG＝AB＝1，
∴CP＝CG﹣PG＝﹣1，
即线段CP的最小值为﹣1，
故答案为：﹣1．
三、解答题一（每小题6分，共18分）
18．（6分）计算：﹣（﹣3）+﹣2sin30°﹣（）﹣2．
【分析】先化简算术平方根，负整数指数幂，代入特殊角三角函数值，然后再计算．
【解答】解：原式＝3+4﹣2×﹣4
＝3+4﹣1﹣4
＝2．
19．（6分）先化简，再求值：x（x+2）+（x﹣1）（x+1）﹣2x，其中x＝．
【分析】原式利用单项式乘以多项式，以及平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝x2+2x+x2﹣1﹣2x＝2x2﹣1，
当x＝时，原式＝4﹣1＝3．
20．（6分）某市有序推行“地摊经济”政策．某社区志愿者随机抽取该社区部分居民，按四个类别：A表示“非常支持”，B表示“支持”，C表示“不关心”，D表示“不支持”，调查他们对该政策态度的情况，将结果绘制成如右边两幅不完整的统计图．
根据图中提供的信息，解决下列问题：
（1）这次共抽取了 60 名居民进行调查统计；扇形统计图中，B类所对应的扇形圆心角是 216 °；将条形统计图补充完整；
（2）该社区共有1000名居民，请你估计该社区表示“非常支持”的A类和表示“支持”B类居民共有多少人？
【分析】（1）由C类别的人数及其所占百分比可得被调查的总人数，用360°乘以B类所占的百分比，求出B类所对应的扇形圆心角度数，再用总数减去其他类别的人数，求出A类的人数，从而补全统计图；
（2）用总人数乘以“非常支持”的A类和表示“支持”B类所占的百分比即可．
【解答】解：（1）这次抽取的居民数量为：9÷15%＝60（名），
扇形统计图中，B类所对应的扇形圆心角的大小是360°×＝216°，
A类别人数为60﹣（36+9+3）＝12（名），
补全条形图如下：
故答案为：60，216；
（2）1000×＝800（人），
答：估计该社区表示“非常支持”的A类和表示“支持”B类居民共有800人．
四、解答题二（每小题8分，共24分）
21．（8分）随着天气的逐渐变暖，沃尔玛商场准备对某品牌的服装降价促销，若两次降价的百分率均相同，原价1000元的服装经过两次降价后现销售价为810元．
（1）问每次降价的百分率是多少？
（2）第一次降价金额比第二次降价金额多多少元？
【分析】（1）设每次降价的百分率为x，根据该服装的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
（2）利用第一次降价金额﹣第二次降价金额，即可求出结论．
【解答】解：（1）设每次降价的百分率为x，
根据题意，得：1000（1﹣x）2＝810，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去），
答：每次降价的百分率是10%；
（2）1 000×10%﹣[1 000×（1﹣10%）﹣810]＝10（元），
答：第一次降价金额比第二次降价金额多10元．
22．（8分）如图，已知Rt△ABC中，∠A＝90°，将斜边BC绕点B顺时针方向旋转至BD，使BD∥AC，过点D作DE⊥BC于点E．
（1）求证：△ABC≌△EDB；
（2）若CD＝BD，AC＝3，求在上述旋转过程中，线段BC扫过的面积．
【分析】（1）根据AAS证明△ABC≌△EDB即可；
（2）利用等边三角形的性质和扇形面积公式计算即可．
【解答】解：（1）∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
∵AC∥BD，
∴∠A＝∠ABD＝∠DEB＝90°，
∵∠ABC+∠CBD＝90°，
∴∠CBD+∠BDE＝90°，
∴∠ABC＝∠BDE，
∵BC＝BD，
∴△ABC≌△EDB（AAS）．
（2）∵CD＝BD＝BC，
∴△BCD为等边三角形，
∴∠CBD＝60°，∠ABC＝90°﹣∠CBD＝30°，
∵AC＝3，
∴BC＝2AC＝6，
∴线段BC扫过的面积＝6π．
23．（8分）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆，与斜边AC交于点D，∠ABC＝90°，E是BC边的中点，连接DE．
（1）求证：DE是圆O的切线．
（2）若AD＝8，AB＝12，求AC的长．
【分析】（1）连接OD、BD，由AB是半圆O的直径，可得∠ADB＝∠BDC＝90°，又因为E是BC边的中点，可得DE＝BE＝EC，即∠EDB＝∠EBD，半径相等OB＝OD，即∠ODB＝∠OBD，由已知∠EBD+∠OBD＝90°，等量代换即可求解；
（2）由∠ADB＝∠ABC＝90°，∠CAB＝∠BAD可得△ABC∽△ADB，即，即可求解．
【解答】（1）证明：如图，连接OD、BD，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
∵E是BC边的中点，
∴DE＝BE＝EC，
∴∠EDB＝∠EBD，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵∠ABC＝90°，
∴∠EBD+∠OBD＝90°，
∴∠EDB+∠ODB＝90°，即OD⊥DE，
∴DE是圆O的切线；
（2）解：∵AB是直径，
∴∠ADB＝∠ABC＝90°
又∵∠CAB＝∠BAD，
∴△ABC∽△ADB，
∴，
∵AD＝8，AB＝12
∴AC＝18．
五、解答题三（每小题10分，共20分）
24．（10分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝﹣的图象交于A（﹣4，2），B（2，c）两点，一次函数与x轴交于点C，
（1）求一次函数的解析式和点C的坐标；
（2）连接AO、BO，求△AOB的面积；
（3）点P为x轴上的一点，连接BP，若S△BCP＝2S△AOB，请求出点P的坐标．
【分析】（1）首先根据反比例函数可得B的坐标，再将A和B代入一次函数中可求出一次函数的表达式，根据一次函数解析式可得C的坐标；
（2）可将△AOB分成2部分△AOC和△OCB，2个三角形的面积相加即可；
（3）设P的坐标为（x，0），则PC＝|x+2|，然后根据S△BCP＝2S△AOB列方程即可．
【解答】解：（1）把B（2，c）代入，
∴，
∴B（2，﹣4），
把A（﹣4，2），B（2，﹣4）代入y＝kx+b得，
∴，
所以一次函数为：y＝﹣x﹣2．
令y＝0，则﹣x﹣2＝0，
∴x＝﹣2，
∴C（﹣2，0）；
（2）如图，连接OA，OB，
∴，
，
∴S△AOB＝2+4＝6．
（3）设P的坐标为（x，0），则PC＝|x+2|，
由（2）得S△AOB＝6，
∴S△BCP＝2S△AOB＝12，
∴，
∴x+2＝±6，
∴x＝4或﹣8，
∴P的坐标为（4，0）或（﹣8，0）．
25．（10分）已知，如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC，若点M是x轴上的动点（不与点B重合），MN⊥AC于点N，连接CM．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当MN＝1时，求点N的坐标；
（3）是否存在以点C，M，N为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把A、B两点坐标代入解析式求出a、b后可以得解；
（2）过点N作NH⊥x轴于点H，则根据题意可以得到NH及AH的值，再分点M在点A左侧和点M在点A右侧两种情况分别写出点N坐标即可；
（3）由题意可得△ABC为直角三角形，所以若以点C，M，N为顶点的三角形与△ABC相似，则＝或＝，由这两种情况分别求出M的坐标即可．
【解答】解：（1）∵抛物线ya＝ax2+bx﹣与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，
得，
解得：，
∴，
（2）∵
∴当x＝0时，y＝，
∴C（0，），
∴OC＝，
∵A（3，0），
∴OA＝3，
∴∠OAC＝30°，
∵MN＝1，∠MNA＝90°，
在Rt△AMN中，AN＝，
过点N作NH⊥x轴于点H，
∴NH＝，AH＝，
当点M在点A左侧时，N的坐标为（，﹣），
当点M在点A右侧时，N的坐标为（，），
综上，点N的坐标为（）或（，），
（3）设M点为（x，0），
则由（2）可得AB＝4，
BC＝＝2，AC＝＝2，
∵BC2+AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠BCA＝90°，
又由2S△CMA＝AM×OC＝AC×MN得：
MN＝＝，
∴若以点C，M，N为顶点的三角形与△ABC相似，
则：＝，即＝，
即6x＝6，
所以x＝1，
此时M为（1，0）；
＝，即＝，
即x2+3x＝0，
解之可得：x＝0或x＝﹣3，
∴M为（0，0）或（﹣3，0），
综上所述，存在以点C，M，N为顶点的三角形与△ABC相似，且M的坐标为（1，0）或（0，0）或（﹣3，0）．
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