2021年浙江省温州外国语学校中考数学二模试卷 word，解析版

这是一份2021年浙江省温州外国语学校中考数学二模试卷 word，解析版，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年浙江省温州外国语学校中考数学二模试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．（4分）比﹣2小1的数是（　　）
A．﹣1 B．0 C．﹣3 D．1
2．（4分）如图所示的几何体是由一个球体和一个长方体组成的，它的俯视图是（　　）

A． B．
C． D．
3．（4分）计算2a2•3a3的正确结果是（　　）
A．5a6 B．5a5 C．6a6 D．6a5
4．（4分）某手表厂抽查了10只手表的日走时误差，数据如下表所示（单位：s）：
日走时误差
0
1
2
3
只数
3
4
2
1
则这10只手表的平均日走时误差（单位：s）是（　　）
A．0 B．0.6 C．0.8 D．1.1
5．（4分）与+1最接近的整数是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
6．（4分）如图，在▱ABCD中，∠D＝56°，点E在边BC的延长线上，且BE＝CD，则∠E的度数为（　　）

A．56° B．62° C．68° D．72°
7．（4分）现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个黄球、2个红球，这些球除颜色外完全相同，从两个袋子中各随机摸出1个球，摸出的两个球颜色相同的概率是（　　）
A． B． C． D．
8．（4分）已知，都是关于x，y的方程y＝﹣3x+c的一个解，则下列对于a，b的关系判断正确的是（　　）
A．a﹣b＝3 B．a﹣b＝﹣3． C．a+b＝3 D．a+b＝﹣3
9．（4分）已知二次函数y＝﹣x2+2x+3，当自变量x的值满足a＜x≤2时，函数y的最大值与最小值的差为1，则a的值可以为（　　）
A． B． C．﹣1 D．1
10．（4分）矩形纸片ABCD按如图1的方式分割成三个直角三角形①、②、③，又把这三个三角形按如图2的方式重叠放置在一起，阴影分别为①、②与③的重叠部分，且①的斜边一端点恰好落在②的斜边上，则的值为（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（本题有6题，每小题5分，共30分）
11．（5分）分解因式：m2﹣4m＝　 　．
12．（5分）已知一扇形的半径长是2，圆心角为150°，则这个扇形的弧长为 　 　．
13．（5分）不等式组的解集是 　 　．
14．（5分）某工厂生产某种产品，4月份的产量为10000件．用简单随机抽样的方法抽取这个月生产的该产品若干件进行检测，并将检测结果绘制成如图所示的频数分布直方图（每组不含前一个边界值，含后一个边界值）．已知检测综合得分大于70分的产品为合格产品，则估计该月该产品的合格产品约为 　 　件．

15．（5分）如图，P是反比例函数y＝（x＞0）图象上一点，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点B，点A，且分别交反比例函数y＝（x＞0）图象于点C，点D，连接OC，OD，若图中阴影部分的面积为4，则k的值为 　 　．

16．（5分）如图1是两扇推拉门，AB是门槛，AD，BC是可转动门宽，现将两扇门推到如图2的位置（平面示意图），其中tan∠DAB＝，tan∠CBA＝，测得C，D间的距离为4dm，则门槛AB的长为 　 　dm．

三、解答题（本题有8小题，共80分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（10分）（1）计算：+（﹣2）3+|﹣4|．
（2）化简：（x+3）2﹣x（x+5）．
18．（8分）如图，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，AB＝AC．
（1）求证：△ABD≌△ACE．
（2）连接BC，若AD＝6，CD＝4，求△ABC的面积．

19．（8分）小王家准备购买一台iPad，小王将收集到的本地区A，B，C三种品牌iPad销售情况的有关数据统计如下：

根据上述三个统计图，请解答：
（1）2019～2020年三种品牌iPad销售总量最多的是 　 　品牌，月平均销售量最稳定的是 　 　品牌．
（2）估计2020年其他品牌的iPad年销售总量约是多少万台．
（3）参考A，B，C三种品牌iPad销售数据，你建议小王家购买哪种品牌的iPad？说说你的理由．
20．（8分）如图，在小正三角形组成的网格ABCD中，每个小正三角形的顶点叫做格点，各顶点在格点处的多边形称为格点多边形，按要求在网格中作一个格点多边形．

（1）请在图1中画一个矩形EFGH，使点E，F，G，H分别落在边AB，BC，CD，AD上．
（2）请在图2中画一个菱形MNPQ，使点M，N，P，Q分别落在边AB，BC，CD，AD上．
21．（10分）如图，C、D为⊙O上两点，且在直径AB的两侧，CD交AB于点E，∠ABC＝∠CAD，连接CO．
（1）求证：∠CAB＝∠CDO．
（2）若AB＝10，CD＝3，求AD的长．

22．（10分）某茶叶经销商3月份用18000元购进一批茶叶售完后，4月份用48000元购进一批相同的茶叶，数量是3月份的2.5倍，但每罐进价涨了20元．
（1）4月份进了这批茶叶多少罐？
（2）4月份，经销商将这批茶叶包装出售，其中甲种礼盒每盒装2罐，每盒标价800元；乙种礼盒每盒装3罐，每盒标价1200元，恰好全部装完．设甲种礼盒的数量为x盒，乙种礼盒的数量为y盒．
①求y关于x的函数表达式．
②在实际销售过程中，甲种礼盒按标价全部售出，乙种礼盒按标价的九折全部售出，若这些茶叶全部售出后的总利润不低于8900元，求甲、乙两种礼品盒的数量和的最小值．
23．（12分）如图，直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣（b﹣2）x+3a+8（a＜0，a，b均为常数）经过点（1，8），分别交y轴正半轴于点C，交x轴于点M，N，顶点为点D，P为线段OC上一动点，过点P作x轴的平行线分别交抛物线于点A，B（点A在点B的左边）．
（1）用含a的代数式表示b．
（2）求该抛物线的对称轴及PB﹣AP的值．
（3）当OP＝4CP时，点D关于AB的对称点Q的纵坐标为﹣1，求此时MN的长．

24．（14分）如图，在⊙O中，，BD交OC于点F，EB是⊙O的切线，交OA的延长线于点E，EF交OB于点G，连接BC．
（1）求证：△OBE∽△OFB．
（2）设∠CBD＝x度，∠OEB＝y度，求x，y之间的数量关系．
（3）若OB＝4，且OE平行△BCF的一边时，求出所有满足条件的EF的长．
（4）若OG＝BG，直接写出此时sin∠OBF的值．


2021年浙江省温州外国语学校中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．（4分）比﹣2小1的数是（　　）
A．﹣1 B．0 C．﹣3 D．1
【分析】根据有理数的减法，即可解答．
【解答】解：﹣2﹣1＝﹣3，
故选：C．
2．（4分）如图所示的几何体是由一个球体和一个长方体组成的，它的俯视图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：该组合体的俯视图为：底层是一个矩形，矩形内部有一个与矩形两边相切的圆．
故选：C．
3．（4分）计算2a2•3a3的正确结果是（　　）
A．5a6 B．5a5 C．6a6 D．6a5
【分析】根据单项式乘以单项式法则进行计算即可．
【解答】解：2a2•3a3＝6a5．
故选：D．
4．（4分）某手表厂抽查了10只手表的日走时误差，数据如下表所示（单位：s）：
日走时误差
0
1
2
3
只数
3
4
2
1
则这10只手表的平均日走时误差（单位：s）是（　　）
A．0 B．0.6 C．0.8 D．1.1
【分析】利用加权平均数的计算方法进行计算即可．
【解答】解：＝＝1.1，
故选：D．
5．（4分）与+1最接近的整数是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
【分析】先估算出的范围，再求出+1的范围，最后得出选项即可．
【解答】解：∵3.5＜＜4，
∴4.5+1＜5，
∴与+1最接近的整数是5，
故选：B．
6．（4分）如图，在▱ABCD中，∠D＝56°，点E在边BC的延长线上，且BE＝CD，则∠E的度数为（　　）

A．56° B．62° C．68° D．72°
【分析】根据平行四边形的性质得出AB＝CD，∠B＝∠D，进而利用等腰三角形的判定和性质解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠B＝∠D＝56°，
∵BE＝CD，
∴AB＝BE，
∴△ABE是等腰三角形，
∴∠E＝，
故选：B．
7．（4分）现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个黄球、2个红球，这些球除颜色外完全相同，从两个袋子中各随机摸出1个球，摸出的两个球颜色相同的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到两个球颜色相同的结果数，利用概率公式计算可得．
【解答】解：列表如下：

黄
红
红
红
（黄，红）
（红，红）
（红，红）
红
（黄，红）
（红，红）
（红，红）
白
（黄，白）
（红，白）
（红，白）
由表知，共有9种等可能结果，其中摸出的两个球颜色相同的有4种结果，
所以摸出的两个球颜色相同的概率为，
故选：C．
8．（4分）已知，都是关于x，y的方程y＝﹣3x+c的一个解，则下列对于a，b的关系判断正确的是（　　）
A．a﹣b＝3 B．a﹣b＝﹣3． C．a+b＝3 D．a+b＝﹣3
【分析】将两对解代入方程得到，①﹣②即可求得a﹣b＝3．
【解答】解：将，代入方程y＝﹣3x+c，得，
①﹣②得：a﹣b＝3．
故选：A．
9．（4分）已知二次函数y＝﹣x2+2x+3，当自变量x的值满足a＜x≤2时，函数y的最大值与最小值的差为1，则a的值可以为（　　）
A． B． C．﹣1 D．1
【分析】根据题意和二次函数的性质，可以求得a的取值范围，从而可以求得a可能的值．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+3，
∴该函数图象开口向下，当x＝1时，y取得最大值4，
∵当自变量x的值满足a＜x≤2时，函数y的最大值与最小值的差为1，
当x＝2时，y＝3，当x＝0时，y＝3，
∴当0≤x＜1时，函数y的最大值与最小值的差为1，
故选：B．
10．（4分）矩形纸片ABCD按如图1的方式分割成三个直角三角形①、②、③，又把这三个三角形按如图2的方式重叠放置在一起，阴影分别为①、②与③的重叠部分，且①的斜边一端点恰好落在②的斜边上，则的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】设DE＝x，令AB＝b，BC＝a，然后根据同角的余角相等得到∠BAC＝∠ADE，∠EDC＝∠ACB，再利用等角的三角函数值相等，得到AE的长度，列出方程化简得到a与b之间的关系，最后得到AB与BC的比值．
【解答】解：设DE＝x，令AB＝b，BC＝a，
∴AB•BC＝AC•DE，即•x＝ab，
∴x＝，
∵tan∠BAC＝＝，
∵∠BAC+∠DAE＝90°，∠DAE+∠ADE＝90°，
∴∠ADE＝∠BAC，
同理可得，∠EDC＝∠ACB，
∴tan∠ADE＝＝，
∴AE＝DE•tan∠ADE＝•＝，
∵∠EDC＝∠ACB，
∴∠A'D'C＝∠ACB，
∴A'E'＝BC﹣CD'，
∵CD'＝ED，A'E'＝AE，
∴AE＝BC﹣ED＝a﹣，
∴＝a﹣，
化简得，4a3b＝3a2b2，
∵a＞0，b＞0，
∴＝．
故选：C．

二、填空题（本题有6题，每小题5分，共30分）
11．（5分）分解因式：m2﹣4m＝　m（m﹣4）　．
【分析】提取公因式m，即可求得答案．
【解答】解：m2﹣4m＝m（m﹣4）．
故答案为：m（m﹣4）．
12．（5分）已知一扇形的半径长是2，圆心角为150°，则这个扇形的弧长为 　　．
【分析】利用弧长公式直接计算即可．
【解答】解：这个扇形的弧长＝＝，
故答案为：．
13．（5分）不等式组的解集是 　x＞5　．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2x﹣6≥0，得：x≥3，
解不等式4﹣x＜﹣1，得：x＞5，
则不等式组的解集为x＞5，
故答案为：x＞5．
14．（5分）某工厂生产某种产品，4月份的产量为10000件．用简单随机抽样的方法抽取这个月生产的该产品若干件进行检测，并将检测结果绘制成如图所示的频数分布直方图（每组不含前一个边界值，含后一个边界值）．已知检测综合得分大于70分的产品为合格产品，则估计该月该产品的合格产品约为 　984　件．

【分析】用4月份的产量乘以样本中合格产品数占总人数的比例即可．
【解答】解：估计该月该产品的合格产品约为：10000×＝984（件），
故答案为：984．
15．（5分）如图，P是反比例函数y＝（x＞0）图象上一点，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点B，点A，且分别交反比例函数y＝（x＞0）图象于点C，点D，连接OC，OD，若图中阴影部分的面积为4，则k的值为 　7　．

【分析】过D作DG⊥y轴于G，过C作CH⊥x轴于H，设P（m，），D（m，），C（，），根据阴影部分的面积为4列方程可解答．
【解答】解：过D作DG⊥y轴于G，过C作CH⊥x轴于H，

∵AC⊥y轴，BD⊥x轴，
∴设P（m，），D（m，），C（，），
∴BH＝﹣m，
∴S阴影＝S矩形GOBD+S矩形PBHC﹣S△ODG﹣S△OCH
＝k+•（﹣m）﹣k﹣k＝4，
解得：k＝7．
故答案为：7．
16．（5分）如图1是两扇推拉门，AB是门槛，AD，BC是可转动门宽，现将两扇门推到如图2的位置（平面示意图），其中tan∠DAB＝，tan∠CBA＝，测得C，D间的距离为4dm，则门槛AB的长为 　260　dm．

【分析】过D作DF⊥AB于F，过C点作CG⊥AB于G，过点D作DE⊥CG于E，则四边形DFGE为矩形，进而可得DE＝FG，EG＝DF，设AD＝BC＝x，则AB＝2x，通过解直角三角形可求得CE＝，DE＝，利用勾股定理列式计算可求解x值，进而求解AB的值．
【解答】解：过D作DF⊥AB于F，过C点作CG⊥AB于G，过点D作DE⊥CG于E，则四边形DFGE为矩形，

∴DE＝FG，EG＝DF，∠DEC＝90°，
设AD＝BC＝x，则AB＝2x，
∵tan∠DAB＝，tan∠CBA＝，
∴sin∠A＝，sin∠B＝，
∴DF＝，AF＝，CG＝，BG＝，
∴CE＝CG﹣EG＝CG﹣DF＝﹣＝，
DE＝FG＝AB﹣AF﹣BG＝2a﹣﹣＝，
在Rt△CDE中，DC＝dm，
DE2+CE2＝DC2，
即，
解得x＝130，
∴AB＝2x＝260dm．
三、解答题（本题有8小题，共80分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（10分）（1）计算：+（﹣2）3+|﹣4|．
（2）化简：（x+3）2﹣x（x+5）．
【分析】（1）先计算立方根、有理数的乘方、绝对值，再计算加法．
（2）先算乘法，再计算加法．
【解答】解：（1）
＝2﹣8+4
＝﹣2．
（2）（x+3）2﹣x（x+5）
＝x2+9+6x﹣x2﹣5x
＝9+x．
18．（8分）如图，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，AB＝AC．
（1）求证：△ABD≌△ACE．
（2）连接BC，若AD＝6，CD＝4，求△ABC的面积．

【分析】（1）由“AAS”可证△ABD≌△ACE；
（2）由全等三角形的性质可得AE＝AD＝6，BD＝CE，由勾股定理可得CE的长，由三角形面积公式可求解．
【解答】证明：（1）∵CE⊥AB，BD⊥AC，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（AAS）；
（2）如图，

∵△ABD≌△ACE，AD＝6，
∴AE＝AD＝6，BD＝CE，
∵AD＝6，CD＝4，
∴AC＝10，
∴EC＝＝＝8，
∴BD＝8，
∴S△ABC＝×AC×BD＝×10×8＝40．
19．（8分）小王家准备购买一台iPad，小王将收集到的本地区A，B，C三种品牌iPad销售情况的有关数据统计如下：

根据上述三个统计图，请解答：
（1）2019～2020年三种品牌iPad销售总量最多的是 　 　品牌，月平均销售量最稳定的是 　C　品牌．
（2）估计2020年其他品牌的iPad年销售总量约是多少万台．
（3）参考A，B，C三种品牌iPad销售数据，你建议小王家购买哪种品牌的iPad？说说你的理由．
【分析】（1）从条形统计图、折线统计图可以得出答案；
（2）求出总销售量，“其它”的所占的百分比；
（3）从市场占有率、平均销售量等方面提出建议．
【解答】解：（1）由条形统计图可得，2015～2020年三种品牌电视机销售总量最多的是B品牌，是1746万台；
由折线统计图可得，2015～2020年三种品牌电视机月平均销售量最稳定的是C品牌，比较稳定，极差最小；
故答案为：B，C；

（2）∵20÷25%＝80（万台），
1﹣25%﹣29%﹣31%＝15%，
∴80×15%＝12（万台），
答：2020年其他品牌的电视机月平均销售总量是12万台；

（3）建议购买C品牌，因为C品牌2020年的市场占有率最高，且5年的月销售量最稳定；
建议购买B品牌，因为B品牌的销售总量最多，收到广大顾客的青睐；
建议购买A品牌，因为A品牌近五年的月平均销售总量逐年稳步上升．（答案不唯一，能说明理由，写出其中一条即可）．
20．（8分）如图，在小正三角形组成的网格ABCD中，每个小正三角形的顶点叫做格点，各顶点在格点处的多边形称为格点多边形，按要求在网格中作一个格点多边形．

（1）请在图1中画一个矩形EFGH，使点E，F，G，H分别落在边AB，BC，CD，AD上．
（2）请在图2中画一个菱形MNPQ，使点M，N，P，Q分别落在边AB，BC，CD，AD上．
【分析】（1）根据矩形的定义以及题目要求作出图形即可；
（2）根据菱形的定义以及题目要求作出图形即可．
【解答】解：如图，（1）矩形EFGH即为所求（答案不唯一）；
（2）菱形MNPQ即为所求（答案不唯一）．

21．（10分）如图，C、D为⊙O上两点，且在直径AB的两侧，CD交AB于点E，∠ABC＝∠CAD，连接CO．
（1）求证：∠CAB＝∠CDO．
（2）若AB＝10，CD＝3，求AD的长．

【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ADC＝∠ABC，进而推出∠ADC＝∠CAD，根据等腰三角形的性质得到∠OAD＝∠ODA，根据角的和差即可得解；
（2）连结CO，并延长交AD于点F，利用SSS证明△AOC≌△DOC，则∠ACF＝∠DCF，根据等腰三角形三线合一的性质得出CF⊥AD，AD＝2AF，根据勾股定理得到BC＝，解直角三角形得到AF＝3，
据此即可得解．
【解答】（1）证明：∵∠ADC＝∠ABC，∠ABC＝∠CAD，
∴∠ADC＝∠CAD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠CAD﹣∠OAD＝∠ADC﹣∠ODA，
即∠CAB＝∠CDO；
（2）连结CO，并延长交AD于点F，

∵∠ADC＝∠CAD，CD＝3，
∴AC＝CD＝3，
在△AOC和△DOC中，
，
∴△AOC≌△DOC（SSS），
∴∠ACF＝∠DCF，
∵AC＝CD，
∴CF⊥AD，AD＝2AF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝＝＝，
在Rt△ACF中，AF＝AC•cos∠DAC＝AC•cosB＝AC•＝3×＝3，
∴AD＝2AF＝6．
22．（10分）某茶叶经销商3月份用18000元购进一批茶叶售完后，4月份用48000元购进一批相同的茶叶，数量是3月份的2.5倍，但每罐进价涨了20元．
（1）4月份进了这批茶叶多少罐？
（2）4月份，经销商将这批茶叶包装出售，其中甲种礼盒每盒装2罐，每盒标价800元；乙种礼盒每盒装3罐，每盒标价1200元，恰好全部装完．设甲种礼盒的数量为x盒，乙种礼盒的数量为y盒．
①求y关于x的函数表达式．
②在实际销售过程中，甲种礼盒按标价全部售出，乙种礼盒按标价的九折全部售出，若这些茶叶全部售出后的总利润不低于8900元，求甲、乙两种礼品盒的数量和的最小值．
【分析】（1）根据4月份用48000元购进一批相同的茶叶，数量是3月份的2.5倍，可以得到相应的分式方程，从而可以求得4月份进了这批茶叶多少罐；
（2）①根据总价、数量、单价之间的关系可得答案；
②根据题意，这些茶叶全部售出后的总利润不低于8900元，得不等式，求解后再由最值问题可得答案．
【解答】解：（1）设3月份进了这批茶叶m罐，
由题意得，﹣20，
∴x＝60，
经检验，x＝60是原分式方程的解，
∴2.5x＝150，
∴4月份进了这批茶叶150罐；
（2）①由题意得，2x+3y＝150，
∴y＝﹣x+50，
②由题意得，800x+1200y×90%﹣48000≥8900，
∵y＝﹣x+50，
∴800x+1200（﹣+50）×90%﹣48000≥8900，
∴x≥36，
∵x，y都是整数，
∴x的最小值为39，
∵甲、乙两种礼品盒的数量和w＝x+y＝x+（﹣x+50）＝x+50，
∴k＝，
∴w随x的增大而增大，
所以当x＝39时，w最小，最小值为63盒．
23．（12分）如图，直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣（b﹣2）x+3a+8（a＜0，a，b均为常数）经过点（1，8），分别交y轴正半轴于点C，交x轴于点M，N，顶点为点D，P为线段OC上一动点，过点P作x轴的平行线分别交抛物线于点A，B（点A在点B的左边）．
（1）用含a的代数式表示b．
（2）求该抛物线的对称轴及PB﹣AP的值．
（3）当OP＝4CP时，点D关于AB的对称点Q的纵坐标为﹣1，求此时MN的长．

【分析】（1）把点（1，8）代入抛物线解析式即可；
（2）根据抛物线对称轴的公式可求得对称轴直线表达式，根据抛物线的对称性可得结论；
（3）根据抛物线解析式可求得OC的长及顶点D的纵坐标，再根据OP＝4CP可求得OP的长，再由点关于直线对称列出方程，求解得出a的值，进而求出点M和点N的坐标，即可求出MN的长．
【解答】解：（1）把点（1，8）代入y＝ax2﹣（b﹣2）x+3a+8中，
得a﹣（b﹣2）+3a+8＝8，整理得，b＝4a+2．
（2）该抛物线的对称轴为直线：x＝﹣＝2；
过顶点D作DE⊥x轴于点E，交AB于点H，
∵AB∥x轴，由对称性可知，AH＝BH，PH＝OE＝2，
∴PB﹣AP
＝BH+PH﹣AP
＝AH+PH﹣AP
＝2PH
＝4．
（3）由抛物线解析式可知，C（0，3a+8），OC＝3a+8，
∵OP＝4CP，
∴OP＝（3a+8）＝a+，
又∵y＝ax2﹣（b﹣2）x+3a+8
＝ax2﹣4ax+3a+8
＝a（x﹣2）2+8﹣a，
∴点D（2，8﹣a），
DH＝DE﹣OP＝8﹣a﹣（a+）＝﹣a，
∵点D关于AB的对称点Q的纵坐标为﹣1，
∴﹣a＝a++1，解得a＝﹣1，
此时，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5，
∴点M，N的坐标分别为（﹣1，0），（5，0），
∴MN＝6．
24．（14分）如图，在⊙O中，，BD交OC于点F，EB是⊙O的切线，交OA的延长线于点E，EF交OB于点G，连接BC．
（1）求证：△OBE∽△OFB．
（2）设∠CBD＝x度，∠OEB＝y度，求x，y之间的数量关系．
（3）若OB＝4，且OE平行△BCF的一边时，求出所有满足条件的EF的长．
（4）若OG＝BG，直接写出此时sin∠OBF的值．

【分析】（1）根据两角对应相等即可证明△OBE∽△OFB；
（2）根据角之间的关系即可求解；
（3）分OE∥BC和OE∥BF两种情况，分别求解即可；
（4）作EP∥OC交OB的延长线于点P，则OG＝GB＝GF，∠BOC＝∠P＝∠EOP，OB＝BP，可得，设OG＝GB＝GF＝1，则EG＝3，BE＝2，OE＝2，即可求出sin∠OBF＝sin∠OEB＝＝＝．
【解答】（1）证明：∵，
∴∠BOE＝∠BOC，OC⊥BD，
∵EB是⊙O的切线，
∴∠OBE＝∠OFB＝90°，
∴△OBE∽△OFB；
（2）∵OC⊥BD，
∴∠CBD+∠C＝90°，
∵∠CBD＝x°，
∴∠C＝（90﹣x）°，
∴∠BOE＝∠BOC＝2x°，
∴∠OEB＝（90﹣2x）°＝y°，
∴2x+y＝90；
（3）如图，当OE∥BC时，作EH⊥OC交CO的延长线于点H，

∵OE∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠C，
∵，
∴∠AOB＝∠BOC，
∴∠BOC＝∠OBC＝∠C，
∴△BOC是等边三角形，
∴OB＝OC＝4，OF＝2，
∴∠EOB＝60°，
∵∠OBE＝90°，
∴∠OEB＝30°，
∴OE＝2OB＝2×4＝8，
在Rt△EOH中，∠HOE＝60°，
∴OH＝4，EH＝4，
在Rt△EFH中，EF＝＝＝2，
如图，当OE∥BF时，

∵∠OFB＝90°，
∴∠BOE＝∠BOF＝∠OBF＝45°，
∴OF＝2，OE＝4，
在Rt△OEF中，EF＝＝＝2，
综上所述，EF的长为2或2；
（4）如图，作EP∥OC交OB的延长线于点P，

在Rt△OBF中，OG＝GB，
∴OG＝GB＝GF，
∵EP∥OC，
∴∠BOC＝∠P＝∠EOP，
∵OB⊥EB，
∴OB＝BP，，
设OG＝GB＝GF＝1，则EG＝3，
∴BE＝2，OE＝2，
∴sin∠OBF＝sin∠OEB＝＝＝．