2021年浙江省温州市永嘉县东方双语学校中考数学模拟试卷（2） word，解析版

这是一份2021年浙江省温州市永嘉县东方双语学校中考数学模拟试卷（2） word，解析版，共32页。试卷主要包含了众志成城，抗击疫情，如图所示的几何体的俯视图是，点P，Q，R在反比例函数y＝等内容，欢迎下载使用。
2021年浙江省温州市永嘉县东方双语学校中考数学模拟试卷（2）
一．选择题（共10小题）
1．在1，﹣2，﹣3这三个数中，任意两数之和的最大值是（　　）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣3
2．众志成城，抗击疫情．今年春节新冠肺炎在武汉大肆流行，社会各界纷纷支援武汉，截止1月31日，武汉共收到捐款2586000000元．数据2586000000科学记数法可以表示为（　　）
A．25.86×108 B．2.586×109
C．2.586×108 D．0.2586×1010
3．如图所示的几何体的俯视图是（　　）

A． B．
C． D．
4．在一个不透明布袋里装有3个白球、2个红球和a个黄球，这些球除颜色不同其它没有任何区别．若从该布袋里任意摸出1个球，该球是黄球的概率为，则a等于（　　）
A．5 B．6 C．4 D．7
5．某公司销售部有营销人员15人，统计了某月的销售量，如下表所示：
每人销售量/件
1800
510
260
210
150
120
人数
1
1
3
5
3
2
则这15人该月销售量的中位数是（　　）
A．260 B．235 C．210 D．175
6．如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC互相垂直（A、D、B在同一条直线上），设∠CAB＝α，那么拉线BC的长度为（　　）

A． B． C． D．
7．将△ABC绕点B按逆时针方向旋转28°到△EBD的位置，斜边AC和DE相交于点F，则∠DFC的度数等于（　　）

A．28° B．30° C．32° D．35°
8．如图，圆O的圆心在梯形ABCD的底边AB上，并与其它三边均相切，若AB＝10，AD＝6，则CB长（　　）

A．4 B．5 C．6 D．无法确定
9．点P，Q，R在反比例函数y＝（常数k＞0，x＞0）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线．若OE＝ED＝DC，且图中所构成的“十字形”阴影部分面积为32，则k的值为（　　）

A．21 B．24 C．27 D．30
10．如图，在矩形ABCD中，AB＞BC，延长DC至点E使得CE＝BC，延长BC交以DE为直径的半圆O于点F，连接OF．欧几里得在《几何原本》中利用该图得到了一个重要的结论．现延长FO交AB于G，若AG＝BG，OF＝4，则CF的长为（　　）

A．2 B．3 C． D．
二．填空题（共6小题）
11．分解因式：4x3﹣4x＝　 　．
12．一个扇形的圆心角是45°，扇形的弧长是3π，则该扇形的面积是　 　．
13．如图，两直线l1∥l2，等腰直角三角尺ABC的两个锐角顶点A，B分别在l1∥l2上，若∠1＝75°，则∠2＝　 　．

14．如图，在正五边形ABCDE中，AC为对角线，以点A为圆心，AE为半径画圆弧交AC于点F，连接EF，则∠1的度数为　 　．

15．如图，已知二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与y轴交于点A，MN是该抛物线的对称轴，点P在射线MN上，连接PA，过点A作AB⊥AP交x轴于点B，过A作AC⊥MN于点C，连接PB，在点P的运动过程中，抛物线上存在点Q，使∠QAC＝∠PBA，则点Q的横坐标为　 　．

16．如图1是某公园内健身的太空漫步机，当人踩在踏板上，握住扶手，两腿迈开到一定角度时的示意图如图2所示某个高BC为2.5分米的石凳旁边建一个太空漫步机，为方便行人通过，踏板与石凳之间保持了一定的距离，测得踏板静止时GE＝2分米，CE＝16分米，BD∥CE交于点D，DH⊥CE，且CH：HE＝25：7，则FG的长为　 　分米；MF在旋转过程中，当点M与点B的距离最小时，此时点M到BC的距离为　 　分米．

三．解答题（共11小题）
17．（1）计算：
（2）化简：
18．为了解某校学生的睡眠情况，该校数学小组随机调查了部分学生一周的平均每天睡眠时间，设每名学生的平均每天睡眠时间为x时，共分为四组：A．6≤x＜7，B．7≤x＜8，C．8≤x＜9，D．9≤x≤10，将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：
注：学生的平均每天睡眠时间不低于6时且不高于10时．
请回答下列问题：
（1）本次共调查了　 　名学生；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）求扇形统计图中C组所对应的圆心角度数；
（4）若该校有1500名学生，根据抽样调查结果，请估计该校有多少名学生平均每天睡眠时间低于7时．
19．如图是6×6的方格纸，点A、B、C都在格点上，按要求画图：
（1）在图1中找到一个格点D，使以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形；
（2）在图2中仅用无刻度直尺，在线段AC取一点P，使得AP＝AC．（保留作图痕迹，不写画法）

20．如图，O是菱形ABCD对角线BD上的一点，且OC＝OD，连接OA．
（1）求证：∠AOC＝2∠ABC；
（2）求证：CD2＝OD•BD．

21．如图1是某品牌订书机，其截面示意图如图2所示．订书钉放置在轨槽CD内的MD处，由连接弹簧的推动器MN推紧，连杆EP一端固定在压柄CF上的点E处，另一端P在DM上移动．当点P与点M重合后，拉动压柄CF会带动推动器MN向点C移动．使用时，压柄CF的端点F与出钉口D重合，纸张放置在底座AB的合适位置下压完成装订（即点D与点H重合）．已知CA⊥AB，CA＝2cm，AH＝12cm，CE＝5cm，EP＝6cm，MN＝2cm．
（1）求轨槽CD的长（结果精确到0.1）；
（2）装入订书钉需打开压柄FC，拉动推动器MN向点C移动，当∠FCD＝53°时，能否在ND处装入一段长为2.5cm的订书钉？（参考数据：≈2.24，≈6.08，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60）

22．如图，线段BC所在的直线是以AB为直径的圆的切线，点D为圆上一点，满足BD＝BC，且点C、D位于直径AB的两侧，连接CD交圆于点E．点F是BD上一点，连接EF，分别交AB、BD于点G、H，且EF＝BD．
（1）求证：EF∥BC；
（2）若EH＝4，HF＝2，求的长．

23．某市政府规定：若本市企业按生产成本价提供产品给大学生销售，则政府给该企业补偿（补偿额＝（批发价﹣生产成本价）×销售量）．大学生小明投资销售本市企业生产的一种新型节能灯，调查发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y＝﹣10x+500．已知这种节能灯批发价为每件12元，设
它的生产成本价为每件m元（m＜12）
（1）当m＝10时．
①若第一个月的销售单价定为20元，则第一个月政府要给该企业补偿多少元？
②设所获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
（2）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得超过30元．今年三月小明获得赢利，此时政府给该企业补偿了920元，若m，x都是正整数，求m的值．
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，点P是射线BA上的一个动点，以BP为半径的⊙P交射线BC于点D，直线PD交直线AC于点E，点P关于直线AC的对称点为点P′，连接P′A，P′E，设直线P′E与直线BC交于点F．
（1）当点P在线段BA上时，
①求证：PE＝PA；
②连接P'P，当BF＝2PB时，求P′P的长；
（2）连接AD，AF，当△ADF恰为等边三角形时，求此时四边形PAP′E的面积；
（3）当四边形PAP′E在⊙P内部时，请直接写出BP的取值范围．


2021年浙江省温州市永嘉县东方双语学校中考数学模拟试卷（2）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．在1，﹣2，﹣3这三个数中，任意两数之和的最大值是（　　）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣3
【分析】三个数中找出两个数，求出之和比较大小即可．
【解答】解：根据题意得：1﹣2＝﹣1；1﹣3＝﹣2；﹣2﹣3＝﹣5，
∵﹣1＞﹣2＞﹣5，
∴任意两数之和的最大值是﹣1．
故选：C．
2．众志成城，抗击疫情．今年春节新冠肺炎在武汉大肆流行，社会各界纷纷支援武汉，截止1月31日，武汉共收到捐款2586000000元．数据2586000000科学记数法可以表示为（　　）
A．25.86×108 B．2.586×109
C．2.586×108 D．0.2586×1010
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：2586000000＝2.586×109．
故选：B．
3．如图所示的几何体的俯视图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据三视图的意义和画法，看不见的轮廓线用虚线表示，可得答案．
【解答】解：从上面看到的图形是一个长方形，能看见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示，
因此选项D中的图形，符合题意，
故选：D．
4．在一个不透明布袋里装有3个白球、2个红球和a个黄球，这些球除颜色不同其它没有任何区别．若从该布袋里任意摸出1个球，该球是黄球的概率为，则a等于（　　）
A．5 B．6 C．4 D．7
【分析】根据概率公式列出关于a的方程，解之可得．
【解答】解：根据题意，

解得a＝5，
经检验：a＝5是原分式方程的解，
∴a＝5，
故选：A．
5．某公司销售部有营销人员15人，统计了某月的销售量，如下表所示：
每人销售量/件
1800
510
260
210
150
120
人数
1
1
3
5
3
2
则这15人该月销售量的中位数是（　　）
A．260 B．235 C．210 D．175
【分析】根据中位数的概念求解．
【解答】解：由题意得，该公司第8名营销人员的销售额为该月销售量的中位数，
即中位数为：210．
故选：C．
6．如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC互相垂直（A、D、B在同一条直线上），设∠CAB＝α，那么拉线BC的长度为（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据同角的余角相等得∠CAD＝∠BCD，由os∠BCD＝，即可求出BC的长度．
【解答】解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，
∴∠CAD+∠ACD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠CAD＝∠BCD，
在Rt△BCD中，∵cos∠BCD＝，
∴BC＝＝，
故选：B．
7．将△ABC绕点B按逆时针方向旋转28°到△EBD的位置，斜边AC和DE相交于点F，则∠DFC的度数等于（　　）

A．28° B．30° C．32° D．35°
【分析】由旋转的性质可得∠C＝∠D，∠DBC＝28°，由外角的性质可求解．
【解答】解：如图，设DE和BC的交点为H，

∵将△ABC绕点B按逆时针方向旋转28°到△EBD的位置，
∴∠C＝∠D，∠DBC＝28°，
又∵∠DHC＝∠C+∠DFC＝∠D+∠DBC，
∴∠DBC＝∠DFC＝28°，
故选：A．
8．如图，圆O的圆心在梯形ABCD的底边AB上，并与其它三边均相切，若AB＝10，AD＝6，则CB长（　　）

A．4 B．5 C．6 D．无法确定
【分析】方法1、设圆O的半径是R，圆O与AD、DC、CB相切于点E、F、H，连接OE、OD、OF、OC、OH，则圆的半径R，可以看作△BOC，△COD，△AOD的高，根据S梯形ABCD＝S△BOC+S△COD+S△DOA，以及梯形的面积公式即可求解．
方法2、利用切线的性质得出∠ADO＝∠ODC，进而得出∠ADO＝∠AOD，即可得出OA＝6，即：OB＝4，同理：BC＝OB即可得出结论．
【解答】解：方法1、
设圆O的半径是R，圆O与AD、DC、CB相切于点E、F、H，连接OE、OD、OF、OC、OH．
设CD＝y，CB＝x．
设S梯形ABCD＝S
则S＝（CD+AB）R＝（y+10）R﹣﹣﹣﹣（1）
S＝S△BOC+S△COD+S△DOA
＝xR+yR+×6R﹣﹣﹣﹣（2）
联立（1）（2）得x＝4；

方法2、连接OD．OC
∵AD，CD是⊙O的切线，
∴∠ADO＝∠ODC，
∵CD∥AB，
∴∠ODC＝∠AOD，
∴∠ADO＝∠AOD
∴AD＝OA
∵AD＝6，
∴OA＝6，
∵AB＝10，
∴OB＝4，
同理可得
OB＝BC＝4，
故选：A．

9．点P，Q，R在反比例函数y＝（常数k＞0，x＞0）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线．若OE＝ED＝DC，且图中所构成的“十字形”阴影部分面积为32，则k的值为（　　）

A．21 B．24 C．27 D．30
【分析】设OE＝ED＝DC＝a，则P（，3a），Q（，2a），R（，a），推出CP＝，DQ＝，ER＝，然后根据图中所构成的“十字形”阴影部分面积为32，列出关于k的方程，解得即可．
【解答】解：∵CD＝DE＝OE，
∴可以假设CD＝DE＝OE＝a，
则P（，3a），Q（，2a），R（，a），
∴CP＝，DQ＝，ER＝，
∵图中所构成的“十字形”阴影部分面积为32，
∴•a+（﹣）•3a+（﹣）•a＝32，
解得k＝24，
故选：B．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＞BC，延长DC至点E使得CE＝BC，延长BC交以DE为直径的半圆O于点F，连接OF．欧几里得在《几何原本》中利用该图得到了一个重要的结论．现延长FO交AB于G，若AG＝BG，OF＝4，则CF的长为（　　）

A．2 B．3 C． D．
【分析】根据矩形的性质得到CD＝AB，得到DE＝AB+BC＝2×4＝8，OE＝OF＝4，设BC＝CE＝x，根据相似三角形的判定和性质定理以及勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB，
∵CE＝BC，
∴DE＝AB+BC，
∵OF＝4，
∴DE＝AB+BC＝2×4＝8，OE＝OF＝4，
设BC＝CE＝x，
∴AB＝8﹣x，
∵AG＝BG，
∴BG＝AB＝4﹣x，
∵OC∥BG，
∴△CFO∽△BFG，
∴＝，
∴＝，
∴CF＝8﹣2x，
∵∠OCF＝90°，
∴OC2+CF2＝OF2，
∴（4﹣x）2+（8﹣2x）2＝42，
解得：x＝（不合题意舍去）或x＝，
∴CF＝，
故选：C．
二．填空题（共6小题）
11．分解因式：4x3﹣4x＝　4x（x+1）（x﹣1）　．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝4x（x2﹣1）＝4x（x+1）（x﹣1），
故答案为：4x（x+1）（x﹣1）
12．一个扇形的圆心角是45°，扇形的弧长是3π，则该扇形的面积是　18π　．
【分析】先求出扇形的半径，再根据扇形的面积公式进行计算即可．
【解答】解：∵圆心角为45°，弧长为3π，
∴＝3π，解得r＝12，
∴扇形的面积＝×3π×12＝18π．
故答案为：18π．
13．如图，两直线l1∥l2，等腰直角三角尺ABC的两个锐角顶点A，B分别在l1∥l2上，若∠1＝75°，则∠2＝　15°　．

【分析】过点C作CD∥l1，再由平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：如图，过点C作CD∥l1，则∠2＝∠ACD．
∵l1∥l2，
∴CD∥l2，
∴∠1＝∠DCB．
∵∠ACD+∠DCB＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
又∵∠1＝75°，
∴∠2＝15°．
故答案为：15°．

14．如图，在正五边形ABCDE中，AC为对角线，以点A为圆心，AE为半径画圆弧交AC于点F，连接EF，则∠1的度数为　54°　．

【分析】根据五边形的内角和公式求出∠ABC，根据等腰三角形的性质，三角形内角和的定理计算∠BAC，再求∠CAE，最后求出∠1即可．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠EAB＝∠ABC＝＝108°，
∵BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝＝36°，
∴∠EAF＝108°﹣36°＝72°，
∵以点A为圆心，AE为半径画圆弧交AC于点F，
∴AE＝AF，
∴∠1＝＝54°．
故答案为：54°．
15．如图，已知二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与y轴交于点A，MN是该抛物线的对称轴，点P在射线MN上，连接PA，过点A作AB⊥AP交x轴于点B，过A作AC⊥MN于点C，连接PB，在点P的运动过程中，抛物线上存在点Q，使∠QAC＝∠PBA，则点Q的横坐标为　或　．

【分析】通过作辅助线，连接CO，过点Q作AC的垂线交AC延长线于点D，先证明△AOB与△ACP相似，得到∠ABP＝∠AOC，再证△QDA与△CAO相似，设出点Q的坐标，通过相似比即可求出点Q坐标．
【解答】解：如图1，连接CO，过点Q作AC的垂线交AC延长线于点D，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4
∴对称轴为x＝1，与y轴交点A坐标（0，3）
∴AC＝1，
∵AP⊥AB，AC⊥MN，
∴∠BAP＝∠OAC＝90°，
∴∠BAP﹣∠OAP＝∠OAC﹣∠OAP，
即∠BAO＝∠PAC，
又∵∠AOB＝∠ACP＝90°，
∴△AOB∽△ACP，
∴，
∴，
又∵∠BAP＝∠OAC，
∴△BAP∽△OAC，
∴∠ABP＝∠AOC，
∵∠QAC＝∠ABP，
∴∠AOC＝∠QAC，
∵∠QDA＝∠CAO＝90°，
∴△QDA∽△CAO，
∴，
设Q（a，﹣a2+2a+3），
则QD＝﹣a2+2a，AD＝a，
∴，
解得a1＝0（舍去），a2＝，
∴Q（，），
∴点Q的横坐标为；

如图2，设点E是点Q关于直线AC的对称点，
∵Q（，），yA＝3，
∴E（，），
设直线yAE＝kx+3，
将点E（，）代入，
得，k＝﹣，
∴yAE＝﹣x+3，
解方程﹣x2+2x+3＝﹣x+3，
得，x1＝0（舍去），x2＝，
∴Q'（，），
∴点Q'的横坐标为；

故答案为或．


16．如图1是某公园内健身的太空漫步机，当人踩在踏板上，握住扶手，两腿迈开到一定角度时的示意图如图2所示某个高BC为2.5分米的石凳旁边建一个太空漫步机，为方便行人通过，踏板与石凳之间保持了一定的距离，测得踏板静止时GE＝2分米，CE＝16分米，BD∥CE交于点D，DH⊥CE，且CH：HE＝25：7，则FG的长为　12.5　分米；MF在旋转过程中，当点M与点B的距离最小时，此时点M到BC的距离为　6　分米．

【分析】如图，连接DF，BF，延长BD交FE于T．过点M′，作M′Q⊥BT于Q．设FG＝DF＝r分米．在Rt△DFT中，利用勾股定理构建方程求出r即可，再利用平行线分线段成比例定理求出BQ即可解决问题．
【解答】解：如图，连接DF，BF，延长BD交FE于T．过点M′，作M′Q⊥BT于Q．设FG＝DF＝r分米．

由题意四边形BCET，四边形DHET都是矩形，TE＝BC＝2.5分米，GE＝2分米，
∵CE＝16分米，EH＝×EC＝（分米），
∴DT＝HE＝（分米），TG＝TE﹣GE＝0.5（分米），
在Rt△DFT中，则有r2＝3.52+（r﹣0.5）2，
∴r＝12.5，
∴FT＝12（分米），BT＝16（分米），
∴BF＝＝＝20（分米），
∵FM′＝FG＝12.5（分米），
∴BM′＝BF﹣FM′＝7.5（分米），
∵M′Q∥FT，
∴＝，
∴＝，
∴BQ＝6（分米），
∴当点M与点B的距离最小时，此时点M到BC的距离为6分米，
故答案为12.5，6．
三．解答题（共11小题）
17．（1）计算：
（2）化简：
【分析】（1）先化简二次根式、代入特殊锐角三角函数值、计算负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减可得；
（2）根据同分母分式的加减运算法则计算可得．
【解答】解：（1）原式＝2﹣4×+2
＝2﹣2+2
＝2；

（2）原式＝
＝
＝
＝2．
18．为了解某校学生的睡眠情况，该校数学小组随机调查了部分学生一周的平均每天睡眠时间，设每名学生的平均每天睡眠时间为x时，共分为四组：A．6≤x＜7，B．7≤x＜8，C．8≤x＜9，D．9≤x≤10，将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：
注：学生的平均每天睡眠时间不低于6时且不高于10时．
请回答下列问题：
（1）本次共调查了　50　名学生；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）求扇形统计图中C组所对应的圆心角度数；
（4）若该校有1500名学生，根据抽样调查结果，请估计该校有多少名学生平均每天睡眠时间低于7时．
【分析】（1）根据D组的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数；
（2）根据频数分布直方图中的数据和（1）中的结果，可以得到C组的人数，从而可以将频数分布直方图补充完整；
（3）根据频数分布直方图中的数据，可以计算出扇形统计图中C组所对应的圆心角度数；
（4）根据频数分布直方图中的数据，可以计算该校有多少名学生平均每天睡眠时间低于7时．
【解答】解：（1）本次共调查了17÷34%＝50名学生，
故答案为：50；
（2）C组学生有50﹣5﹣18﹣17＝10（名），
补全的频数分布直方图如右图所示；
（3）扇形统计图中C组所对应的圆心角度数是：360°×＝72°，
即扇形统计图中C组所对应的圆心角度数是72°；
（4）1500×＝150（名），
答：估计该校有150名学生平均每天睡眠时间低于7时．

19．如图是6×6的方格纸，点A、B、C都在格点上，按要求画图：
（1）在图1中找到一个格点D，使以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形；
（2）在图2中仅用无刻度直尺，在线段AC取一点P，使得AP＝AC．（保留作图痕迹，不写画法）

【分析】（1）根据平行四边形的判定方法解决问题即可（有三种情形）．
（2）利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
【解答】解：（1）如图1中，点D，D′，D″即为所求．

（2）如图2中，取格点M，N，连接MN交AC于点P，点P即为所求．

20．如图，O是菱形ABCD对角线BD上的一点，且OC＝OD，连接OA．
（1）求证：∠AOC＝2∠ABC；
（2）求证：CD2＝OD•BD．

【分析】（1）连接AC，利用菱形的性质解答即可；
（2）利用菱形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可．
【解答】证明：（1）连接AC．
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD垂直平分AC，∠ADC＝∠ABC．
∵O是BD上一点，
∴OA＝OC．
∵OC＝OD，∴AO＝OD，∠ODC＝∠OCD．
∴∠BOC＝∠ODC+∠OCD＝2∠ODC．
同理：∠AOB＝2∠ADO，
∴∠AOC＝2（∠ADO+∠ODC）＝2∠ADC．
又∵∠ADC＝∠ABC，
∴∠AOC＝2∠ABC．
∴∠AOC＝2∠ADC，
又∵∠ADC＝∠ABC，
∴∠AOC＝2∠ABC．
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD．
∴∠BDC＝∠CBD．
由（1）得∠ODC＝∠OCD，
∴∠OCD＝∠DBC．
在△CDO和△BDC中
∵∠ODC＝∠CDB，∠OCD＝∠CBD
∴△CDO∽△BDC．
∴＝，
即CD2＝OD•BD．
21．如图1是某品牌订书机，其截面示意图如图2所示．订书钉放置在轨槽CD内的MD处，由连接弹簧的推动器MN推紧，连杆EP一端固定在压柄CF上的点E处，另一端P在DM上移动．当点P与点M重合后，拉动压柄CF会带动推动器MN向点C移动．使用时，压柄CF的端点F与出钉口D重合，纸张放置在底座AB的合适位置下压完成装订（即点D与点H重合）．已知CA⊥AB，CA＝2cm，AH＝12cm，CE＝5cm，EP＝6cm，MN＝2cm．
（1）求轨槽CD的长（结果精确到0.1）；
（2）装入订书钉需打开压柄FC，拉动推动器MN向点C移动，当∠FCD＝53°时，能否在ND处装入一段长为2.5cm的订书钉？（参考数据：≈2.24，≈6.08，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60）

【分析】（1）由题意CD＝CH，利用勾股定理求出CH即可．
（2）如图2中，作EK⊥PC于K．解直角三角形求出CK，PK，DN即可判断．
【解答】解：（1）由题意CD＝CH，
在Rt△ACH中，CH＝＝2≈12.2（cm）．
∴CD＝CH＝12.2（cm）．

（2）如图2中，过点E作EK⊥PC于K．

在Rt△ECK中，EK＝EC•sin53°≈4（cm），CK＝EC•cos53°≈3（cm），
在Rt△EPK中，PK＝＝＝2≈4.48（cm），
∴DP＝CD﹣CK﹣PK﹣MN＝12.2﹣3﹣4.48﹣2＝2.72＞2.5，
∴能在ND处装入一段长为2.5cm的订书钉．
22．如图，线段BC所在的直线是以AB为直径的圆的切线，点D为圆上一点，满足BD＝BC，且点C、D位于直径AB的两侧，连接CD交圆于点E．点F是BD上一点，连接EF，分别交AB、BD于点G、H，且EF＝BD．
（1）求证：EF∥BC；
（2）若EH＝4，HF＝2，求的长．

【分析】（1）根据圆心角、弧、弦的关系，先证得＝，即可证得＝，根据圆周角定理和等腰三角形的性质得出∠C＝∠FED即可证得结论；
（2）连接DF，根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出∠FBD＝∠FDB＝∠BDE＝∠BFH，HB＝HF＝2，解直角三角形求得∠BHG＝60°．进一步得出∠FDB＝∠BDE＝30°，得出∠DFH＝90°，根据圆周角定理证得DE为直径，并求得DE＝4，且BE所对圆心角＝60°．然后根据弧长公式求得即可．
【解答】（1）证明：∵EF＝BD，
∴＝，
∴＝，
∴∠D＝∠DBF，∠D＝∠FED，
∴BF∥CD
又BD＝BC，
∴∠D＝∠C，
∴∠FED＝∠C，
∴EF∥BC；
（2）解：∵AB是直径，BC为切线，
∴AB⊥BC
又EF∥BC，
∴AB⊥EF，
∴＝，GF＝GE＝（HF+EH）＝3，
∴HG＝GF﹣HF＝3﹣2＝1，∠BDF＝∠BDC，
又∵BF∥CD，
∴∠FBD＝∠FDB＝∠BDE＝∠BFH，
∴HB＝HF＝2，
∴cos∠BHG＝＝，∠BHG＝60°．
∴∠BDE＝∠DEF＝30°，
∴∠FDB＝∠BDE＝30°
∴∠DFH＝90°，
∴DE为直径，
∴DE＝＝＝4，且BE所对圆心角＝60°．
∴的长：＝．

23．某市政府规定：若本市企业按生产成本价提供产品给大学生销售，则政府给该企业补偿（补偿额＝（批发价﹣生产成本价）×销售量）．大学生小明投资销售本市企业生产的一种新型节能灯，调查发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y＝﹣10x+500．已知这种节能灯批发价为每件12元，设
它的生产成本价为每件m元（m＜12）
（1）当m＝10时．
①若第一个月的销售单价定为20元，则第一个月政府要给该企业补偿多少元？
②设所获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
（2）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得超过30元．今年三月小明获得赢利，此时政府给该企业补偿了920元，若m，x都是正整数，求m的值．
【分析】（1）①把x＝20代入y＝﹣10x+500求出销售的件数，然后求出政府承担的成本价与出厂价之间的差价；
②由总利润＝销售量•每件纯赚利润，得w＝（x﹣10）（﹣10x+500），把函数转化成顶点坐标式，根据二次函数的性质求出最大利润；
（2）根据题意列出关于m和x的方程，再从两个未知数取值条件求得结果．
【解答】解：（1）①当x＝20时，y＝﹣10x+500＝﹣10×20+500＝300，
300×（12﹣10）＝300×2＝600元，
答：第一个月政府要给该企业补偿600元．
②由题意得，小明每月的利润为w＝（x﹣10）（﹣10x+500）
＝﹣10x2+600x﹣5000
＝﹣10（x﹣30）2+4000
∵a＝﹣10＜0，
∴当x＝30时，w有最大值4000元．
答：当销售单价定为30元时，小明每月可获得最大利润4000元．

（2）由题意得，
（12﹣m）（﹣10x+500）＝920，
∴m＝，
∵12≤x≤30，x为整数，
∴﹣38≤x﹣50≤﹣20，且x﹣50为整数，
∵m＜12，且m为整数，
∴x﹣50＝﹣23，
∴m＝．
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，点P是射线BA上的一个动点，以BP为半径的⊙P交射线BC于点D，直线PD交直线AC于点E，点P关于直线AC的对称点为点P′，连接P′A，P′E，设直线P′E与直线BC交于点F．
（1）当点P在线段BA上时，
①求证：PE＝PA；
②连接P'P，当BF＝2PB时，求P′P的长；
（2）连接AD，AF，当△ADF恰为等边三角形时，求此时四边形PAP′E的面积；
（3）当四边形PAP′E在⊙P内部时，请直接写出BP的取值范围．

【分析】（1）①欲证明PA＝PE，利用等角的余角相等证明∠BAC＝∠AED即可；
②如图2中，作PH⊥BD于H，连接PP′交AC于点J．设PB＝x，则BF＝2x．易知CD＝CF＝2x﹣4，根据BD+CD＝4，可得x+2x﹣4＝4，推出x＝，由PJ∥BC，可得＝，由此即可解决问题；
（2）分两种情形分别求解即可：①如图3中，当点D在BC上时．②如图4中，当点D在BC的延长线上时，分别求解即可；
（3）如图4中，当点P在线段AB上，点P′在⊙P上时，设PB＝m则AP＝5﹣m，构建方程求出m的值，再求出点P在AB的延长线上，P′在⊙P上时的m的值，即可判断．
【解答】（1）①证明：如图1中，

∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，∠CDE+∠AED＝90°，
∵PB＝PD，
∴∠PBD＝∠PDB＝∠CDE，
∴∠BAC＝∠AED，
∴PA＝PE．

②如图2中，作PH⊥BD于H，连接PP′交AC于点J．设PB＝x，则BF＝2x．

在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，
∴AC＝＝3，
∵PH∥AC，
∴＝，
∴＝，
∴BH＝x，
∵PB＝PD，PH⊥BD，
∴BH＝HD＝x，
∵PA＝PE＝P′A＝P′E，
∴四边形PAP′E是菱形，
∴∠CEF＝∠CED，PJ＝JP′，
∵∠CEF+∠CFE＝90°，∠CDE+∠CED＝90°，
∴∠CDE＝∠CFE，
∴EF＝ED，
∴CD＝CF＝2x﹣4，
∵BD+CD＝4，
∴x+2x﹣4＝4，
∴x＝，
∵PJ∥BC，
∴＝，
∴＝，
∴PJ＝，
∴PP′＝．

（2）①如图3中，当点D在BC上时，连接AD，AF，作PH⊥BC于H，连接PP′交AC于点J．

∵△ADF是等边三角形，AC⊥DF，AC＝3，
∴∠DAC＝30°，
∴CD＝，BD＝4﹣，
∴BH＝DH＝，
∵四边形PJCH是矩形，
∴PJ＝CH＝，
∴AJ＝JE＝×，
∴S四边形PAP′E＝•（4+）••（4+）＝．

②如图4中，当点D在BC的延长线上时，连接AD，AF，当△ADF是等边三角形时，作PH⊥BC于H，连接PP′交AC于点J．

同法可得：CH＝PJ＝，AJ＝JE＝×，
∴S四边形PAP′E＝•（4﹣）•（4﹣）＝．

（3）如图5中，当点P′在⊙P上时，设PB＝m则AP＝5﹣m

∵PJ＝JP′＝（5﹣m）×，
∴PP′＝（5﹣m），
∵PB＝PP′，
∴m＝（5﹣m），
∴m＝，
如图5中，当点P在AB的延长线上时，P′在⊙P上，设PB＝m则AP＝m﹣5．

∵PJ＝JP′＝（m﹣5）×，
∴PP′＝（m﹣5），
∵PB＝PP′，
∴m＝（m﹣5），
∴m＝，
观察图象可知：当四边形PAP′E在⊙P内部时，BP的取值范围为＜PB＜5或5＜m＜．