初中数学中考专区中考模拟当堂达标检测题

这是一份初中数学中考专区中考模拟当堂达标检测题，共28页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）的相反数是（ ）
A．2B．﹣2C．D．﹣
2．（3分）将含有30°角的直角三角板按如图所示的方式放置在一把直尺上，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．120°B．100°C．140°D．150°
3．（3分）记者从河南省交通运输厅了解到，今年清明节3天假期，全省高速公路享受减免通行费政策，7座以下小客车总量大约为641.16万辆，共减免2.56亿元．数据“2.56亿”用科学记数法表示为（ ）
A．2.56×108B．2.56×107C．0.256×108D．0.256×109
4．（3分）一个几何体由一些大小相同的小正方体组成，如图是它的主视图和俯视图，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少为（ ）
A．3B．4C．5D．6
5．（3分）若二次函数y＝mx2﹣2x+1的图象与x轴无交点，则m的取值范围为（ ）
A．m＜1B．m＞1C．m＞﹣1且m≠0D．m＜1且m≠0
6．（3分）某商品连续两次降价，每件零售价由原来的56元降到了31.5元，若设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为（ ）
A．56（1﹣x）2＝31.5B．56（1+x）2＝31.5
C．（1﹣x）2＝31.5D．31.5（1+x）2＝56
7．（3分）某班同学分成6小组进行活动人数分别为13，6，12，6，5，8，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．6，7B．6，6C．6，12D．8，13
8．（3分）如图，反比例函数y1＝（x＞0）和一次函数y2＝x+1的图象相交于点A，则使y1＞y2的x的取值范围是（ ）
A．x＞1B．0＜x＜1C．x＜1D．x＞0
9．（3分）如图1，正方形ABCD的边长和等腰直角△FGH的边AD与FG重合，边AB与FH在一条直线上，△FGH以1cm/s的速度向右移动，直到点H与点B重合才停止移动，两个图形重叠部分的面积为S（cm2）．图2所示的是△FGH向右移动时，面积S（cm2）与随时间t（s）的变化的关系图象，则a的值是（ ）
A．16B．8C．2D．4
10．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝60°，AC＝4，BC＝3．分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于M、N两点，作直线MN交AC于点D，则CD的长为（ ）
A．1B．C．D．3
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：（1﹣）0+（）﹣2＝ ．
12．（3分）不等式组的所有整数解的和是 ．
13．（3分）不透明的袋子中装有5个球，其中有3个红球、2个黑球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出2个球，则它们都是红球的概率为 ．
14．（3分）如图，AC是边长为2的正方形ABCD的对角线，P为BC边上一动点，E，F为AB，AC的中点．当PE+PF的值最小时，CP的值为 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点B按逆时针旋转90°得到△A′BC′，点A经过的路径为弧AA′，若AB＝2，BC′＝，则图中阴影部分的面积为 ．
三．解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（8分）先化简，再求值：（x+2y）2﹣（2y﹣x）（x+2y）﹣2x（x+y），其中x＝﹣1，y＝+2．
17．（9分）为了解某地区初三年级数学学科一模的成绩情况，教育局进行了抽样调查，过程如下，请将有关问题补充完整．
收集数据：随机抽取A，B两所学校各20名学生的数学成绩（满分120）进行分析：
整理、分析数据：两组数据的平均数、中位数、方差、优秀率（成绩≥96）如下表所示：
（1）表格中a＝ ，b＝ ；
（2）综合表中的统计量，请判断哪所学校学生的数学水平较高，并说明理由．
18．（9分）黄河是中华文明最主要的发源地，中国人称其为“母亲河”．为落实黄河文化的传承弘扬，某校组织学生到黄河某段流域进行研学旅行．某兴趣小组在只有米尺和测角仪的情况下，想要求出河南段黄河某处的宽度（不能到对岸）．如图，已知该段河对岸岸边有一点A，兴趣小组以A为参照点在河这边沿河边任取两点B、C，测得∠ABC＝65°，∠ACB＝45°，量得BC的长为300m．
（1）求河的宽度．（结果精确到1m，参考据sin65°≈0.91，cs65°≈0.42，tan65°≈2.14）
（2）兴趣小组在测量时发现还有其他测量方案，请你另外设计一套测量方案，画出图形，并作出简要说明．
19．（9分）安居小区为鼓励本小区50户居民锻炼身体，居委会决定为每户发放一个拉力器或一个健身球．已知购买3个拉力器比购买2个健身球多花70元；购买2个拉力器和4个健身球共需260元．
（1）分别求出拉力器和健身球的单价；
（2）居委会在购买时发现：体育用品商店的拉力器购买数量低于30个不优惠，不低于30个打9折；健身球不打折．若要求购买拉力器的数量不低于健身球数量的2倍，请你设计出费用最少的采购方案，并说明理由．
20．（9分）如图，在▱ABCD中，AC＝BC＝4，以AC为直径的⊙O交CD于点E，过点E作⊙O的切线交AD于点F．
（1）求证：EF⊥AD；
（2）填空：
①当∠B＝ °时，四边形AOEF为正方形；
②当AF＝ 时，四边形ABCD为菱形．
21．（10分）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+3与x轴交于A、C两点，与y轴正半轴交于B点，已知AC＝4．
（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；
（2）若Q为第一象限抛物线上的一个动点，P（1，0）为x轴上的一点，过点Q作QD⊥x轴，若△BOP与以点P、Q、D为顶点的三角形相似，求动点Q的坐标．
22．（10分）小明在学习中遇到这样一个问题：
如图1，在⊙O中，AE是直径，D是半圆弧AE上一动点，弦AD、AB分别在直径AE的两侧，线段AB＝8cm，C是的中点，连接CD，当△BCD为等腰三角形时，求线段BD的长度．
小明在解决此问题时，尝试结合学习函数的经验研究此问题，请将下面的探究过程补充完整：
（1）根据点D在半圆弧AE上的不同位置，画出相应的图形，测量线段AD、CD、BD的长度，得到下表的几组对应值：
操作中发现：
①当CD＝10时，上表中a的值是 ；
②线段BC的长度无需测量即可得到，请简要说明理由．
（2）将线段AD的长度作为自变量x，CD和BD的长度都是x的函数，分别记为yCD和yBD，并在平面直角坐标系xOy中画出了函数yBD的图象，如图2所示，请在同一坐标系中画出函数yCD的图象．
（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当△BCD为等腰三角形时，线段AD长度的近似值．（结果保留一位小数）
23．（11分）如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，D、E分别是BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按逆时针方向旋转记旋转角为α．
（1）问题发现：
当α＝0°时，＝ ，当α＝180°时，＝ ；
（2）拓展探究：
①当0°≤α＜360°时，的值有无变化？请仅就图2的情况给出证明．
②当△ACE为直角三角形时，直接写出线段BD的长．
2021年河南省新乡市辉县市中考数学二调试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分共30分）下列各小题均有四个答案其中只有一个是正确的
1．（3分）的相反数是（ ）
A．2B．﹣2C．D．﹣
【分析】根据相反数的概念和绝对值的性质进行解答．
【解答】解：的相反数是﹣．
故选：D．
2．（3分）将含有30°角的直角三角板按如图所示的方式放置在一把直尺上，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．120°B．100°C．140°D．150°
【分析】延长BC交直线a于点D，由平行线的性质可得∠BDE＝20°，再由已知条件可求得∠ACB＝60°，利用外角性质可求∠CED＝40°，则可求∠2的度数．
【解答】解：延长BC交直线a于点D，如图所示：
∵a∥b，∠1＝20°，
∴∠EDB＝∠1＝20°，
∵∠A＝30°，∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝60°，
∵∠ACB是△CDE的一个外角，
∴∠CED＝40°，
∴∠2＝180°﹣∠CED＝140°．
故选：C．
3．（3分）记者从河南省交通运输厅了解到，今年清明节3天假期，全省高速公路享受减免通行费政策，7座以下小客车总量大约为641.16万辆，共减免2.56亿元．数据“2.56亿”用科学记数法表示为（ ）
A．2.56×108B．2.56×107C．0.256×108D．0.256×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：2.56亿＝25600000000＝2.56×108．
故选：A．
4．（3分）一个几何体由一些大小相同的小正方体组成，如图是它的主视图和俯视图，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数．
【解答】解：由题中所给出的主视图知物体共两列，且左侧一列高一层，右侧一列最高两层；
由俯视图可知左侧一行，右侧两行，于是，可确定左侧只有一个小正方体，而右侧可能是一行单层一行两层，也可能两行都是两层．
所以图中的小正方体最少4块，最多5块．
故选：B．
5．（3分）若二次函数y＝mx2﹣2x+1的图象与x轴无交点，则m的取值范围为（ ）
A．m＜1B．m＞1C．m＞﹣1且m≠0D．m＜1且m≠0
【分析】根据二次函数的图象与系数之间的关系即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：，
∴，
解得：m＞1，
故选：B．
6．（3分）某商品连续两次降价，每件零售价由原来的56元降到了31.5元，若设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为（ ）
A．56（1﹣x）2＝31.5B．56（1+x）2＝31.5
C．（1﹣x）2＝31.5D．31.5（1+x）2＝56
【分析】设平均每次降价的百分率为x，则等量关系为：原价×（1﹣x）2＝现价，据此列方程．
【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，
由题意得，56（1﹣x）2＝31.5，
故选：A．
7．（3分）某班同学分成6小组进行活动人数分别为13，6，12，6，5，8，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．6，7B．6，6C．6，12D．8，13
【分析】根据中位数、众数的意义进行解答即可．
【解答】解：这组数据中，出现次数最多的是6，因此众数是6，
将这6组的人数从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数是＝7，因此中位数是7，
故选：A．
8．（3分）如图，反比例函数y1＝（x＞0）和一次函数y2＝x+1的图象相交于点A，则使y1＞y2的x的取值范围是（ ）
A．x＞1B．0＜x＜1C．x＜1D．x＞0
【分析】先求得A的横坐标，根据反比例函数落在一次函数图象上方的部分对应的x的取值范围即为所求．
【解答】解：与＝x+1（x＞0）解得x1＝1，x2＝﹣2（舍去），
∴A的横坐标为1，
由图象可知，当y1＞y2时，0＜x＜1，
∴使y1＞y2的x的取值范围是0＜x＜1．
故选：B．
9．（3分）如图1，正方形ABCD的边长和等腰直角△FGH的边AD与FG重合，边AB与FH在一条直线上，△FGH以1cm/s的速度向右移动，直到点H与点B重合才停止移动，两个图形重叠部分的面积为S（cm2）．图2所示的是△FGH向右移动时，面积S（cm2）与随时间t（s）的变化的关系图象，则a的值是（ ）
A．16B．8C．2D．4
【分析】由图2分析得到FH与BC重合时，重叠部分的面积为a+4（cm2），点H到点B的运动时间为（a+4）s，然后结合等腰三角形的性质求得a的值．
【解答】解：由题意得，点H运动到点B的时间为（a+4）s，当FH运动到与BC重合时，重叠部分的面积为a+4（cm2），
∵△FGH和正方形ABCD的边长相等，
∴AB＝AH＝ cm，
当FH与BC重合时，重叠部分的面积为△ADH的面积，
∴S＝＝a+4，
解得：a＝﹣4（舍）或a＝4，
故选：D．
10．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝60°，AC＝4，BC＝3．分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于M、N两点，作直线MN交AC于点D，则CD的长为（ ）
A．1B．C．D．3
【分析】根据作图过程可得MN是线段AB的垂直平分线，可得DA＝DB，然后作DE⊥BC于点E，根据勾股定理即可得结果．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥BC于点E，
根据作图过程可知：MN是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∵DE⊥BC，∠C＝60°，
∴∠CDE＝30°，
设CD＝x，则CE＝x，
∴DE＝x，
∵BC＝3．
∴BE＝BC﹣CE＝3﹣x，
∵AC＝4，
∴DB＝DA＝AC﹣CD＝4﹣x，
在Rt△BDE中，根据勾股定理，得
DB2＝BE2+DE2，
∴（4﹣x）2＝（3﹣x）2+（x）2，
解得x＝．
则CD的长为．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：（1﹣）0+（）﹣2＝ 5 ．
【分析】根据零指数幂，负整数指数幂的运算法则进行计算．
【解答】解：原式＝1+4＝5，
故答案为：5．
12．（3分）不等式组的所有整数解的和是 3 ．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出整数解，得到整数解之和即可．
【解答】解：不等式组整理得：，
解得：﹣1＜x≤2，
∴不等式组的整数解为0，1，2，
则所有整数解的和为0+1+2＝3．
故答案为：3．
13．（3分）不透明的袋子中装有5个球，其中有3个红球、2个黑球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出2个球，则它们都是红球的概率为 ．
【分析】画树状图展示所有16种等可能的结果，找出个都是红球的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有20种等可能的结果，其中两个都是红球的结果数为6，
所以从袋子中随机取出2个球，则它们都是红球的概率＝＝．
故答案为．
14．（3分）如图，AC是边长为2的正方形ABCD的对角线，P为BC边上一动点，E，F为AB，AC的中点．当PE+PF的值最小时，CP的值为 ．
【分析】将点E关于BC对称得到点G，连接BG，PG，根据将军饮马模型，当PE+PF的值最小时，即PG+PF值最小时，此时P，F，G三点共线，再借助三角形中位线求解．
【解答】解：将点E关于BC对称得到点G，连接BG，PG，如图，
∴BE＝BG，PE＝PG，
当PE+PF的值最小时，即PG+PF值最小时，此时P，F，G三点共线，
∵E，F为AB，AC的中点，
∴EF为△ABC中位线，
∴EF∥BC，EF＝BC＝1，
∵点B为EG中点，BP∥EF，
∴BP为△GEF中位线，
∴BP＝EF＝，
∴CP＝2﹣＝，
故答案为．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点B按逆时针旋转90°得到△A′BC′，点A经过的路径为弧AA′，若AB＝2，BC′＝，则图中阴影部分的面积为 ．
【分析】根据旋转的性质得出BC＝BC′＝，AC＝A′C′，根据勾股定理求出AC，根据图形得出阴影部分的面积＝扇形ABA′的面积+△BA′C′的面积﹣△ACB的面积﹣△CBC′的面积，再求出答案即可．
【解答】解：∵将△ABC绕点B按逆时针旋转90°得到△A′BC′，点A经过的路径为弧AA′，BC′＝，
∵BC＝BC′＝，AC＝A′C′，
由勾股定理得：AC＝＝＝1，即A′C′＝1，
∵阴影部分的面积＝扇形ABA′的面积+△BA′C′的面积﹣△ACB的面积﹣△CBC′的面积，
∴图中阴影部分的面积S＝+﹣﹣
＝π﹣，
故答案为：π﹣．
三．解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（8分）先化简，再求值：（x+2y）2﹣（2y﹣x）（x+2y）﹣2x（x+y），其中x＝﹣1，y＝+2．
【分析】先根据完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
【解答】解：（x+2y）2﹣（2y﹣x）（x+2y）﹣2x（x+y）
＝（x2+4xy+4y2）﹣（4y2﹣x2）﹣（2x2+2xy）
＝x2+4xy+4y2﹣4y2+x2﹣2x2﹣2xy
＝2xy，
当x＝﹣1，y＝+2时，原式＝2×（﹣1）×（+2）
＝2×（2+2﹣﹣2）
＝2×
＝2．
17．（9分）为了解某地区初三年级数学学科一模的成绩情况，教育局进行了抽样调查，过程如下，请将有关问题补充完整．
收集数据：随机抽取A，B两所学校各20名学生的数学成绩（满分120）进行分析：
整理、分析数据：两组数据的平均数、中位数、方差、优秀率（成绩≥96）如下表所示：
（1）表格中a＝ 106 ，b＝ 80% ；
（2）综合表中的统计量，请判断哪所学校学生的数学水平较高，并说明理由．
【分析】（1）用A学校学生数学成绩不低于96分的人数除以总人数即可求出b的值，将B学校数学成绩重新排列，再根据中位数的定义可得a的值；
（2）根据平均数、中位数及优秀率的意义求解即可．
【解答】解：（1）A学校学生成绩的优秀率b＝×100%＝80%，
将B学校20名学生成绩重新排列为59，86，87，88，89，96，97，102，104，105，107，108，108，108，108，110，111，113，116，117，
所以其成绩的中位数a＝＝106，
故答案为：106、80%；
（2）A学校学生的数学水平较高，
∵A学校学生的平均数、中位数及优秀率均高于B学校，
∴A学校学生的数学平均成绩高于B学校，且A学校学生数学成绩的高分人数多于B学校，
∴A学校学生的数学水平较高．
18．（9分）黄河是中华文明最主要的发源地，中国人称其为“母亲河”．为落实黄河文化的传承弘扬，某校组织学生到黄河某段流域进行研学旅行．某兴趣小组在只有米尺和测角仪的情况下，想要求出河南段黄河某处的宽度（不能到对岸）．如图，已知该段河对岸岸边有一点A，兴趣小组以A为参照点在河这边沿河边任取两点B、C，测得∠ABC＝65°，∠ACB＝45°，量得BC的长为300m．
（1）求河的宽度．（结果精确到1m，参考据sin65°≈0.91，cs65°≈0.42，tan65°≈2.14）
（2）兴趣小组在测量时发现还有其他测量方案，请你另外设计一套测量方案，画出图形，并作出简要说明．
【分析】（1）过点A作AD⊥BC于点D，设AD＝xm，则BD＝，根据BC＝300m，即可列出方程；
（2）过河对岸点A作AB⊥BC，在河这边任选一点C，作CE⊥BC，测量CE，CD，BD的长度，通过相似可得河宽AB的长度．
【解答】解：（1）如图1，过点A作AD⊥BC于点D，
设AD＝xm，
由图可知，∠ABD＝65°，∠ACB＝45°，
在Rt△ABD中，
∵∠ABD＝65°，AD＝xm，
∴BD＝，
在Rt△ACD中，
∵∠ACD＝45°，
∴CD＝xm，
∵BD+DC＝BC，
∴0.47x+x＝300，
∴AD＝x≈204m，
∴河的宽度约为204m；
（2）如图2，过河对岸点A作AB⊥BC，在河这边任选一点C，作CE⊥BC，
测量CE，CD，BD的长度，通过相似可得河宽AB的长度．
19．（9分）安居小区为鼓励本小区50户居民锻炼身体，居委会决定为每户发放一个拉力器或一个健身球．已知购买3个拉力器比购买2个健身球多花70元；购买2个拉力器和4个健身球共需260元．
（1）分别求出拉力器和健身球的单价；
（2）居委会在购买时发现：体育用品商店的拉力器购买数量低于30个不优惠，不低于30个打9折；健身球不打折．若要求购买拉力器的数量不低于健身球数量的2倍，请你设计出费用最少的采购方案，并说明理由．
【分析】（1）设拉力器的单价为a元，健身球的单价为b元，由题意得，，解之即可．
（2）设购买的拉力器为x个，则购买的健身球为（50﹣x）个，采购费用为w元，由题意可知，x≥2（50﹣x），w＝50×0.9x+40（50﹣x）＝5x+2000；解得x≥33，由函数的增减性可知，当x＝34时，w最小．
【解答】解：（1）设拉力器的单价为a元，健身球的单价为b元，
由题意得，，
解得，
∴拉力器的单价为50元，健身球的单价为40元．
（2）设购买的拉力器为x个，则购买的健身球为（50﹣x）个，采购费用为w元，
由题意可知，x≥2（50﹣x），
∴x≥33，
∴w＝50×0.9x+40（50﹣x）＝5x+2000，
∵5＞0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x＝34时，w最小，
此时50﹣x＝26．
∴当购买拉力器34个，健身球26个时，花费最小．
20．（9分）如图，在▱ABCD中，AC＝BC＝4，以AC为直径的⊙O交CD于点E，过点E作⊙O的切线交AD于点F．
（1）求证：EF⊥AD；
（2）填空：
①当∠B＝ 45 °时，四边形AOEF为正方形；
②当AF＝ 3 时，四边形ABCD为菱形．
【分析】（1）利用三角形的中位线定理证明OE⊥AD，可得结论；
（2）①结论：当∠B＝45°时，四边形OEFA是正方形．证明四边形OEFA是矩形，可得结论．
②结论：当AF＝3时，四边形ABCD是菱形．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD，
∵AC＝BC，
∴AC＝AD，
∵AC是直径，
∴∠AEC＝90°，
∴AE⊥CD，
∴CE＝ED，
∵AO＝OC，
∴OE∥AD，
∵EF是⊙O的切线，
∴EF⊥OE，
∴EF⊥AD．
（2）解：①结论：当∠B＝45°时，四边形OEFA是正方形．
理由：如图2中，
∵CB＝CA，
∴∠B＝∠CAB＝45°，
∴∠ACB＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACB＝90°，
∵EF⊥AD，EF是切线，
∴∠OEF＝∠AFE＝90°，
∴四边形OEFA是矩形，
∵OA＝OE，
∴四边形OEFA是正方形．
故答案为：45．
②结论：当AF＝3时，四边形ABCD是菱形．
理由：如图3中，
∵AD＝BC＝4，AF＝3，
∴DF＝1，
∵∠AED＝∠AFE＝∠EFD＝90°，
∴∠EAF+∠D＝90°，∠FED+∠D＝90°，
∴∠EAF∠FED，
∴△AEF∽△EDF，
∴＝，
∴＝，
∴EF＝，
∴tanD＝＝，
∴∠D＝60°，
∵AC＝AD，
∴△ACD是等边三角形，
∴DA＝DC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．
故答案为：3．
21．（10分）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+3与x轴交于A、C两点，与y轴正半轴交于B点，已知AC＝4．
（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；
（2）若Q为第一象限抛物线上的一个动点，P（1，0）为x轴上的一点，过点Q作QD⊥x轴，若△BOP与以点P、Q、D为顶点的三角形相似，求动点Q的坐标．
【分析】（1）先确定抛物线对称轴，再确定A点或C点坐标代入可得；
（2）分为△PQD∽△BPO和△PQD∽△PBO，再根据对应边成比例求得．
【解答】解：（1）∵抛物线对称轴x＝﹣＝1，
AC＝4，
∴OA＝3，
∴C（﹣1，0），
∴a（﹣1）2﹣2a•（﹣1）+3＝0，
∴a＝﹣1，
∴y＝﹣x2+2x+3
＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点是（1，4）；
（2）设Q（x，﹣x2+2x+3），
如图1，
当△PQD∽△BPO时，
＝＝，
∴x﹣1＝3（﹣x2+2x+3），
∴x1＝，x2＝（舍去），
∴Q（，），
如图2，
当△PQD∽△PBO时，
＝＝3，
∴（﹣x2+2x+3）＝3（x﹣1），
∴x3＝2，x4＝﹣3（舍去），
∴Q（2，3），
综上所述：Q点坐标是（2，3）或（，）．
22．（10分）小明在学习中遇到这样一个问题：
如图1，在⊙O中，AE是直径，D是半圆弧AE上一动点，弦AD、AB分别在直径AE的两侧，线段AB＝8cm，C是的中点，连接CD，当△BCD为等腰三角形时，求线段BD的长度．
小明在解决此问题时，尝试结合学习函数的经验研究此问题，请将下面的探究过程补充完整：
（1）根据点D在半圆弧AE上的不同位置，画出相应的图形，测量线段AD、CD、BD的长度，得到下表的几组对应值：
操作中发现：
①当CD＝10时，上表中a的值是 8.9 ；
②线段BC的长度无需测量即可得到，请简要说明理由．
（2）将线段AD的长度作为自变量x，CD和BD的长度都是x的函数，分别记为yCD和yBD，并在平面直角坐标系xOy中画出了函数yBD的图象，如图2所示，请在同一坐标系中画出函数yCD的图象．
（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当△BCD为等腰三角形时，线段AD长度的近似值．（结果保留一位小数）
【分析】（1）①由题意，首先证明当AD＝6时，BD＝10，BD是直径，当CD＝10，CD是直径，利用勾股定理求出AD即可．
②证明AC＝BC，可得结论．
（2）利用描点法画出函数图像即可．
（3）利用图象法求出两个函数图象的交点的横坐标，可得结论．
【解答】解：（1）①由题意，当AD＝6时，BD＝10，
∵AB＝8，
∴AD2+AB2＝BD2，
∴∠DAB＝90°，
∴此时BD是直径，
∴当CD＝10时，CD是直径，
∴∠CAD＝90°，
∴AD＝＝≈8.9．
故答案为：8.9．
②∵C是的中点，
∴＝，
∴BC＝AC＝4.5．
（2）函数yCD的图象如图所示：
（3）观察图像可知：当AD＝0或7.5或10.2时，△BCD是等腰三角形．
23．（11分）如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，D、E分别是BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按逆时针方向旋转记旋转角为α．
（1）问题发现：
当α＝0°时，＝ ，当α＝180°时，＝ ；
（2）拓展探究：
①当0°≤α＜360°时，的值有无变化？请仅就图2的情况给出证明．
②当△ACE为直角三角形时，直接写出线段BD的长．
【分析】（1）由DE∥BC得＝＝，由△ACE∽△BCD得出结果；
（2）①由△ACE∽△BCD得＝＝；
②分为∠ACE＝90°，∠AEC＝90°两种情况，利用解直角三角形求得．
【解答】解：（1）当α＝0°时，
∵D、E分别是BC、AC的中点，
∴DE∥AB，
∴＝＝，
当α＝180°时，
同理可得：＝，
故答案是，；
（2）①∵△CDE△CBA，
∴＝，∠DCE＝∠BCA，
∴∠DCE﹣∠CDA＝∠BCA﹣∠CDA，
∴∠BCD＝∠ACE，
∴△ACE∽△BCD，
∴＝＝，
∴当0°≤α＜360°时，的值无变化；
②如图，
当∠ACE＝90°时，
BD＝＝3，
如图2，
当∠ACE＝90°时，
在Rt△ACE中，
∵cs∠ACE＝，
∴∠ACE＝60°，
∵∠BCD＝∠ACE，
∴∠BCD60°，
作DH⊥BC于H，
∴CH＝CD•cs∠BCD
＝×
＝，
DH＝CD•sin∠BCD
＝×
＝，
∴BH＝BC﹣CH＝，
在Rt△BHD中，由勾股定理得，
BD＝
＝，
综上所述：当△ACE为直角三角形时，BD＝3或．
A
111
109
99
106
91
51
117
113
92
111
101
112
105
105
115
108
108
110
64
111
B
104
113
86
89
96
107
97
102
105
108
110
108
87
108
111
116
88
117
59
108
学校
平均数
中位数
方差
优秀率
A
101.95
108
267.65
b
B
100.95
a
180.15
75%
AD/cm
0
2.0
4.0
6.0
8.0
a
10
CD/cm
4.5
6.2
7.7
8.9
9.8
10.0
8.9
BD/cm
8.0
9.0
9.7
10.0
9.6
8.9
6.0
A
111
109
99
106
91
51
117
113
92
111
101
112
105
105
115
108
108
110
64
111
B
104
113
86
89
96
107
97
102
105
108
110
108
87
108
111
116
88
117
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学校
平均数
中位数
方差
优秀率
A
101.95
108
267.65
b
B
100.95
a
180.15
75%
AD/cm
0
2.0
4.0
6.0
8.0
a
10
CD/cm
4.5
6.2
7.7
8.9
9.8
10.0
8.9
BD/cm
8.0
9.0
9.7
10.0
9.6
8.9
6.0