【专项练习】苏教版初二数学上册 《勾股定理》模型（3）——赵爽弦图模型（含答案）学案

《勾股定理》模型（三）——赵爽弦图模型

【结论1】在正方形ABCD的四边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，使得BE＝CF＝GD＝AH，则四边形EHGF是正方形

【证明】在正方形中，BE=CF=GD=AH，∴AE=BF=CG=HD,

        又∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，

∴Rt△BEF≌Rt△CFG≌Rt△DGH≌Rt△AHE，

∴EF＝FG＝GH＝HE,∠AHE＝∠BEF，

∵∠AEH＋∠AHE＝90°, ∴∠AEH十∠BEF＝90°， ∴∠FEH＝90°,

∴四边形 EHGF是正方形.

【结论2】如图所示，在正方形ABCD的四边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H,使得BE=CF=GD=AH,此外EQ∥BC，HP∥CD，GO∥DA，FR∥AB，

则四边形ORQP是正方形

【证明】∵EQ∥BC，HP∥CD，GO∥DA，FR∥AB，且∠A=∠B=∠C=∠D=90°,

∴四边形 AHPE、四边形 EBFQ、四边形 FCGP、四边形 HOGD均为长方形，

∴△AEH≌△PHE≌△BFE≌△QEF≌△CGF≌△RFG≌△DHG≌△OGH,

∴HP=EQ=FR=GO,EP=FQ=GR=HO,

∴OP=PQ=QR=RO，且∠ROP=180°-∠HOG＝90°，

∴四边形 ORQP为正方形.

【结论3】如图所示，在正方形ABCD的四边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，使得BE=CF=GD=AH，此外EQ∥BC，HP∥CD，GO∥DA，FR∥AB，则（1）S正方形=4S十S正方形;

（2）S正方形=4S十S正方形;

（3）S正方形－S正方形＝S正方形－S正方形.

（4）2S正方形=S正方形十S正方形

如图，四个全等的直角三角形与一个小正方形镶嵌而成的图案，大正方形面积为49，小正方形面积为4，若x、y表示直角三角形的两直角边（x＞y），则有：

⑴ x2+y2＝49      勾股定理

⑵ x-y＝2        小正方形边长=长直－短直

⑶ 2xy＋4＝49    面积算两次

常见的勾股数组合

①3,4,5； ②5,12,13；③6,8,10；④8,15,17；⑤9,12,15;

典例1☆☆☆☆☆

设直角三角形的较长直角边长为x，较短直角边长为y.若 x y＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为(     )

A.9        B.6         C.4             D.3

【答案】D

【解析】设小正方形的边长为 a（a＞0），

∵ S大正方形＝S小正形＋4S直角三角形，S直角三角形＝x·y,

∴ 25＝a²＋×4×8，所以a＝3.

故选 D.

典例2  ☆☆☆☆☆

如图，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB=10，EF=2，那么AH等于（    ）

A.8            B.6           C.4            D.5

【答案】B

【解析】∵AB=10，EF=2，

∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，

∴四个直角三角形的面积和为 100-4=96.

设 AE=a，DE=b，则4×ab=96,又a2＋b2=100，

∴（a+b）2=a²＋b2＋2ab=100＋96=196，

∴a+b=14，又a-b=2，

∴a=8,b=6, ∴AH=DE=6.故选 B.

典例3 ☆☆☆☆☆

如图，有4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则 ab的值是（     )

A.4         B.6          C.8           D.10

【答案】B

【解析】由模型结论可得四个直角三角形的面积是ab×4= 17-5=12，

即 ab= 6.故选 B.

1.（★★☆☆☆）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为 b，若（a＋b）2= 21，大正方形的面积为 13，则小正方形的面积为（   )

  A.3         B.4         C.5            D.6

2.（★★☆☆☆）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形.如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是 3 和 7，则大正方形和小正方形的面积差是（     ).

   A.9        B.36          C.42           D.34

1. 由4个直角边长分别为a，b的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示.

根据大正方形的面积c2等于小正方形的面积（a－b）2与4个直角三角形的面积2ab的和证明了勾股定理a2＋b2=c2，还可以用来证明结论∶若a>0，b>0且a2＋b2为定值，则当a____ b 时，ab取得最大值。

“赵爽弦图”的面积关系是中考常考的一种题型，一般出现在选择题、填空题中，如果能够记住面积之间的关系，那么做此类题时一定非常高效.

答案：

小试牛刀

1. 答案 C

解析∵（a十b）2=21，∴a²+2ab＋b2= 21.∵大正方形的面积为13，

∴a²＋b2=13， ∴2ab=21-13=8，

∴小正方形的面积为 13-8=5.故选 C.

2. 答案 C

解析 由题意得小正方形的面积为（7- 3）2=16，

大正方形的面积为32＋7²=58，

∴大正方形和小正方形的面积之差为 58-16=42.

故选 C.

直击中考

1. 答案 ＝

解析设 a2＋b2为定值 k，则c²=a2 ＋b2＝k，由“赵爽弦图”可知，

2ab＝c²－(a－b）2＝k-（a－b）2，即 ab＝

要使ab的值最大，则需（a-b）2最小.

∵（a-b）2≥ 0，∴当a=b时，（a-b）²取得最小值，

故当 a=b时，ab 取得最大值.