初中数学人教版七年级上册4.3 角综合与测试导学案及答案

这是一份初中数学人教版七年级上册4.3 角综合与测试导学案及答案，共14页。学案主要包含了角的定义，角平分线等内容，欢迎下载使用。


二、角平分线：
知识讲解
角的表示方法
利用三个大写字母来表示，如图1．1．

注意：顶点一定要写在中间．也可记为，但不能写成或等．
利用一个大写字母来表示，如图1．2．
注意： 用一个大写字母来表示角的时候，这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的角有且只有一个．
用数字来表示角，如图2．1．
用希腊字母来表示角，如图2．2．
单位换算
1度＝60分（) 1分=60秒（）
角的度量
度量角的工具常用量角器
用量角器注意：对中（顶点对中心）．重合（角的一边与量角器上的零刻度重合）．读数（读出角的另一边所在线的度数）
角的度量单位及其换算
角的度量单位是度．分．秒．把平角分成等份，每一份就是一度的角，记做．把一度的角等分，每一份叫做分的角，记做．把一分的角等分，每一份叫做秒的角，记做．
角度之间的关系
周角= 平角＝ 直角＝
周角＝平角 平角＝直角
角的分类：
锐角（），直角（），钝角（）．
两角的和．差．倍．分
两角的和．差．倍．分的度数等于它们的度数的和．差．倍．分．
（2）从一个角的顶点出发，把它分成两个相等角的射线叫做这个角的平分线．
（3）角平分线的画法：①用量角器②用折叠法
在一张透明纸上画一个角，记为∠PQR，折线使射线QR与射线QP重合，把纸展开，以Q为端点，沿折痕画一条射线，这条射线就是∠PQR的平分线．说说为什么这条线平分∠PQR？

用尺规做已知角的平分线方法
作法：
（1）以点为圆心，以任意长为半径，交角的两边于两点；
（2）分别以A．B两点为圆心，以大于长为半径画弧，画弧交于点；
（3）过C点作射线OC．
所以，射线OC就是所求作的．
余角、补角
如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角．简称“互补”．
如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角，简称“互余”．
补角．余角的性质：同角或等角的补角相等．同角或等角的余角相等．
方位角
方位角一般以正北．正南为基准，描述物体运动方向．即“北偏东度”．“北偏西度”．“南偏东度”．“南偏西度”，方位角的取值范围．“北偏东45度”为东北方向．“北偏西45度”西北方向．“南偏东45度”为东南方向．“南偏西45度”为西南方向．
钟表角度问题
时针12小时转动360度，每小时转动30度；
分针60分钟转动360度，每分钟转动6度．
秒针60秒钟转动360度，每秒钟转动6度．
同步练习
角的概念
角是由有 的两条射线组成的图形，两条射线的 是这个角的顶点，角也可以看成是由一条射线 ．
下列语句正确的是（ ）
①角的大小与边的长短无关．
②如果一个角能用一个大写字母表示，那么以为顶点的角只有一个
③如果一个角能表示为，那么以顶点为顶点的角只有一个．
④两条射线组成的图形叫做角
A ①．② B ①．③ C ①．④ D ②．③
如图，角的顶点是 ，边是 ，
用三种方法表示该角分别为 ．
【变式练习】在右图中，角的表示方法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式练习】如图，以为顶点的角共有几个?请把它们写出来，以为顶点的角呢?
下图中，以为顶点的角是_________．有一边与射线在同一条直线上的角有__________个．
判断
（ ）一条射线绕它的端点旋转一周所成的角是平角．
（ ）用倍的放大镜看的角，这个角就变成了．
（ ）由两条射线组成的图形叫做角．
（ ）延长一个角的两边．
（ ）平角就是一条直线；周角就是一条射线．
角的分类
下列语句正确的是（ ）
A．平角就是一条直线 B．周角就是一条射线
C．小于平角的角是钝角 D．一周角等于四个直角
如图，图中包含小于平角的角的个数有（ ）
A．4个B．5个
C．6个D．7个
如图，∠AOB是平角，则图中小于平角的角共有（ ）
A．4个B．7个C．9个D．10个
如图，必须用三个大写字母表示且小于180°的角共有（ ）
A．10个B．15个 C．20个D．25个
如图，∠CAE=90°，锐角有（ ）个，钝角至少有（ ）个．
A．4，3B．3，2C．6，3D．4，2
角度的换算及运算
（1）
（2）
【变式练习】（1）；（2）；
（3）；（4）．
（1）．（2）
【变式练习】（1）； （2）；
（3）；（4）；
（5）； （6）
（7）； （8）
在小于平角的范围内，用一对普通的三角板能画出确定度数的角有（ ）个
A．4个 B．7个 C．11个 D．16个
如右图，是直线，，求的度数．
余角和补角
如图，于，，平分，则图中与互余的角有______个；互补的角有_________对；
如下图，，，在一条直线上，是锐角，则的余角是（ ）
A． B．
C． D．
一个角和它的余角的比是，则这个角的补角是
一个锐角的一半与这个锐角的余角及这个锐角的补角的和等于平角，求这个锐角的度数．
如果一个角的补角与余角的和，比它的补角与余角的差大，求这个角的余角度数．
【变式练习】一个角与角之和的等于角的余角，求．
【变式练习】已知的余角是的补角的，并且，试求的度数．
已知两角互补，试说明：较小角的余角等于两角差的一半．
角平分线
从一个角的顶点出发，把它分成两个角的直线叫做这个角的平分线． （填“正确”或“错误”）
如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠COB，若∠EOB=55°，则∠BOD的度数是（ ）
A．35° B．55° C．70°D．110°
如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，若∠BOC=80°，则∠AOE的度数是（ ）
A．40°B．50° C．80°D．100°
如图所示，将一张长方形纸的一角斜折过去，使顶点A落在A′处，BC为折痕，如果BD为
∠ABE的平分线，则∠CBD=（ ）
A．80° B．90° C．100°D．70°
如图，BE、CF分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，∠A=44°，那么∠BDC的度数为（ ）
A．68° B．112° C．121° D．136°
下列说法正确的是（ ）
A．两点之间直线最短
B．用一个放大镜能够把一个图形放大，也能够把一个角的度数放大
C．将一个角分成两个角的射线叫角的平分线
D．直线l经过点A，那么点A在直线l上
方位角
下面图形中，表示北偏东的是（ ）

下列说法不正确的是（ ）
A．方向是北偏东
B．方向是北偏西
C．方向是南偏西
D．方向是东南方向
如图，平面内有两点
（1）分别画出点处北偏东的方向和点处北偏西的方向．
（2）点位于的什么方向（精确到）
如图，、、、是北京奥运会场馆分布图，请结合图形回答问题．
为了方便指明每个场馆的位置，以天安门为中心（即点的位置）建立了位置指示图，直线
相交于，，请按要求完成下列问题：
①若在图上测得，，，则可知场馆的位置是北偏西，据中心，可简记为（，北偏西）．据此方法，场馆的位置可简记为（_________，________）．
②可求得________；
③在现有的图形中（不增加新的字母），与_____________是互补的角．
共定点角的相关计算
如图，在直线上取一点，在同侧引射线，，，使和互余，射线和分别平分和，求证：．
【变式练习】如图，直线，相交于点，作，平分，若，求．
如图所示，，是内部的任意一条射线，若平分，平分，试求的度数．
如图，是一个平角
，求的度数．
已知：如图，是外的一条射线，平分．平分．
①若，， 问：
②若，求的度数并说明理由．
为外的一个锐角，射线．分别平分．．
（1），，求的度数；
（2），，求的度数；
（3），，还能否求出的度数吗？若能，求出其值，若不能，说明理由．
（4）从前三问的结果你发现了什么规律？
已知：．．是从点引出的三条射线，，求．
已知一条射线，若从点再引两条射线与，使，，求的度数．
已知都是钝角，计算，正确的结果只可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式练习】．．中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算的值时，有三位同学分别算出了．．这三个不同的结果．其中确有一个是正确的答案，求的值．
在同一平面内有射线平分，的3倍比的2倍多，，求的度数．
以的顶点为端点引射线，使得，且，均小于，若，求的度数．
钟表角度问题
从3时到6时，钟表的时针旋转角的度数是（ ）
A．30B．60°
C．90°D．120°
下午2点30分时（如图），时钟的分针与时针所成角的度数为（ ）
A．90°B．105°C．120°D．135°
由2点15分到2点30分，时钟的分针转过的角度是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
钟面上从2点到4点有几次时针与分针夹成的角？分别是几点几分？
钟表在12点钟时三针重合，经过分钟后，秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平分，则的值是多少?
课后练习
【习题1】一个角的补角和它的余角的倍的和等于周角的，求这个角．
【习题2】下列图形中，表示南偏西的是（ ）

【习题3】下列说法中，正确的是（ ）
A．一条射线把一个角分成两个角，这条射线叫做这个角的平分线
B．两个锐角的和为钝角
C．相等的角互为余角
D．钝角的补角一定是锐角
【习题4】一个角的余角的倍和它的补角的互为补角，求这个角的度数．
【习题5】已知一个角的补角等于这个角余角的倍，那么这个角等于多少？
【习题6】如图，平分，平分，若，，求的小．
角的相关概念