高中4.5 函数的应用（二）第3课时学案

这是一份高中4.5 函数的应用（二）第3课时学案，共8页。

基础知识
知识点 两角和与差的正切公式
思考：(1)由同角三角函数的商数关系如tan(α＋β)＝eq \f(sinα＋β,csα＋β)，由此能否推导出两角和的正切公式？
(2)两角和与差的正切公式中，α，β，α±β的取值是任意的吗？为什么？
提示：(1)能．
tan(α＋β)＝eq \f(sinα＋β,csα＋β)＝eq \f(sinαcsβ＋csαsinβ,csαcsβ－sinαsinβ)，分子分母同除以csαcsβ可得tan(α＋β)＝eq \f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ).
(2)不是．α，β，α±β的取值都不能等于eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)．这是由正切函数的定义域决定的．
基础自测
1．下列说法中正确的个数是( B )
①tan(α＋β)＝eq \f(tanα＋tanβ,1＋tanαtanβ).
②存在角α，β，使得tan(α－β)＝eq \f(tanα－tanβ,1－tanαtanβ).
③tan(eq \f(π,2)＋eq \f(π,3))能根据公式tan(α＋β)直接展开．
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] ①③错误，②正确，故选B．
2．若tanα＝2，tanβ＝eq \f(1,2)，则tan(α－β)＝( B )
A．－eq \f(3,4) B．eq \f(3,4)
C．3 D．eq \f(1,3)
[解析] tan(α－β)＝eq \f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝eq \f(2－\f(1,2),1＋2×\f(1,2))＝eq \f(3,4).
3．tan10°tan20°＋eq \r(3)(tan10°＋tan20°)的值等于( B )
A．eq \f(1,3)B．1
C．eq \r(3)D．eq \r(6)
[解析] ∵eq \f(tan10°＋tan20°,1－tan10°tan20°)＝tan30°＝eq \f(\r(3),3)，
∴tan10°＋tan20°＝eq \f(\r(3),3)(1－tan10°tan20°)．
∴原式＝tan10°tan20°＋1－tan10°tan20°＝1.
4．若α，β∈(0，eq \f(π,2))且tanα＝eq \f(1,2)，tanβ＝eq \f(1,3)，则tan(α＋β)＝__1__.
[解析] tan(α＋β)＝eq \f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq \f(\f(1,2)＋\f(1,3),1－\f(1,6))＝1.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 给角求值
例1 求下列各式的值：
(1)eq \f(1－tan75°,1＋tan75°)；
(2)(1＋tan1°)(1＋tan2°)…(1＋tan44°)；
(3)tan25°＋tan35°＋eq \r(3)tan25°tan35°.
[分析] 尝试使用两角和与差的正切公式及其变形式对原式进行变形求值．
[解析] (1)原式＝eq \f(tan45°－tan75°,1＋tan45°tan75°)＝tan(45°－75°)＝－eq \f(\r(3),3).
(2)因为(1＋tan1°)(1＋tan44°)＝1＋tan1°＋tan44°＋tan1°×tan44°＝2，同理(1＋tan2°)(1＋tan43°)＝2，…，
所以原式＝222.
(3)∵tan60°＝tan(25°＋35°)＝eq \f(tan25°＋tan35°,1－tan25°tan35°)＝eq \r(3)，
∴tan25°＋tan35°＝eq \r(3)(1－tan25°tan35°)
∴tan25°＋tan35°＋eq \r(3)tan25°tan35°＝eq \r(3).
[归纳提升] 1.“1”的代换：在T(α±β)中如果分子中出现“1”常利用1＝tan45°来代换，以达到化简求值的目的．
2．若α＋β＝eq \f(π,4)＋kπ，k∈Z，则有(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2.
3．若化简的式子里出现了“tanα±tanβ”及“tanαtanβ”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．
【对点练习】❶ 求值：
(1)eq \f(1＋tan105°,1－tan105°)；
(2)(3＋tan30°tan40°＋tan40°tan50°＋tan50°tan60°)·tan10°.
[解析] (1)原式＝eq \f(tan45°＋tan105°,1－tan45°tan105°)
＝tan(45°＋105°)＝tan150°＝－eq \f(\r(3),3).
(2)原式＝(1＋tan30°tan40°＋1＋tan40°tan50°＋1＋tan50°tan60°)tan10°，
∵tan10°＝tan(40°－30°)＝eq \f(tan40°－tan30°,1＋tan40°tan30°)
∴1＋tan30°tan40°＝eq \f(tan40°－tan30°,tan10°).
同理，1＋tan40°tan50°＝eq \f(tan50°－tan40°,tan10°)，
1＋tan50°tan60°＝eq \f(tan60°－tan50°,tan10°).
∴原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(tan40°－tan30°,tan10°)＋\f(tan50°－tan40°,tan10°)＋\f(tan60°－tan50°,tan10°)))
tan10°＝tan40°－tan30°＋tan50°－tan40°＋tan60°－tan50°＝－tan30°＋tan60°＝－eq \f(\r(3),3)＋eq \r(3)＝eq \f(2\r(3),3).
题型二 给值求值
例2 (1)已知csα＝－eq \f(4,5)，且α∈(eq \f(π,2)，π)，则tan(eq \f(π,4)－α)＝( D )
A．－eq \f(1,7) B．－7
C．eq \f(1,7) D．7
(2)已知sinx－siny＝－eq \f(2,3)，csx－csy＝eq \f(2,3)，且x，y为锐角，则tan(x－y)的值为__－eq \f(2\r(14),5)__.
[解析] (1)由csα＝－eq \f(4,5)，且α∈(eq \f(π,2)，π)，得sinα＝eq \f(3,5)，所以tanα＝eq \f(sinα,csα)＝－eq \f(3,4)，所以tan(eq \f(π,4)－α)＝eq \f(tan\f(π,4)－tanα,1＋tan\f(π,4)tanα)＝eq \f(1－－\f(3,4),1－\f(3,4))＝7，故选D．
(2)sinx－siny＝－eq \f(2,3)，csx－csy＝eq \f(2,3)，
将两式平方并相加，得cs(x－y)＝eq \f(5,9).
∵x，y为锐角，sinx－siny