高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制学案，共10页。学案主要包含了素养目标，学法解读，对点练习等内容，欢迎下载使用。
1．掌握弧度与角度的互化，熟悉特殊角的弧度数．(数学运算)
2．掌握弧度制中扇形的弧长和面积公式及公式的简单应用．(数学运算)
3．根据弧度制与角度制的互化以及弧度制条件下扇形的弧长和面积公式，体会引入弧度制的必要性．(逻辑推理)
【学法解读】
本节在学习中把抽象问题直观化，即借助扇形理解弧度概念，在学角度与弧度换算时巧借π＝180°，学生可提升自己的数学抽象及数学运算的素养．
必备知识·探新知
基础知识
知识点1 度量角的两种制度
(1)角度制．
①定义：用__度__作为单位来度量角的单位制．
②1度的角：周角的__eq \f(1,360)__为1度角，记作1°.
(2)弧度制
①定义：以__弧度__为单位来度量角的单位制．
②1弧度的角：长度等于__半径长__的圆弧所对的圆心角叫做__1弧度__的角．
③表示方法：1弧度记作1 rad.
思考1：圆心角α所对应的弧长与半径的比值是否是唯一的确定的？
提示：一定大小的圆心角α的弧度数是所对弧长与半径的比值，是唯一确定的，与半径大小无关．
知识点2 弧度数
一般地，正角的弧度数是一个__正__数，负角的弧度数是一个__负__数，零角的弧度数是__0__.
如果半径为r的圆的圆心角α 所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝__eq \f(l,r)__.
思考2：(1)建立弧度制的意义是什么？
(2)对于角度制和弧度制，在具体的应用中，两者可混用吗？如何书写才是规范的？
提示：(1)在弧度制下，角的集合与实数R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．
(2)角度制与弧度制是两种不同的度量制度，在表示角时不能混用，例如α＝k·360°＋eq \f(π,6)(k∈Z)，β＝2kπ＋60°(k∈Z)等写法都是不规范的，应写为α＝k·360°＋30°(k∈Z)，β＝2kπ＋eq \f(π,3)(k∈Z)．
知识点3 弧度与角度的换算公式
(1)周角的弧度数是2π，而在角度制下的度数是360，于是360°＝2π rad，即
根据以上关系式就可以进行弧度与角度的换算了．
弧度与角度的换算公式如下：
若一个角的弧度数为α，角度数为n，则α rad＝(eq \f(180α,π))°，n°＝n·eq \f(π,180) rad.
(2)常用特殊角的弧度数
(3)角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起__一一对应__关系：每一个角都有唯一的一个__实数__(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，任一个实数也都有唯一的一个__角__(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．
思考3：(1)角度制与弧度制在进制上有何区别？
(2)弧度数与角度数之间有何等量关系？
提示：(1)角度制是六十进制，而弧度制是十进制的实数．
(2)弧度数＝角度数×eq \f(π,180)；角度数＝弧度数×(eq \f(180,π))．
知识点4 弧度制下的弧长公式与扇形面积公式
(1)弧长公式
在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角大小为α，则|α|＝eq \f(l,r)，变形可得l＝__|α|r__，此公式称为弧长公式，其中α的单位是弧度．
(2)扇形面积公式
由圆心角为1 rad的扇形面积为eq \f(πr2,2π)＝eq \f(1,2)r2，而弧长为l的扇形的圆心角大小为eq \f(l,r) rad，故其面积为S＝eq \f(l,r)×eq \f(r2,2)＝eq \f(1,2)lr，将l＝|α|r代入上式可得S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)|α|r2，此公式称为扇形面积公式．
思考4：(1)弧度制下弧长公式及扇形面积公式有哪些常用变形形式？
(2)弧度制下的弧长公式及扇形面积公式可以解决哪些问题？体现了什么数学思想？
提示：(1)①|α|＝eq \f(l,R)；②R＝eq \f(l,|α|)；
③|α|＝eq \f(2S,R2)；④R＝eq \f(2S,l).
(2)由弧度制下的弧长公式及扇形面积公式可知，对于α，R，l，S四个量，可“知二求二”．这实质上是方程思想的应用．
基础自测
1．下列说法中正确的是( D )
A．1弧度是1度的圆心角所对的弧
B．1弧度是长度为半径长的弧
C．1弧度是1度的弧与1度的角之和
D．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位
[解析] 利用弧度的定义及角度的定义判断.
2.－300°化为弧度是( B )
A．－eq \f(4π,3) B．－eq \f(5π,3)
C．－eq \f(7π,4)D．－eq \f(7π,6)
3．已知半径为10 cm的圆上，有一条弧的长是40 cm，则该弧所对的圆心角的弧度数是__4__.
4．如果α＝－2，则α的终边所在的象限为( C )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
[解析] 因为－π