2021年内蒙古鄂尔多斯市东胜区中考数学三模试卷 word版，含解析

这是一份2021年内蒙古鄂尔多斯市东胜区中考数学三模试卷 word版，含解析，共34页。


A．|a|＜|b|B．a＞﹣bC．a＞﹣2D．b＞a
2．（3分）2020年11月10日，中国“奋斗者”号载人潜水器在马里亚纳海沟成功坐底，坐底深度10909米，刷新中国载人深潜的新纪录．将10909用科学记数法表示应为（ ）
A．0.10909×105B．1.0909×105
C．1.0909×104D．10.909×103
3．（3分）如图，是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），根据图中数据计算这个几何体的侧面积为（ ）
A．28πcm2B．24πcm2C．16πcm2D．12πcm2
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x2+x2＝2x4B．x2•x3＝x6C．（x2）3＝x6D．（2x2）3＝6x6
5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，BC∥OP交⊙O于点C．若∠B＝70°，则∠OPC的度数为（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
6．（3分）在﹣2，﹣1，0，1，2这五个数中任取两数m，n，则二次函数y＝（x﹣m）2+n的顶点在坐标轴上的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨．小丽家去年12月份的水费是15元，而今年5月的水费则是30元．已知小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5m3．求该市今年居民用水的价格．设去年居民用水价格为x元/m3，根据题意列方程，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径画弧，两弧分别交于E、F，画直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝5，S△ABC＝15，则BM+MD长度的最小值为（ ）
A．B．3C．6D．5
9．（3分）如图为某二次函数的部分图象，有如下四个结论：
①此二次函数表达式为y＝x2﹣x+9；
②若点B（﹣1，n）在这个二次函数图象上，则n＞m；
③该二次函数图象与x轴的另一个交点为（﹣4，0）；
④当0＜x＜6时，m＜y＜8．
所有正确结论的序号是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
10．（3分）如图1，E为矩形ABCD边AD上的一点，点P从点B沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是2cm/s．若P、Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2），已知y与t的函数关系图象如图2，则下列结论错误的是（ ）
A．AE＝12cm
B．当t＝12s时，△PBQ的面积是（32﹣32）cm2
C．当0＜t≤8时，
D．sin∠EBC＝
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围是 ．
12．（3分）将一个矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠ABC＝26°，则∠ACD＝ °．
13．（3分）如图，点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点C在反比例函数y＝﹣（x＞0）的图象上，且BC∥y轴，AC⊥BC，垂足为点C，交y轴于点A，则△ABC的面积为 ．
14．（3分）下列说法中正确的有 .（填序号）
①的算术平方根是5．
②十边形的内角和是1800°．
③若关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个实数根，则m的取值范围是m≥﹣1．
④观察下列单项式2x，﹣4x2，8x3，﹣16x4，…，则第7个单项式是128x7．
⑤平行四边形、线段、角、等边三角形四个图形中，只有一个图形既是轴对称图形又是中心对称图形．
15．（3分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别在CD、AD边上，且CE＝DF，连接BE、CF相交于G点．则下列结论：①BE＝CF；②S△BCG＝S四边形DFGE；③CG2＝BG•GE；④当E为CD中点时，连接DG，则∠FGD＝45°，正确的结论是 ．（填序号）
16．（3分）等边△ABC的边长为6，P是AB上一点，AP＝2，把AP绕点A旋转一周，P点的对应点为P′，连接BP′，BP′的中点为Q，连接CQ．则CQ长度的最小值是 ．
三．解答题
17．（8分）（1）先化简，再求代数式：的值，其中x＝2+tan60°，y＝4sin30°．
（2）关于x的不等式组有4个整数解，求a的取值范围．
18．（8分）今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A，B，C，D四个等级，A：90＜S≤100，B：80＜S≤90，C：70＜S≤80，D：S≤70．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：
（1）请把条形统计图补充完整．
（2）扇形统计图中m＝ ，n＝ ，B等级所占扇形的圆心角度数为 ．
（3）对甲、乙、丙、丁4名参加知识竞赛学生进行分组作业调查，要求两人一组，求甲和乙恰好分在同一组的概率．（用列表或树状图方法解答）
19．（8分）如图所示的是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横断面⊙O的圆心，支架CD与水平线AE垂直，AB＝154cm，∠A＝30°，另一根辅助支架DE＝78cm，∠E＝60°．
（1）求CD的长度．（结果保留根号）
（2）求OD的长度．（结果保留一位小数．参考数据：≈1.414，≈1.732）
20．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数y＝（k＜0）的图象在第二象限交于A（﹣3，m），B（n，2）两点．
（1）当m＝1时，求一次函数的解析式；
（2）若点E在x轴上，满足∠AEB＝90°，且AE＝2﹣m，求反比例函数的解析式．
21．（9分）某企业接到生产一批设备的订单，要求不超过12天完成．这种设备的出厂价为1200元/台，该企业第一天生产22台设备，第二天开始，每天比前一天多生产2台．若干天后，每台设备的生产成本将会增加，设第x天（x为整数）的生产成本为m（元/台），m与x的关系如图所示．
（1）若第x天可以生产这种设备y台，则y与x的函数关系式为 ，x的取值范围为 ；
（2）第几天时，该企业当天的销售利润最大？最大利润为多少？
（3）求当天销售利润低于10800元的天数．
22．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O经过Rt△ACD的直角边DC上的点F，交AC边于点E，点F是弧EB的中点，∠C＝90°，连接AF．
（1）求证：直线CD是⊙O切线．
（2）若BD＝2，OB＝4，求tan∠AFC的值．
23．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0）、B（，0）两点，交y轴于点C．连接AC、CB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是抛物线上第二象限上一点，过P点作PM⊥AC于M，过P作PN∥y轴交AC于点N，当△PMN周长有最大值时，求P点坐标及周长最大值．
（3）如图2，将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到新的抛物线，M点在新抛物线后的对称轴上，N点为平面内一点，使以B、C、M、N为顶点的四边形为菱形，请直接写出N点坐标．
24．（11分）综合与实践
问题情境：
如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE′（点A的对应点为点C）．延长AE交CE′于点F，连接DE．
猜想证明：
（1）试判断四边形BE'FE的形状，并说明理由；
（2）如图②，若DA＝DE，请猜想线段CF与FE'的数量关系并加以证明；
解决问题：
（3）如图①，若AB＝15，CF＝3，请直接写出DE的长．
2021年内蒙古鄂尔多斯市东胜区中考数学三模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）如果实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，那么下列结论正确的是（ ）
A．|a|＜|b|B．a＞﹣bC．a＞﹣2D．b＞a
【分析】根据数轴可以发现a＜b，且﹣3＜a＜﹣2，1＜b＜2，由此即可判断以上选项正确与否．
【解答】解：∵﹣3＜a＜﹣2，1＜b＜2，∴|a|＞|b|，∴答案A错误；
∵a＜0＜b，且|a|＞|b|，∴a+b＜0，∴a＜﹣b，∴答案B错误；
∵﹣3＜a＜﹣2，∴答案C错误；
∵a＜0＜b，∴b＞a，∴答案D正确．
故选：D．
2．（3分）2020年11月10日，中国“奋斗者”号载人潜水器在马里亚纳海沟成功坐底，坐底深度10909米，刷新中国载人深潜的新纪录．将10909用科学记数法表示应为（ ）
A．0.10909×105B．1.0909×105
C．1.0909×104D．10.909×103
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：10909用科学记数法可以表示：1.0909×104．
故选：C．
3．（3分）如图，是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），根据图中数据计算这个几何体的侧面积为（ ）
A．28πcm2B．24πcm2C．16πcm2D．12πcm2
【分析】先判断这个几何体为圆锥，同时得到圆锥的母线长为6，底面圆的直径为4，然后利用扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积．
【解答】解：由三视图得这个几何体为圆锥，圆锥的母线长为6，底面圆的直径为4，
所以这个几何体的侧面积＝×π×4×6＝12π（cm2）．
故选：D．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x2+x2＝2x4B．x2•x3＝x6C．（x2）3＝x6D．（2x2）3＝6x6
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、积的乘方和幂的乘方法则计算，判断即可．
【解答】解：A、x2+x2＝2x2，故本选项不符合题意；
B、x2•x3＝x5，故本选项不符合题意；
C、（x2）3＝x6，故本选项符合题意；
D、（2x2）3＝8x6，故本选项不符合题意；
故选：C．
5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，BC∥OP交⊙O于点C．若∠B＝70°，则∠OPC的度数为（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
【分析】由切线的性质可得∠PAO＝90°，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得∠AOP＝∠B＝70°，∠POC＝∠OCB＝70°，由“SAS”可证△AOP≌△COP，即可求解．
【解答】解：如图，连接OC，
∵PA与⊙O相切，
∴∠PAO＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC＝70°，
∵BC∥OP，
∴∠AOP＝∠B＝70°，∠POC＝∠OCB＝70°，
∴∠APO＝20°，
在△AOP和△COP中，
，
∴△AOP≌△COP（SAS），
∴∠APO＝∠CPO＝20°，
故选：B．
6．（3分）在﹣2，﹣1，0，1，2这五个数中任取两数m，n，则二次函数y＝（x﹣m）2+n的顶点在坐标轴上的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果以及坐标轴上的点的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵﹣2，﹣1，0，1，2这五个数中任取两数m，n，一共有20种等可能的结果，其中取到0的结果有8种，
∴顶点在坐标轴上的概率为＝．
故选：A．
7．（3分）某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨．小丽家去年12月份的水费是15元，而今年5月的水费则是30元．已知小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5m3．求该市今年居民用水的价格．设去年居民用水价格为x元/m3，根据题意列方程，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用总水费÷单价＝用水量，结合小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5m3，进而得出等式即可．
【解答】解：设去年居民用水价格为x元/m3，根据题意列方程：
﹣＝5，
故选：A．
8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径画弧，两弧分别交于E、F，画直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝5，S△ABC＝15，则BM+MD长度的最小值为（ ）
A．B．3C．6D．5
【分析】由基本作图得到得EF垂直平分AB，则MB＝MA，所以BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD，再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后利用三角形面积公式计算出AD即可．
【解答】解：由作法得EF垂直平分AB，
∴MB＝MA，
∴BM+MD＝MA+MD，
连接MA、DA，如图，
∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号），
∴MA+MD的最小值为AD，
∵AB＝AC，D点为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵S△ABC＝•BC•AD＝15，
∴AD＝＝6，
∴BM+MD长度的最小值为6．
故选：C．
9．（3分）如图为某二次函数的部分图象，有如下四个结论：
①此二次函数表达式为y＝x2﹣x+9；
②若点B（﹣1，n）在这个二次函数图象上，则n＞m；
③该二次函数图象与x轴的另一个交点为（﹣4，0）；
④当0＜x＜6时，m＜y＜8．
所有正确结论的序号是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
【分析】根据函数图象和性质逐一求解即可．
【解答】解：①从图象看，抛物线的顶点坐标为（2，9），抛物线和x轴的一个交点坐标为（8，0），
则设抛物线的表达式为y＝a（x﹣2）2+9，
将（8，0）代入上式得：0＝a（8﹣2）2+9，解得a＝﹣，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣x+8，故①错误，不符合题意；
②从点A、B的横坐标看，点A距离抛物线对称轴远，故n＞m正确，符合题意；
③抛物线的对称轴为直线x＝2，抛物线和x轴的一个交点坐标为（8，0），则另外一个交点为（﹣4，0），
故③正确，符合题意；
④从图象看，当0＜x＜6时，m＜y≤9，故④错误，不符合题意；
故选：C．
10．（3分）如图1，E为矩形ABCD边AD上的一点，点P从点B沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是2cm/s．若P、Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2），已知y与t的函数关系图象如图2，则下列结论错误的是（ ）
A．AE＝12cm
B．当t＝12s时，△PBQ的面积是（32﹣32）cm2
C．当0＜t≤8时，
D．sin∠EBC＝
【分析】根据图象可以得到BC和BE的长度，从而可以得到AE的长，可以判断A；
根据题意可以分别求得在t＝12s时，BQ、QP的长，从而得到△PBQ面积，可以判断B；
根据函数图象可以求得在0＜t≤8时，求得△BPQ底边BQ上的高，从而可以得到△BPQ的面积的表达式，可以判断D；
作辅助线EF⊥BC于点F，由于EF＝CD的长，从而可以得到sin∠EBC的值，可以判断D．
【解答】解：由图象可知，BC＝BE＝2×8＝16cm，DE＝2×（10﹣8）＝4cm，
∴AE＝AD﹣DE＝16﹣4＝12cm，故A正确；
∴AB＝CD＝4cm．
作EF⊥BC于点F，作PM⊥BQ于点M，如图所示，
∴EF＝AB＝4cm，
∴sin∠EBC＝＝＝，故D正确；
当t＝12s时，点Q与点C重合，点P运动了24cm，
由图象可知，DE＝4cm，
所以点P运动到边DC上，且DP＝24﹣16﹣4＝4cm，如图所示，
∴PC＝（4﹣4）cm，
∴△PBQ面积＝×16×（4﹣4）＝（32﹣32）cm2，故B正确；
当0＜t≤8时，△BMP∽△BFE，
∴＝，即＝，
解得PM＝t，
∴△BPQ的面积＝BQ•PM＝•2t•t＝t2，
即y＝t2，故C错误；
故选：C．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围是 x≥1 ．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x﹣1≥0且x+2≠0，
解得x≥1且x≠﹣2，
所以，x≥1．
故答案为：x≥1．
12．（3分）将一个矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠ABC＝26°，则∠ACD＝ 128 °．
【分析】直接利用翻折变换的性质以及平行线的性质分析得出答案．
【解答】解：延长DC，
由题意可得：∠ABC＝∠BCE＝∠BCA＝26°，
则∠ACD＝180°﹣26°﹣26°＝128°．
故答案为：128．
13．（3分）如图，点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点C在反比例函数y＝﹣（x＞0）的图象上，且BC∥y轴，AC⊥BC，垂足为点C，交y轴于点A，则△ABC的面积为 4 ．
【分析】过B点作BH⊥y轴于H点，BC交x轴于D，如图，利用反比例函数系数k的几何意义得到S矩形OACD＝2，S矩形ODBH＝6，则S矩形ACBH＝8，然后根据矩形的性质得到△ABC的面积．
【解答】解：过B点作BH⊥y轴于H点，BC交x轴于D，如图，
∵BC∥y轴，AC⊥BC，
∴四边形ACDO和四边形ODBH都是矩形，
∴S矩形OACD＝|﹣2|＝2，
S矩形ODBH＝|6|＝6，
∴S矩形ACBH＝2+6＝8，
∴△ABC的面积＝S矩形ACBH＝4．
故答案为：4．
14．（3分）下列说法中正确的有 ④⑤ .（填序号）
①的算术平方根是5．
②十边形的内角和是1800°．
③若关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个实数根，则m的取值范围是m≥﹣1．
④观察下列单项式2x，﹣4x2，8x3，﹣16x4，…，则第7个单项式是128x7．
⑤平行四边形、线段、角、等边三角形四个图形中，只有一个图形既是轴对称图形又是中心对称图形．
【分析】利用算术平方根的定义对①进行判断；根据多边形内角和定理对②进行判断；根据一元二次方程的定义和判别式的意义对③进行判断；利用单项式的性质和次数的变换规律对④进行判断；根据轴对称图形、中心对称图形的概念对⑤进行判断．
【解答】解：的平方根是±，所以①错误；
十边形的内角和是（10﹣2）×180°＝1440°，所以②错误；
关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个实数根，则m≠0且Δ＝22﹣4m×（﹣1）≥0，解得m的取值范围是m≥﹣1且m≠0，所以③错误；
察下列单项式2x，﹣4x2，8x3，﹣16x4，…，则第7个单项式是27x7，即128x7，所以④正确；
平行四边形、线段、角、等边三角形四个图形中，只有一个图形线段，既是轴对称图形又是中心对称图形．所以⑤正确．
故答案为④⑤．
15．（3分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别在CD、AD边上，且CE＝DF，连接BE、CF相交于G点．则下列结论：①BE＝CF；②S△BCG＝S四边形DFGE；③CG2＝BG•GE；④当E为CD中点时，连接DG，则∠FGD＝45°，正确的结论是 ①②③④ ．（填序号）
【分析】①由“SAS”可证△BCE≌△CDF，可得BE＝CF；
②由全等三角形的性质可得S△BCG＝S△CDF，由面积和差关系可得S△BCG＝S四边形DFGE；
③通过证明△BCG∽△CEG，可得，可得结论；
④通过证明点D，点E，点G，点F四点共圆，可证∠DEF＝∠DGF＝45°．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠BCD＝∠CDF＝90°，
在△BCE和△CDF中，
，
∴△BCE≌△CDF（SAS），
∴BE＝CF，故①正确，
∵△BCE≌△CDF，
∴S△BCE＝S△CDF，
∴S△BCG＝S四边形DFGE；故②正确，
∵△BCE≌△CDF，
∴∠DCF＝∠EBC，
∵∠DCF+∠BCG＝90°，
∴∠EBC+∠BCG＝90°，
∴∠BGC＝∠EGC＝90°，
∴△BCG∽△CEG，
∴，
∴CG2＝BG•GE；故③正确；
如图，连接EF，
∵点E是CD中点，
∴DE＝CE，
∵△BCE≌△CDF，
∴DF＝CE＝DE，
∴∠DFE＝∠DEF＝45°，
∵∠ADC＝∠EGF＝90°，
∴点D，点E，点G，点F四点共圆，
∴∠DEF＝∠DGF＝45°，故④正确；
综上所述：正确的有①②③④．
故答案为：①②③④．
16．（3分）等边△ABC的边长为6，P是AB上一点，AP＝2，把AP绕点A旋转一周，P点的对应点为P′，连接BP′，BP′的中点为Q，连接CQ．则CQ长度的最小值是 3﹣1 ．
【分析】取AB中点D，连接DQ，CD，AP'，由等边三角形的性质可求CD的长，由三角形中位线的可求DQ＝1，由三角形的三边关系可求解．
【解答】解：如图，取AB中点D，连接DQ，CD，AP'，
∵AP＝2，把AP绕点A旋转一周，
∴AP'＝2，
∵等边△ABC的边长为6，点D是AB中点，
∴BD＝AD＝3，CD⊥AB，
∴CD＝＝＝3，
∵点Q是BP'是中点，
∴BQ＝QP'，
又∵AD＝BD，
∴DQ＝AP'＝1，
在△CDQ中，CQ≥DC﹣DQ，
∴CQ的最小值为3﹣1，
故答案为3﹣1．
三．解答题
17．（8分）（1）先化简，再求代数式：的值，其中x＝2+tan60°，y＝4sin30°．
（2）关于x的不等式组有4个整数解，求a的取值范围．
【分析】（1）根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a、b的值代入化简后的式子即可解答本题；
（2）先解出每个不等式的解集，再根据不等式组有4个整数解，即可得到a的取值范围．
【解答】解：（1）
＝[]•
＝•
＝，
当x＝2+tan60°＝2+，y＝4sin30°＝4×＝2时，原式＝＝；
（2），
解不等式①，得：x≥2，
解不等式②，得：x＜a，
∵不等式组有4个整数解，
∴该不等式组的整数解是2，3，4，5，
∴5＜a≤6，
即a的取值范围是5＜a≤6．
18．（8分）今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A，B，C，D四个等级，A：90＜S≤100，B：80＜S≤90，C：70＜S≤80，D：S≤70．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：
（1）请把条形统计图补充完整．
（2）扇形统计图中m＝ 15 ，n＝ 5 ，B等级所占扇形的圆心角度数为 252° ．
（3）对甲、乙、丙、丁4名参加知识竞赛学生进行分组作业调查，要求两人一组，求甲和乙恰好分在同一组的概率．（用列表或树状图方法解答）
【分析】（1）先由A等级人数及其所占百分比求出总人数，再根据四个等级人数之和等于总人数求出C等级人数，从而补全图形；
（2）根据（1）中补全的图形得出C、D人数，利用百分比概念求解可得m、n的值，用360°乘以B等级对应的百分比可得其对应圆心角度数；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，甲和乙恰好分在同一组的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）被调查的总人数为4÷10%＝40（人），
∴C等级人数为40﹣（4+28+2）＝6（人），
补全图形如下：
（2）∵m%＝6÷40×100%＝15%，n%＝2÷40×100%＝5%，∴m＝15，n＝5；
B等级所占扇形的圆心角度数为360°×70%＝252°，
故答案为：15，5，252°；
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，甲和乙恰好分在同一组的结果有4种，
∴甲和乙恰好分在同一组的概率为＝．
19．（8分）如图所示的是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横断面⊙O的圆心，支架CD与水平线AE垂直，AB＝154cm，∠A＝30°，另一根辅助支架DE＝78cm，∠E＝60°．
（1）求CD的长度．（结果保留根号）
（2）求OD的长度．（结果保留一位小数．参考数据：≈1.414，≈1.732）
【分析】（1）首先弄清题意，了解每条线段的长度与线段之间的关系，在△CDE中利用三角函数sin60°＝，求出CD的长．
（2）首先设出水箱半径OD的长度为xcm，表示出CO，AO的长度，根据直角三角形的性质得到CO＝AO，再代入数计算即可得到答案．
【解答】解：（1）∵DE＝78cm，∠CED＝60°，
∴sin60°＝＝，
∴CD＝39（cm）；
（2）设水箱半径OD的长度为xcm，则CO＝（39+x）cn，AO＝（154+x）cm，
∵∠BAC＝30°，
∴CO＝AO，
39+x＝（154+x），
解得：x≈18.9．
∴OD＝18.9cm．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数y＝（k＜0）的图象在第二象限交于A（﹣3，m），B（n，2）两点．
（1）当m＝1时，求一次函数的解析式；
（2）若点E在x轴上，满足∠AEB＝90°，且AE＝2﹣m，求反比例函数的解析式．
【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数解析式中求出k，进而得出点B坐标，最后用待定系数法求出直线AB的解析式；
（2）先判断出BF＝AE，进而得出△AEG≌Rt△BFG（AAS），得出AG＝BG，EG＝FG，即BE＝BG+EG＝AG+FG＝AF，再求出m＝﹣n，进而得出BF＝2+n，MN＝n+3，即BE＝AF＝n+3，再判断出△AME∽△ENB，得出＝＝，得出ME＝BN＝，最后用勾股定理求出m，即可得出结论．
【解答】解：（1）当m＝1时，点A（﹣3，1），
∵点A在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝﹣3×1＝﹣3，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣；
∵点B（n，2）在反比例函数y＝﹣图象上，
∴2n＝﹣3，
∴n＝﹣，
设直线AB的解析式为y＝ax+b，则，
∴，
∴直线AB的解析式为y＝x+3；
（2）如图，过点A作AM⊥x轴于M，过点B作BN⊥x轴于N，过点A作AF⊥BN于F，交BE于G，
则四边形AMNF是矩形，
∴FN＝AM，AF＝MN，
∵A（﹣3，m），B（n，2），
∴BF＝2﹣m，
∵AE＝2﹣m，
∴BF＝AE，
在△AEG和△BFG中，，
∴△AEG≌△BFG（AAS），
∴AG＝BG，EG＝FG，
∴BE＝BG+EG＝AG+FG＝AF，
∵点A（﹣3，m），B（n，2）在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝﹣3m＝2n，
∴m＝﹣n，
∴BF＝BN﹣FN＝BN﹣AM＝2﹣m＝2+n，MN＝n﹣（﹣3）＝n+3，
∴BE＝AF＝n+3，
∵∠AEM+∠MAE＝90°，∠AEM+∠BEN＝90°，
∴∠MAE＝∠NEB，
∵∠AME＝∠ENB＝90°，
∴△AME∽△ENB，
∴＝＝＝＝，
∴ME＝BN＝，
在Rt△AME中，AM＝m，AE＝2﹣m，根据勾股定理得，AM2+ME2＝AE2，
∴m2+（）2＝（2﹣m）2，
∴m＝，
∴k＝﹣3m＝﹣，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣．
21．（9分）某企业接到生产一批设备的订单，要求不超过12天完成．这种设备的出厂价为1200元/台，该企业第一天生产22台设备，第二天开始，每天比前一天多生产2台．若干天后，每台设备的生产成本将会增加，设第x天（x为整数）的生产成本为m（元/台），m与x的关系如图所示．
（1）若第x天可以生产这种设备y台，则y与x的函数关系式为 y＝2x+20 ，x的取值范围为 1≤x≤12 ；
（2）第几天时，该企业当天的销售利润最大？最大利润为多少？
（3）求当天销售利润低于10800元的天数．
【分析】（1）根据题意确定一次函数的解析式，实际问题中x的取值范围要使实际问题有意义；
（2）求出当天利润与天数的函数解析式，确定其最大值即可；
（3）根据（2）中的函数解析式列出不等式即可解答．
【解答】解：（1）根据题意，得y与x的解析式为：y＝22+2（x﹣1）＝2x+20（1≤x≤12），
故答案为：y＝2x+20，1≤x≤12；
（2）设当天的销售利润为w元，
则当1≤x≤6时，
w＝（1200﹣800）（2x+20）＝800x+8000，
∵800＞0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x＝6时，w最大值＝800×6+8000＝12800．
当6＜x≤12时，
设m＝kx+b，将（6，800）和（10，1000）代入得：
，
解得：，
∴m与x的关系式为：m＝50x+500，
∴w＝[1200﹣（50x+500）]×（2x+20）
＝﹣100x2+400x+14000
＝﹣100（x﹣2）2+14400．
∵此时图象开口向下，在对称轴右侧，w随x的增大而减小，天数x为整数，
∴当x＝7时，w有最大值，为11900元，
∵12800＞11900，
∴当x＝6时，w最大，且w最大值＝12800元，
答：该厂第6天获得的利润最大，最大利润是12800元．
（3）由（2）可得，
1≤x≤6时，800x+8000＜10800，
解得：x＜3.5
则第1﹣3天当天利润低于10800元，
当6＜x≤12时，﹣100（x﹣2）2+14400＜10800，
解得x＜﹣4（舍去），或x＞8，
∴第9﹣12天当天利润低于10800元，
故当天销售利润低于10800元的天数有7天．
22．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O经过Rt△ACD的直角边DC上的点F，交AC边于点E，点F是弧EB的中点，∠C＝90°，连接AF．
（1）求证：直线CD是⊙O切线．
（2）若BD＝2，OB＝4，求tan∠AFC的值．
【分析】（1）连接OF，BE，得到BE∥CD，根据平行线的性质得到CD⊥OF，即可得出结论；
（2）由相似三角形的性质求出AC长，再由勾股定理可求得DC长，则能求出CF长，即可得出结果．
【解答】（1）证明：连接OF，BE，如图：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠AEB＝∠ACD，
∴BE∥CD，
∵点F是弧BE的中点，
∴OF⊥BE，
∴OF⊥CD，
∵OF为半径，
∴直线CD是⊙O的切线；
（2）解：∵∠C＝∠OFD＝90°，
∴AC∥OF，
∴△OFD∽△ACD，
∴＝，
∵BD＝2，OF＝OB＝4，
∴OD＝6，AD＝10，
∴AC＝＝＝，
∴CD＝＝＝，
∵AC∥OF，OA＝4，
∴＝，即＝，
解得：CF＝，
∴tan∠AFC＝＝＝．
23．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0）、B（，0）两点，交y轴于点C．连接AC、CB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是抛物线上第二象限上一点，过P点作PM⊥AC于M，过P作PN∥y轴交AC于点N，当△PMN周长有最大值时，求P点坐标及周长最大值．
（3）如图2，将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到新的抛物线，M点在新抛物线后的对称轴上，N点为平面内一点，使以B、C、M、N为顶点的四边形为菱形，请直接写出N点坐标．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由△PMN周长＝PM+PN+MN＝PN（1+sin30°+cs30°）＝PN，即可求解；
（3）①当BC是边时，则点C向右平移个单位向下平移3个单位得到点B，同样点M（N）向右平移个单位向下平移3个单位得到N（M），且BC＝CM（BC＝CN），即可求解；②当BC是对角线时，则BC的中点即为MN的中点，且CM＝CN，即可求解．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），
则y＝a（x+3）（x﹣）＝ax2+2﹣9a，
故﹣9a＝3，解得a＝﹣，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣x+3；
（2）∵PN⊥AO，PM⊥AC，则∠CAB＝∠MPN，
设∠CAB＝∠MPN＝α，
在△AOC中，tan∠CAB＝＝＝，故∠CAB＝∠MPN＝30°，
在Rt△PMN中，△PMN周长＝PM+PN+MN＝PN（1+sin30°+cs30°）＝PN，
由点A、C的坐标得：直线AC的表达式为y＝x+3，
设点P的坐标为（m，﹣m2+m+3），则点N的坐标为（m，m+3），
则△PMN周长＝PN＝（﹣m2﹣m+3﹣m﹣3）＝（﹣m2﹣m），
当m＝﹣时，△PMN周长的最大值为，
此时，点P的坐标为（﹣，）；
（3）y＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x+）2+4，
则平移后抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+3，
则该抛物线的对称轴为直线x＝2，
设点M的坐标为（2，m）、点N（s，t），
而点B、C的坐标分别为（，0）、（0，3），则BC2＝12，
①当BC是边时，
则点C向右平移个单位向下平移3个单位得到点B，
同样点M（N）向右平移个单位向下平移3个单位得到N（M），且BC＝CM（BC＝CN），
∴或，
解得，
故点N的坐标为（3，0）或（，6）或（，0）（舍去）；
②当BC是对角线时，
则BC的中点即为MN的中点，且CM＝CN，
即，解得，
故点N的坐标为（﹣，0），
综上，点N的坐标为（3，0）或（，6）或（﹣，0）．
24．（11分）综合与实践
问题情境：
如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE′（点A的对应点为点C）．延长AE交CE′于点F，连接DE．
猜想证明：
（1）试判断四边形BE'FE的形状，并说明理由；
（2）如图②，若DA＝DE，请猜想线段CF与FE'的数量关系并加以证明；
解决问题：
（3）如图①，若AB＝15，CF＝3，请直接写出DE的长．
【分析】（1）由旋转的性质可得∠AEB＝∠CE'B＝90°，BE＝BE'，∠EBE'＝90°，由正方形的判定可证四边形BE'FE是正方形；
（2）过点D作DH⊥AE于H，由等腰三角形的性质可得AH＝AE，DH⊥AE，由“AAS”可得△ADH≌△BAE，可得AH＝BE＝AE，由旋转的性质可得AE＝CE'，可得结论；
（3）利用勾股定理可求BE＝BE'＝9，再利用勾股定理可求DE的长．
【解答】解：（1）四边形BE'FE是正方形，
理由如下：
∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，
∴∠AEB＝∠CE'B＝90°，BE＝BE'，∠EBE'＝90°，
又∵∠BEF＝90°，
∴四边形BE'FE是矩形，
又∵BE＝BE'，
∴四边形BE'FE是正方形；
（2）CF＝E'F；
理由如下：如图②，过点D作DH⊥AE于H，
∵DA＝DE，DH⊥AE，
∴AH＝AE，
∴∠ADH+∠DAH＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠DAH+∠EAB＝90°，
∴∠ADH＝∠EAB，
又∵AD＝AB，∠AHD＝∠AEB＝90°，
∴△ADH≌△BAE（AAS），
∴AH＝BE＝AE，
∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，
∴AE＝CE'，
∵四边形BE'FE是正方形，
∴BE＝E'F，
∴E'F＝CE'，
∴CF＝E'F；
（3）如图①，过点D作DH⊥AE于H，
∵四边形BE'FE是正方形，
∴BE'＝E'F＝BE，
∵AB＝BC＝15，CF＝3，BC2＝E'B2+E'C2，
∴225＝E'B2+（E'B+3）2，
∴E'B＝9＝BE，
∴CE'＝CF+E'F＝12，
由（2）可知：BE＝AH＝9，DH＝AE＝CE'＝12，
∴HE＝3，
∴DE＝＝＝3．