中考专区中考模拟课时训练

这是一份中考专区中考模拟课时训练，共26页。试卷主要包含了下列函数是二次函数的是，函数y＝﹣ax+a与y＝，抛物线y＝，反比例函数y＝图象上三点A等内容，欢迎下载使用。
1．下列函数是二次函数的是（ ）
A．y＝ax2+bx+cB．y＝2（x2﹣1）﹣2x2+x
C．y＝x2D．y＝+3x﹣1
2．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则csB的值是（ ）
A．B．C．D．
3．当A为锐角，且＜cs∠A＜时，∠A的范围是（ ）
A．0°＜∠A＜30°B．30°＜∠A＜60°C．60°＜∠A＜90°D．30°＜∠A＜45°
4．如图，D、E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE＝∠ACB，若AD＝2，AB＝6，AC＝4，则AE的长是（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．函数y＝﹣ax+a与y＝（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
6．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜1B．k≤1C．k＞﹣1D．k＞1
7．抛物线y＝（k﹣7）x2﹣5的开口向下，那么k的取值范围是（ ）
A．k＜7B．k＞7C．k＜0D．k＞0
8．济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60m至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计，≈1.7，结果精确到1m，则该楼的高度CD为（ ）
A．47mB．51mC．53mD．54m
9．反比例函数y＝图象上三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），已知x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＞y1＞y2B．y3＞y2＞y1C．y1＞y2＞y3D．y2＞y1＞y3
10．在一个不透明的袋子里装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其余完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2附近，则估计袋中的白球大约有（ ）个
A．25B．20C．15D．10
11．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，∠ABC＝90°，CA⊥x轴，点C在函数y＝（x＞0）的图象上，若AB＝1，则k的值为（ ）
A．1B．C．D．2
12．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝3，E为OC上一点，OE＝1，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，与BD交于点G，则BF的长是（ ）
A．B．2C．D．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
13．已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m＝0有一个根为0，则m＝ ．
14．如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，M、N分别为BC、OC的中点．若MN＝4，则AC的长为 ．
15．如图，在正方形ABCD中，E是边AD的中点．将△ABE沿直线BE翻折，点A落在点F处，联结DF，那么∠EDF的正切值是 ．
16．如图，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡发光的概率是 ．
17．在△ABC中，若＝0，则∠C的度数是 ．
18．如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，顶点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0）与y＝（x＜0）的图象上，则tan∠BAO的值为 ．
三．解答题（共9小题，满分78分）
19．求值：sin245°+3tan30°tan60°﹣2cs60°
20．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，延长BC到E，使CE＝BC，连接AE交CD于点F，点F是CD的中点．求证：
（1）△ADF≌△ECF．
（2）四边形ABCD是平行四边形．
21．如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且CF＝3FD，求证：△ABE∽△DEF．
22．2018年4月12日，菏泽国际牡丹花会拉开帷幕，菏泽电视台用直升机航拍技术全程直播．如图，在直升机的镜头下，观测曹州牡丹园A处的俯角为30°，B处的俯角为45°，如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、B、D在同一条直线上，则A、B两点间的距离为多少米？（结果保留根号）
23．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，
（1）若降价a元，则平均每天销售数量为 件（用含a的代数式表示）：
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
24．如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣1，1），C（﹣3，2）．
（1）请在第四象限画出△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC位似，且位似中心是点O，相似比为2；
（2）求△A′B′C′的面积．
25．如图是由9个相同的小立方体组成的一个几何体，请利用下方网格画出这个几何体的主视图、左视图和俯视图（一个网格为小立方体的一个面）．
26．如图，直线y＝ax+2与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，b）．将线段AB先向右平移1个单位长度、再向上平移t（t＞0）个单位长度，得到对应线段CD，反比例函数y＝（x＞0）的图象恰好经过C、D两点，连接AC、BD．
（1）求a和b的值；
（2）求反比例函数的表达式及四边形ABDC的面积；
（3）点N在x轴正半轴上，点M是反比例函数y＝（x＞0）的图象上的一个点，若△CMN是以CM为直角边的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点M的坐标．
27．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，以CA为边在∠ACB的另一侧作∠ACM＝∠ACB，点D为射线BC上任意一点，在射线CM上截取CE＝BD，连接AD、DE、AE．
（1）如图1，当点D落在线段BC的延长线上时，直接写出∠ADE的度数；
（2）如图2，当点D落在线段BC（不含边界）上时，AC与DE交于点F，请问（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若AB＝6，求CF的最大值．
2021年山东省济南市商河县清华园学校中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）
1．下列函数是二次函数的是（ ）
A．y＝ax2+bx+cB．y＝2（x2﹣1）﹣2x2+x
C．y＝x2D．y＝+3x﹣1
【分析】一般地，如果y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数．根据定义的一般形式进行判断即可
【解答】解：A、a＝0时，不是二次函数，不符合题意；
B、y＝2（x2﹣1）﹣2x2+x＝x﹣2，不是二次函数，不符合题意；
C、是二次函数，符合题意；
D、右边有分式，不是二次函数，不符合题意．
故选：C．
2．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则csB的值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据余弦的定义解答即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，BC＝3，AB＝5，
∴csB＝＝，
故选：A．
3．当A为锐角，且＜cs∠A＜时，∠A的范围是（ ）
A．0°＜∠A＜30°B．30°＜∠A＜60°C．60°＜∠A＜90°D．30°＜∠A＜45°
【分析】根据锐角的余弦值随着角度的增大而减小进行解答．
【解答】解：∵cs60°＝，cs30°＝，
∴30°＜∠A＜60°．
故选：B．
4．如图，D、E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE＝∠ACB，若AD＝2，AB＝6，AC＝4，则AE的长是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】证明△ADE∽△ACB，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【解答】解：∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴＝，即＝，
解得，AE＝3，
故选：C．
5．函数y＝﹣ax+a与y＝（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据反比例函数与一次函数的图象特点解答即可．
【解答】解：a＞0时，﹣a＜0，y＝﹣ax+a在一、二、四象限，y＝在一、三象限，无选项符合．
a＜0时，﹣a＞0，y＝﹣ax+a在一、三、四象限，y＝（a≠0）在二、四象限，只有D符合；
故选：D．
6．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜1B．k≤1C．k＞﹣1D．k＞1
【分析】当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根，据此求出k的取值范围即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，
∴（﹣2）2﹣4×1×k＞0，
∴4﹣4k＞0，
解得k＜1，
∴k的取值范围是：k＜1．
故选：A．
7．抛物线y＝（k﹣7）x2﹣5的开口向下，那么k的取值范围是（ ）
A．k＜7B．k＞7C．k＜0D．k＞0
【分析】根据a小于0图象开口向下，可得答案．
【解答】解：抛物线y＝（k﹣7）x2﹣5的开口向下，
k﹣7＜0，
解得k＜7．
故选：A．
8．济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60m至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计，≈1.7，结果精确到1m，则该楼的高度CD为（ ）
A．47mB．51mC．53mD．54m
【分析】由题意易得：∠A＝30°，∠DBC＝60°，DC⊥AC，即可证得△ABD是等腰三角形，然后利用三角函数，求得答案．
【解答】解：根据题意得：∠A＝30°，∠DBC＝60°，DC⊥AC，
∴∠ADB＝∠DBC﹣∠A＝30°，
∴∠ADB＝∠A＝30°，
∴BD＝AB＝60m，
∴CD＝BD•sin60°＝60×＝30≈51（m）．
故选：B．
9．反比例函数y＝图象上三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），已知x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＞y1＞y2B．y3＞y2＞y1C．y1＞y2＞y3D．y2＞y1＞y3
【分析】先根据反比例函数y＝的系数m2+1＞0判断出函数图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，再根据x1＜x2＜0＜x3，判断出y1、y2、y3的大小．
【解答】解：∵k＝m2+1＞0，
∴函数图象如图，则图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
又∵x1＜x2＜0＜x3，
∴点A（x1，y1），B（x2，y2）在第三象限，点C（x3，y3）在第一象限，
∴y3＞y1＞y2．
故选：A．
10．在一个不透明的袋子里装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其余完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2附近，则估计袋中的白球大约有（ ）个
A．25B．20C．15D．10
【分析】由摸到红球的频率稳定在0.2附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球个数即可．
【解答】解：设白球个数为x个，
∵摸到红色球的频率稳定在0.2左右，
∴口袋中得到红色球的概率为0.2，
∴＝0.2，
解得：x＝20，
即袋中的白球大约有20个；
故选：B．
11．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，∠ABC＝90°，CA⊥x轴，点C在函数y＝（x＞0）的图象上，若AB＝1，则k的值为（ ）
A．1B．C．D．2
【分析】根据题意可以求得OA和AC的长，从而可以求得点C的坐标，进而求得k的值，本题得以解决．
【解答】解：∵等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，∠ABC＝90°，CA⊥x轴，AB＝1，
∴∠BAC＝∠BAO＝45°，
∴OA＝OB＝，AC＝，
∴点C的坐标为（，），
∵点C在函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝＝1，
故选：A．
12．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝3，E为OC上一点，OE＝1，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，与BD交于点G，则BF的长是（ ）
A．B．2C．D．
【分析】根据正方形的性质、全等三角形的判定定理证明△GAO≌△EBO，得到OG＝OE＝1，证明△BFG∽△BOE，根据相似三角形的性质计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝3，
∴∠AOB＝90°，AO＝BO＝CO＝3，
∵AF⊥BE，
∴∠EBO＝∠GAO，
在△GAO和△EBO中，
，
∴△GAO≌△EBO，
∴OG＝OE＝1，
∴BG＝2，
在Rt△BOE中，BE＝＝，
∵∠BFG＝∠BOE＝90°，∠GBF＝∠EBO，
∴△BFG∽△BOE，
∴＝，即＝，
解得，BF＝，
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
13．已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m＝0有一个根为0，则m＝ 2 ．
【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义列出关于m的方程，通过解关于m的方程求得m的值即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m＝0有一个根为0，
∴m2﹣2m＝0且m≠0，
解得，m＝2．
故答案是：2．
14．如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，M、N分别为BC、OC的中点．若MN＝4，则AC的长为 16 ．
【分析】根据中位线的性质求出BO长度，再依据矩形的性质AC＝BD＝2BO进行求解问题．
【解答】解：∵M、N分别为BC、OC的中点，
∴BO＝2MN＝8．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝2BO＝16．
故答案为16．
15．如图，在正方形ABCD中，E是边AD的中点．将△ABE沿直线BE翻折，点A落在点F处，联结DF，那么∠EDF的正切值是 2 ．
【分析】由折叠可得AE＝FE，∠AEB＝∠FEB，由折叠的性质以及三角形外角性质，即可得到∠AEB＝∠EDF，进而得到tan∠EDF＝tan∠AEB＝＝2．
【解答】解：如图所示，由折叠可得AE＝FE，∠AEB＝∠FEB＝∠AEF，
∵正方形ABCD中，E是AD的中点，
∴AE＝DE＝AD＝AB，
∴DE＝FE，
∴∠EDF＝∠EFD，
又∵∠AEF是△DEF的外角，
∴∠AEF＝∠EDF+∠EFD，
∴∠EDF＝∠AEF，
∴∠AEB＝∠EDF，
∴tan∠EDF＝tan∠AEB＝＝2．
故答案为：2．
16．如图，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡发光的概率是 ．
【分析】利用树状图列举出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率．
【解答】解：用树状图表示所有可能出现的结果有：
∴能让灯泡发光的概率：P＝，
故答案为：．
17．在△ABC中，若＝0，则∠C的度数是 75° ．
【分析】根据非负数的性质得到sinA＝，tanB＝，根据特殊角的三角函数值得到∠A＝45°，∠B＝60°，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵＝0，
∴sinA﹣＝0，﹣tanB＝0，
则sinA＝，tanB＝，
∴∠A＝45°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝75°，
故答案为：75°．
18．如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，顶点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0）与y＝（x＜0）的图象上，则tan∠BAO的值为 ．
【分析】过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥x轴于D，于是得到∠BDO＝∠ACO＝90°，根据反比例函数的性质得到S△BDO＝，S△AOC＝，根据相似三角形的性质得到＝（）2＝＝5，求得＝，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥x轴于D，
则∠BDO＝∠ACO＝90°，
∵顶点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0）与y＝（x＜0）的图象上，
∴S△BDO＝，S△AOC＝，
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOD+∠DBO＝∠BOD+∠AOC＝90°，
∴∠DBO＝∠AOC，
∴△BDO∽△OCA，
∴＝（）2＝＝5，
∴＝，
∴tan∠BAO＝＝，
故答案为：．
三．解答题（共9小题，满分78分）
19．求值：sin245°+3tan30°tan60°﹣2cs60°
【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入求出答案．
【解答】解：原式＝（）2+3××﹣2×
＝+3﹣1
＝2．
20．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，延长BC到E，使CE＝BC，连接AE交CD于点F，点F是CD的中点．求证：
（1）△ADF≌△ECF．
（2）四边形ABCD是平行四边形．
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠DAF＝∠E，根据线段中点的定义得到DF＝CF，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到AD＝EC，等量代换得到AD＝BC，根据平行四边形的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠DAF＝∠E，
∵点F是CD的中点，
∴DF＝CF，
在△ADF与△ECF中，，
∴△ADF≌△ECF（AAS）；
（2）∵△ADF≌△ECF，
∴AD＝EC，
∵CE＝BC，
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
21．如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且CF＝3FD，求证：△ABE∽△DEF．
【分析】由正方形的性质得出∠A＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD，设AB＝AD＝CD＝4a，得出AE＝DE＝2a，DF＝a，证出，即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD，
设AB＝AD＝CD＝4a，
∵E为边AD的中点，CF＝3FD，
∴AE＝DE＝2a，DF＝a，
∴＝2，＝2，
∴，
又∵∠A＝∠D，
∴△ABE∽△DEF．
22．2018年4月12日，菏泽国际牡丹花会拉开帷幕，菏泽电视台用直升机航拍技术全程直播．如图，在直升机的镜头下，观测曹州牡丹园A处的俯角为30°，B处的俯角为45°，如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、B、D在同一条直线上，则A、B两点间的距离为多少米？（结果保留根号）
【分析】在两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加减求差即可．
【解答】解：∵EC∥AD，
∴∠A＝30°，∠CBD＝45°，CD＝200，
∵CD⊥AB于点D．
∴在Rt△ACD中，∠CDA＝90°，tanA＝，
∴AD＝，
在Rt△BCD中，∠CDB＝90°，∠CBD＝45°
∴DB＝CD＝200，
∴AB＝AD﹣DB＝200﹣200，
答：A、B两点间的距离为（200﹣200）米．
23．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，
（1）若降价a元，则平均每天销售数量为 2a+20 件（用含a的代数式表示）：
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
【分析】（1）根据“平均每天可售出20件，每件盈利40元，销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，若降价a元”，列出平均每天销售的数量即可，
（2）设每件商品降价x元，根据“平均每天可售出20件，每件盈利40元，销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，每件盈利不少于25元”列出关于x的一元二次方程，解之，根据实际情况，找出盈利不少于25元的答案即可．
【解答】解：（1）根据题意得：
若降价a元，则多售出2a件，
平均每天销售数量为：2a+20，
故答案为：2a+20，
（2）设每件商品降价x元，
根据题意得：
（40﹣x）（20+2x）＝1200，
解得：x1＝10，x2＝20，
40﹣10＝30＞25，（符合题意），
40﹣20＝20＜25，（舍去），
答：当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．
24．如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣1，1），C（﹣3，2）．
（1）请在第四象限画出△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC位似，且位似中心是点O，相似比为2；
（2）求△A′B′C′的面积．
【分析】（1）利用将△ABC扩大，使变换后得到的△A′B′C′与△ABC的位似比为2：1，得出对应点坐标得出各点位置即可得出图象；
（2）根据图形利用三角形面积公式解答即可．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）△A′B′C′的面积＝．
25．如图是由9个相同的小立方体组成的一个几何体，请利用下方网格画出这个几何体的主视图、左视图和俯视图（一个网格为小立方体的一个面）．
【分析】根据三视图的概念作图可得．
【解答】解：该几何体的三视图如下
26．如图，直线y＝ax+2与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，b）．将线段AB先向右平移1个单位长度、再向上平移t（t＞0）个单位长度，得到对应线段CD，反比例函数y＝（x＞0）的图象恰好经过C、D两点，连接AC、BD．
（1）求a和b的值；
（2）求反比例函数的表达式及四边形ABDC的面积；
（3）点N在x轴正半轴上，点M是反比例函数y＝（x＞0）的图象上的一个点，若△CMN是以CM为直角边的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点M的坐标．
【分析】（1）利用坐标轴上的点的特点即可得出结论；
（2）先表示出点C，D坐标，进而代入反比例函数解析式中求解得出k，再判断出BC⊥AD，最后用对角线积的一半即可求出四边形的面积；
（3）分两种情况，构造全等的直角三角形即可得出结论．
【解答】解：（1）将点A（1，0）代入y＝ax+2，得0＝a+2．
∴a＝﹣2．
∴直线的解析式为y＝﹣2x+2．
将x＝0代入上式，得y＝2．
∴b＝2．
（2）由（1）知，b＝2，∴B（0，2），
由平移可得：点C（2，t）、D（1，2+t）．
将点C（2，t）、D（1，2+t）分别代入y＝，得
∴．
∴反比例函数的解析式为y＝，点C（2，2）、点D（1，4）．
如图1，连接BC、AD．
∵B（0，2）、C（2，2），
∴BC∥x轴，BC＝2．
∵A（1，0）、D（1，4），
∴AD⊥x轴，AD＝4．
∴BC⊥AD．
∴S四边形ABDC＝×BC×AD＝×2×4＝4．
（3）①当∠NCM＝90°、CM＝CN时，
如图2，过点C作直线l∥x轴，交y轴于点G．过点M作MF⊥直线l于点F，交x轴于点H．过点N作NE⊥直线l于点E．
∵∠MCN＝90°，
∴∠MCF+∠NCE＝90°．
∵NE⊥直线l于点E，
∴∠ENC+∠NCE＝90°．
∴∠MCF＝∠ENC．
又∵∠MFC＝∠NEC＝90°，CN＝CM，
∴△NEC≌△CFM（AAS）．
∴CF＝EN＝2，FM＝CE．
∴FG＝CG+CF＝2+2＝4．
∴xM＝4．
将x＝4代入y＝，得y＝1．
∴点M（4，1）；
②当∠NMC＝90°、MC＝MN时，
如图3，过点C作直线l⊥y轴与点F，则CF＝xC＝2．
过点M作MG⊥x轴于点G，MG交直线l与点E，则MG⊥直线l于点E，EG＝yC＝2．
∵∠CMN＝90°，
∴∠CME+∠NMG＝90°．
∵ME⊥直线l于点E，
∴∠ECM+∠CME＝90°．
∴∠NMG＝∠ECM．
又∵∠CEM＝∠NGM＝90°，CM＝MN，
∴△CEM≌△MGN（AAS）．
∴CE＝MG，EM＝NG．
设CE＝MG＝n，则yM＝n，xM＝CF+CE＝2+n．
∴点M（2+n，n）．
将点M（2+n，n）代入y＝，得n＝．
解得n1＝﹣1，n2＝﹣﹣1（因为点M在第一象限，所以n大于0，所以舍去）．
∴xM＝2+n＝+1．
∴点M（+1，﹣1）．
综合①②可知：点M的坐标为（4，1）或（+1，﹣1）．
27．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，以CA为边在∠ACB的另一侧作∠ACM＝∠ACB，点D为射线BC上任意一点，在射线CM上截取CE＝BD，连接AD、DE、AE．
（1）如图1，当点D落在线段BC的延长线上时，直接写出∠ADE的度数；
（2）如图2，当点D落在线段BC（不含边界）上时，AC与DE交于点F，请问（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若AB＝6，求CF的最大值．
【分析】（1）利用SAS定理证明△ABD≌△ACE，根据相似三角形的性质得到AD＝AE，∠CAE＝∠BAD，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可证明；
（2）同（1）的证明方法相同；
（3）证明△ADF∽△ACD，根据相似三角形的性质得到AF＝，求出AD的最小值，得到AF的最小值，求出CF的最大值．
【解答】解：（1）∠ADE＝30°．
理由如下：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，
∵∠ACM＝∠ACB，
∴∠ACM＝∠ABC，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE，
∴AD＝AE，∠CAE＝∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAC＝120°，
∴∠ADE＝30°；
（2）（1）中的结论成立，
证明：∵∠BAC＝120°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝30°．
∵∠ACM＝∠ACB，
∴∠B＝∠ACM＝30°．
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE．
∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE．
∴∠CAE+∠DAC＝∠BAD+∠DAC＝∠BAC＝120°．即∠DAE＝120°．
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝30°；
（3）∵AB＝AC，AB＝6，
∴AC＝6，
∵∠ADE＝∠ACB＝30°且∠DAF＝∠CAD，
∴△ADF∽△ACD．
∴＝．
∴AD2＝AF•AC．
∴AD2＝6AF．
∴AF＝．
∴当AD最短时，AF最短、CF最长．
易得当AD⊥BC时，AF最短、CF最长，此时AD＝AB＝3．
∴AF最短＝＝＝．
∴CF最长＝AC﹣AF最短＝6﹣＝．