高中数学第三章 直线与方程综合与测试综合训练题

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易混易错练

易错点1　忽略直线斜率与倾斜角之间的变化关系

1.(★★☆)如图,若直线l1,l2,l3,l4的斜率分别为k1,k2,k3,k4,则(　　)

A.k4<k3<k2<k1 B.k1<k2<k3<k4

C.k3<k4<k1<k2 D.k2<k1<k3<k4

2.(★★☆)已知直线l的斜率k≥-1,则其倾斜角α的取值范围为　　　　　　　. 

3.(★★☆)如图所示,直线l1,l2,l3都经过点P(3,2),又l1,l2,l3分别经过点Q1(-2,-1),Q2(4,-2),Q3(-3,2),试计算直线l1,l2,l3的斜率,并判断这些直线的倾斜角是锐角、钝角还是零度角.

易错点2　忽略直线的特殊情况,缺少分类讨论

4.(2018广东佛山高一期中,★★☆)过点A(1,1)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为　　　　　　　　. 

5.(2020陕西西安高一期末,★★☆)已知点A(5,-1),B(1,1),C(2,m).

(1)若A,B,C三点共线,求实数m的值;

(2)若△ABC为直角三角形,求实数m的值.

易错点3　使用公式计算(判断)时忽略公式的前提条件

6.(2019甘肃武威第六中学高一月考,★★☆)已知两条直线l1:2x-y+a=0(a>0),l2:-4x+2y+1=0,若l1与l2间的距离是,则a=　　　. 

7.(2018山东聊城高一阶段测试,★★☆)若直线x+2ay-1=0与直线(3a-1)x-ay-1=0平行,则a=　　　　. 

易错点4　考虑情况不全造成错误

8.(★★☆)若点P到点A(1,0)和直线x=-1的距离相等,且P到直线y=x的距离等于,求P的坐标.

9.(2019江苏盐城中学期中考试,★★☆)已知直线l过两直线3x+4y-5=0,2x-3y+8=0的交点,且A(2,3),B(-4,5)两点到直线l的距离相等,求直线l的方程.

思想方法练

一、函数与方程思想在求最值中的应用

1.(★★☆)在直线2x+3y=6上求一点P(x,y),使S=xy的值最大.

2.(★★☆)已知两条直线的方程分别为x+y+a=0和x+y+b=0,设a,b是方程x2+x+c=0的两个实数根,其中0≤c≤,求两条直线间距离的最大值和最小值.

二、分类讨论思想在直线方程中的应用

3.(★★☆)直线3x+ay=1的斜率为　　　　　　. 

4.(★★☆)已知直线l1经过点A(3,a),B(a-2,-3),直线l2经过点C(2,3),D(-1,a-2),如果l1⊥l2,那么a=　　　　. 

5.(★★☆)过点P(-1,0),Q(0,2)分别作两条互相平行的直线,使它们在x轴上的截距之差的绝对值为1,求这两条直线的方程.

三、转化与化归思想在直线方程中的应用

6.(★★☆)已知直线l过点P(3,2),并且和直线l1:x-3y+10=0交于A点,l和直线l2:2x-y-8=0交于B点,若点P为线段AB的中点,求直线l的方程.

7.(★★☆)已知直线经过点A(-5,6)和点B(-4,8),求直线的一般式方程和截距式方程,并根据方程指出直线在x轴、y轴上的截距.

四、数形结合思想在求取值范围中的应用

8.(★★☆)过点M(0,-3)的直线l与以点A(3,0),B(-4,1)为端点的线段AB有公共点,求直线l的斜率k的取值范围.

9.(★★☆)已知点P(a,b)在线段AB上运动,其中A(1,0),B(0,1).试求(a+2)2+(b+2)2的取值范围.

答案全解全析

易混易错练

1.C　直线l3,l4的倾斜角为钝角,斜率为负,直线l1,l2的倾斜角为锐角,斜率为正,且直线l4的倾斜角大于直线l3的倾斜角,直线l2的倾斜角大于直线l1的倾斜角,所以0>k4>k3,k2>k1>0,所以k3<k4<k1<k2.

2.答案　{α|0°≤α<90°或135°≤α<180°}

解析　当-1≤k<0时,-1≤tan α<0,

又0°≤α<180°,∴135°≤α<180°;

当k≥0时,tan α≥0,

又0°≤α<180°,∴0°≤α<90°.

综上所述,直线l的倾斜角α的取值范围是{α|0°≤α<90°或135°≤α<180°}.

3.解析　由已知条件可得,直线l1,l2,l3的斜率都存在,设l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则k1==,k2==-4,k3==0.

因为直线l1的斜率k1>0,所以直线l1的倾斜角为锐角;

因为直线l2的斜率k2<0,所以直线l2的倾斜角为钝角;

因为直线l3的斜率k3=0,所以直线l3的倾斜角为零度角.

4.答案　x-y=0或x+y-2=0

解析　解法一:设该直线在两坐标轴上的截距为a,

当a=0时,直线过原点(0,0).又直线过点A(1,1),

所以此时直线的方程是y=x,即x-y=0.

当a≠0时,设直线的方程为+=1,

由题意得+=1,解得a=2.

所以此时直线的方程为+=1,即x+y-2=0.

综上,所求直线的方程为x-y=0或x+y-2=0.

解法二:由题意知直线的斜率存在,且不为0.

设直线方程为y-1=k(x-1),k≠0.

令x=0,得y=1-k;令y=0,得x=1-.

由题意知1-k=1-,即k2=1,∴k=±1.

当k=1时,y-1=x-1,即x-y=0;

当k=-1时,y-1=-(x-1),即x+y-2=0.

综上,所求直线的方程为x-y=0或x+y-2=0.

5.解析　(1)∵A,B,C三点共线,∴kBC=kAB,

即=,解得m=.

(2)易得kAB=-,kBC=m-1,kAC=-.

若∠ABC=90°,即AB⊥BC,则·(m-1)=-1,解得m=3.

若∠ACB=90°,即BC⊥AC,则(m-1)·=-1,解得m=±2.

若∠BAC=90°,即AB⊥AC,则·=-1,解得m=-7.

故实数m的值为3或2或-2或-7.

6.答案　3

解析　易得l1∥l2.因为直线l1:4x-2y+2a=0(a>0)与l2:4x-2y-1=0的距离是,

所以=,又由a>0,可得a=3.

7.答案　0或

解析　当a≠0时,由=≠,得3a-1=-,解得a=.

当a=0时,两直线方程分别为x=1和x=-1,此时两直线平行.

综上,当a=0或a=时,两直线平行.

8.解析　设点P(x,y),由题意知=|x+1|,且=,化简得所以或

解得或或

所以P点坐标为(3-2 ,2-2 )或(3+2 ,2+2 )或(1,2).

9.解析　解方程组

得即交点为(-1,2).

①当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0.

由题意得=,

解得k=-,

所以直线l的方程为y-2=-(x+1),

即x+3y-5=0.

②当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,符合题意.

综上,所求直线l的方程为x+3y-5=0或x=-1.

思想方法练

1.解析　由2x+3y=6得y=,

所以S=xy==(-2x2+6x)=-+.

所以当x=,y=1,即点P的坐标为时,S取得最大值.

2.解析　由一元二次方程根与系数的关系,得a+b=-1,ab=c.

易知两条直线平行,设两条平行直线间的距离为d,则d=,

所以d2==-2c.

因为d2是关于c的单调递减函数,

所以当c=0时,d2有最大值,且=,即dmax=;

当c=时,d2有最小值,且=,即dmin=.

所以两条直线间距离的最大值为,最小值为.

3.答案　-或不存在

解析　若a=0,则直线的倾斜角为90°,此时斜率不存在;若a≠0,则y=-x+,此时直线的斜率为-.

4.答案　5或-6

解析　因为直线l2经过点C(2,3),D(-1,a-2),且2≠-1,所以l2的斜率存在,而l1的斜率可能不存在,下面对a进行讨论.

当a-2=3,即a=5时,l1的斜率不存在,l2的斜率为0,此时满足l1⊥l2.

当a-2≠3,即a≠5时,直线l1,l2的斜率均存在,设直线l1,l2的斜率分别为k1,k2.由l1⊥l2得k1k2=-1,

即·=-1,解得a=-6.

综上,a的值为5或-6.

5.解析　当两条直线的斜率均不存在时,两条直线的方程分别为x=-1,x=0,它们在x轴上截距之差的绝对值为1,满足题意.

当两条直线的斜率均存在时,设斜率为k,易知k≠0,则两条直线的方程分别为y=k(x+1),y=kx+2.

令y=0,分别得x=-1,x=-.

由题意得=1,解得k=1.

所以两条直线的方程分别为y=x+1,y=x+2,即x-y+1=0,x-y+2=0.

综上,所求直线的方程分别为x=-1,x=0或x-y+1=0,x-y+2=0.

6.解析　由条件可设A(3y0-10,y0),∵线段AB的中点为P(3,2),∴B(16-3y0,4-y0).又知点B在l2上,∴2(16-3y0)-(4-y0)-8=0,解得y0=4,∴A(2,4).又知直线l过点A,P,则l的方程为y-4=(x-2),即2x+y-8=0.

7.解析　∵直线过A(-5,6),B(-4,8),

∴由两点式方程得=.

整理得一般式方程为2x-y+16=0,

两边同除以-16,整理得截距式方程为+=1,

由截距式方程可知,直线在x轴、y轴上的截距分别为-8、16.

8.解析　由题意和斜率公式可知,直线AM与BM的斜率分别为kAM==1,kBM==-1.作出示意图,

由图可知,若直线l与线段AB有公共点,则直线l的斜率k的取值范围是(-∞,-1]∪[1,+∞).

9.解析　设Q(-2,-2),又P(a,b),则|PQ|=,于是问题转化为求|PQ|2的最大值、最小值.

如图所示,当P与A或B重合时,|PQ|取得最大值,即=.

当PQ⊥AB时,|PQ|取得最小值,此时|PQ|为Q点到直线AB的距离,由A,B两点坐标可得直线AB的方程为x+y-1=0.

则Q点到直线AB的距离d===,∴≤(a+2)2+(b+2)2≤13.