人教版新课标A必修2第四章 圆与方程4.1 圆的方程课时训练

第四章　圆与方程

4.1　圆的方程

4.1.1　圆的标准方程

基础过关练

题组一　圆的标准方程

1.圆(x-2)2+(y+3)2=2的圆心坐标和半径长分别是(　　)

A.(-2,3),1 B.(2,-3),3

C.(-2,3), D.(2,-3),

2.若圆(x-a)2+(y-b)2=r2过原点,则(　　)

A.a2+b2=0 B.a2+b2=

C.a2+b2+r2=0 D.a=0,b=0

3.方程(x-a)2+(y-b)2=0表示的是(　　)

A.以(a,b)为圆心的圆

B.以(-a,-b)为圆心的圆

C.点(a,b)

D.点(-a,-b)

4.若直线y=ax+b经过第一、二、四象限,则圆(x+a)2+(y+b)2=1的圆心位于(　　)

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

5.(2019四川武胜烈面中学高二月考)若方程(x-2)2+(y+1)2=5-5k表示圆,则k的取值范围是　　　　. 

题组二　圆的标准方程的求法

6.(2019吉林“五地六校”合作体联考)以(2,-1)为圆心,4为半径长的圆的标准方程为(　　)

A.(x+2)2+(y-1)2=4 B.(x+2)2+(y+1)2=4

C.(x-2)2+(y+1)2=16 D.(x+2)2+(y-1)2=16

7.(2019江苏马坝高级中学高一期中)若圆C的半径长为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为(　　)

A.x2+(y-1)2=1 B.x2+(y+1)2=1

C.(x-1)2+y2=1 D.(x+1)2+y2=1

8.已知圆C的半径长为2,圆心在x轴的正半轴上,且到直线3x+4y+4=0的距离等于半径长,则圆C的标准方程是　　　　　　. 

9.已知圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4,直线l:14x+8y-31=0,求圆C1关于直线l对称的圆C2的标准方程.

10.已知圆过点A(1,-2),B(-1,4).

(1)求周长最小的圆的标准方程;

(2)求圆心在直线2x-y-4=0上的圆的标准方程.

题组三　点与圆的位置关系

11.点(sin 30°,cos 30°)与圆x2+y2=的位置关系是(　　)

A.点在圆上 B.点在圆内

C.点在圆外 D.不能确定

12.(2019江苏高一月考)已知圆的标准方程是(x-2)2+(y-3)2=4,则点P(3,2)(　　)

A.是圆心 B.在圆上

C.在圆内 D.在圆外

13.(2018北京师范大学附属中学京西分校高一期末)若点(2,2)在圆(x+a)2+(y-a)2=16的内部,则实数a的取值范围是(　　)

A.-2<a<2 B.0<a<2

C.a<-2或a>2 D.a=±2

14.已知圆C过原点O且圆心为C(-3,-4),求圆C的标准方程,并判断点M1(-1,0),M2(1,-1),M3(3,-4)与圆C的位置关系.

能力提升练

一、选择题　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1.(★★☆)已知点A(3,-2),B(-5,4),则以线段AB为直径的圆的标准方程是(　　)

A.(x-1)2+(y+1)2=25 B.(x+1)2+(y-1)2=25

C.(x-1)2+(y+1)2=100 D.(x+1)2+(y-1)2=100

2.(★★☆)方程|x|-1=所表示的曲线是(　　)

A.一个圆 B.两个圆

C.半个圆 D.两个半圆

3.(2019福建高一期末,★★☆)由曲线x2+y2=2|x|+2|y|围成的图形面积为(　　)

A.2π+2 B.2π+4

C.4π+4 D.4π+8

4.(★★☆)设P是圆M:(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,Q是直线x=-3上的动点,则|PQ|的最小值为(　　)

A.6 B.4 C.3 D.2

二、填空题

5.(★★☆)若点M(5+1,)在圆(x-1)2+y2=26的内部,则实数a的取值范围是　　　　. 

6.(2018广东揭阳三中高一期末,★★☆)已知圆M经过点A(-1,1)和B(1,3),且圆心在x轴上,则圆M的标准方程为　　　　　　　　　. 

7.(★★☆)若一圆的圆心坐标为(2,-3),一条直径的端点分别在x轴和y轴上,则此圆的标准方程为　　　　　　　. 

三、解答题

8.(★★☆)求过点A(-1,3),B(4,2),且在x轴,y轴上的四个截距之和是4的圆的标准方程.

9.(★★☆)已知圆C的方程为(x-m)2+(y+m-4)2=2(m为实数).

(1)求圆心C的轨迹方程;

(2)当|OC|最小时,求圆C的标准方程(O为坐标原点).

10.(★★☆)已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1,0),B(5,0).

(1)求此圆的标准方程;

(2)设P(x,y)为圆C上任意一点,求点P(x,y)到直线x-y+1=0的距离的最大值和最小值.

11.(2018安徽六安一中高一开学考试,★★☆)已知直线l1经过点A(-3,0),B(3,2),直线l2经过点B,且l1⊥l2.

(1)分别求直线l1,l2的方程;

(2)设直线l2与直线y=8x的交点为C,求△ABC外接圆的方程.

12.(2020广东东莞高级中学高一期末,★★☆)平面直角坐标系xOy中,已知A(-1,0),B(2,1),在△ABC中,AC边上的中线所在直线的方程为y=1,BC边上的高所在直线的斜率为.

(1)求直线BC的方程;

(2)求以线段AC为直径的圆的标准方程.

答案全解全析

基础过关练

1.D　由圆的标准方程可得圆心坐标为(2,-3),半径长为.

2.B　由题意得(0-a)2+(0-b)2=r2,即a2+b2=r2.

3.C　由(x-a)2+(y-b)2=0,解得因此它只表示一个点(a,b).故选C.

4.D　由题意知(-a,-b)为圆(x+a)2+(y+b)2=1的圆心.由直线y=ax+b经过第一、二、四象限,得到a<0,b>0,则-a>0,-b<0,故圆心位于第四象限.

5.答案　(-∞,1)

解析　因为方程(x-2)2+(y+1)2=5-5k表示圆,所以5-5k>0,解得k<1,即k的取值范围是(-∞,1).

6.C　以(2,-1)为圆心,4为半径长的圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=16.故选C.

7.A　设圆心坐标为(x,y),

∵圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,

∴解得即圆心坐标为(0,1),又圆C的半径长为1,

∴圆C的标准方程为x2+(y-1)2=1,故选A.

8.答案　(x-2)2+y2=4

解析　设圆心坐标为(a,0),且a>0,则点(a,0)到直线3x+4y+4=0的距离为2,即=2,所以3a+4=±10,解得a=2或a=-(舍去),则圆C的标准方程为(x-2)2+y2=4.

9.解析　设圆C2的圆心坐标为(m,n).

因为直线l的斜率k=-,圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4的圆心坐标为(-3,1),半径长r=2,所以由对称性知

解得

所以圆C2的标准方程为(x-4)2+(y-5)2=4.

10.解析　(1)当线段AB为圆的直径时,过点A,B的圆的半径最小,从而周长最小,

即所求圆以线段AB的中点(0,1)为圆心,r=|AB|=为半径长.故所求圆的方程为x2+(y-1)2=10.

(2)解法一:直线AB的斜率k==-3,则线段AB的垂直平分线的方程是y-1=x,即x-3y+3=0.

由得即圆心的坐标是(3,2).所以r2=(1-3)2+(-2-2)2=20.

所以所求圆的标准方程是(x-3)2+(y-2)2=20.

解法二:设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=R2,则解得所以所求圆的标准方程是(x-3)2+(y-2)2=20.

11.C 因为sin230°+cos230°=+=1>,所以点在圆外.

12.C　把点P的坐标代入圆的标准方程中,因为(3-2)2+(2-3)2=2<4,故点P(3,2)在圆内,且不是圆心.故选C.

13.A　∵点(2,2)在圆(x+a)2+(y-a)2=16的内部,

∴(2+a)2+(2-a)2<16,∴a2<4,∴-2<a<2.故选A.

14.解析　因为圆C过原点O,圆心为C(-3,-4),所以圆C的半径长r=|OC|==5,因此圆C的标准方程为(x+3)2+(y+4)2=25.因为(-1+3)2+(0+4)2=20<25,所以点M1(-1,0)在圆C内;因为(1+3)2+(-1+4)2=25,所以点M2(1,-1)在圆C上;因为(3+3)2+(-4+4)2=36>25,所以点M3(3,-4)在圆C外.

能力提升练

一、选择题

1.B　易知圆心为线段AB的中点(-1,1),半径长为|AB|==5,

所以圆的标准方程为(x+1)2+(y-1)2=25.

2.D　由题意,得即或

故原方程表示两个半圆.

3.D　曲线x2+y2=2|x|+2|y|可化为(|x|-1)2+(|y|-1)2=2,当x≥0,y≥0时,解析式为(x-1)2+(y-1)2=2,

易知曲线关于x轴,y轴,原点对称,由题意,作出图形如图中实线所示.

则此曲线所围成的图形由一个边长为2的正方形与四个半径为的半圆组成,

所围成的面积是2×2+4××π×()2=8+4π.故选D.

4.B　如图,圆心M(3,-1)到定直线x=-3的距离为|MQ|=3-(-3)=6.因为圆的半径长为2,所以所求最短距离为6-2=4,即|PQ|的最小值为4.

二、填空题

5.答案　[0,1)

解析　(5+1-1)2+()2=26a,因为点M在圆的内部,所以26a<26,又a≥0,

所以0≤a<1.故实数a的取值范围是[0,1).

6.答案　(x-2)2+y2=10

解析　设圆心为M(a,0),因为圆过点A(-1,1)和B(1,3),所以|MA|=|MB|.所以|MA|2=|MB|2,即(a+1)2+1=(a-1)2+9,解得a=2,所以圆心M的坐标为(2,0),半径|MA|=.故圆M的标准方程为(x-2)2+y2=10.

7.答案　(x-2)2+(y+3)2=13

解析　易知直径两端点的坐标分别为(4,0),(0,-6),可得直径长为2,则半径长为,所以所求圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=13.

三、解答题

8.解析　设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0).把点A,B的坐标代入,

得消去r2,

得b=5a-5.①

令x=0,则(y-b)2=r2-a2,y=b±,

∴圆在y轴上的截距之和是2b.

令y=0,则(x-a)2=r2-b2,x=a±,

∴圆在x轴上的截距之和是2a.

∴2a+2b=4,即a+b=2.②

将①代入②,得a=,b=.

∴r2=+=.

∴圆的标准方程为+=.

9.解析　(1)C(m,4-m),令则x+y-4=0,

所以圆心C的轨迹方程为x+y-4=0.

(2)因为C(m,4-m),

所以|OC|=

==,

当m=2时,|OC|取最小值,

此时圆C的标准方程为(x-2)2+(y-2)2=2.

10.解析　(1)由题意,结合图①可知圆心坐标为C(3,0),半径长r=2,所以圆C的标准方程为(x-3)2+y2=4.

(2)如图②,过点C作CD垂直于直线x-y+1=0,垂足为D.

由点到直线的距离公式可得|CD|==2.又P(x,y)是圆C上任意一点,而圆C的半径长为2,结合图形易知点P到直线x-y+1=0的距离的最大值为2+2,最小值为2-2.

11.解析　(1)因为直线l1经过点A(-3,0),B(3,2),所以l1的方程为=,

即x-3y+3=0.

因为l1⊥l2,所以设直线l2的方程为3x+y+c=0.因为点B(3,2)在直线l2上,所以c=-11.所以直线l2的方程为3x+y-11=0.

(2)由得即C(1,8),所以|AC|=4,|BC|=2,又|AB|=2,所以AB2+BC2=AC2,所以△ABC是以AC为斜边的直角三角形.又AC的中点为(-1,4).

所以Rt△ABC的外接圆的圆心为(-1,4),半径长为2.所以△ABC外接圆的方程为(x+1)2+(y-4)2=20.

12.解析　(1)因为BC边上的高所在直线的斜率为,所以直线BC的斜率为-2,因为B(2,1),所以直线BC的方程为y-1=-2(x-2),即2x+y-5=0.

(2)设C(x0,y0),因为AC边上的中线所在直线的方程为y=1,

所以=1,解得y0=2.

因为直线BC的方程为2x+y-5=0,

所以2x0+y0-5=0,解得x0=,则C,

所以圆心为线段AC的中点,

半径长r==,

所以圆的方程为+(y-1)2=.