数学必修2第四章 圆与方程4.1 圆的方程一课一练

4.1.2　圆的一般方程

基础过关练

题组一　圆的一般方程

1.(2019江西宜春高二月考)圆x2+y2-4x-2y+1=0的圆心在(　　)

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

2.圆M:x2+y2-4x+2y=0的面积为(　　)

A.5π B.4π

C.3π D.2π

3.曲线x2+y2+2x-2y=0关于(　　)

A.直线x=成轴对称

B.直线y=-x成轴对称

C.点(-2,)成中心对称

D.点(-,0)成中心对称

4.(2019河南商丘九校联考高一期末)若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x-4y=0的圆心,则a的值为(　　)

A.-1 B.1

C.3 D.-3

5.已知圆的方程为x2+y2-2x+6y+8=0,那么通过圆心的一条直线方程是(　　)

A.2x-y-1=0 B.2x-y+1=0

C.2x+y+1=0 D.2x+y-1=0

6.(2019江苏高一期末)若方程x2+y2+2mx-4y+2m2+3=0表示圆,则实数m的取值范围是　　　　. 

7.(2019浙江高二期末)公元前3世纪,古希腊数学家阿波罗尼斯在前人的基础上写了一部划时代的著作《圆锥曲线论》,该书给出了当时数学家们所研究的六大轨迹问题,其中之一便是“到两个定点的距离之比等于不为1的常数的轨迹是圆”,简称“阿氏圆”.用解析几何方法解决“到两个定点O(0,0),A(3,0)的距离之比为的动点M的轨迹方程是x2+y2+2x-3=0”,则“阿氏圆”的圆心坐标是　　　　,半径长是　　　　. 

题组二　圆的一般方程的求法

8.圆x2+y2-2x-1=0关于直线2x-y+3=0对称的圆的方程是(　　)

A.(x+3)2+(y-2)2=   B.(x-3)2+(y+2)2=

C.(x+3)2+(y-2)2=2   D.(x-3)2+(y+2)2=2

9.(2019河北唐山一中高二月考)过三点A(-1,5)、B(5,5)、C(6,-2)的圆的方程为　　　　　　　　. 

10.求经过两点P(-2,4),Q(3,-1),并且在x轴上截得的弦长等于6的圆的一般方程.

题组三　圆的方程的应用

11.圆C:x2+y2+x-6y+3=0上有两点A,B关于直线kx-y+4=0对称,则k=(　　)

A.2 B.-

C.± D.不存在

12.已知方程x2+y2+4x-2y-4=0,则x2+y2的最大值是(　　)

A.6 B.3+

C.14+6 D.14

13.已知两点A(-2,0),B(0,2),点C是圆x2+y2-2x=0上任意一点,则△ABC面积的最小值是(　　)

A.3- B.3+

C.3- D.

14.设A为圆(x-1)2+y2=1上的动点,PA是圆的切线且|PA|=1,求P点的轨迹方程.

能力提升练

一、选择题

1.(2019江苏高一期末,★★☆)若圆x2+y2-2ax+2by+1=0的圆心在第一象限,则直线ax+y-b=0一定不经过(　　)

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

2.(2019四川成都外国语学校高二开学考试,★★☆)若a∈,则方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示的圆的个数为(　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

3.(★★☆)要使圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴的两个交点分别位于原点的两侧,则有(　　)

A.D2+E2-4F>0,且F>0 B.D<0,F>0

C.D=0,F=0 D.D2>4F,F<0

4.(★★☆)已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所围成的图形的面积为(　　)

A.π B.4π C.8π D.9π

5.(★★☆)若直线l:ax+by+1=0始终平分圆M:x2+y2+4x+2y+1=0的周长,则(a-2)2+(b-2)2的最小值为(　　)

A. B.5 C.2 D.10

二、填空题

6.(2018辽宁营口高一期末,★★☆)已知圆P的方程为x2+y2-6x-8y=0.设该圆过点(2,6)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为　　　　. 

7.(★★☆)如果圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0,那么当圆的面积最大时,圆心坐标为　　　　. 

8.(2019江苏高一期末,★★☆)古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题:在平面上给定两点A(-a,0),B(a,0),动点P满足=λ(其中a和λ是常数,且a>0,λ>0,λ≠1),则P的轨迹是一个圆,这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”,该圆的半径长为　　　　. 

三、解答题

9.(★★☆)已知△ABC的边AB长为4,若BC边上的中线为定长3,求顶点C的轨迹方程.

10.(★★☆)设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为邻边作平行四边形MONP,求点P的轨迹方程.

11.(★★☆)已知以点C为圆心的圆经过点A(-1,0)和B(3,4),且圆心在直线x+3y-15=0上.设点P在圆C上,求△PAB面积的最大值.

12.(2018吉林吉化一中高一期末,★★★)已知点P(2,0)及圆C:x2+y2-6x+4y+4=0.

(1)设过点P的直线l1与圆C交于M、N两点,当|MN|=4时,求以线段MN为直径的圆Q的方程;

(2)设直线ax-y+1=0与圆C交于A,B两点,是否存在实数a,使得过点P(2,0)的直线l2垂直平分弦AB?若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.

答案全解全析

基础过关练

1.A　圆x2+y2-4x-2y+1=0的圆心为(2,1) ,所以圆心在第一象限,故选A.

2.A　圆M:x2+y2-4x+2y=0,则圆的半径长r==,所以圆的面积为πr2=5π,故选A.

3.B　由圆的一般方程易知D=2,E=-2,F=0,

故曲线是以(-,)为圆心,2为半径长的圆,

又易知该圆过原点,原点与圆心连线所在的直线方程为y=-x,

所以曲线关于直线y=-x成轴对称,故选B.

4.B　圆x2+y2+2x-4y=0的圆心为(-1,2),代入直线3x+y+a=0,得-3+2+a=0,解得a=1,故选B.

5.C　因为圆的方程为x2+y2-2x+6y+8=0,所以圆心坐标为(1,-3),代入选项可知仅C正确.故选C.

6.答案　(-1,1)

解析　若方程x2+y2+2mx-4y+2m2+3=0表示圆,则(2m)2+(-4)2-4(2m2+3)>0,解得-1<m<1,所以m的取值范围是(-1,1).

7.答案　(-1,0);2

解析　由x2+y2+2x-3=0,得D=2,E=0,F=-3,

故圆心坐标为(-1,0),

半径长r==2.

8.C　由x2+y2-2x-1=0得(x-1)2+y2=2,则其圆心O1的坐标为(1,0),半径长为,故排除选项A,B.又易求选项C中圆的圆心O2的坐标为(-3,2),O1O2的中点(-1,1)在直线2x-y+3=0上,而选项D中圆的圆心O3的坐标为(3,-2),O1O3的中点(2,-1)不在直线2x-y+3=0上,故选C.

9.答案　x2+y2-4x-2y-20=0.

解析　解法一:设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),

则

解得所以圆的方程为x2+y2-4x-2y-20=0.

解法二:线段AB的中点为(2,5),kAB=0,所以线段AB的垂直平分线为x=2.

线段BC的中点为,kBC=-7,所以线段BC垂直平分线的斜率k=,其方程为x-7y+5=0.

两直线的交点即为圆心,设为点D,则D(2,1),半径长r=|AD|==5.所以圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=25,即x2+y2-4x-2y-20=0.

10.解析　设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),将P(-2,4),Q(3,-1)代入圆的方程并化简得①

令y=0,得x2+Dx+F=0.

设x1,x2为方程x2+Dx+F=0的两个根,则x1+x2=-D,x1x2=F.

由|x1-x2|=6得D2-4F=36,②

联立①②,解得D=-2,E=-4,F=-8或D=-6,E=-8,F=0.

所以圆的一般方程为x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0.

11.A　由题意得直线kx-y+4=0经过圆心C,所以--3+4=0,解得k=2,故选A.

12.C　将方程x2+y2+4x-2y-4=0整理为圆的标准方程(x+2)2+(y-1)2=9,它表示圆心为(-2,1),半径长为3的圆,画出相应的图形,如图所示.

设圆心为B,连接OB并延长,与圆B交于A点,则x2+y2的最大值为|AO|2,又|AO|=|AB|+|BO|=3+=3+,则|AO|2=(3+)2=14+6,即x2+y2的最大值为14+6.故选C.

13.A　直线AB的方程为x-y+2=0,圆心坐标为(1,0),半径长r=1.圆心到直线AB的距离d==,所以圆上任意一点到直线AB的最小距离为-1,所以△ABC面积的最小值是×|AB|×=×2×=3-.

14.解析　设P(x,y)是轨迹上任一点,圆(x-1)2+y2=1的圆心为B(1,0),半径长r=1.

则|PA|2+r2=|PB|2,即|PB|2=2.

故P点的轨迹是以(1,0)为圆心,为半径长的圆.

则P点的轨迹方程是(x-1)2+y2=2.

能力提升练

一、选择题

1.A　因为圆x2+y2-2ax+2by+1=0的圆心坐标为(a,-b),由圆心在第一象限可得a>0,b<0,所以直线ax+y-b=0的斜率-a<0,在y轴上的截距b<0,所以直线不过第一象限.

2.B　∵方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,

∴a2+(2a)2-4(2a2+a-1)>0,即3a2+4a-4<0,解得-2<a<,

所以当a∈时,只有a=0时,方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,故选B.

3.D　令y=0,得x2+Dx+F=0.

因为圆与x轴的两个交点分别位于原点的两侧,所以方程有一个正根和一个负根,

所以F<0,Δ=D2-4F>0,即D2>4F,F<0,故选D.

4.B　设点P的坐标为(x,y),由|PA|=2|PB|得(x+2)2+y2=4(x-1)2+4y2,即x2-4x+y2=0,该方程表示一个圆且其半径长为2.故点P的轨迹所围成的图形的面积S=4π.

5.B　圆M的圆心为(-2,-1),由题意知点M在直线l上,所以-2a-b+1=0,所以b=-2a+1.所以(a-2)2+(b-2)2=(a-2)2+(-2a+1-2)2=5a2+5≥5.

二、填空题

6.答案　20

解析　圆P的方程x2+y2-6x-8y=0可化为(x-3)2+(y-4)2=25.圆心坐标为P(3,4),半径长为5.由于点(2,6)到圆心的距离为,小于半径,故点(2,6)在圆内,则最长弦AC是直径,最短弦BD的中点是E(2,6),

且AC⊥BD.|PE|=,|BD|=2=4,|AC|=2×5=10,所以=|AC|·|BD|=×10×4=20.

7.答案　(0,-1)

解析　因为半径长r==·,所以当k=0时,r最大,此时圆的面积最大,圆的方程可化为x2+y2+2y=0,即x2+(y+1)2=1,所以圆心坐标为(0,-1).

8.答案　

解析　设P(x,y),由动点P满足=λ(其中a和λ是常数,且a>0,λ>0,λ≠1),

知=λ,

化简,得x2+x+a2+y2=0,

即+y2=-a2,

所以该圆的半径长r==.

故该圆的半径长为.

三、解答题

9.解析　以AB边所在直线为x轴,边AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(如图),则A(-2,0),B(2,0),设C(x,y),BC的中点D(x0,y0).

∴①

∵AD=3,∴(x0+2)2+=9.②

将①代入②,整理得(x+6)2+y2=36.

∵点C不能在x轴上,∴y≠0.

∴顶点C的轨迹方程为(x+6)2+y2=36(y≠0).

10.解析　如图所示,设P(x,y),N(x0,y0),则线段OP的中点坐标为,线段MN的中点坐标为.

由于平行四边形的对角线互相平分,

故从而

又点N(x+3,y-4)在圆上,故(x+3)2+(y-4)2=4.当点P在直线OM上时,有x=-,y=或x=-,y=.因此所求轨迹方程为(x+3)2+(y-4)2=4.

11.解析　易求线段AB的中点为(1,2),直线AB的斜率为1,所以线段AB的垂直平分线的方程为y-2=-(x-1),即y=-x+3.

由解得即圆心C为(-3,6),则半径长r==2.又|AB|==4,

所以圆心C到AB的距离d==4.

所以点P到AB的距离的最大值为4+2.

所以△PAB面积的最大值为×4×(4+2)=16+8.

12.解析　(1)圆C:x2+y2-6x+4y+4=0的圆心为C(3,-2),半径长为3,

则|CP|==,弦心距d==,所以d=|CP|,所以P为MN的中点,

所以圆Q的圆心坐标为(2,0),半径长为|MN|=2,故以MN为直径的圆Q的方程为(x-2)2+y2=4.

(2)不存在.理由如下:

直线ax-y+1=0即直线y=ax+1,将其代入圆C的方程,消去y,整理得(a2+1)x2+6(a-1)x+9=0.

由于直线ax-y+1=0与圆C交于A,B两点,故Δ=36(a-1)2-36(a2+1)>0,解得a<0.

则实数a的取值范围是(-∞,0).

假设符合条件的实数a存在,

由于l2垂直平分弦AB,故圆心C(3,-2)在l2上,所以l2的斜率为kPC=-2,所以kAB=a=,

由于∉(-∞,0),故不存在实数a,使得过点P(2,0)的直线l2垂直平分弦AB.