人教版新课标A必修24.2 直线、圆的位置关系综合训练题

4.2　直线、圆的位置关系

4.2.1　直线与圆的位置关系

基础过关练

题组一　直线与圆的位置关系的判定

1.(2019陕西高考模拟)若直线l:ax+by=1与圆C:x2+y2=1无交点,则点P(b,a)与圆C的位置关系是(　　)

A.点在圆上 B.点在圆外

C.点在圆内 D.不能确定

2.(2019河南商丘九校联考高一(上)期末)对任意的实数k,直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是(　　)

A.相离 B.相切

C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心

3.(2018吉林松原高一期末)点M(x0,y0)在圆x2+y2=R2外,则直线x0x+y0y=R2与圆的位置关系是(　　)

A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定

4.对于任意实数k,直线(3k+2)x-ky-2=0与圆x2+y2-2x-2y-3=0的位置关系是　　　　. 

题组二　直线与圆相切的有关问题

5.已知直线ax+by+c=0(abc≠0)与圆x2+y2=1相切,则三条边长分别为|a|,|b|,|c|的三角形是(　　)

A.锐角三角形 B.直角三角形

C.钝角三角形 D.不存在

6.(2019湖南高一期末)已知圆C的圆心在x轴上,半径长为2,且与直线x-y+2=0相切,则圆C的方程为(　　)

A.(x-2)2+y2=4

B.(x+2)2+y2=4或(x-6)2+y2=4

C.(x-1)2+y2=4

D.(x-2)2+y2=4或(x+6)2+y2=4

7.(2019吉林东北师大附中高一期末)已知圆C与直线x-y=0和直线x-y-4=0都相切,且圆心C在直线x+y=0上,则圆C的方程是(　　)

A.(x+1)2+(y-1)2=2 B.(x-1)2+(y+1)2=2

C.(x+1)2+(y-1)2=4 D.(x-1)2+(y+1)2=4

8.(2019广东高一期末)已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=(　　)

A.2 B.4

C.6 D.2

9.(2019湖南浏阳一中高二期末)若直线l:x-y+t=0与圆C:x2+y2-12x-16y+96=0相切,则实数t的值为　　　　. 

题组三　直线与圆相交的有关问题

10.(2019甘肃天水一中高一上学期期末)点P(2,-1)为圆(x-1)2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程为　(　　)

A.x+y-1=0 B.2x+y-3=0

C.x-y-3=0 D.2x-y-5=0

11.直线x+7y-5=0截圆x2+y2=1所得的两段弧长之差的绝对值是(　　)

A. B. C.π D.

12.直线y=k(x+2)被圆x2+y2=4截得的弦长为2,则直线的倾斜角为(　　)

A.30° B.60°

C.30°或150° D.60°或120°

13.已知点A(1,a),圆O:x2+y2=4.

(1)若过点A的圆O的切线只有一条,求实数a的值及切线方程;

(2)若过点A且在两坐标轴上截距相等的直线被圆O截得的弦长为2,求实数a的值.

14.已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R).

(1)求证:直线l恒过定点;

(2)判断直线l与圆C的位置关系;

(3)当m=0时,求直线l被圆C截得的弦长.

能力提升练

一、选择题

1.(2020湖北荆州中学高二期末,★★☆)过点P(4,2)作圆x2+y2=4的两条切线,切点分别为A、B,O为坐标原点,则△AOB的外接圆方程为(　　)

A.(x-2)2+(y-1)2=5

B.(x+2)2+(y+1)2=20

C.(x-4)2+(y-2)2=5

D.(x+4)2+(y+2)2=20

2.(2019江西吉安一中高二月考,★★☆)与直线x-y-4=0和圆x2+y2+2x-2y=0都相切的半径最小的圆的方程是(　　)

A.(x+1)2+(y+1)2=2 B.(x-1)2+(y+1)2=4

C.(x-1)2+(y+1)2=2 D.(x+1)2+(y+1)2=4

3.(2019湖南衡阳市一中高一期末,★★☆)若实数x,y满足x2+y2=3,则的取值范围是(　　)

A.(-,)

B.(-∞,-)∪(,+∞)

C.[-,]

D.(-∞,-]∪[,+∞)

4.(2019天津红桥期末,★★☆)若直线l:ax+y+2a=0被圆C:x2+(y-4)2=4所截得的弦长为2,则a的值为(　　)

A.-7或-1 B.7或1 

C.7或-1 D.-7或1

5.(2018吉林松原高一期末,★★☆)已知点M(a,b)(ab≠0)是圆x2+y2=r2(r>0)内一点,直线g是以M为中点的弦所在的直线,直线l的方程为ax+by+r2=0,则(　　)

A.l∥g,且l与圆相离 

B.l⊥g,且l与圆相切

C.l∥g,且l与圆相交 

D.l⊥g,且l与圆相离

6.(★★☆)直线y=kx交曲线y=于P、Q两点,O为原点,P在线段OQ上,若|OP|=2|PQ|,则k的值为(　　)

A. B.

C. D.

7.(2019江西临川第一中学高三上学期期末,★★☆)已知圆x2+y2-4x-5=0的弦AB的中点为Q(1,1),直线AB交x轴于点P,则|PA|·|PB|=(　　)

A.4 B.5 C.6 D.8

二、填空题

8.(2019湖北沙市中学上学期期末,★★☆)已知圆C:(x-2)2+y2=4,直线l1:y=x和l2:y=kx-1被圆C所截得的弦的长度之比为1∶2,则k的值为　　　. 

9.(★★☆)已知方程x2+y2-2ax+2(a-2)y+2=0表示圆,其中a∈R,且a≠1,则无论a取不为1的任何实数,上述圆恒过的定点坐标是　　　　. 

10.(2018豫南九校高一期末,★★☆)已知集合A={(x,y)|(x-1)2+(y+2)2=6},B={(x,y)|2x+y-5=0},则集合A∩B的子集个数为　　　　. 

11.(2018陕西西安一中期末,★★☆)已知圆x2+y2=4,则圆上到直线3x-4y+5=0的距离为1的点的个数为　　　　. 

三、解答题

12.(2019天津高一期末,★★☆)已知圆C:x2+y2-2x-4y-20=0.

(1)求圆C关于直线x-2y-2=0对称的圆D的标准方程;

(2)过点P(4,-4)的直线l被圆C截得的弦长为8,求直线l的方程;

(3)当k取何值时,直线m:kx-y+3k+1=0与圆C相交的弦长最短,并求出最短弦长.

13.(2019河北高一月考,★★☆)已知圆M:(x+a)2+(y-a)2=r2的圆心M在直线y=x上,且直线3x+4y-15=0与圆M相切.

(1)求圆M的方程;

(2)设圆M与x轴交于A,B两点,点P在圆M内,且|PM|2=|PA|·|PB|.记直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,求k1k2的取值范围.

答案全解全析

基础过关练

1.C　若直线l:ax+by=1与圆C:x2+y2=1无交点,则>1,即a2+b2<1,

∴点P(b,a)在圆C内部.故选C.

2.C　对任意的实数k,直线y=kx+1恒过点(0,1),且斜率存在,∵(0,1)在圆x2+y2=2内,∴对任意的实数k,直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是相交但直线不过圆心,故选C.

3.B　∵点M(x0,y0)在圆x2+y2=R2外,∴+>R2,∴圆心(0,0)到直线x0x+y0y=R2的距离d=<R,∴直线x0x+y0y=R2与圆相交.故选B.

4.答案　相交

解析　解法一:将直线方程(3k+2)x-ky-2=0化为(3x-y)k+2x-2=0,令3x-y=0,2x-2=0,解得x=1,y=3,则直线恒过点(1,3),又12+32-2×1-2×3-3=-1<0,所以点(1,3)在圆内,所以直线与圆相交.

解法二:将圆的方程化为(x-1)2+(y-1)2=5,可知圆的半径长为,圆心(1,1)到直线的距离d=≤=2<,所以直线与圆相交.

5.B　由题意知=1,则|c|=,即c2=a2+b2,故三条边长分别为|a|,|b|,|c|的三角形是直角三角形.

6.D　设圆心坐标为(a,0),因为圆与直线x-y+2=0相切,所以由点到直线的距离公式可得=2,解得a=2或a=-6.因此圆C的方程为(x-2)2+y2=4或(x+6)2+y2=4.

7.B　∵圆心在直线x+y=0上,∴可设圆心为(a,-a),设所求圆的方程为(x-a)2+(y+a)2=r2,则由题意,得==r,解得a=1,r=.

∴所求圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.故选B.

8.C　圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4,圆心为C(2,1),半径长r=2,由直线l是圆C的对称轴,知直线l过点C,所以2+a×1-1=0,即a=-1,所以A(-4,-1),于是|AC|2=40,所以|AB|===6.故选C.

9.答案　2±2

解析　圆C的标准方程为(x-6)2+(y-8)2=4,圆心C的坐标为(6,8),半径长为2,由于直线l与圆C相切,则圆心C到直线l的距离等于半径长,即=2,

即|t-2|=2,解得t=2±2.

10.C　因为AB是圆(x-1)2+y2=25的弦,设圆心为C,则C(1,0),根据题意易知AB⊥CP,

因此,AB的斜率k===1,

可得直线AB的方程为y+1=x-2,化简,得x-y-3=0,故选C.

11.C　圆心(0,0)到直线的距离d==.又圆的半径长r=1,所以直线x+7y-5=0被圆x2+y2=1截得的弦长为2=,所以直线截圆所得的劣弧所对的圆心角大小为90°,所以劣弧是整个圆周的,所以直线截圆所得的两段弧长之差的绝对值为整个圆周长的一半,即×2πr=π.

12.C　由题意,知圆x2+y2=4的圆心为(0,0),半径长为2,∵直线y=k(x+2)被圆x2+y2=4截得的弦长为2,∴圆心到直线的距离d==1,又∵圆心到直线的距离d=,∴k=±,∴直线的倾斜角为30°或150°.故选C.

13.解析　(1)由于过点A的圆O的切线只有一条,故点A在圆上,

所以12+a2=4,所以a=±.

当a=时,A(1,),此时切线方程为x+y-4=0;

当a=-时,A(1,-),此时切线方程为x-y-4=0.

(2)设直线方程为x+y=b,因为直线过点A(1,a),所以1+a=b,即a=b-1.①

又圆心到直线的距离d=,

所以+=4,②

由①②得或

所以a=-1或a=--1.

14.解析　(1)证明:直线l的方程可化为(2x+y-7)m+x+y-4=0.因为m∈R,

所以解得

所以直线l恒过定点A(3,1).

(2)圆心C(1,2),

|AC|==<5,

所以点A在圆C内.从而直线l与圆C相交(无论m为何实数).

(3)当m=0时,直线l的方程为x+y-4=0,圆心C(1,2)到直线l的距离d==.所以此时直线l被圆C截得的弦长为2=7.

能力提升练

一、选择题

1.A　由题意知,OA⊥PA,OB⊥PB,

∴四边形AOBP有一组对角都等于90°,

∴四边形AOBP的四个顶点在同一圆上,此圆的直径是线段OP,线段OP的中点为(2,1),|OP|=2,∴四边形AOBP的外接圆方程为(x-2)2+(y-1)2=5,∴△AOB外接圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.故选A.

2.C　圆x2+y2+2x-2y=0的圆心为(-1,1),半径长为,过圆心(-1,1)与直线x-y-4=0垂直的直线方程为x+y=0,易知所求圆的圆心在此直线上,又圆心(-1,1)到直线x-y-4=0的距离为=3,则所求圆的半径长为,设所求圆的圆心为(a,b),且圆心在直线x-y-4=0的左上方,则=,且a+b=0,解得a=1,b=-1(a=3,b=-3舍去),故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y+1)2=2,故选C.

3.C　如图,设过P(2,0)的直线的斜率为k,则直线方程为y=k(x-2),即kx-y-2k=0,由坐标原点O(0,0)到直线kx-y-2k=0的距离等于,得=,解得k=±,故的取值范围是[-,].故选C.

4.A　圆心(0,4)到直线l的距离d===,解得a=-7或a=-1,故选A.

5.A　因为点M在圆内,所以a2+b2<r2.所以圆心(0,0)到直线l的距离d=>r,所以直线l与圆相离.易知OM⊥g,所以直线g的方程为y-b=-(x-a),即ax+by-a2-b2=0,所以l∥g.

6.D　∵y=,∴(x-2)2+y2=1(1≤x≤3,y≥0),设圆心C到直线y=kx的距离为d,过C作CM⊥直线y=kx,垂足为M,∵|OP|=2|PQ|,∴|OM|=5|PM|,即=5,∴d2=,从而=,

∴k2=,∵y≥0,∴k≥0,∴k=,故选D.

7.B　x2+y2-4x-5=0可化为(x-2)2+y2=9,

所以圆x2+y2-4x-5=0的圆心坐标为C(2,0),半径长为3,

设它与x轴的交点分别为M,N,不妨设|MO|=1,|NO|=5.

因为弦AB的中点为Q(1,1),所以QC⊥AB,

因为kQC==-1,所以kAB=1,

所以直线AB的方程为y-1=x-1,即y=x,

所以点P的坐标为(0,0),它与原点重合.

由圆的相交弦定理可得|MO|·|NO|=|PA|·|PB|,

所以|PA|·|PB|=5,故选B.

二、填空题

8.答案　

解析　圆C:(x-2)2+y2=4的圆心为(2,0),半径长为2,圆心到直线l1:y=x的距离为,l1被圆C所截得的弦的长度为2=2,圆心到l2的距离为,l2被圆C所截得的弦的长度为2,结合l1,l2被圆C所截得的弦的长度之比为1∶2,

可得2=2×2,解得k=.

9.答案　(1,1)

解析　由已知得x2+y2-4y+2+2a(y-x)=0,它表示过圆x2+y2-4y+2=0与直线y-x=0交点的圆.

由解得

即定点坐标为(1,1).

10.答案　4

解析　由题意知A∩B中的元素为圆与直线的交点,因为圆心(1,-2)到直线2x+y-5=0的距离d==<,所以直线与圆相交,故集合A∩B中有2个元素.故集合A∩B的子集个数为4.

11.答案　3

解析　圆x2+y2=4的圆心为(0,0),半径长为2,圆心(0,0)到直线3x-4y+5=0的距离d==1,故圆上到直线3x-4y+5=0的距离为1的点的个数为3.

三、解答题

12.解析　由题意,知圆C:x2+y2-2x-4y-20=0的圆心坐标为C(1,2),半径长r=5.

(1)设D(m,n),因为圆心C与点D关于直线x-2y-2=0对称,

所以解得则D(3,-2),半径长r=5,

所以圆D的标准方程为(x-3)2+(y+2)2=25.

(2)设点C到直线l的距离为d(d>0),

则2=8,解得d=3.

①当直线l的斜率不存在时,直线方程为x=4,满足题意;

②当直线l的斜率存在时,设直线方程为y+4=k(x-4),则d==3,解得k=-,

所以直线l的方程为3x+4y+4=0.

综上,直线l的方程为x=4或3x+4y+4=0 .

(3)直线m:kx-y+3k+1=0可化为y-1=k(x+3),所以直线m过定点M(-3,1),

当CM⊥m时,弦长最短,又由kCM=,可得k=-4,

此时最短弦长为2=4.

13.解析　(1)因为圆M的圆心M(-a,a)在直线y=x上,所以a=-a,即a=0,

因为直线3x+4y-15=0与圆M相切,所以r==3,

故圆M的方程为x2+y2=9.

(2)由(1)知,圆心M(0,0),不妨设A(-3,0),B(3,0).

设P(x,y),因为点P在圆M内,所以x2+y2<9.

因为|PM|2=|PA|·|PB|,所以x2+y2=·,

所以2x2-2y2=9,则2y2=2x2-9.

因为直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,所以k1=,k2=,

则k1k2===1+.

因为所以≤x2<,

所以-<≤-,

则-1<1+≤0.

故k1k2的取值范围为(-1,0].