高中数学人教版新课标A必修2第四章 圆与方程4.2 直线、圆的位置关系随堂练习题

4.2.3　直线与圆的方程的应用

基础过关练

题组一　直线与圆的方程在平面几何中的应用

1.在圆x2+y2-2x-6y=0内过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为(　　)

A.5 B.10 C.15 D.20

2.一束光线从点A(-1,1)出发经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短距离是(　　)

A.4 B.5 C.3-1 D.2

3.若圆O:x2+y2=4和圆C:(x+2)2+(y-2)2=4关于直线l对称,则直线l的方程为(　　)

A.x-y-2=0 B.x-y+2=0

C.x+y-2=0 D.x+y+2=0

4.过圆x2+y2-4x=0外一点(m,n)作圆的两条切线,当这两条切线互相垂直时,m,n满足的关系式是(　　)

A.(m-2)2+n2=4 B.(m+2)2+n2=4

C.(m-2)2+n2=8 D.(m+2)2+n2=8

5.圆x2+y2+y+m=0与其关于直线x+2y-1=0对称的圆总有四条公切线,则m的取值范围是　　　　. 

6.方程=kx+2有唯一解,则实数k的范围是　　　　. 

7.如图,A、B是直线l上的两点,且AB=2.两个半径长相等的动圆分别与l相切于A、B点,C是这两个圆的公共点,求圆弧AC,CB与线段AB围成封闭图形的面积S的最大值.

8.已知圆O:x2+y2=1,点P(3,4),以OP为直径的圆C与圆O交于A、B两点.

(1)PA与OA、PB与OB具有怎样的位置关系?

(2)由(1)还可以得到什么结论?你能否将这一结论推广.

题组二　直线与圆的方程的实际应用

9.一辆宽1.6 m的卡车,要经过一个半径长为3.6 m的半圆形隧道,则这辆卡车的高度不得超过(　　)

A.1.4 m B.3.5 m C.3.6 m D.2.0 m

10.台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动,离台风中心30 km内的地区为危险区,城市B在A地正东40 km处,求城市B处于危险区内的时间.

11.如图所示是一座圆拱桥,当水面在如图所示的位置时,拱桥顶部离水面2 m,水面宽12 m,若水面下降1 m,求水面的宽.

12.某化肥公司在A,B两地设立了两个零售点,他们统一了价格.某地农民从两地之一购得化肥后运回的费用是:A地每千米的运费是B地每千米运费的3倍.已知A,B两地距离为10千米,顾客选择A地或B地购买化肥的标准是:运费和价格的总费用较低.求P地居民选择A地或B地购货总费用相等时,“点P”所在曲线的形状,并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点?

能力提升练

一、选择题

1.(2018豫南九校高一期末,★★☆)已知实数x,y满足方程x2+y2-4x-1=0,则y-2x的最小值和最大值分别为　　(　　)

A.-9,1 B.-10,1 C.-9,2 D.-10,2

2.(2019山西运城中学、芮城中学期中联考,★★☆)若圆(x-a)2+(y-a)2=8上总存在点A,使|OA|≤,则实数a的取值范围是(　　)

A.(-3,-1)∪(1,3) B.(-3,3)

C.[-1,1] D.[-3,-1]∪[1,3]

3.(2019甘肃天水一中高一上学期期末,★★☆)已知半径长为1的动圆与定圆(x-5)2+(y+7)2=16相切,则动圆圆心的轨迹方程是(　　)

A.(x-5)2+(y+7)2=25

B.(x-5)2+(y+7)2=3或(x-5)2+(y+7)2=5

C.(x-5)2+(y+7)2=9

D.(x-5)2+(y+7)2=25或(x-5)2+(y+7)2=9

二、填空题

4.(★★☆)若圆x2+y2-2ax+a2=2和x2+y2-2by+b2=1外离,则a2+b2的范围是　　　　　　. 

5.(2019四川绵阳期末教学质量检测,★★☆)若A(-3,y0)是直线l:x+y+a=0(a>0)上的点,直线l与圆C:(x-)2+(y+2)2=12相交于M、N两点,若△MCN为等边三角形,则过点A作圆C的切线,切点为P,则|AP|=　　　　. 

三、解答题

6.(2019江苏高一期末,★★☆)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x2+(y-2)2=1.

(1)若圆E的半径长为2,圆E与x 轴相切且与圆C外切,求圆E的标准方程;

(2)若过原点O的直线l与圆C相交于A,B 两点,且|OA|=|AB|,求直线l的方程.

7.(2018安徽六安一中高一期末,★★☆)已知圆O:x2+y2=1和定点T(2,1),由圆O外一动点P(m,n)向圆O引切线PQ,切点为Q,且满足|PQ|=|PT|.

(1)求证:动点P在定直线上;

(2)求线段PQ长的最小值,并写出此时点P的坐标.

8.(★★☆)如图所示,船行前方的河道上有一座圆拱桥,正常水位时,拱圈的最高点距水面9 m,拱圈内水面宽22 m,船体在水面以上部分高6.5 m,船顶部宽4 m,此时船可以通行无阻.近日水位暴涨了2.7 m,船已经不能通过桥洞,船员必须加重船载,降低船身在水面以上的高度,则船身至少降低多少才能通过桥洞?(精确到0.01 m)

9.(★★★)已知圆C与圆D:x2+y2-4x-2y+3=0关于直线l:4x+2y-5=0对称.

(1)求圆C的方程;

(2)若点P(2,0),M(0,2),设Q为圆C上一动点.

①求△QPM面积的最大值,并求出取最大值时点Q的坐标;

②在①的结论下,过点Q作两条相异直线分别与圆C相交于A、B两点,若直线QA、QB的倾斜角互补,问直线AB与直线PM是否垂直?请说明理由.

答案全解全析

基础过关练

1.B　圆的方程化为(x-1)2+(y-3)2=10,由圆的性质可知最长弦AC=2,最短弦BD的中点为E(0,1),设圆的圆心为F,则F(1,3),故EF==,所以BD=2×=2,所以S四边形ABCD=AC·BD=10.

2.A　圆C的圆心坐标为(2,3),半径长r=1.点A(-1,1)关于x轴对称的点A'的坐标为(-1,-1).因为点A'在反射光线所在直线上,所以最短距离为|A'C|-r,即-1=4.

3.B　两圆的圆心分别为O(0,0),C(-2,2),由题意知,l为线段OC的垂直平分线,故其方程为x-y+2=0.

4.C　圆x2+y2-4x=0的圆心坐标为(2,0),半径长r=2.由题意,易知点(m,n)到圆心(2,0)的距离为2,所以(m-2)2+n2=8.

5.答案　

解析　∵曲线x2+y2+y+m=0表示圆,

∴12-4m>0,解得m<.

易知圆x2+y2+y+m=0的圆心为,半径长为,

∵对称圆与已知圆总有四条公切线,

∴对称圆与已知圆相离,

∴已知圆与直线x+2y-1=0相离,

∴>,解得m>-.

综上可知,m的取值范围是.

6.答案　k<-2或k>2或k=±

解析　方程=kx+2有唯一解可转化为直线y=kx+2与半圆x2+y2=1(y≥0)只有一个交点,结合图形,

易得k<-2或k>2或k=±.

7.解析　如图,当两圆外切于点C时,S最大.所求面积为阴影部分的面积,此时,圆的半径长r=1,所以S=2×1-2×=2-.

8.解析　(1)如图,点A在圆C上,OP为圆C的直径,所以OA⊥PA,同理可得OB⊥PB.

(2)由(1)还可以得到:PA是圆O的切线,PB也是圆O的切线.

这一结论可以推广为:圆O外一点P,以OP为直径的圆与圆O交于A、B两点,则PA、PB是圆O的切线.

9.B　建立平面直角坐标系如图所示,则

|OA|=3.6 m,|AB|=0.8 m,则|OB|=≈3.5 m,所以卡车的高度不得超过3.5 m.

10.解析　如图,以A地为原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,设以B(40,0)为圆心,30 km为半径长的圆与直线y=x交于M、N两点,则当台风中心在MN之间(含端点)时,城市B处于危险区.过B作BH⊥MN,垂足为H,连接BN,易得BH=AB·sin 45°=20 km,则MN=2NH=2=20 km,

又台风中心的移动速度为20 km/h,

故城市B处于危险区内的时间为1 h.

11.解析　如图,建立平面直角坐标系,

设初始水面在AB处,则由已知得A(6,-2),设圆C的半径长为r(r>0),则C(0,-r),故圆C的方程为x2+(y+r)2=r2,将A(6,-2)代入,得r=10,所以圆C的方程为x2+(y+10)2=100.①

当水面下降1 m到A'B'时,设A'(x0,-3)(x0>0).将A'(x0,-3)代入①式,得x0=,所以水面下降1 m后,水面的宽为2 m.

12.解析　如图所示,以A,B所在直线为x轴,线段AB的中点为原点,建立平面直角坐标系,则A(-5,0),B(5,0).

设P地的坐标为(x,y),到A地的运费为3a元/千米,到B地的运费为a元/千米.

当P地到A,B两地购货总费用相等时,

3a=a,

因为a>0,

所以3=.

两边平方,得9(x+5)2+9y2=(x-5)2+y2,

即+y2=,所以点P在以点为圆心,为半径长的圆上.

(1)当点P在以点为圆心,为半径长的圆上时,居民到A,B两地购货总费用相等.

(2)当点P在上述圆内时,

+y2<,

即3a·<a·,所以到A地购货合算.

(3)同理可知,当点P在上述圆外时,到B地购货合算.

能力提升练

一、选择题

1.A　x2+y2-4x-1=0可化为(x-2)2+y2=5,y-2x可看作是直线y=2x+b在y轴上的截距,当直线y=2x+b与圆相切时,b取得最大值或最小值,此时=,解得b=-9或b=1,所以y-2x的最大值为1,最小值为-9.

2.D　问题可转化为圆(x-a)2+(y-a)2=8和圆x2+y2=2相交或相切,设圆(x-a)2+(y-a)2=8的圆心为O1(a,a),半径长R=2,圆x2+y2=2的圆心为O(0,0),半径长r=,

两圆圆心距d==|a|,由R-r≤|OO1|≤R+r,得2-≤|a|≤2+,解得1≤|a|≤3,即a∈[-3,-1]∪[1,3],故选D.

3.D　如图,由圆A:(x-5)2+(y+7)2=16,得圆心A的坐标为(5,-7),半径长R=4,且动圆的半径长r=1,根据图象可知:当圆B与圆A内切时,圆心B的轨迹是以A为圆心,半径长等于R-r=4-1=3的圆,则圆B的方程为(x-5)2+(y+7)2=9.

当圆C与圆A外切时,圆心C的轨迹是以A为圆心,半径长等于R+r=4+1=5的圆,则圆C的方程为(x-5)2+(y+7)2=25.

综上,动圆圆心的轨迹方程为(x-5)2+(y+7)2=25或(x-5)2+(y+7)2=9.

二、填空题

4.答案　(3+2,+∞)

解析　由题意可得两圆的圆心坐标和半径长分别为(a,0),、(0,b),1,因为两圆外离,所以>+1,即a2+b2>3+2.

5.答案　6

解析　因为△MCN为等边三角形,圆C的圆心为C(,-2),半径长r=2,所以根据点C到直线l的距离可得:=3=,即|a+1|=6,因为a>0,所以a=5,所以直线l的方程为x+y+5=0,又A(-3,y0)在直线l上,所以-9+y0+5=0,所以y0=4,即A(-3,4),

所以|AP|===6.

三、解答题

6.解析　(1)设圆E的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,故圆心E的坐标为(a,b),半径长r=2.

又圆E与x轴相切,所以|b|=2.①

因为圆E与圆C外切,所以|EC|=3,即=3.②

由①②解得a=±3,b=2,

故圆E的标准方程为(x+3)2+(y-2)2=4或(x-3)2+(y-2)2=4.

(2)解法一:设A(x0,y0),

因为|OA|=|AB|,所以A为线段OB的中点,从而B(2x0,2y0),

因为A,B都在圆C上,

所以

解得或

故直线l的方程为y=±x.

解法二:设线段AB的中点为M,连接CM,CA.

设|AM|=t,|CM|=d.

因为|OA|=|AB|,所以|OM|=3t,

在Rt△ACM中,d2+t2=1,③

在Rt△OCM中,d2+(3t)2=4.④

由③④解得d=.

由题可知直线l的斜率一定存在,设直线l的方程为y=kx(k≠0),

则d==,解得k=±,

故直线l的方程为y=±x.

7.解析　(1)证明:由|PQ|=|PT|得|PQ|2=|OP|2-1=|PT|2,∴m2+n2-1=(m-2)2+(n-1)2,∴2m+n-3=0,

即动点P在定直线2x+y-3=0上.

(2)由(1)可得y=-2x+3,

|PQ|===

=,

故当x=时,|PQ|min=,

即线段PQ长的最小值为,此时P.

8.解析　在正常水位时,设水面与桥横截面的交线为x轴,过拱桥最高点且与水面垂直的直线为y轴,建立平面直角坐标系,

如图所示,则A,B,D三点的坐标分别为(-11,0),(11,0),(0,9),

又圆心C在y轴上,故可设C(0,b).

因为|CD|=|CB|,所以(9-b)2=112+b2,解得b=-,

所以圆拱桥所在圆的方程为x2+=.

当x=2时,求得y≈8.820(m),即在x=2 m的地方拱圈距正常水位时的水面约8.820 m,距涨水后的水面约8.820-2.7=6.120(m),因为船高6.5 m,

所以船身至少降低6.5-6.120=0.38 m,船才能顺利通过桥洞.

9.解析　(1)将圆D:x2+y2-4x-2y+3=0化为标准方程为(x-2)2+(y-1)2=2.

∴圆心D(2,1),半径长为.

设圆C的圆心为(a,b),

∵圆C与圆D关于直线4x+2y-5=0对称,

∴圆心D(2,1)与C(a,b)关于直线l:4x+2y-5=0对称,且两圆圆心的中点在l上,

∴解得

∴圆C的方程为x2+y2=2.

(2)①因为点P(2,0),M(0,2),所以|PM|=2,直线PM的方程为x+y=2.

设点Q到直线PM的距离为h,圆心C到直线PM的距离为d,则d==.

S△QPM=|PM|·h=h.

要使△QPM的面积取得最大值,则需h取得最大值,易知h取最大值时,点Q与圆心C的连线与直线PM垂直,

故有hmax=d+r=+=2,

所以(S△QPM)max=×2=4.

此时点Q的坐标为(-1,-1).

②直线AB与直线PM垂直.理由如下:

因为过点Q(-1,-1)作两条相异直线分别与圆C相交于A、B两点,直线QA、QB的倾斜角互补,所以直线QA、QB的斜率都存在.

设直线QA的斜率为k,则直线QB的斜率为-k,所以直线QA的方程为y+1=k(x+1),

由得(1+k2)x2+2k(k-1)x+k2-2k-1=0,

又因为点Q(-1,-1)在圆C上,

所以xA·(-1)=,

所以xA=,

同理,xB=,

所以kAB==

==1,

又kPM==-1,所以kPM·kAB=-1,

故直线AB与直线PM垂直.