高中数学人教版新课标A必修22.1 空间点、直线、平面之间的位置关系复习练习题

2.1.2　空间中直线与直线之间的位置关系

基础过关练

题组一　空间两条直线的位置关系的判定　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1.(2019河南高一期末)三棱锥A-BCD的六条棱所在直线成异面直线的有(　　)

A.3对 B.4对 C.5对 D.6对

2.(2019四川成都经开区实验高中高二月考)若直线a和b没有公共点,则a与b的位置关系是(　　)

A.相交 B.平行

C.异面 D.平行或异面

3.(多选题)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别为棱C1D1、C1C的中点,则下列说法正确的是(　　)

A.直线AM与CC1是相交直线

B.直线BN与MB1是异面直线

C.直线AM与BN是平行直线

D.直线AM与DD1是异面直线

题组二　公理4及等角定理的应用

4.(2020上海高二月考)下列命题中,正确的结论有(　　)

①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等;②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等;③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补;④如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行.

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

5.已知∠BAC=∠B1A1C1,AB∥A1B1,则AC与A1C1的位置关系是(　　)

A.相交 B.异面

C.平行 D.以上均有可能

6.如图,在四面体ABCD中,M,N,P,Q,E分别是AB,BC,CD,AD,AC的中点,则下列说法中不正确的是(　　)

A.M,N,P,Q四点共面 B.∠QME=∠CBD

C.△BCD∽△MEQ D.四边形MNPQ为梯形

7.(2019上海青浦第一中学高二期中)下列四个结论中假命题的序号是　　　　. 

①垂直于同一直线的两条直线互相平行;

②平行于同一直线的两直线平行;

③若直线a,b,c满足a∥b,b⊥c,则a⊥c;

④若直线a,b是异面直线,则与a,b都相交的两条直线是异面直线.

8.如图,已知在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,AD的中点.

求证:(1)四边形MNA1C1是梯形;

(2)∠DNM=∠D1A1C1.

题组三　异面直线所成的角

9.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D为A1B1的中点,AB=BC=2,BB1=1,AC=2,则异面直线BD与AC所成的角为(　　)

A.30° B.45° C.60° D.90°

10.直三棱柱ABC-A1B1C1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于(　　)

A.30° B.45° C.60° D.90°

11.(2020福建莆田第二十五中学高一期末)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC与BC1所成角的大小是　　　　. 

能力提升练

一、选择题

1.(★★☆)a、b为异面直线是指

①a∩b=⌀,且a不平行于b;②a⊂平面α,b⊄平面α,且a∩b=⌀;③a⊂平面α,b⊂平面β,且α∩β=⌀;④不存在平面α能使a⊂α且b⊂α成立.(　　)

A.①②③ B.①③④

C.②③ D.①④

2.(2019安徽高二期末,★★☆)空间中有三条线段AB,BC,CD,且∠ABC=∠BCD,那么直线AB与CD的位置关系是(　　)

A.平行

B.异面

C.相交或平行

D.平行或异面或相交均有可能

3.(2019上海高三期末,★★☆)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任取两个点作直线,与直线A1B异面且夹角成60°的直线的条数为(　　)

A.3 B.4 C.5 D.6

4.(2018安徽阜阳一中开学测试,★★☆)如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB1,BC1的中点,则下列结论中不成立的是(　　)

A.EF与BB1垂直 B.EF与BD垂直

C.EF与CD异面 D.EF与A1C1异面

5.(2020湖南邵阳高一期末,★★☆)如图是某个正方体的平面展开图,l1,l2是两条侧面对角线,则在该正方体中,l1与l2(　　)

A.互相平行 B.异面且互相垂直

C.异面且夹角为60° D.相交且夹角为60°

二、填空题

6.(★★☆)如图,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的图是　　　　(填序号). 

7.(★★☆)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是　　　　. 

三、解答题

8.(★★☆)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分别是棱AD和A1D1的中点.求证:

(1)四边形BB1M1M为平行四边形;

(2)∠BMC=∠B1M1C1.

9.(★★☆)正三棱锥S-ABC的侧棱长与底面边长都为a,E,F分别是SC,AB的中点,求直线EF和SA所成的角.

答案全解全析

基础过关练

1.A　如图,

三棱锥A-BCD中六条棱所在直线成异面直线的有AB与CD,AC与BD,AD与BC,共3对,故选A.

2.D　因为两直线相交只有一个公共点,两直线平行或异面没有公共点,所以选D.

3.BD　∵A,M,C,C1四点不共面,

∴直线AM与CC1是异面直线,故选项A说法错误;

直线BN与MB1不同在任何一个平面内,是异面直线,故选项B说法正确;

直线AM与BN不同在任何一个平面内,是异面直线,故选项C说法错误;

直线AM与DD1不同在任何一个平面内,是异面直线,故选项D说法正确.

4.B　由公理4及等角定理知,只有②④正确.

5.D　如图所示,∠BAC=∠B1A1C1,AB∥A1B1,则AC与A1C1可能平行、相交或异面.故选D.

6.D　由中位线定理,易知MQ∥BD,ME∥BC,QE∥CD,NP∥BD.对于A,由公理4易得MQ∥NP,所以M,N,P,Q四点共面,故A说法正确;对于B,根据等角定理,得∠QME=∠CBD,故B说法正确;对于C,由等角定理,知∠QME=∠CBD,∠MEQ=∠BCD,所以△BCD∽△MEQ,故C说法正确;由三角形的中位线定理及公理4,知MQ∥BD,MQ=BD,NP∥BD,NP=BD,所以MQ?NP,所以四边形MNPQ为平行四边形,故D说法不正确.故选D.

7.答案　①④

解析　对于①,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BC⊥AB,AA1⊥AB,但BC与AA1为异面直线,所以命题①是假命题;

对于②,由平行公理可知命题②是真命题;

对于③,将直线a平移到b的位置,由于b⊥c,所以a⊥c,故命题③是真命题;

对于④,在直线a上取点P,在直线b上取点A,B,则PA,PB都与a,b相交,显然PA,PB相交,故命题④是假命题.

故答案为①④.

8.证明　(1)如图,连接AC,在△ACD中,

∵M,N分别是CD,AD的中点,

∴MN是△ACD的中位线.

∴MN∥AC,MN=AC.

由正方体的性质得AC∥A1C1,AC=A1C1.

∴MN∥A1C1,且MN=A1C1,∴MN≠A1C1,易知NA1与MC1不平行,

∴四边形MNA1C1是梯形.

(2)由(1)可知MN∥A1C1.又ND∥A1D1,

∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补.

而∠DNM与∠D1A1C1均为锐角,

∴∠DNM=∠D1A1C1.

9.C　如图,取B1C1的中点E,连接BE,DE,则AC∥A1C1∥DE,则∠BDE(或其补角)即为异面直线BD与AC所成的角.由条件可知BD=DE=EB=,所以∠BDE=60°,故选C.

10.C　如图,可补成一个正方体,所以AC1∥BD1,所以∠A1BD1(或其补角)即为BA1与AC1所成的角.又易知△A1BD1为正三角形,所以∠A1BD1=60°,即异面直线BA1与AC1所成的角为60°.

11.答案　60°

解析　连接AD1,则AD1∥BC1,∴∠CAD1(或其补角)就是AC与BC1所成的角,连接CD1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC=AD1=CD1,

∴∠CAD1=60°,

即AC与BC1所成的角为60°.

能力提升练

一、选择题

1.D　②③中的a,b有可能平行,①④符合异面直线的定义.

2.D　由图可知AB,CD有相交,平行,异面三种情况,故选D.

3.B　在正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任取两个点作直线,与直线A1B异面且夹角成60°的直线有AD1,AC,D1B1,B1C,共4条.故选B.

4.D　如图所示,连接A1B,易知点E为A1B的中点,由三角形中位线定理可得EF∥A1C1,则EF,A1C1确定一个平面;显然EF与CD异面;由几何关系可得A1C1⊥BB1,A1C1⊥BD,则EF⊥BB1,EF⊥BD.故只有选项D中的结论不成立.故选D.

5.D　将平面展开图还原成正方体,如图所示,则B,C两点重合,所以l1与l2相交,连接AD,则△ABD为正三角形,所以l1与l2的夹角为60°.

故选D.

二、填空题

6.答案　③

解析　①②中PQ∥RS,④中直线PQ和RS相交.

7.答案　90°

解析　如图,过点M作ME∥DN交CC1于点E,连接A1E,则∠A1ME(或其补角)即为异面直线A1M与DN所成的角.

设正方体的棱长为a,则A1M=a,ME=a,A1E=a,

所以A1M2+ME2=A1E2.

所以∠A1ME=90°,

即异面直线A1M与DN所成的角为90°.

三、解答题

8.证明　(1)因为在正方形ADD1A1中,M,M1分别为AD,A1D1的中点,

所以MM1?AA1.

又因为AA1?BB1,

所以MM1?BB1.

所以四边形BB1M1M为平行四边形.

(2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,所以B1M1∥BM.

易知四边形CC1M1M为平行四边形,

所以C1M1∥CM.

由平面几何知识可知,∠BMC和∠B1M1C1都是锐角,所以∠BMC=∠B1M1C1.

9.解析　如图,取SB的中点G,连接EG,GF,SF,CF.

在△SAB中,F,G分别是AB,SB的中点,

∴FG∥SA,且FG=SA.

于是异面直线SA与EF所成的角就是直线EF与FG所成的角.

在△SAB中,SA=SB=a,AF=FB=a,

∴SF⊥AB,且SF=a.

同理可得CF⊥AB,且CF=a.

在△SFC中,SF=CF=a,SE=EC,

∴FE⊥SC且FE==a.

在△SAB中,FG是中位线,

∴FG=SA=.

在△SBC中,GE是中位线,

∴GE=BC=.

在△EGF中,FG2+GE2==FE2,

∴△EGF是以∠FGE为直角的等腰直角三角形,

∴∠EFG=45°.∴异面直线SA与EF所成的角为45°.