高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第4课时课时练习
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第4课时课时练习,共8页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
第五章 5.5 5.5.1 第4课时A组·素养自测一、选择题1.已知sin(-x)=,则cos(-2x)的值为( D )A. B. C. D.[解析] 因为sin(-x)=,所以cos(-2x)=cos[2(-x)]=1-2sin2(-x)=.2.函数y=的最小正周期是( B )A. B.C.π D.2π[解析] y===cos22x-sin22x=cos 4x,所以最小正周期T==.3.设函数f(x)=cos2(x+)-sin2(x+),x∈R,则函数f(x)是( A )A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为的奇函数D.最小正周期为的偶函数[解析] f(x)=cos2(x+)-sin2(x+)=cos(2x+)=-sin 2x,所以函数f(x)是最小正周期为π的奇函数,故选A.4.若sin(+)=-,α为第一象限角,则=( C )A. B.-C.-3 D.3[解析] ∵sin(+)=sin(2π++)=sin(+)=cos=-.又∵α为第一象限角,∴2kπ<α<2kπ+,k∈Z,∴kπ<<kπ+,k∈Z,∴为第一象限角或第三象限角.又cos=-,∴为第三象限角,∴sin=-,∴====-3,故选C.5.若△ABC的内角A满足sin2A=,则sinA+cosA等于( A )A. B.-C. D.-[解析] ∵sin2A=2sinAcosA=,∴sinAcosA=.∵在△ABC中,0<A<π,∴sinA>0,∴cosA>0,∴sinA+cosA====.6.已知α为锐角,且tan(α+β)=3,tan(α-β)=2,则角α等于( C )A. B.C. D.[解析] ∵tan(α+β)=3,tan(α-β)=2,∴tan2α=tan[(α+β)+(α-β)]==-1,又α为锐角,∴2α=,∴α=.二、填空题7.若sin=, 则cos2θ=__-__.[解析] 由sin=cosθ=,得cos2θ=2cos2θ-1=2×2-1=-.8.计算:tan-=__-2__.[解析] 原式===-2.9.若cos2θ=-,则sin4θ+cos4θ=____.[解析] sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1-sin22θ,又cos2θ=-,∴sin22θ=1-cos22θ=.∴原式=1-sin22θ=1-×=.三、解答题10.求下列各式的值:(1);(2)2tan15°+tan215°;(3)sin10°sin30°sin50°sin70°.[解析] (1)原式======8.(2)原式=tan30°(1-tan215°)+tan215°=×(1-tan215°)+tan215°=1.(3)方法一:sin10°sin30°sin50°sin70°=cos20°cos40°cos80°====·=.方法二:令x=sin10°sin50°sin70°,y=cos10°cos50°cos70°,则xy=sin10°cos10°sin50°cos50°sin70°cos70°,=sin20°·sin100°·sin140°=sin20°sin80°sin40°=cos10°cos50°cos70°=y.∵y≠0,∴x=.从而有sin10°sin30°sin50°sin70°=.11.已知sinα+cosα=,且0<α<π,求sin2α,cos2α,tan2α的值.[解析] ∵sinα+cosα=∴sin2α+cos2α+2sinα·cosα=,∴sin2α=-且sinαcosα=-<0.∵0<α<π,sinα>0,∴cosα<0,∴sinα-cosα>0,∴sinα-cosα==,∴cos2α=cos2α-sin2α=(sinα+cosα)(cosα-sinα)=×(-)=-,∴tan2α==.B组·素养提升一、选择题1.已知锐角α的终边经过点P(cos50°,1+sin50°),则锐角α等于( C )A.10° B.20°C.70° D.80°[解析] 由三角函数的定义tanα======tan70°.所以α=70°.2.(2019·山西晋中高三适应性考试)若sin(-α)=,则sin(+2α)=( D )A. B.C. D.[解析] 由题意及诱导公式可得sin(+2α)=cos[-(+2α)]=cos(-2α),又由余弦的倍角公式,可得cos(-2α)=1-2sin2(-α)=1-2×()2=,即sin(+2α)=.3.(多选题)下列各式中,值为的是( BC )A.2sin 15°cos 15° B.cos215°-sin215°C.1-2sin215° D.sin215°+cos215°[解析] A不符合,2sin 15°cos 15°=sin 30°=;B符合,cos215°-sin215°=cos 30°=;C符合,1-2sin215°=cos 30°=;D不符合,sin215°+cos215°=1.故选BC.4.(多选题)已知函数f(x)=是奇函数,则有( BCD )A.函数f(x)的图象关于直线x=对称B.函数f(x)的图象关于点(,0)对称C.函数f(x)是奇函数D.函数f(x)的最小正周期为π[解析] 因为f(x)===-tan x(x≠(k∈Z)),所以函数f(x)是周期为π的奇函数,图象关于点(,0)对称,故选BCD.二、填空题5.若tan(-α)=,则tan2α+=__2__.[解析] 由tan(-α)==,可求得tanα=,∴tan2α+=+=+===2.6.已知sinα+cosβ=,则cos2α+cos2β的取值范围是__[-,]__.[解析] 因为sinα+cosβ=,所以cos2α+cos2β=1-2sin2α+2cos2β-1=2(sinα+cosβ)(cosβ-sinα)=3(cosβ-sinα).由sinα+cosβ=得cosβ=-sinα,易得sinα∈[,1],所以cosβ-sinα=-2sinα∈[-,],所以cos2α+cos2β∈[-,].7.(2019·湖南长沙高三模拟)在平面直角坐标系xOy中,角θ的顶点在原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边过点(,),则cos(2θ+)=__-1__.[解析] 由题意知cosθ=,sinθ=,∴cos2θ=2cos2θ-1=-,sin2θ=2sinθcosθ=,∴cos(2θ+)=cos2θcos-sin2θ·sin=-×-×=-1.三、解答题8.定义向量m=(x1,y1),n=(x2,y2),若m与n共线,则有x1y2-x2y1=0,已知向量m=(cosα-,-1),n=(sinα,1),m与n为共线向量,且α∈[-,0].(1)求sinα+cosα的值;(2)求的值.[解析] (1)∵m与n为共线向量,∴(cosα-)×1-(-1)×sinα=0,即sinα+cosα=.(2)由(1)得1+sin2α=(sinα+cosα)2=,∴sin2α=-.∵(sinα+cosα)2+(sinα-cosα)2=2,∴(sinα-cosα)2=2-()2=.又∵α∈[-,0],∴sinα-cosα<0,sinα-cosα=-.因此,=.9.已知函数f(x)=cos2-sincos-.(1)求函数f(x)的最小正周期和值域;(2)若f(α)=,求sin2α的值.[解析] (1)因为f(x)=cos2-sincos-=(1+cosx)-sinx-=cos,所以函数f(x)的最小正周期为2π,值域为.(2)由(1)知,f(α)=cos=,所以cos=.所以sin2α=-cos=-cos2=1-2cos2=1-=.
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