数学必修 第一册4.3 对数课时练习

这是一份数学必修 第一册4.3 对数课时练习，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A组·素养自测
一、选择题
1．已知lg2＝a，lg3＝b，则lg12等于( B )
A．a2＋b B．b＋2a
C．a＋2bD．a＋b2
[解析] lg12＝lg4＋lg3＝2lg2＋lg3＝2a＋b.
2．若10a＝5,10b＝2，则a＋b等于( C )
A．－1B．0
C．1D．2
[解析] 由已知得a＝lg5，b＝lg2，
故a＋b＝lg5＋lg2＝lg10＝1，故选C．
3．若lgx＝m，lgy＝n，则lgeq \r(x)－lg(eq \f(y,10))2的值等于( D )
A．eq \f(1,2)m－2n－2B．eq \f(1,2)m－2n－1
C．eq \f(1,2)m－2n＋1D．eq \f(1,2)m－2n＋2
[解析] lgeq \r(x)－lg(eq \f(y,10))2＝eq \f(1,2)lgx－2(lgy－lg10)＝eq \f(1,2)m－2n＋2.
4．若lg2＝a，lg3＝b，则eq \f(lg12,lg15)等于( D )
A．eq \f(2a＋b,1＋a＋b) B．eq \f(2a＋2b,1＋a＋b)
C．eq \f(2a＋b,2－a＋b)D．eq \f(2a＋b,1－a＋b)
[解析] eq \f(lg12,lg15)＝eq \f(lg3＋2lg2,lg3＋1－lg2)＝eq \f(2a＋b,1－a＋b).
5．已知2x＝3，lg4eq \f(8,3)＝y，则x＋2y的值为( A )
A．3B．8
C．4D．lg48
[解析] x＋2y＝lg23＋2lg4eq \f(8,3)＝lg49＋lg4(eq \f(8,3))2
＝lg4(9×eq \f(64,9))＝lg464＝3，故选A．
6．已知2a＝5b＝M，且eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝2，则M的值是( B )
A．20B．2eq \r(5)
C．±2eq \r(5)D．400
[解析] ∵2a＝5b＝M，∴a＝lg2M＝eq \f(lgM,lg2)，b＝lg5M＝eq \f(lgM,lg5)，
∴eq \f(1,a)＝eq \f(lg2,lgM)，eq \f(1,b)＝eq \f(lg5,lgM)，∴eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(2lg2,lgM)＋eq \f(lg5,lgM)＝eq \f(lg4＋lg5,lgM)＝eq \f(lg20,lgM)＝2，
∴2lgM＝lg20，∴lgM2＝lg20，∴M2＝20，∵M>0，∴M＝2eq \r(5).
二、填空题
7．计算：27 eq \s\up4(\f(1,3)) ＋lg4＋2lg5－eln3＝__2__.
[解析] 27 eq \s\up4(\f(1,3)) ＋lg4＋2lg5－eln3＝(33) eq \s\up4(\f(1,3)) ＋(lg4＋lg25)－eln3＝3＋2－3＝2.
8．溶液的酸碱度是通过pH刻画的，已知某溶液的pH等于－lg[H＋]，其中[H＋]表示该溶液中氢离子的浓度(单位：ml/L)，若某溶液的氢离子的浓度为10－5 ml/L，则该溶液的pH为__5__.
[解析] 由题意可知溶液的pH为－lg[H＋]＝－lg10－5＝5.
9．方程lg2(x2－8)＝1＋lg2x的解是__x＝4__.
[解析] ∵lg2(x2－8)＝1＋lg2x，
∴x2－8－2x＝0，∴x＝4或－2(舍去)．
三、解答题
10．计算下列各式的值：
(1)eq \f(lg\r(27)＋lg8－3lg\r(10),lg1.2)；
(2)lg535－2lg5eq \f(7,3)＋lg57－lg51.8；
(3)2(lgeq \r(2))2＋lgeq \r(2)·lg5＋eq \r(lg\r(2)2－lg2＋1).
[解析] (1)原式＝eq \f(lg33 eq \s\up4(\f(1,2)) ＋lg23－3lg10 eq \s\up4(\f(1,2)) ,lg\f(3×22,10))
＝eq \f(\f(3,2)lg3＋2lg2－1,lg3＋2lg2－1)＝eq \f(3,2).
(2)原式＝lg5(5×7)－2(lg57－lg53)＋lg57－lg5eq \f(9,5)
＝lg55＋lg57－2lg57＋2lg53＋lg57－2lg53＋lg55
＝2lg55＝2.
(3)原式＝lgeq \r(2)(2lgeq \r(2)＋lg5)＋eq \r(lg\r(2)－12)
＝lgeq \r(2)(lg2＋lg5)＋1－lgeq \r(2)
＝lgeq \r(2)＋1－lgeq \r(2)
＝1.
11．已知lga2＝m，lga3＝n.
(1)求a2m－n的值；
(2)求lga18.
[解析] (1)因为lga2＝m，lga3＝n，
所以am＝2，an＝3.
所以a2m－n＝a2m÷an＝22÷3＝eq \f(4,3).
(2)lga18＝lga(2×32)＝lga2＋lga32＝lga2＋2lga3＝m＋2n.
B组·素养提升
一、选择题
1．若xlg34＝1，则4x＋4－x的值为( B )
A．eq \f(8,3)B．eq \f(10,3)
C．2D．1
[解析] 由xlg34＝1得x＝lg43，所以4x＋4－x＝3＋eq \f(1,3)＝eq \f(10,3)，故选B．
2．已知a＝lg32，那么lg38－2lg36用a表示是( A )
A．a－2B．5a－2
C．3a－(1＋a)2D．3a－a2－1
[解析] lg38－2lg36＝lg323－2(lg32＋lg33)
＝3lg32－2(lg32＋1)＝3a－2(a＋1)＝a－2.故选A．
3．(多选题)下列等式不成立的是( CD )
A．ln e＝1B．eq \f(1,\r(3,a2))＝a－ eq \s\up4(\f(2,3))
C．lg(MN)＝lgM＋lgND．lg2(－5)2＝2lg2(－5)
[解析] 根据对数式的运算，可得ln e＝1，故A成立；
由根式与指数式的互化可得eq \f(1,\r(3,a2))＝a－ eq \s\up4(\f(2,3)) ，故B成立；
取M＝－2，N＝－1，发现C不成立；lg2(－5)2＝lg252＝2lg25，
故D不成立，故选CD．
4．(多选题)设a，b，c都是正数，且4a＝6b＝9c，那么( AD )
A．ab＋bc＝2acB．ab＋bc＝ac
C．eq \f(2,c)＝eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)D．eq \f(1,c)＝eq \f(2,b)－eq \f(1,a)
[解析] 由a，b，c都是正数，可设4a＝6b＝9c＝M，
∴a＝lg4M，b＝lg6M，c＝lg9M，则eq \f(1,a)＝lgM4，eq \f(1,b)＝lgM6，eq \f(1,c)＝lgM9，∵lgM4＋lgM9＝2lgM6，∴eq \f(1,c)＋eq \f(1,a)＝eq \f(2,b)，即eq \f(1,c)＝eq \f(2,b)－eq \f(1,a)，去分母整理得ab＋bc＝2ac，故选AD．
二、填空题
5．lgeq \f(5,2)＋2lg2－(eq \f(1,2))－1＝__－1__.
[解析] lgeq \f(5,2)＋2lg2－(eq \f(1,2))－1＝lgeq \f(5,2)＋lg4－2＝－1.
6．若lgax＝2，lgbx＝3，lgcx＝6，则lgabcx＝__1__.
[解析] ∵lgax＝eq \f(1,lgxa)＝2，∴lgxa＝eq \f(1,2).同理lgxc＝eq \f(1,6)，lgxb＝eq \f(1,3).
∴lg(abc)x＝eq \f(1,lgxabc)＝eq \f(1,lgxa＋lgxb＋lgxc)＝1.
7．已知lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的两个实数根，则lg(ab)·(lgeq \f(a,b))2＝__4__.
[解析] 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lga＋lgb＝2,lga·lgb＝\f(1,2)))，
∴lg(ab)·(lgeq \f(a,b))2＝(lga＋lgb)(lga－lgb)2
＝2[(lga＋lgb)2－4lga·lgb]
＝2(4－4×eq \f(1,2))＝4.
三、解答题
8．计算：(1)(lg33 eq \s\up4(\f(1,2)) )2＋lg0.25eq \f(1,4)＋9lg5eq \r(5)－lgeq \r(3)1；
(2)lg25＋eq \f(2,3)lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.
[解析] (1)(lg33 eq \s\up4(\f(1,2)) )2＋lg0.25eq \f(1,4)＋9lg5eq \r(5)－lgeq \r(3)1＝(eq \f(1,2))2＋1＋9×eq \f(1,2)－0＝eq \f(1,4)＋1＋eq \f(9,2)＝eq \f(23,4).
(2)原式＝lg25＋lg8 eq \s\up4(\f(2,3)) ＋lgeq \f(10,2)·lg(10×2)＋(lg2)2＝lg25＋lg4＋(1－lg2)(1＋lg2)＋(lg2)2＝lg(25×4)＋1－(lg2)2＋(lg2)2＝3.
9．已知lga(x2＋4)＋lga(y2＋1)＝lga5＋lga(2xy－1)(a>0，且a≠1)，求lg8eq \f(y,x)的值．
[解析] 由对数的运算法则，可将等式化为lga[(x2＋4)·(y2＋1)]＝lga[5(2xy－1)]，∴(x2＋4)(y2＋1)＝5(2xy－1)．整理，得x2y2＋x2＋4y2－10xy＋9＝0，
配方，得(xy－3)2＋(x－2y)2＝0，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(xy＝3，,x＝2y.))
∴eq \f(y,x)＝eq \f(1,2).∴lg8eq \f(y,x)＝lg8eq \f(1,2)＝lg232－1＝－eq \f(1,3)lg22＝－eq \f(1,3).