人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）综合训练题

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课时素养评价  五十八函数y=Asin(ωx+φ)(二)(15分钟　30分)1.函数y=sin在区间上的简图是 (　　)【解析】选A.当x=0时，y=sin=-<0，排除B、D.当x=时，sin=sin 0=0，排除C.2.下列函数中，图象关于直线x=对称的是(　　)A.y=sin   B.y=sinC.y=sin  D.y=sin【解析】选B.当x=时，仅有选项B中的函数y=sin取得最值，故函数y=sin2x-的图象关于直线x=对称.3.将函数f(x)=2cos图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y=g(x)的图象，则函数y=g(x)的图象的一个对称中心是(　　)A.   B.C.   D.【解析】选D.由题意g(x)=2cos，令2x+=+kπ，k∈Z，解得x=+，k∈Z，当k=1时，x=，故函数y=g(x)的图象的一个对称中心是.4.y=2sin的图象的两条相邻对称轴之间的距离是_______. 【解析】由函数图象知两条相邻对称轴之间的距离为半个周期，即×=.答案：5.已知曲线y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)上的一个最高点的坐标为，此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点，且φ∈.(1)试求这条曲线的函数解析式；(2)用“五点法”画出(1)中函数在上的图象.【解析】(1)由题意知A=，T=4×=π，ω==2，所以y=sin(2x+φ).又因为sin=1，所以+φ=2kπ+，k∈Z，所以φ=2kπ+，k∈Z，又因为φ∈，所以φ=，所以y=sin.(2)列出x，y的对应值表：x-πππ2x+0ππ2πy00-0描点、连线，如图所示：(30分钟　60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1.函数y=8sin取最大值时，自变量x的取值集合是 (　　)A.B.C.D.【解析】选B.因为y的最大值为8，此时sin=1，即6x+=2kπ+(k∈Z)，所以x=+(k∈Z).2.若将函数y=sin的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位，则所得函数g(x)图象的一个对称中心为              (　　)A.   B.C.   D.【解析】选A.将y=sin的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，可以得到y=sin=sin的图象，再向右平移个单位可以得到y=sin=sin的图象，因此g(x)=sin，将各选项中的横坐标代入，只有当x=时，g=sin 0=0.3.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示，则φ= (　　)A.-  B.  C.-   D.【解析】选D.由题图可知A=2，T=4×=π，故ω=2，又f=2，所以2×+φ=+2kπ(k∈Z)，故φ=2kπ+，又|φ|<，所以φ=.【补偿训练】　　同时具有性质“①最小正周期是π；②图象关于直线x=对称；③在上单调递增”的一个函数是              (　　)A.y=sinB.y=cosC.y=sinD.y=cos【解析】选C.由①知T=π=，ω=2，排除A.由②③知x=时，f(x)取最大值，验证知只有C符合要求.4.设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0).若f(x)在区间上具有单调性，且f=f=-f，则f(x)的最小正周期为              (　　)A.   B.   C.π   D.【解析】选C.因为f=f，所以x==为函数f(x)的图象的一条对称轴.因为f=-f，f(x)在区间上具有单调性，所以x=-=为f(x)图象的一条对称轴，且与x=相邻，故函数f(x)的最小正周期T=2×=π.【误区警示】注意f=f=-f，不要理解成了f=f=f.二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5.函数y=sin的图象的对称轴是 (　　)A.x=   B.x=-C.x=   D.x=-【解析】选BCD.由x-=kπ+，k∈Z，解得x=kπ+，k∈Z，当k=-1时，x=-；当k=0时，x=；当k=-2时，x=-.【光速解题】函数在对称轴处取得最值，将选择项逐项代入验证即可.6.如图是函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0，ω>0，|φ|<的部分图象，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到g(x)的图象，给出下列四个说法中正确的有 (　　)A.函数f(x)的解析式为f(x)=2sinB.g(x)的一条对称轴的方程可以为x=-C.对于实数m，恒有f=fD.f(x)+g(x)的最大值为2【解析】选AB.由图象知，A=2，=-=，即T=π，则=π，得ω=2，根据题意，由五点对应法得2×+φ=2π，φ=，则f(x)=2sin，故A正确，当x=时，f=2sin π=0，则函数关于x=不对称，故C错误，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到g(x)的图象，即g(x)=2sin=2sin2x，当x=-时，g=2sin=-2为最小值，则x=-是函数g(x)的一条对称轴，故B正确，f(x)+g(x)=2sin+2sin2x=2sin 2xcos +2cos 2xsin +2sin 2x=3sin 2x+cos 2x=2sin，则f(x)+g(x)的最大值为2，故D错误.三、填空题(每小题5分，共10分)7.某同学利用描点法画函数y=Asin(ωx+φ)的图象，列出的部分数据如表： x01234y101-1-2经检查，发现表格中恰有一组数据计算错误，请你根据上述信息推断函数y=Asin(ωx+φ)的解析式应是_______. 【解题指南】画出题表所列点的散点图，排除错误数据，根据正确数据求出函数解析式.【解析】在平面直角坐标系中描出这五个点，如图所示.根据函数图象的大致走势，可知点(1，0)不符合题意；又因为0<A≤2，函数图象过(4，-2)，所以A=2.因为函数图象过(0，1)，所以2sin φ=1，又因为-<φ<，所以φ=，由(0，1)，(2，1)关于直线x=1对称，知x=1时函数取得最大值2，因此函数的最小正周期为6.所以ω=.答案：y=2sin【补偿训练】已知函数y=2sin(ωx+φ)在一个周期内，当x=时有最大值2，当x=时有最小值-2，则ω=_______，φ=_______. 【解析】由题意知，T=2×=π，所以ω==2；又因为当x=时有最大值2.所以f=2sin=2sin=2，所以+φ=+2kπ，k∈Z，又|φ|≤，所以φ=.答案：2　8.当-≤x≤时，函数f(x)=sin的最大值是_______，最小值是_______. 【解析】因为-≤x≤，所以-≤x+≤π.因为当x+=-，即x=-时，f(x)min=-，当x+=，即x=时，f(x)max=.答案：　-四、解答题(每小题10分，共20分)9.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0，ω>0，-<φ<一个周期的图象如图所示，(1)求函数f(x)的最小正周期T及最大值、最小值；(2)求函数f(x)的解析式、单调递增区间.【解析】(1)由题图知，函数f(x)的最小正周期为T=4×=π，函数的最大值为1，最小值为-1.(2)T=，则ω=2，又x=-时，y=0，所以sin=0，而-<φ<，则φ=，所以函数f(x)的解析式为f(x)=sin，由2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.10.已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π).(1)若函数f(x)=sin(2x+φ)为偶函数，求φ的值；(2)若函数f(x)=sin(2x+φ)关于x=对称，求出φ的值及f(x)的对称轴方程及对称中心.【解析】(1)因为f(x)为偶函数，所以φ=kπ+，k∈Z，又φ∈(0，π)，所以φ=.(2)因为f(x)=sin(2x+φ)关于x=对称，所以f(0)=f，即sin φ=sin=cos φ，所以tan φ=1，φ=kπ+(k∈Z).又φ∈(0，π)，所以φ=，所以f(x)=sin.由2x+=kπ+(k∈Z)，得x=+(k∈Z)，由2x+=kπ，得x=-(k∈Z)，所以f(x)的对称轴方程为x=+(k∈Z)，对称中心为(k∈Z).1.已知函数f(x)=|Acos(x+φ)+1|A>0，|φ|<的部分图象如图所示，则(　　)A.A=2，φ=   B.A=3，φ=C.A=2，φ=   D.A=3，φ=【解析】选C.由题图知：A==2，又f(0)=|2cos φ+1|=2，所以cos φ=或cos φ=-(舍)，因为|φ|<，即-<φ<，由题中图象知φ>0，所以φ=.2.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0，ω>0，|φ|<在一个周期内的图象如图所示.(1)求函数f(x)的解析式.(2)求方程f(x)-lg x=0的解的个数.【解析】(1)由题图，知A=2，由函数图象过点(0，1)，得f(0)=1，即sin φ=，又|φ|<，所以φ=.易知点是五点作图法中的第五点，所以ω+=2π，所以ω=2.因此所求函数的解析式为f(x)=2sin.(2)在同一平面直角坐标系中作函数y=f(x)和函数y=lg x的图象如图所示.因为f(x)的最大值为2，令lg x=2，得x=100，令+kπ<100(k∈Z)，得k≤30(k∈Z).而+31π>100，且+30π+<100，所以在区间(0，100]内有31个形如(k∈Z，0≤k≤30)的区间.在每个区间上y=f(x)与y=lg x的图象都有两个交点，故这两个函数的图象在上有2×31=62(个)交点.另外，两函数的图象在上还有一个交点，所以方程f(x)-lg x=0共有63个实数解.关闭Word文档返回原板块