人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换精练

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换精练，共18页。试卷主要包含了5 三角恒等变换，给出下列四个关系式等内容，欢迎下载使用。

新20版练B1人教A版数学5.5.2简单的三角恒等变换
第五章 三角函数
5.5 三角恒等变换
5.5.2　简单的三角恒等变换
第1课时　简单的三角恒等变换(1)
考点1　半角公式的理解和简单应用
1.(2019·山东青岛四校高一下期中考试)已知sin 2α=13,则cos2α-π4=(　　)。
A.-13 B.-23 C.13 D.23
答案：D
解析：cos2α-π4=1+cos2α-π22=1+sin2α2=23。
2.(2019·安徽芜湖高一上期末考试)已知等腰三角形的顶角的余弦值等于725,则它的底角的余弦值为(　　)。
A.34 B.35 C.12 D.45
答案：B
解析：设等腰三角形的顶角为α,底角为β,则cos α=725。又β=π2-α2,所以cos β=cosπ2-α2=sin α2=1-7252=35,故选B。
3.(2019·西安一中单元检测)cos α=725,0<α<π2,则sin α2为(　　)。
A.45 B.35 C.25 D.15
答案：B
解析：∵α∈0,π2,sin α2=1-cosα2=1-7252=925=35。
4.(2019·浙江诸暨中学高一段考)若θ∈(π,2π),则1-cosθ1+cosθ=　　　。 
答案：-tan θ2
解析：∵θ∈(π,2π),∴sin θ<0,∴1-cosθ1+cosθ=1-cos2θ(1+cosθ)2=-sinθ1+cosθ=-tan θ2。
考点2　积化和差公式的理解和简单应用
5.(2019·浙江金华一中高一期中考试)已知cos2α-cos2β=m,那么sin(α+β)sin(α-β)=(　　)。
A.-m2 B.m2 C.-m D.m
答案：C
解析：方法一:sin(α+β)sin(α-β)=-12(cos 2α-cos 2β)=-12(2cos2α-1-2cos2β+1)=cos2β-cos2α=-m,故选C。
方法二:sin(α+β)sin(α-β)=(sin αcos β+cos αsin β)·(sin αcos β-cos αsin β)=sin2αcos2β-cos2αsin2β=(1-cos2α)cos2β-cos2α(1-cos2β)=cos2β-cos2α=-m,故选C。
6.(2019·银川一中模块测试)给出下列四个关系式:①sin αsin β=12[cos(α+β)-cos(α-β)];②sin α·cos β=12[sin(α+β)+sin(α-β)];③cos αcos β=-12[cos(α+β)-cos(α-β)];④cos αsin β=12[sin(α+β)-sin(α-β)]。
其中不正确的个数是(　　)。
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：B
解析：①③不正确,②④正确。
7.(2019·广州调研)已知sinθ+π6·sinθ-π6=1120,求tan θ的值。
答案：∵sinθ+π6sinθ-π6=1120,
∴-12cosθ+π6+θ-π6-cosθ+π6-θ+π6=1120,
即-12cos2θ-12=1120,
∴cos 2θ=-35。又cos 2θ=1-tan2θ1+tan2θ,
∴1-tan2θ1+tan2θ=-35,∴tan θ=±2。
考点3　和差化积公式的理解和简单应用
8.(2019·河南林州一中高二上开学考试)在△ABC中,已知acos A+bcos B=ccos C,则△ABC是(　　)。
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
答案：B
解析：由正弦定理,可得sin Acos A+sin Bcos B=sin Ccos C,即sin 2A+sin 2B=sin 2C,由和差化积公式,可得2sin(A+B)·cos(A-B)=2sin Ccos C,即cos(A-B)=-cos(A+B),即cos(A-B)+cos(A+B)=0,所以cos Acos B=0,所以A=90°或B=90°,故选B。
9.(2019·西北工大附中单元测评)下列四个关系式中正确的个数为　　　。 
(1)sin 5θ+sin 3θ=2sin 8θcos 2θ;
(2)cos 3θ-cos 5θ=-2sin 4θsin θ;
(3)sin 3θ-sin 5θ=-12cos 4θcos θ;
(4)sin 5θ+cos 3θ=2sin 4θcos θ。
答案：0
解析：(1)错误,右边应是2sin 4θcos θ。
(2)错误,右边应是2sin 4θsin θ。
(3)错误,右边应是-2cos 4θsin θ。
(4)错误,左边为异名三角函数,应先用诱导公式化同名三角函数后再化积,即sin 5θ+cos 3θ=sin 5θ+sinπ2-3θ=2sinθ+π4cos4θ-π4。
10.(2019·哈尔滨模拟)在△ABC中,∠C=60°,则sin A+sin B等于(　　)。
A.2sin A+B2 B.2cos A-B2
C.3sin A-B2 D.3cos A-B2
答案：D
解析：∵sin A+sin B=2sin A+B2cos A-B2。又∠C=60°,∴∠A+∠B=120°,∴sin A+sin B=2sin 60°cos A-B2=3cos A-B2。
11.(2019·上海浦东区调考)求值:sin 75°-sin 15°。
答案：sin 75°-sin 15°=2cos 75°+15°2·sin 75°-15°2=2cos 45°·sin 30°=2×22×12=22。
考点4　半角公式、和积互化公式的灵活应用问题
12.(2019·南昌检测)若cos2αsinα-π4=-22,则sin α+cos α的值为(　　)。
A.-72 B.-12 C.12 D.72
答案：C
解析：cos 2α=cos2α-sin2α=(cos α-sin α)·(cos α+sin α)=2cosα+π4·(cos α+sin α)=2sinπ4-α(cos α+sin α),则cos2αsinα-π4=-2(cos α+sin α)=-22,则sin α+cos α=12。
13.(2019·遵义调考)若sin θ=35,5π2<θ<3π,则tan θ2+cos θ2的值为(　　)。
A.3+1010 B.3-1010
C.3+31010 D.3-31010
答案：B
解析：因为5π2<θ<3π,所以cos θ=-1-sin2θ=-45,5π4<θ2<3π2,所以sin θ2<0,cos θ2<0。所以sin θ2=-1-cosθ2=-31010,cos θ2=-1+cosθ2=-1010。所以tan θ2=sin θ2cos θ2=3。所以tan θ2+cos θ2=3-1010。
14.(2019·福州调考)若f(x)=cos(3x+φ)-3sin(3x+φ)为偶函数,则φ可以取的一个值为(　　)。
A.π6 B.π3 C.-π6 D.-π3
答案：D
解析：f(x)=cos(3x+φ)-3sin(3x+φ)=-2sin3x+φ-π6。因为f(x)为偶函数,所以只需使φ-π6为π2的奇数倍即可。因为-π3-π6=-π2,所以φ可以取的一个值为-π3。
15.(2019·苏州模拟)sin 10°+sin 50°-sin 70°的值为　　　。 
答案：0
解析：sin 10°+sin 50°-sin 70°=2sin 50°+10°2·cos 50°-10°2-sin 70°=2sin 30°cos 20°-sin 70°=cos 20°-cos 20°=0。
16.(2019·衡阳八中模拟)已知sin θ+cos θ=2sin α,sin2β=sin θcos θ,求证:2cos 2α=cos 2β。
答案：证明:由题意,得2sinα=sinθ+cosθ,　①sin2β=sinθcosθ。②
①2-②×2,得4sin2α-2sin2β=1。
变形为1-2sin2β=2-4sin2α,
则有cos 2β=2cos 2α。
考点5　给角求值问题
17.计算:sin 105°cos 75°=(　　)。
A.12 B.14 C.22 D.24
答案：B
解析：sin 105°cos 75°=sin 75°cos 75°=12sin 150°=14,故选B。
18.计算:3cos π12+sin π12=(　　)。
A.0 B.-2
C.6+22 D.2
答案：C
解析：原式=232cos π12+12sin π12=2cos π6cos π12+sin π6sin π12=2cos π12=2cosπ3-π4=2cos π3cos π4+sin π3sin π4=2×2+64=6+22。故选C。
19.计算:sin35°-sin25°cos35°-cos25°=　　　。 
答案：-3
解析：原式=2sin5°cos30°-2sin30°sin5°=-cos30°sin30°=-2cos 30°=-2×32=-3。
20.计算:3tan12°-3sin12°(4cos212°-2)=　　　。 
答案：-43
解析：原式=3sin12°-3cos12°cos12°sin12°·2cos24°=3sin12°-3cos12°sin24°cos24°=43(sin12°cos60°-cos12°sin60°)2sin24°cos24°=43sin(-48°)sin48°=-43。
21.计算:tan 11°+tan 49°+3tan 11°tan 49°=　　　。 
答案：3
解析：原式=2cos(30°-20°)-sin20°cos20°=2cos30°cos20°+2sin30°sin20°-sin20°cos20°=2cos30°+cos20°cos20°=3。
考点6　给值求值问题
22.已知2sin α=1+cos α,则tan α2=(　　)。
A.12 B.12或不存在
C.2 D.2或不存在
答案：B
解析：2sin α=1+cos α,即4sin α2cos α2=2cos2α2,当cos α2=0时,tan α2不存在,当cos α2≠0时,tan α2=12。
23.设α是第二象限角,tan α=-43,且sin α2 A.-55 B.55 C.35 D.-35
答案：A
解析：因为α是第二象限角,且sin α2 24.若sin(α+β)cos β-cos(α+β)sinβ=0,则sin(α+2β)+sin(α-2β)=(　　)。
A.1 B.-1 C.0 D.±1
答案：C
解析：∵sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=sin(α+β-β)=sin α=0,
∴sin(α+2β)+sin(α-2β)=2sin αcos 2β=0。
25.已知sin θ2+cos θ2=233,则cos 2θ=　　　。 
答案：79
解析：因为sin θ2+cos θ2=233,所以1+sin θ=43,即sin θ=13,所以cos 2θ=1-2sin2θ=1-29=79。
26.若tanθ+π4=3,则5sin2θ-3sin θcos θ+2cos2θ=　　　。 
答案：75
解析：tan θ=tanθ+π4-π4=tanθ+π4-tan π41+tanθ+π4·tan π4=12,
∴原式=5sin2θ-3sinθcosθ+2cos2θsin2θ+cos2θ=5tan2θ-3tanθ+2tan2θ+1=75。
第2课时　简单的三角恒等变换(2)
考点1　辅助角公式的应用问题
1.使函数f(x)=sin(2x+θ)+3cos(2x+θ)为奇函数的θ的一个值是(　　)。
A.π6　　　　B.π3　　　　C.π2　　　　D.2π3
答案：D
解析：f(x)=sin(2x+θ)+3cos(2x+θ)=2sin2x+π3+θ。
当θ=23π时,f(x)=2sin(2x+π)=-2sin 2x是奇函数。
2.已知f(x)=sin x+3cos x(x∈R),函数y=f(x+φ)的图像关于直线x=0对称,则φ的值可以是(　　)。
A.π2 B.π3 C.π4 D.π6
答案：D
解析：因为f(x)=2sinx+π3,所以f(x+φ)=2sinx+φ+π3。因为f(x+φ)的图像关于直线x=0对称,所以φ+π3=kπ+π2(k∈Z),即φ=kπ+π6(k∈Z)。所以φ可以是π6。故选D。
3.已知函数f(x)=(1+3tan x)cos x,则函数f(x)图像的一条对称轴方程是　　　。 
答案：x=π3(只要符合x=kπ+π3,k∈Z即可,不唯一)
解析：f(x)=(1+3tan x)·cos x=1+3sinxcosx·cos x=cos x+3sin x=2sinx+π6。
由x+π6=kπ+π2(k∈Z)得x=kπ+π3(k∈Z),故函数f(x)图像的对称轴方程为x=kπ+π3(k∈Z)。
4.已知α,β均为锐角,且cos(α+β)=sin(α-β),则tan α=　　　。 
答案：1
解析：因为cos(α+β)=sin(α-β),
所以cos αcos β-sin αsin β=sin αcos β-cos αsin β,
所以cos α(sin β+cos β)=sin α(cos β+sin β)。
因为α,β均为锐角,所以sin β+cos β≠0,
所以cos α=sin α,所以tan α=1。
5.已知tan α2=12,则sinα+π6的值为　　　。 
答案：3+4310
解析：∵tan α2=12,∴sin α=2sin α2cos α2=2sin α2cos α2sin2α2+cos2α2=2tan α21+tan2α2=2×121+14=45,
cos α=cos2α2-sin2α2=cos2α2-sin2α2cos2α2+sin2α2=1-tan2α21+tan2α2=1-141+14=35。
∴sinα+π6=sin αcos π6+cos αsin π6=45×32+35×12=3+4310。
考点2　三角变换之变角问题
6.(2019·天津南开区高一期末)sin 80°cos 70°+sin 10°·sin 70°=(　　)。
A.-32 B.-12 C.12 D.32
答案：C
解析：sin 80°cos 70°+sin 10°sin 70°=cos 10°cos 70°+sin 10°sin 70°=cos(70°-10°)=cos 60°=12,故选C。
7.(2019·甘肃定西通渭高三上期末)已知f(sin x)=cos 3x,则f(cos 10°)的值为(　　)。
A.-32 B.±12 C.12 D.32
答案：B
解析：因为cos 10°=sin 80°,并且f(sin x)=cos 3x,所以f(cos 10°)=f(sin 80°)=cos 240°=cos(180°+60°)=-cos 60°=-12。因为cos 10°=sin 100°,所以f(cos 10°)=f(sin 100°)=cos 300°=cos(360°-60°)=cos 60°=12,故选B。
8.tan 20°+4sin 20°=　　　。 
答案：3
解析：原式=sin20°cos20°+4sin 20°=sin20°+2sin40°cos20°=sin20°+2sin(60°-20°)cos20°=sin20°+3cos20°-sin20°cos20°=3cos20°cos20°=3。
9.函数y=sin(x+10°)+cos(x+40°)(x∈R)的最大值是　　　。 
答案：1
解析：令x+10°=α,则x+40°=α+30°。
∴y=sin α+cos(α+30°)=sin α+cos αcos 30°-sin αsin 30°=12sin α+32cos α=sin(α+60°)。∴ymax=1。
10.已知sinx+π6=33,则sin5π6-x+sin2π3-x=　　　。 
答案：2+33
解析：sin5π6-x+sin2π3-x=sinπ-5π6-x+cos2π2-π3-x=sinx+π6+1-sin2x+π6=33+1-13=2+33。
11.(2019·河北张家口高三上期末)已知cos α=17,cos(α-β)=1314,且0<β<α<π2。
(1)求tan 2α的值;
答案：解:(1)由cos α=17,0<α<π2,得
sin α=1-cos2α=1-172=437。
∴tan α=sinαcosα=437×7=43,
∴tan 2α=2tanα1-tan2α=2×431-(43)2=-8347。
(2)求β。
答案：(2)由0<β<α<π2,得0<α-β<π2。
∵cos(α-β)=1314,
∴sin(α-β)=1-cos2(α-β)=1-13142=3314。
由β=α-(α-β),得cos β=cos[α-(α-β)]=cos α·cos(α-β)+sin αsin(α-β)=17×1314+437×3314=12,
∴β=π3。
考点3　三角变换之变式问题
12.已知sin 2α=23,则cos2α+π4=(　　)。
A.16 B.13 C.12 D.23
答案：A
解析：由倍角公式可得,cos2α+π4=1+cos2α+π22=1-sin2α2=1-232=16,故选A。
13.在△ABC中,若sin Asin B=cos2C2,则下列等式中一定成立的是(　　)。
A.A=B B.A=C
C.B=C D.A=B=C
答案：A
解析：∵sin Asin B=cos2 C2=1+cosC2=12-12cos(A+B)=12-12(cos Acos B-sin Asin B),
∴12cos Acos B+12sin Asin B=12。∴cos(A-B)=1。
∵0 ∴A=B。故选A。
14.函数y=2cos2x+sin 2x的最小值是　　　。 
答案：1-2
解析：∵y=2cos2x+sin 2x=1+cos 2x+sin 2x=1+2sin2x+π4,∴ymin=1-2。
15.化简2+cos2-sin21=　　　。 
答案：3cos 1
解析：原式=1+cos2+(1-sin21)=2cos21+cos21=3|cos 1|。又∵0<1<π2,∴cos 1>0,∴原式=3cos 1。
16.(2019·湖北荆州高一调考)若sinπ3-α=13,则cosπ3+2α=　　　。 
答案：-79
解析：cosπ3+2α=cos 2π6+α=cos 2π2-π3-α=cosπ-2π3-α=-cos 2π3-α=-1-2sin2π3-α=-79。
17.(2019·山东潍坊高一调考)已知cosα-π4=45,α∈0,π4,则cos2αsinα+π4=　　　。 
答案：65
解析：因为cosα-π4=45,α∈0,π4,
所以sinα-π4=-35,sinπ4-α=35。
所以cos2αsinα+π4=sin2α+π2sinα+π4=2cosα+π4=
2sinπ2-α+π4=2sinπ4-α=65。
考点4　角的范围在三角变换中的应用问题
18.已知方程x2+4ax+3a+1=0(a>1)的两根分别为tan α,tan β,且α,β∈-π2,π2,则tan α+β2的值是(　　)。
A.12 B.-2 C.43 D.12或-2
答案：B
解析：由题意知tanα+tanβ=-4a,tanα·tanβ=3a+1,∴tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=-4a1-3a-1=43,
tan(α+β)=2tan α+β21-tan2α+β2=43,∴tan α+β2=12或tan α+β2=-2。
∵a>1,∴tan α+tan β=-4a<0,tan α·tan β=3a+1>0,
∴tan α<0,tan β<0。
∵α,β∈-π2,π2,∴α,β∈-π2,0,α+β2∈-π2,0,
∴tan α+β2<0,∴tan α+β2=-2,故选B。
19.设α∈3π2,2π,化简:12+1212+12cos2α=　　　。 
答案：-cos α2
解析：∵α∈3π2,2π,∴cos α>0,cos α2<0。
故原式=12+12cos2α=12+12cosα=cos2α2=cos α2=-cos α2。
20.(2019·湖北恩施高一调考)已知sin α=-1213,α∈π,3π2,则tan α2=　　　。 
答案：-32
解析：因为sin α=-1213,α∈π,3π2,所以cos α=-513,所以tan α=125。因为α∈π,3π2,所以α2∈π2,3π4,所以tan α2<0。因为tan α=2tan α21-tan2α2,所以2tan α21-tan2α2=125,
即6tan2α2+5tan α2-6=0,解得tan α2=-32或tan α2=23(舍去)。
21.已知sin x-sin y=-23,cos x-cos y=23,x,y为锐角且x≠y,则sin(x+y)=　　　。 
答案：1
解析：∵sin x-sin y=-23,cos x-cos y=23,两式相加,得sin x+cos x=sin y+cos y,∴sin 2x=sin 2y。
又∵x,y均为锐角且x≠y,∴2x=π-2y,x+y=π2,∴sin(x+y)=1。
22.已知α,β为锐角,cos α=17,sin(α+β)=5314,则角β=　　　。 
答案：π3
解析：∵α为锐角,cos α=17,∴sin α=437。
又∵β为锐角,∴0<α+β<π。
∵sin(α+β)=5314 ∴cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)·sin α=-1114×17+5314×437=12。
∵β为锐角,∴β=π3。
23.已知sin α,cos α是关于x的方程x2-ax+a=0的两个根,则1+cos2α-sin2α1-sin2α-cos2α+1-sin2α-cos2α1+cos2α-sin2α=　　　。 
答案：2+1
解析：原式=2cos2α-2sinαcosα2sin2α-2sinαcosα+2sin2α-2sinαcosα2cos2α-2sinαcosα=-cosαsinα-sinαcosα=-1sinαcosα。
由一元二次方程根与系数的关系得sinα+cosα=a,sinα·cosα=a,根据同角三角函数基本关系式可得(sin α+cos α)2=a2=1+2sin αcos α=1+2a,即a2-2a+1=0。解得a=1±2,又因为-2≤sin α+cos α≤2,所以a=1-2,所以-1sinαcosα=-1a=2+1。
24.(2019·辽宁抚顺中学高三上期末)已知π2<β<α<3π4,cos(α-β)=1213,sin(α+β)=-35,求cos 2α的值。
答案：∵π2<β<3π4,∴-3π4<-β<-π2。
∵π2<α<34π,∴-14π<α-β<π4。
∵α>β,∴α-β>0,∴0<α-β<π4。
∵cos(α-β)=1213,∴sin(α-β)=1-144169=513。
∵π2<α<3π4,π2<β<3π4,∴π<α+β<3π2。
∵sin(α+β)=-35,∴cos(α+β)=-1-925=-45。
∴cos 2α=cos[(α-β)+(α+β)]=cos(α-β)cos(α+β)-sin(α-β)sin(α+β)=1213×-45-513×-35=-3365。
考点5　三角恒等变换与三角函数性质的综合问题
25.(2019·石家庄质量检测)已知函数f(x)=asin[(1-a)x]+cos[(1-a)x]的最大值为2,则f(x)的最小正周期为　　　。 
答案：π
解析：∵f(x)=a+1sin[(1-a)x+φ],由已知得a+1=2,∴a=3。∴f(x)=2sin(-2x+φ),∴T=2π|-2|=π。
26.(2019·广东湛江一中高二期末)已知函数f(x)=cos(π+x)·cos32π-x-3cos2x+32。
(1)求f(x)的最小正周期和最大值;
答案：解:f(x)=(-cos x)·(-sin x)-3·1+cos2x2+32=12sin 2x-32cos 2x=sin2x-π3。(1)f(x)的最小正周期为π,最大值为1。
(2)求f(x)在π6,2π3上的单调递增区间。
答案：(2)令2kπ-π2≤2x-π3≤2kπ+π2(k∈Z),
即kπ-π12≤x≤kπ+512π(k∈Z),所以f(x)在π6,5π12上单调递增,即f(x)在π6,2π3上的单调递增区间是π6,5π12。
27.(2019·苏州模拟)已知tan α=-13,cos β=55,α,β∈(0,π)。
(1)求tan(α+β)的值;
答案：解:(1)∵cos β=55,β∈(0,π),∴sin β=255,tan β=2。
∴tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=1。
(2)求函数f(x)=2sin(x-α)+cos(x+β)的最大值。
答案：(2)∵tan α=-13,α∈(0,π),∴sin α=1010,cos α=-31010。
f(x)=2(sin xcos α-cos xsin α)+cos xcos β-sin x·sin β=-355sin x-55cos x+55cos x-255sin x=-5sin x。
又∵-1≤sin x≤1,∴f(x)的最大值为5。
28.(2019·浙江宁波高三期末)已知函数f(x)=2sin x·cos x+1-2sin2x。
(1)求f(x)的最小正周期;
答案：解:(1)因为f(x)=sin 2x+cos 2x=2sin2x+π4,
所以f(x)的最小正周期为π。
(2)求f(x)在区间-π3,π4上的最大值与最小值。
答案：(2)因为-π3≤x≤π4,所以-5π12≤2x+π4≤3π4。
当2x+π4=π2,即x=π8时,f(x)取得最大值2;
当2x+π4=-5π12,即x=-π3时,
f(x)min=f-π3=sin-2π3+cos-2π3=-3+12,
即f(x)的最小值为-3+12。