数学必修2第一章 空间几何体综合与测试同步训练题

这是一份数学必修2第一章 空间几何体综合与测试同步训练题，共14页。试卷主要包含了球的一个内接圆锥满足等内容，欢迎下载使用。
易错点1 三视图问题中忽视长度关系与实虚线或几何体的摆放位置而致错
1.(★★☆)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积等于( )

A.13B.23C.12D.34
2.(★★☆)若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图是( )
易错点2 求几何体的表面积时考虑不全致错
3.(★★☆)一个机器零件的三视图如图所示,其中侧视图是一个半圆与边长为a的正方形,俯视图是一个半圆内切于边长为a的正方形.若该机器零件的表面积为96+4π,则a的值为( )
A.4B.2C.8D.6
4.(★★☆)如图,网格纸上正方形小格的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为 ( )
A.20πB.24πC.28πD.32π
易错点3 对几何体分类讨论不全致错
5.(★★☆)球的一个内接圆锥满足:球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半,则该圆锥的体积和此球体积的比值为 .
6.(★★☆)已知半径为5的球O被两平行平面所截,两截面圆的半径分别为3和4,求分别以两截面为上、下底面的圆台的侧面积.
思想方法练
一、函数与方程思想在求表面积、体积中的应用
1.(★★★)如图,网格纸上正方形小格的边长为1,图中粗实(虚)线画出的是某三棱锥的三视图,则该三棱锥的外接球的表面积为( )

A.112πB.6πC.11πD.12π
2.(★★☆)一个圆锥的底面半径为2 cm,高为6 cm,在其内部有一个高为x cm的内接圆柱.
(1)求圆锥的侧面积;
(2)当x为何值时,圆柱的侧面积最大?并求出侧面积的最大值.
3.(★★☆)如图,在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2,∠DAB=60°,E为AB的中点,将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起,使A、B重合于点P,求三棱锥P-DCE的外接球的体积.
二、转化与化归思想在求体积或距离中的应用
4.(★★☆)如图,△ABC中,AB=8,BC=10,AC=6,DB垂直于平面ABC,且AE∥FC∥BD,BD=3,FC=4,AE=5,求此几何体的体积.
5.(★★☆)如图所示的三棱锥O-ABC为长方体的一角.其中OA、OB、OC两两垂直,三个侧面OAB、OAC、OBC的面积分别为1.5 cm2、1 cm2、3 cm2,求三棱锥O-ABC的体积.
6.(★★☆)在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求A到平面A1BD的距离d.
答案全解全析
易混易错练
1.A 抠点法.在长方体ABCD-A1B1C1D1中抠点,
(1)由正视图可知:C1D1上没有点;
(2)由侧视图可知:B1C1上没有点;
(3)由俯视图可知:CC1上没有点;
(4)由正(俯)视图可知:D,E处有点,由俯视图中虚线可知B,F处有点,A点排除.
由上述可还原出四棱锥为A1-BEDF,如图所示.
S四边形BEDF=1×1=1,VA1-BEDF=13×1×1=13.故选A.
2.D A的正视图和俯视图不符合要求,B的正视图和侧视图不符合要求,C的俯视图显然也不符合要求.
3.A 该几何体为一个正方体与四分之一个球的组合体,所以表面积为6a2+14×4π×a22=96+4π,所以a=4.
4.C 由三视图可知该几何体是一个圆柱和一个圆锥的组合体,其表面积为π×3×5+2π×1×2+π×32=28π.故选C.
5.答案 932或332
解析 如图所示,设球的半径为r,则球心到该圆锥底面的距离为r2,于是圆锥的底面半径为r2-r22=3r2,高为3r2或r2.若高为3r2,则该圆锥的体积为13×π×3r22×3r2=38πr3,球的体积为43πr3,∴该圆锥的体积和此球体积的比值为38πr343πr3=932.同理可得高为r2时,比值为332.
6.解析 ①当两截面圆在球心O的同侧时,如图(1)所示,AB为较大的截面圆的直径,O1为较大的截面圆的圆心,CD为较小的截面圆的直径,O2为较小的截面圆的圆心,梯形ABDC为圆台的轴截面,由题意,知OO1=3,OO2=4,则圆台的高为O1O2=1,AC=2,所以圆台的侧面积S侧=π(3+4)×2=72π.
图(1)
②当两截面圆在球心O的异侧时,如图(2)所示,AB为较大的截面圆的直径,O1为较大的截面圆的圆心,CD为较小的截面圆的直径,O2为较小的截面圆的圆心,梯形ABDC为圆台的轴截面,由题意,知OO1=3,OO2=4,则圆台的高为O1O2=7,AC=52,所以圆台的侧面积为S侧=π(3+4)×52=352π.
图(2)
思想方法练
1.C 可将该三棱锥S-ABC放到长方体中,如图所示,取线段AC的中点O1,过O1作O1P垂直于平面ABC,交长方体的上底面于点P,因为△ABC是直角三角形,所以外接球的球心O必在线段PO1上,连接SO、SP、OC,设OO1=x,球的半径为R,易得SP=102,O1C=22,
所以R2=x2+222,R2=(1-x)2+1022,解得R2=114,
所以该三棱锥外接球的表面积S=4πR2=11π.故选C.
2.解析 (1)圆锥的母线长为62+22=210(cm),
所以圆锥的侧面积S1=π×2×210=410π(cm2).
(2)圆锥的轴截面如图所示.
设圆柱的底面半径为r cm,则根据三角形相似,有r2=6-x6,∴r=6-x3,
∴圆柱的侧面积S2=2πrx=2π3(-x2+6x)=-2π3[(x-3)2-9],
∴当x=3时,圆柱的侧面积取得最大值,最大值为6π cm2.
3.解析 由题意易知,三棱锥P-DCE为正三棱锥,各侧棱长均为1,P点在底面DCE的投影为等边△DCE的中心,设中心为O,则OD=OE=OC=33,在Rt△POD中,OP2=PD2-OD2=23,则OP=63.易知外接球的球心必在OP上,设球心为O',则O'P=O'D,设O'P=O'D=R,
则在Rt△OO'D中,OO'2+OD2=O'D2,即(OP-O'P)2+OD2=O'D2,∴63-R2+332=R2,解得R=64,∴三棱锥P-DCE的外接球的体积为43πR3=6π8.
4.解析 如图,取CM=AN=BD,连接DM,MN,DN,将几何体的体积转化为一个三棱柱和一个四棱锥的体积之和,即V几何体=V三棱柱+V四棱锥.
由题意知V三棱柱=12×8×6×3=72,
V四棱锥=13S梯形MNEF·DN=13×12×(1+2)×6×8=24,
所以几何体的体积为72+24=96.
5.解析 设OA、OB、OC的长依次为x cm、y cm、z cm,则由已知可得12xy=1.5,12xz=1,12yz=3,解得x=1,y=3,z=2.显然三棱锥O-ABC的底面积和高是不易求出的,于是我们不妨转换视角,将三棱锥O-ABC看成以C为顶点,以OAB为底面的三棱锥C-OAB.易知OC为三棱锥C-OAB的高,于是VO-ABC=VC-OAB=13S△OAB·OC=13×1.5×2=1(cm3),即三棱锥O-ABC的体积为1 cm3.
6.解析 如图所示,在三棱锥A1-ABD中,AA1是三棱锥A1-ABD的高,AB=AD=AA1=a,A1B=BD=A1D=2a.
∵VA1-ABD=VA-A1BD,S△A1BD=12×2a×32×2a=32a2,
∴13×12a2·a=13×32a2·d,∴d=33a.
故A到平面A1BD的距离为33a.