2021学年2.3 直线、平面垂直的判定及其性质课时训练

这是一份2021学年2.3 直线、平面垂直的判定及其性质课时训练，共16页。


题组一 平面与平面垂直的判定
1.对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一组条件是( )
A.m⊥n,m∥α,n∥βB.m⊥n,α∩β=m,n⊂β
C.m∥n,n⊥β,m⊂αD.m∥n,m⊥α,n⊥β
2.已知直线a,b与平面α,β,γ,下列能使α⊥β成立的条件是( )
A.α⊥γ,β⊥γB.α∩β=a,b⊥a,b⊂β
C.a∥β,a∥αD.a∥α,a⊥β
3.在三棱锥P-ABC中,已知PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,如图所示,则在三棱锥P-ABC的四个面中,互相垂直的面有 对.
4.(2019江苏泰州高一质检)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.
求证:(1)直线DE∥平面A1C1F;
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
5.如图所示,在矩形ABCD中,已知AB=12AD,E是AD的中点,沿BE将△ABE折起至△A'BE的位置,使A'C=A'D.求证:平面A'BE⊥平面BCDE.
题组二 二面角
6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1-BD-A的正切值为( )
A.32B.22C.2D.3
7.如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,C是圆O上一点(不同于A,B),且PA=AC,则二面角P-BC-A的大小为( )
A.60°B.30°C.45°D.15°
8.在四面体ABCD中,AB=BC=CD=AD,∠BAD=∠BCD=90°,二面角A-BD-C为直二面角,E是CD的中点,则∠AED的度数为( )
A.45°B.90°C.60°D.30°
9.(2019河南南阳高一检测)在二面角α-l-β中,A∈α,AB⊥平面β于点B,BC⊥平面α于点C,若AB=6,BC=3,则二面角α-l-β的平面角的大小为( )
A.30°B.60°
C.30°或150° D.60°或120°
10.若P是△ABC所在平面外一点,且△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形,PA=6,那么二面角P-BC-A的大小为 .
11.(2019福建漳州高二检测)如图,在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,BC=4,E是PD的中点.
(1)求证:平面PDC⊥平面PAD;
(2)求二面角E-AC-D所成平面角的余弦值.
能力提升练
一、选择题
1.(2018河南郑州一中高一检测,★★☆)设α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,且l⊂α,m⊂β( )
A.若l⊥β,则α⊥β
B.若α⊥β,则l⊥m
C.若l∥β,则α∥β
D.若α∥β,则l∥m
2.(★★☆)一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,则这两个二面角的大小关系为( )
A.相等 B.互补
C.相等或互补D.不确定
3.(2019北京八中高一期末,★★☆)设b,c表示两条直线,α,β表示两个平面,则下列命题正确的是( )
A.若b⊂α,c∥α,则c∥b
B.若b⊂α,b∥c,则c∥α
C.若c⊂α,α⊥β,则c⊥β
D.若c⊂α,c⊥β,则α⊥β
4.(★★★)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD∶BC∶AB=2∶3∶4,E,F分别是AB,CD的中点,将四边形ADFE沿直线EF进行翻折.给出下列四个结论:
①DF⊥BC;②BD⊥FC;③平面DBF⊥平面BFC;
④平面DCF⊥平面BFC.
在翻折的过程中,可能成立的结论是( )
A.①③B.②③C.②④D.③④
二、填空题
5.(2019山东枣庄高一检测,★★☆)如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,BC=2,AA1=1,E,F分别在AD和BC上,且EF∥AB,若二面角C1-EF-C等于45°,则BF= .
三、解答题
6.(★★☆)如图,把等腰直角三角形ABC沿斜边AB所在直线旋转至△ABD的位置,使CD=AC.
(1)求证:平面ABD⊥平面ABC;
(2)求二面角C-BD-A的余弦值.
7.(★★☆)如图,在三棱台ABC-DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.
(1)求证:BF⊥平面ACFD;
(2)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.
8.(★★★)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD为直角梯形,AB∥CD,AB⊥AD,且CD=2AB.
(1)若AB=AD,直线PB与CD所成的角为45°,求二面角P-CD-B的大小;
(2)若E为线段PC上一点,试确定点E的位置,使得平面EBD⊥平面ABCD,并说明理由.
答案全解全析
基础过关练
1.C A与D中,α也可能与β平行;B中,α与β一定相交,但不一定垂直;C中,∵m∥n,n⊥β,∴m⊥β.又m⊂α,∴α⊥β.故选C.
2.D 由a∥α,知α内必有直线l与a平行.
又a⊥β,∴l⊥β.∴α⊥β.
3.答案 3
解析 因为PA⊥PB,PA⊥PC,PB∩PC=P,
所以PA⊥平面PBC,
因为PA⊂平面PAB,PA⊂平面PAC,
所以平面PAB⊥平面PBC,平面PAC⊥平面PBC.同理可证平面PAB⊥平面PAC.
所以互相垂直的面共有3对.
4.证明 (1)因为D,E分别是AB,BC的中点,所以DE∥AC,又AC∥A1C1,所以DE∥A1C1,又因为A1C1⊂平面A1C1F,且DE⊄平面A1C1F,所以DE∥平面A1C1F.
(2)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以AA1⊥平面A1B1C1,所以AA1⊥A1C1.又因为A1C1⊥A1B1,且AA1∩A1B1=A1,AA1,A1B1⊂平面AA1B1B,所以A1C1⊥平面AA1B1B,所以A1C1⊥B1D,又A1F⊥B1D,A1F∩A1C1=A1,所以B1D⊥平面A1C1F,又因为B1D⊂平面B1DE,所以平面B1DE⊥平面A1C1F.
5.证明 如图所示,取CD的中点M,BE的中点N,连接A'M,A'N,MN,
则MN∥BC.
∵AB=12AD,E是AD的中点,
∴AB=AE,即A'B=A'E.
∴A'N⊥BE.∵A'C=A'D,∴A'M⊥CD.
在四边形BCDE中,CD⊥MN,
又∵MN∩A'M=M,
∴CD⊥平面A'MN,∴CD⊥A'N.
∵DE∥BC且DE=12BC,
∴直线BE必与直线CD相交.
又∵A'N⊥BE,A'N⊥CD,
∴A'N⊥平面BCDE.
又∵A'N⊂平面A'BE,
∴平面A'BE⊥平面BCDE.
6.C 如图所示,连接AC交BD于点O,连接A1O,则O为BD的中点,
∵A1D=A1B,∴在△A1BD中,A1O⊥BD.
又∵在正方形ABCD中,AC⊥BD,
∴∠A1OA为二面角A1-BD-A的平面角.
设AA1=1,则AO=22.
∴tan∠A1OA=122=2.
7.C 由条件得PA⊥BC,AC⊥BC.又PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC.所以BC⊥PC.所以∠PCA为二面角P-BC-A的平面角.在Rt△PAC中,由PA=AC得∠PCA=45°.故选C.
8.B 如图,设AB=BC=CD=AD=a,取BD的中点F,连接AF,CF,则由题意可得AF⊥BD,CF⊥BD,∠CFA为平面角A-BD-C的平面角,且∠CFA=90°,AF=CF=22a.
在Rt△AFC中,易得AC=a,所以△ACD为正三角形.又因为E是CD的中点,所以AE⊥CD,即∠AED=90°.
9.D 如图,因为AB⊥β,所以AB⊥l,
因为BC⊥α,所以BC⊥l,
又因为AB∩BC=B,
所以l⊥平面ABC,
设平面ABC∩l =D,
则∠ADB为二面角α- l -β的平面角或其补角,
因为AB=6,BC=3,
所以∠BAC=30°,所以∠ADB=60°,
所以二面角的大小为60°或120°.
10.答案 90°
解析 如图,取BC的中点O,连接OA,OP,因为△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形,所以PO⊥BC,AO⊥BC.
则∠POA为二面角P-BC-A的平面角,且OP=OA=3,又PA=6,所以△POA为直角三角形,所以∠POA=90°.
11.解析 (1)证明:因为PA⊥平面ABCD,
CD⊂平面ABCD,
所以PA⊥CD.
因为AD⊥CD,PA,AD是平面PAD内的相交直线,
所以CD⊥平面PAD.
因为CD⊂平面PDC,
所以平面PDC⊥平面PAD.
(2)取AD的中点O,连接EO.
则在△PAD中,EO是中位线,
所以EO∥PA.
因为PA⊥平面ABCD,
所以EO⊥平面ABCD.
因为AC⊂平面ABCD,所以EO⊥AC.
过O作OF⊥AC于点F,连接EF,
则因为EO,OF是平面OEF内的相交直线,
所以AC⊥平面OEF,所以EF⊥AC,
所以∠EFO就是二面角E-AC-D的平面角,由PA=2,得EO=1,
在Rt△ADC中,设AC边上的高为h,则AD×DC2=AC×h2,得h=455.
因为O是AD的中点,
所以OF=12×455=255.
因为EO=1,所以在Rt△EOF中,
EF=EO2+OF2=355,
所以cs∠EFO=OFEF=23.
能力提升练
一、选择题
1.A ∵l⊥β,l⊂α,∴α⊥β(面面垂直的判定定理).故A正确.
2.D 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是CD的中点,二面角D-AA1-E与二面角B1-AB-D的两个半平面是分别对应垂直的,但是这两个二面角既不相等,也不互补.故选D.
3.D 对于A,c与b可能异面,故A错;对于B,c可能在平面α内;对于C,c与平面β可能平行,也可能斜交,故C错;对于D,由面面垂直的判定定理,知D正确,故选D.
4.B 对于①,因为BC∥AD,AD与DF相交,不垂直,所以BC与DF不垂直,故①不可能成立;对于②,如图,设点D在平面BCF上的射影为点P,当BP⊥CF时,有BD⊥FC,而AD∶BC∶AB=2∶3∶4可使条件满足,故②可能成立;对于③,当点P落在BF上时,DP⊂平面BDF,从而平面BDF⊥平面BCF,故③可能成立;对于④,因为点D的射影不可能在FC上,故④不可能成立.故选B.
二、填空题
5.答案 1
解析 因为AB⊥平面BC1,C1F⊂平面BC1,CF⊂平面BC1,所以AB⊥C1F,AB⊥CF,又EF∥AB,
所以C1F⊥EF,CF⊥EF,
所以∠C1FC是二面角C1-EF-C的平面角,
所以∠C1FC=45°,
所以△FCC1是等腰直角三角形,
所以CF=CC1=AA1=1.
又BC=2,所以BF=BC-CF=2-1=1.
三、解答题
6.解析 (1)证明:如图,取AB的中点O,连接OD,
∵△ABD是等腰直角三角形,
∴DO⊥AB,且DO=22AD.
连接OC,同理得CO⊥AB,且CO=22AC,
∵AD=AC,∴DO=CO=22AC.
∵CD=AC,∴DO2+CO2=CD2,
∴△CDO为等腰直角三角形,DO⊥CO,
又AB∩CO=O,∴DO⊥平面ABC.
又∵DO⊂平面ABD,
∴平面ABD⊥平面ABC.
(2)取BD的中点E,连接CE,OE.
易知△BCD为等边三角形,∴CE⊥BD.
又∵△BOD为等腰直角三角形,
∴OE⊥BD.
∴∠OEC为二面角C-BD-A的平面角.
由(1)易证得OC⊥平面ABD,∴OC⊥OE.
∴△COE为直角三角形.
设BC=1,则CE=32,OE=12,
∴cs∠OEC=OECE=33,
即二面角C-BD-A的余弦值为33.
7.解析 (1)证明:延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示,
因为平面BCFE⊥平面ABC,平面BCFE∩平面ABC=BC,AC⊥BC,所以AC⊥平面BCK,所以AC⊥BF,
又因为EF∥BC,BE=EF=FC=1,BC=2,
所以△BCK为等边三角形,且F为CK的中点,则BF⊥CK,又AC∩CK=C,所以BF⊥平面ACFD.
(2)过点F作FQ⊥AK,连接BQ.
因为BF⊥平面ACK,所以BF⊥AK,又FQ∩BF=F,所以AK⊥平面BQF,所以BQ⊥AK.
所以∠BQF是二面角Β-ΑD-F的平面角.
在Rt△ACK中,由AC=3,CK=2,易得FQ=31313.
在Rt△BQF中,FQ=31313,BF=3,BQ=43913,
则cs∠BQF=FQBQ=34.
所以二面角B-AD-F的平面角的余弦值为34.
8.解析 (1)因为AB⊥AD,CD∥AB,
所以CD⊥AD.
又PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,
所以PA⊥CD.
又PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD,
又PD⊂平面PAD,所以CD⊥PD,
所以∠PDA是二面角P-CD-B的平面角.
又直线PB与CD所成的角为45°,
所以∠PBA=45°,所以PA=AB.
所以在Rt△PAD中,PA=AD,所以∠PDA=45°,即二面角P-CD-B的大小为45°.
(2)当点E在线段PC上,且满足PE∶EC=1∶2时,平面EBD⊥平面ABCD.理由如下:
连接AC交BD于点O,连接EO.
由△AOB∽△COD,且CD=2AB,
得CO=2AO,
所以PE∶EC=AO∶CO=1∶2,
所以PA∥EO,
因为PA⊥底面ABCD,
所以EO⊥底面ABCD.
又EO⊂平面EBD,
所以平面EBD⊥平面ABCD.