人教版新课标A必修23.1 直线的倾斜角与斜率综合训练题

这是一份人教版新课标A必修23.1 直线的倾斜角与斜率综合训练题，共11页。试卷主要包含了有下列说法等内容，欢迎下载使用。
基础过关练
题组一 两条直线平行
1.有下列说法:
①若直线l1和l2的斜率相等,则l1∥l2;
②若l1∥l2,则两直线的斜率相等;
③若两条直线l1和l2中有一条斜率不存在,另一条斜率存在,则l1与l2相交;
④若直线l1与l2的斜率都不存在,则l1∥l2.
其中正确的个数是 ( )
A.1B.2C.3D.4
2.经过点P(-2,m)和Q(m,4)的直线平行于斜率等于1的直线,则m的值是( )
A.4B.1C.1或3D.1或4
3.若直线l1∥l2,且l1的倾斜角为45°,l2过点(4,6),则l2还过下列各点中的( )
A.(1,8)B.(-2,0)
C.(9,2)D.(0,-8)
4.已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(1,0),C(4,3),则顶点D的坐标为( )
A.(3,4)B.(4,3)
C.(3,1)D.(3,8)
5.已知过点P(3,2m)和点Q(m,2)的直线与过点M(2,0)和点N(-3,5)的直线平行,则m的值为 .
6.已知直线l1的倾斜角为60°,直线l2经过点A(1,3),B(-2,-23),则直线l1,l2的位置关系是 .
7.已知直线l1经过点A(0,-1)和点B-4a,1,直线l2经过点M(1,1)和点N(0,-2),若l1与l2没有公共点,求实数a的值.
题组二 两条直线垂直
8.已知直线l1与l2,则下列条件中使得l1⊥l2的是( )
①l1的斜率为-23,l2经过点A(1,1),B0,-12;
②l1的倾斜角为45°,l2经过点P(-2,-1),Q(3,-5);
③l1经过点M(1,0),N(4,-5),l2经过点R(-6,0),S(-1,3).
A.①②B.①③C.②③D.①②③
9.已知直线l1的倾斜角为30°,直线l2⊥l1,则直线l2的斜率为 ( )
A.3B.-3C.33D.-33
10.已知点A(0,1),点B的横坐标与纵坐标满足x+y=0.若AB⊥OB,则点B的坐标是 .
11.(2020陕西高一期末)已知点M(2,2)和N(-6,-2),试在y轴上找一个点P,使∠MPN为直角.
题组三 两条直线平行与垂直的应用
12.顺次连接A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)构成的图形是( )
A.平行四边形B.直角梯形
C.等腰梯形D.以上都不对
13.直线l1,l2的斜率k1,k2是关于k的方程2k2-4k+m=0的两根,若l1⊥l2,则m= ;若l1∥l2,则m= .
14.(2020河北高一期末)已知直线l1经过点A(3,a),B(a-1,2),直线l2经过点C(1,2),D(-2,a+2).
(1)若l1∥l2,求a的值;
(2)若l1⊥l2,求a的值.
能力提升练
一、选择题
1.(★★☆)若直线l1,l2的倾斜角分别为α1,α2,且l1⊥l2,则有( )
A.α1-α2=90°
B.α2-α1=90°
C.|α2-α1|=90°
D.α1+α2=180°
2.(★★☆)若直线l1,l2的斜率是方程x2-3x-1=0的两根,则l1与l2的位置关系是( )
A.平行B.重合
C.相交但不垂直D.垂直
3.(2018福建闽清一中高一期末,★★☆)已知直线l1,l2,l3的斜率分别是k1,k2,k3,其中l1∥l2,且k1,k3是方程2x2-3x-2=0的两根,则k1+k2+k3的值是( )
A.1B.32
C.72D.1或72
4.(★★☆)若直线l1的斜率k1=34,直线l2经过点A(3a,-2),B(0,a2+1),且l1⊥l2,则实数a的值为( )
A.1B.3
C.0或1D.1或3
5.(★★☆)已知点A(0,1),B(4,2),若点P在坐标轴上,则满足PA⊥PB的点P的个数是( )
A.1B.2
C.3D.4
6.(★★☆)已知△ABC的顶点B(2,1),C(-6,3),其垂心为H(-3,2),则顶点A的坐标为( )
A.(-19,-62)B.(19,-62)
C.(-19,62)D.(19,62)
二、填空题
7.(★★☆)已知△ABC的三个顶点分别是A(2,2+22),B(0,2-22),C(4,2),则△ABC是 .(填△ABC的形状)
8.(★★★)光线从点A(-3,4)射出,到x轴上的点B后,被x轴反射到y轴上的点C,又被y轴反射,这时反射光线恰好过点D(-1,6),则光线BC所在直线的斜率为 .
三、解答题
9.(2018江西兴国高一期末,★★☆)已知直线l的倾斜角为30°,点P(2,1)在直线l上,将直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置,此时直线l1与l2平行或重合,且l2是线段AB的垂直平分线,其中A(1,m-1),B(m,2),试求m的值.
10.(2018山东高青一中高一月考,★★★)已知四边形ABCD的顶点A(m,n),B(5,-1),C(4,2),D(2,2),求m和n的值,使四边形ABCD为直角梯形.
11.(★★★)已知过原点O的一条直线与函数y=lg8x的图象交于A,B两点,分别过点A,B作y轴的平行线与函数y=lg2x的图象交于C,D两点.
(1)证明:点C,D和原点O在同一条直线上;
(2)当直线BC平行于x轴时,求点A的坐标.
答案全解全析
基础过关练
1.A ①④错误,忽略了l1与l2有可能重合的情况;②错误,忽略了斜率不存在的情况;只有③正确,故选A.
2.B 由题意,知4-mm-(-2)=1,解得m=1.
3.B 设直线l1、l2的斜率分别为k1、k2,因为l1的倾斜角为45°,所以k1=1.又因为l1∥l2,所以k2=1.结合选项可知当l2过点(4,6),(-2,0)时,k2=1.故选B.
4.A 设顶点D的坐标为(m,n),由题意得AB∥DC,AD∥BC,则有kAB=kDC,kAD=kBC,
所以0-11-0=3-n4-m,n-1m-0=3-04-1,解得m=3,n=4.
所以顶点D的坐标为(3,4).
5.答案 -1
解析 因为MN∥PQ,所以kMN=kPQ,即5-0-3-2=2-2mm-3,解得m=-1.经检验,当m=-1时,直线PQ与直线MN不重合,故满足题意.
6.答案 平行或重合
解析 由题意可知直线l1的斜率k1=tan 60°=3,直线l2的斜率k2=-23-3-2-1=3,
因为k1=k2,所以l1∥l2或l1与l2重合.
7.解析 由题意得l1∥l2,所以kl1=kl2.因为kl1=kAB=1-(-1)-4a-0=-a2,kl2=kMN=-2-10-1=3,所以-a2=3,所以a=-6.经检验,当a=-6时,直线AB与直线MN不重合,故满足题意.
8.B 如果两条直线的斜率之积等于-1,那么它们互相垂直.结合题知①③正确.故选B.
9.B 解法一:∵直线l1的倾斜角为30°,
∴kl1=tan 30°=33,
∵l1⊥l2,∴kl1·kl2=-1,∴kl2=-3.
解法二:∵直线l1的倾斜角为30°,直线l2⊥l1,∴直线l2的倾斜角α=30°+90°=120°,∴直线l2的斜率k=tan 120°=-3.故选B.
10.答案 -12,12
解析 设点B的坐标为(a,-a).由题意知a≠0,因为AB⊥OB,所以-a-1a·-aa=-1,解得a=-12.经检验,a=-12满足题意.所以点B的坐标为-12,12.
11.解析 因为点P在y轴上,所以设点P的坐标为(0,y).
因为∠MPN为直角,所以PM⊥PN.
设直线PM的斜率为kPM,直线PN的斜率为kPN,
则kPM·kPN=-1,即y-20-2·y-(-2)0-(-6)=-1,解得y=±4.
所以点P的坐标是(0,4)或(0,-4).
12.B 易求得kAB=kDC,kAD≠kBC,kAD·kAB=-1,所以顺次连接A,B,C,D构成的图形为直角梯形.
13.答案 -2;2
解析 由一元二次方程根与系数的关系得k1·k2=m2,若l1⊥l2,则m2=-1,∴m=-2.
当m=-2时,关于k的方程2k2-4k+m=0有两根,∴m=-2满足题意.
若l1∥l2,则k1=k2,即关于k的方程2k2-4k+m=0有两个相等的实数根,
∴Δ=(-4)2-4×2×m=0,
∴m=2.
14.解析 设直线l1的斜率为k1,直线l2的斜率为k2,
则k1=2-aa-4,k2=2-(a+2)1-(-2)=-a3.
(1)若l1∥l2,则2-aa-4=-a3,
解得a=1或a=6.
经检验,当a=1或a=6时,l1∥l2.
(2)若l1⊥l2,则
①当k2=0时,解得a=0,k1=-12,不符合题意;
②当k2≠0时,l1的斜率存在,此时k1=2-aa-4.
由k1k2=-1可得2-aa-4·-a3=-1,解得a=3或a=-4.
∴当a=3或a=-4时,l1⊥l2.
能力提升练
一、选择题
1.C 由题意,知α1=α2+90°或α2=α1+90°,所以|α2-α1|=90°.
2.D 设直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,由一元二次方程根与系数的关系得k1·k2=-1,所以l1⊥l2.
3.D 因为k1,k3是方程2x2-3x-2=0的两根,解方程得k1=-12,k3=2或k1=2,k3=-12.又l1∥l2,所以k1=k2,所以k1+k2+k3的值是1或72.
4.D ∵l1⊥l2,∴k1·k2=-1,即34×a2+1-(-2)0-3a=-1(a≠0),解得a=1或a=3.经检验,a=1和a=3均满足题意.
5.C 当点P在x轴上时,设其坐标为P(x,0),
由PA⊥PB可得0-1x-0×0-2x-4=-1,即x2-4x+2=0,
由于Δ=(-4)2-4×1×2=8>0,
故方程有两个不相等的实数根,即在x轴上有两个点符合题意;
当点P在y轴上时,PA的斜率不存在,故当PB的斜率为0时,满足题意,此时点P的坐标为(0,2).
综上,满足PA⊥PB的点P的个数是3.
6.A 设顶点A的坐标为(x,y),由已知得,AH⊥BC,BH⊥AC,且直线AH,BH的斜率存在,
所以kAH·kBC=-1,kBH·kAC=-1,即y-2x+3×-14=-1,-15×y-3x+6=-1,
解得x=-19,y=-62,即顶点A的坐标为(-19,-62).
二、填空题
7.答案 直角三角形
解析 因为AB边所在直线的斜率kAB=2-22-(2+22)0-2=22,CB边所在直线的斜率kCB=2-22-20-4=22,AC边所在直线的斜率kAC=2-(2+22)4-2=-2,所以kCB·kAC=-1,所以CB⊥AC,所以△ABC是直角三角形.
8.答案 52
解析 如图,设B(a,0),C(0,b),过点B,C作两条法线交于点E,
则∠E=90°.所以∠ECB+∠EBC=90°,
所以2∠ECB+2∠EBC=180°.
又由反射角等于入射角,可得
∠DCB+∠ABC=180°,所以AB∥CD,
所以kAB=kCD,即0-4a-(-3)=b-60-(-1).①
由反射角等于入射角,还可得直线AB的倾斜角与直线BC的倾斜角互补,
所以kAB=-kBC,即0-4a-(-3)=-b-00-a.②
联立①②,得a=-75,b=72.
所以B-75,0,C0,72.所以kBC=52.
三、解答题
9.解析 如图,直线l1的倾斜角为30°+30°=60°,∴直线l1的斜率k1=tan 60°=3.
当m=1时,直线AB的斜率不存在,此时l2的斜率为0,不满足l1∥l2.
当m≠1时,直线AB的斜率kAB=m-1-21-m=m-31-m,∴线段AB的垂直平分线l2的斜率k2=m-1m-3.
∵l1与l2平行或重合,∴k1=k2,即3=m-1m-3,
解得m=4+3.
10.解析 要使四边形ABCD是直角梯形,
则有2种情形,如图所示:
①AB∥CD,AB⊥AD,此时A(2,-1).
∴m=2,n=-1.
②AD∥BC,AD⊥AB,
∴kAD=kBC,kAD·kAB=-1,即n-2m-2=2-(-1)4-5,n-2m-2·n-(-1)m-5=-1,
解得m=165,n=-85.
综上,m=2,n=-1或m=165,n=-85.
11.解析 (1)证明:设A,B的横坐标分别为x1,x2.则由题意,知x1>1,x2>1,A(x1,lg8x1),B(x2,lg8x2),C(x1,lg2x1),D(x2,lg2x2),且lg8x1x1=lg8x2x2,
又kOC=lg2x1x1=3lg8x1x1,kOD=lg2x2x2=3lg8x2x2,
由此得kOC=kOD,即点O,C,D在同一条直线上.
(2)由(1)知B(x2,lg8x2),C(x1,lg2x1).
由直线BC平行于x轴,得lg2x1=lg8x2.
所以x2=x13,将其代入lg8x1x1=lg8x2x2,得x13lg8x1=3x1lg8x1,
由x1>1,知lg8x1≠0,故x13=3x1,
所以x1=3,于是A(3,lg83).