高中数学期中专区高一上册课后练习题

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这是一份高中数学期中专区高一上册课后练习题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高一数学
满分:150分时间:120分钟

一、选择题(本大题共13小题,每小题4分,共52分,在每小题给出的四个选项中,1-10题只有一项是符合题目要求的;第11至13题,有多项符合要求,全部选对得4分,选对但不全得2分,有选错的得0分)
1.(★)已知集合A={-1,2,3},B={x∈Z|-1A.{0}B.{2}C.{0,1,3,4}D.⌀
2.(★)已知实数0A.1a>a>a2B.a>a2>1a
C.a2>1a>aD.1a>a2>a
3.(★)已知函数y=f(x)的定义域为[-6,1],则函数g(x)=f(2x+1)x+2的定义域是( )
A.(-∞,-2)∪(-2,3]B.[-11,3]
C.-72,-2D.-72,-2∪(-2,0]
4.(★)已知f(x)=2x,x<12,f(x-1)+1,x≥12,则f14+f76=( )
A.-16B.116C.56D.-56
5.(★)“|x-1|<3”是“x<4”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
6.(★)已知函数f(x)=1mx2+mx+4的定义域是一切实数,则m的取值范围是( )
A.07.(★)函数f(x)=1-x2x2的图象可能是( )
8.(★)函数f(x)=x-x+1的最小值为( )
A.-54B.-12C.-1D.0
9.(★)关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中恰有两个正整数,则实数a的取值范围是( )
A.[2,4)B.[3,4]C.(3,4]D.(3,4)
10.(★)已知函数f(x)=-x+1,x≤0,-x2+2x,x>0,则方程f2(x)-bf(x)=0,b∈(0,1)的根的个数是( )
A.2B.3C.4D.5
11.(★)(多选题)下列四组函数中,表示同一函数的是( )
A.f(x)=|x|,g(x)=x2
B.f(x)=|x|,g(x)=(x)2
C.f(x)=x2-1x-1,g(x)=x+1
D.f(x)=x+1·x-1,g(x)=x2-1
12.(★)若关于x的一元二次方程(x-2)(x-3)=m有实数根x1,x2,且x1A.当m=0时,x1=2,x2=3
B.m>-14
C.当m>0时,2D.二次函数y=(x-x1)(x-x2)+m的图象与x轴交点的坐标为(2,0)和(3,0)
13.(★)已知函数y=f(x)是定义在[0,2]上的增函数,且图象是连续不断的曲线,若f(0)=M,f(2)=N(M>0,N>0),那么下列四个命题中是真命题的有( )
A.必存在x∈[0,2],使得f(x)=M+N2
B.必存在x∈[0,2],使得f(x)=MN
C.必存在x∈[0,2],使得f(x)=M+N2
D.必存在x∈[0,2],使得f(x)=21M+1N
第Ⅱ卷(非选择题,共98分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填写在题上横线上)
14.(★)设集合P={x|y=-x2+4x-3},Q={x|x2<4},则P∩Q= .
15.(★)若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是 .
16.(★)已知偶函数f(x),且当x∈[0,+∞)时都有(x1-x2)[f(x2)-f(x1)]<0成立,令a=f(-5),b=f12,c=f(-2),则a,b,c的大小关系是 .(用“>”连接)
17.(★)若函数f(x)=2x-1x+1在区间[m,+∞)上为增函数,则实数m的取值范围是 .
三、解答题(本大题共6小题,共82分,解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤)
18.(★)已知m∈R,命题p:对任意x∈[0,1],不等式x2-2x-1≥m2-3m恒成立,命题q:存在x∈[-1,1],使得m≤2x-1.
(1)若命题p为真命题,求m的取值范围;
(2)若命题q为假命题,求m的取值范围.
19.(★)已知函数f(x)=3-x-1x-1的定义域为集合A,不等式mx2-5x+2>0的解集是M,且满足2∈M,1∉M的m的取值集合为B,集合C={x|2m-1≤x≤m+1}.
(1)求A∪B;
(2)若A∩C=C,求实数m的取值范围.
20.(★)已知函数f(x)=mx+n1+x2是定义在(-1,1)上的奇函数,且f12=25.
(1)求实数m,n的值,并用定义证明f(x)在(-1,1)上是增函数;
(2)设函数g(x)是定义在(-1,1)上的偶函数,当x∈[0,1)时,g(x)=f(x),求函数g(x)的解析式.
21.(★)若二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=4x+6,且f(0)=3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)设g(x)=f(x)+(a-2)x2+(2a+2)x,g(x)在[-2,+∞)上单调递增,求a的取值范围.
22.(★)设f(x)是定义在R上的函数,且对任意实数x,有f(x-2)=x2-3x+3.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若{x|f(x-2)=-(a+2)x+3-b}={a},求a和b的值.
23.(★)已知二次函数g(x)=ax2+c(a,c∈R),g(1)=1且不等式g(x)≤x2-x+1对一切实数x恒成立.
(1)求函数g(x)的解析式;
(2)在(1)的条件下,设函数h(x)=2g(x)-2,关于x的不等式h(x-1)+4h(m)≤hxm-4m2h(x),在x∈32,+∞上有解,求实数m的取值范围.
附加题(★)为了响应国家提出的全民健身运动,青岛二中甲、乙两位学生在周末进行体育锻炼.他们同时从学校到五四广场,甲一半路程步行,一半路程跑步,乙一半时间步行,一半时间跑步,如果两人步行速度相同,跑步速度也相同.试分析比较两个人谁先到达五四广场.(写出必要的分析步骤)
【全国百强校】山东省青岛第二中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题16
答案全解全析
1.考向集合的运算
分析先化简集合B,再根据交集运算进行求解即可.
解析集合B={0,1,2},则A∩B={2}.故选B.
答案 B
点评本题考查集合运算中的交集运算,熟练掌握集合的基础知识是解答好集合题目的关键.
2.考向不等式性质的应用
分析通过取特殊值举反例或是采用作差法,两两作比较,利用不等式的基本性质即可判断出结论.
解析取特殊值:取a=12∈(0,1),则1a=2,a2=14,所以1a>a>a2,只有A选项适合,B、C、D都不符合.
比较法:先比较1a与a的大小,1a-a=1-a2a=(1+a)(1-a)a,
∵a∈(0,1),∴1-a>0,1a-a>0,1a>a;
同理,a-a2=a(1-a)>0,∴a>a2,∴1a>a>a2.
故选A.
答案 A
点评用特殊值验证的方法更简便、准确;比较法也是进行大小比较或证明不等式常用的方法,主要方法步骤是:作差、变形、判断符号、得出结论.
3.考向函数的概念
分析首先由函数f(x)的定义域,得到f(2x+1)的定义域,再根据函数g(x)的解析式,由分式的分母不等于0联立得不等式组求得x的解集即为g(x)的定义域.
解析因为函数y=f(x)的定义域为[-6,1],所以函数g(x)的定义域对应的x应满足2x+1∈[-6,1],x+2≠0,即x∈-72,-2∪(-2,0].故选D.
答案 D
点评本题考查具体函数定义域以及抽象函数定义域的求解,对于具体函数求定义域要熟悉一些常见基本初等函数求定义域的原则:分式(分母不为零)、二次根式(二次根式里面的整体大于或等于零)、对数(对数的底数大于零且不等于1、真数大于零)、零指数幂(底数不等于零);对于抽象函数求定义域,若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出,然后对每一部分所满足的条件求解,取其交集.
4.考向分段函数的概念
分析根据分段函数的特点,先确定每个自变量符合的表达式,再分别代入即可.
解析 ∵函数f(x)=2x,x<12,f(x-1)+1,x≥12,
∴f14=2×14=12,f76=f76-1+1=f16+1=43,故f14+f76=116.故选B.
答案 B
点评本题考查根据已知分段函数求函数值问题,要加强对分段函数的理解,分段函数是指在定义域的不同阶段上的对应关系不同,因此分段函数求函数值时,一定要判断自变量属于哪一段,再代入相应的解析式求值.
5.考向充分条件与必要条件的判断,解绝对值不等式
分析先通过解绝对值不等式对条件中的不等式进行化简,然后利用充分性和必要性的判断规律来判断即可.
解析解法一:由|x-1|<3,得-3由-2所以“|x-1|<3”是“x<4”的充分不必要条件.
解法二:由|x-1|<3,得-3由于(-2,4)⫋(-∞,4),所以“|x-1|<3”是“x<4”的充分不必要条件.故选A.
答案 A
点评对于有关不等式充分必要条件的判断可以转化为集合之间的包含关系:条件P表示的不等式记为集合A,条件Q表示的不等式记为集合B,如果A⫋B,则P是Q的充分不必要条件,Q是P的必要不充分条件,通俗的说:“小范围可以推出大范围,反之则不成立”,如果A=B,则P是Q的充要条件.
6.考向函数的概念,二次函数的图象和性质
分析把函数f(x)=1mx2+mx+4的定义域为全体实数转化为mx2+mx+4=0无实数解,然后对m进行分类讨论,结合二次函数性质即可求解.
解析由函数f(x)=1mx2+mx+4的定义域为全体实数,得mx2+mx+4≠0对任意实数都成立,即mx2+mx+4=0无实数解,
当m=0时,恒成立;当m≠0时,Δ<0,即m2-16m<0⇒m∈(0,16).所以0≤m<16.故选C.
答案 C
点评本题考查由函数定义域确定参数范围,二次函数图象与判别式的关系,解题过程中注意“真假二次”的讨论,这也是易错点.
7.考向函数的概念、函数性质的应用
分析先求得函数的定义域,然后判断出函数为奇函数,再用特殊值排除不正确选项,从而确定正确选项.
解析首先函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且f(-x)=-1-x2x2=-f(x),所以函数为奇函数,图象关于原点对称,排除B和C,当00,排除D,只有A选项适合,所以A正确.故选A.
答案 A
点评本题考查函数的图象与性质,可以利用具有奇偶性的函数图象的性质,还可以代入特殊点进行判断,考查推理论证能力.
8.考向函数的概念,换元法的应用
分析利用换元法转化为求二次函数的最值.
解析令t=x+1,t≥0,则x=t2-1,则g(t)=t2-t-1=t-122-54,故函数的最小值在t=12处取得,g(t)min=-54.
故选A.
答案 A
点评本题考查利用换元法求解析式,二次函数在给定区间的最值的求法,换元法是要求我们必须掌握的方法,在其他的问题当中也会经常用到,体现了转化与化归数学思想的应用.
9.考向一元二次不等式的解法
分析结合因式分解法先求得两根,再结合解集中恰有两正整数根,进一步判断a的取值范围.
解析 x2-(a+1)x+a<0⇔(x-a)(x-1)<0,因为解集中恰好有两个正整数,所以a>1,不等式的解集为(1,a),则解集中恰有两正整数为2,3,故a∈(3,4].故选C.
答案 C
点评本题考查由解集分布情况来求解参数范围,一元二次不等式的解法,易错点为在端点处等号取不取能不能精确判断,要避免此类错误可采取试值法,把端点值代入检验.
10.考向分段函数的性质,函数的值域,数形结合思想
分析可将f2(x)-bf(x)=0转化为f(x)[f(x)-b]=0,可得f(x)=0或f(x)=b,作出函数f(x)=-x+1,x≤0,-x2+2x,x>0的图象,采用数形结合法求解即可.
解析由方程f2(x)-bf(x)=0⇒f(x)[f(x)-b]=0,方程的根有两种情况:f(x)=0或f(x)=b,当f(x)=0时,x=2,当f(x)=b时,画出f(x)的图象,如图:
要求f(x)=b的解的个数,即等价于判断f(x)的图象与直线y=b的交点的个数,由图可知交点个数为2.
综上所述,f2(x)-bf(x)=0的根的个数为3.故选B.
答案 B
点评本题考查函数与方程的综合应用,重点是数形结合思想的运用.求解函数与方程的根的个数,可通过数形结合思想,转化为函数图象的交点个数.通过数形结合增加了直观性,从而降低了思维难度.
11.考向函数的概念
分析根据两个函数的定义域和对应关系是否都相同,来判断是不是同一函数.
解析对于A,f(x)=|x|,g(x)=x2=|x|,两个函数的定义域和对应关系都相同,表示同一函数;
对于B,f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为[0,+∞),两个函数的定义域不同,不是同一函数;
对于C,f(x)=x+1(x≠1)的定义域为{x|x≠1},g(x)=x+1的定义域为R,两个函数的定义域不同,不是同一函数;
对于D,f(x)的定义域为{x|x≥1},g(x)的定义域为{x|x≤-1或x≥1},两个函数的定义域不同,不是同一函数.
故选A.
答案 A
点评判断两个函数是不是同一函数,可以先从定义域进行分析,若定义域不同,则不是同一函数;若定义域相同,则再分析对应关系,如果对应关系相同,则为同一函数,如果对应关系不同,则不是同一函数.
12.考向一元二次方程根与系数的关系
分析画出函数y=(x-2)(x-3)的图象,然后对四个选项逐一分析,由此得出正确结论的选项.
解析画出二次函数y=(x-2)(x-3)的图象,如下图所示,当m=0时,x1=2,x2=3,故A选项结论正确;根据二次函数图象的对称性可知,当x=52时,y取得最小值-14,要使y=(x-2)(x-3)=m有两个不相等的实数根,则需m>-14,故B选项结论正确;当m>0时,根据图象可知x1<2,x2>3,故C选项结论错误;由(x-2)(x-3)=m展开得x2-5x+6-m=0,根据一元二次方程根与系数的关系得x1+x2=5,x1x2=6-m,所以y=(x-x1)(x-x2)+m=x2-(x1+x2)x+x1x2+m=x2-5x+6=(x-2)(x-3),y=(x-x1)(x-x2)+m的图象与x轴的交点坐标为(2,0),(3,0),故D选项结论正确.
故选ABD.
答案 ABD
点评本题主要考查二次函数的图象与性质,一元二次方程根与系数的关系,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.
13.考向函数零点的概念,不等式的性质
解析对于A,若f(x)=M+N2成立,则M对于B,若f(x)=MN成立,则M对于C,若f(x)=M+N2成立,则M对于D,若M<21M+1N答案 ABD
点评本题考查函数增减性的应用,函数与方程的关系,不等式性质的应用,体现了逻辑推理、数学运算的核心素养.
14.考向函数的概念,解一元二次不等式,集合的运算
答案 [1,2)
解析集合P的本质是求函数的定义域,所以应满足:-x2+4x-3≥0,即x∈[1,3],集合Q中应满足:x∈(-2,2),则P∩Q=[1,2).
点评对于集合化简问题,一定要认清集合的代表元素,正确解出一元二次不等式的解集,对于集合的交集运算,要真正理解交集的定义.
15.考向基本不等式应用
分析根据题意,将条件x+3y=5xy转化为15y+35x=1,然后根据3x+4y=(3x+4y)15y+35x,展开后利用基本不等式即可求出3x+4y的最小值.
答案 5
解析 ∵x+3y=5xy,x>0,y>0,∴15y+35x=1,
∴3x+4y=(3x+4y)15y+35x=135+3x5y+12y5x≥135+23x5y·12y5x=5,当且仅当3x5y=12y5x,即x=2y=1时取等号.
∴3x+4y的最小值为5.
点评本题考查利用基本不等式求最值,在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,本题将条件进行转化其目的就是使其满足基本不等式中①“正”(即条件要求中字母为正数)、②“定”(不等式的另一边必须为定值)、③“等”(等号取得的条件)的条件.
16.考向函数的图象和性质,函数的奇偶性,函数的单调性
分析由当x∈[0,+∞)时都有(x1-x2)[f(x2)-f(x1)]<0成立,得函数f(x)在x∈[0,+∞)上单调递增,利用奇偶性、单调性即可比较大小.
答案 a>c>b
解析 ∵当x∈[0,+∞)时都有(x1-x2)[f(x2)-f(x1)]<0成立,∴f(x)在x∈[0,+∞)上单调递增.∵f(x)为偶函数,∴f(-5)=f(5),f(-2)=f(2),
∵5>2>12,∴f(5)>f(2)>f(12),则f(-5)>f(-2)>f12,即a>c>b.
点评本题考查抽象函数奇偶性、单调性的综合应用,除了掌握单调性的定义外,还经常会用到变式,设∀x1,x2∈[a,b]且x1≠x2,那么f(x)在[a,b]上是增函数⇔f(x2)-f(x1)x2-x1>0⇔[f(x2)-f(x1)](x2-x1)>0;还有注意利用奇偶性将自变量转化到同一单调区间再比较大小.
17.考向函数的单调性,函数的图象
答案 (-1,+∞)
解析 f(x)=2x-1x+1=2(x+1)-3x+1=2+-3x+1,根据函数图象平移法则,可理解为f(x)的图象是由h(x)=-3x图象向左平移一个单位,再向上平移两个单位得到的,f(x)的图象如图:
要使函数f(x)=2x-1x+1在区间[m,+∞)上为增函数,则需满足m∈(-1,+∞).
点评本题考查根据函数的增减性求参数范围,借助函数的图象,可以增强解题的直观性,一定要考虑函数的定义域,注意区间端点值的取舍.
18.考向不等式恒成立,命题真假的判断及其应用
分析 (1)要使不等式恒成立,则需满足(x2-2x-1)min≥m2-3m,先求函数f(x)=x2-2x-1在x∈[0,1]上的最小值,再解关于m的不等式即可;
(2)先求命题q为真命题时m的范围,再取相反的范围即可.
解析 (1)若命题p为真命题,即x∈[0,1],不等式x2-2x-1≥m2-3m恒成立,
则需满足(x2-2x-2)min≥m2-3m,
令f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2,x∈[0,1],则f(x)∈[-2,-1],即m2-3m≤-2,解得1≤m≤2.
(2)若命题q为真命题,存在x∈[-1,1],使得m≤2x-1,则需满足m≤(2x-1)max,
令g(x)=2x-1,x∈[-1,1],则g(x)∈[-3,1],∴m≤1,
∴命题q为假命题时,m的取值范围为m>1.
点评本题考查根据命题的真假求参数范围,双变量不等式的问题,不等式在某个区间上恒成立(或存在性成立)问题的转化方法是“参变分离”,化为(1)f(x)≥a恒成立⇔f(x)min≥a;存在x使f(x)≥a成立(或者是f(x)≥a有解)⇔f(x)max≥a.本题多次用到转化与化归的思想方法,注意体会并掌握.
19.考向集合的运算,函数的概念
解析 (1)函数f(x)=3-x-1x-1有意义,则3-x≥0,x-1>0,所以A=(1,3].
不等式mx2-5x+2>0的解集是M,且满足2∈M,1∉M,所以4m-8>0,m-3≤0,解得2所以B=(2,3],所以A∪B=(1,3].
(2)因为A∩C=C,所以C⊆A,
当C=⌀时,2m-1>m+1,解得m>2;
当C≠⌀时,2m-1≤m+1,2m-1>1,m+1≤3,解得1综上,m的取值范围为(1,+∞).
点评本题考查集合的交、并集运算,由集合的包含关系求解参数取值范围,关键是能够通过交集运算的结果,得到两集合之间的包含关系,建立含参数的不等式组再求解,体现了转化与化归的数学思想方法,易错点为忽略集合作为子集时,可以为空集的情况.
20.考向待定系数法,函数的单调性
分析 (1)根据奇函数的性质,f(0)=0,求得n,再根据f12=25,求得m,最后结合函数单调性的定义证明即可;
(2)可设-1解析 (1)因为函数f(x)=mx+n1+x2是定义在(-1,1)上的奇函数,所以f(0)=0,即n=0,
又因为f12=25,所以m21+14=25,解得m=1,所以m=1,n=0,经检验成立,
所以f(x)=x1+x2,x∈(-1,1),
任取x1,x2∈(-1,1),且-1因为-10,所以f(x1)-f(x2)<0,所以f(x1)(2)因为函数g(x)是定义在(-1,1)上的偶函数,且当x∈[0,1)时,g(x)=f(x)=x1+x2,
令-1所以g(x)=x1+x2,0≤x<1,-x1+x2,-1点评本题考查奇偶函数的性质,函数单调性的证明方法,由奇偶性求解函数解析式.需要注意的是由函数f(x)是奇函数可以得到f(0)=0,但反过来函数f(x)满足f(0)=0,函数f(x)不一定是奇函数.
21.考向函数的概念,函数的单调性
分析 (1)采用待定系数法即可求解;
(2)先将g(x)的表达式化简,得g(x)=ax2+(2a+6)x+3,再对参数a进行分类讨论,分为一次函数和二次函数两种情况求解,当函数为二次函数时,结合图象的开口和对称轴的关系判断即可.
解析 (1)设f(x)=mx2+bx+c(m≠0),∵f(x+1)-f(x)=4x+6,且f(0)=3,
∴m(x+1)2+b(x+1)+c-(mx2+bx+c)=4x+6,且c=3,整理可得2mx+m+b=4x+6,
∴2m=4,m+b=6,∴m=2,b=4,c=3,∴f(x)=2x2+4x+3.
(2)由(1)可知,g(x)=f(x)+(a-2)x2+(2a+2)x=ax2+(2a+6)x+3,
当a=0时,g(x)=6x+3在[-2,+∞)上单调递增,符合题意;
当a≠0时,g(x)图象的对称轴为直线x=-a+3a,由g(x)在[-2,+∞)上单调递增可得,a>0,-a+3a≤-2,解得0综上可得,a的范围为[0,3].
点评求二次函数解析式一般使用待定系数法,根据题设条件可设一般式(f(x)=ax2+bx+c(a≠0))、顶点式(f(x)=a(x-h)2+k(a≠0))、双根式(f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)),对于二次项系数含有参数的有关问题,要注意“真假二次”的讨论,这也是易错点,当函数为二次函数时,再根据函数在指定区间增减性求参数范围.
22.考向函数的概念
分析 (1)采用换元法,令x-2=t,即可求得解析式;
(2)先将表达式化简,再结合{x|f(x-2)=-(a+2)x+3-b}={a}可得Δ=(a-1)2-4b=0,a2+(a-1)·a+b=0,解方程组可求a和b的值.
解析 (1)依题意,令x-2=t,则x=t+2,∴f(t)=(t+2)2-3(t+2)+3=t2+t+1,∴f(x)=x2+x+1.
(2)依题意,方程x2-3x+3=-(a+2)x+3-b有唯一解a,即方程x2+(a-1)x+b=0有唯一解a,
∴Δ=(a-1)2-4b=0,a2+(a-1)·a+b=0,解得a=13,b=19.
点评本题考查换元法求解析式,根据集合相等求解参数,一元二次方程有唯一解等价条件的转化.
23.考向函数的概念,函数的单调性
分析 (1)先将g(1)=1代入得a+c=1,再由g(x)≤x2-x+1对一切实数x恒成立转化为(a-1)x2+x+c-1≤0对一切实数x恒成立,分类讨论即可求解;
(2)先将不等式作变形处理,可得1m2-4m2≥1-2x-3x2在x∈32,+∞上有解,即等价于1m2-4m2≥1-2x-3x2min,设y=1-2x-3x2,x∈32,+∞,求得y的最小值,再解关于m的不等式即可.
解析 (1)∵二次函数g(x)=ax2+c(a,c∈R),g(1)=1,∴a+c=1①,
又∵不等式g(x)≤x2-x+1对一切实数x恒成立,
∴(a-1)x2+x+c-1≤0对一切实数x恒成立,
当a-1=0时,x+c-1≤0不恒成立,∴a=1不合题意,舍去;
当a-1≠0时,要使得(a-1)x2+x+c-1≤0对一切实数x恒成立,
需要满足a-1<0,Δ=1-4(a-1)(c-1)≤0,②
∴由①②解得a=12,c=12,
故函数g(x)的解析式为g(x)=12x2+12.
(2)把g(x)=12x2+12代入函数h(x)=2g(x)-2,得h(x)=x2-1.
由关于x的不等式h(x-1)+4h(m)≤hxm-4m2h(x)在x∈32,+∞上有解,
得1m2-4m2≥1-2x-3x2在x∈32,+∞上有解,
∴1m2-4m2≥1-2x-3x2min.
设y=1-2x-3x2,x∈32,+∞,
则y=-31x+132+43,1x∈0,23,
∴当1x=23时,ymin=-53,
∴1m2-4m2≥-53,
解得0故实数m的取值范围为-32,0∪0,32.
点评本题考查二次函数解析式的求法,二次函数恒成立问题的转化,双变量问题求解参数范围,不等式在某个区间上恒成立(或存在性成立)问题的转化方法是“参变分离”,化为(1)f(x)≥a恒成立⇔f(x)min≥a;存在x使f(x)≥a成立(或者是f(x)≥a有解)⇔f(x)max≥a;(2)f(x)≤b恒成立⇔f(x)max≤b;存在x使f(x)≤b成立(或者是f(x)≤b有解)⇔f(x)min≤b.解题关键在于能对恒成立和能成立问题作等价转化,本题多次用到转化与化归的思想方法,注意体会并掌握.
23.考向函数应用题,不等式的性质
分析根据题意,先设甲用的时间为t1,乙用的时间为t2,步行速度为a,跑步速度为b,距离为s,再分别表示出甲、乙所用时间的关系式,采用作差法进一步判断大小即可.
解析设甲用的时间为t1,乙用的时间为t2,步行速度为a,跑步速度为b,距离为s,则t1=s2a+s2b=sa+sb2ab,t22a+t22b=s,∴t2=2sa+b,∴t1-t2=sa+sb2ab-2sa+b=s×a+b2ab-2a+b=s·(a-b)22ab(a+b)>0,即t1>t2,∴乙先到达五四广场.
点评本题主要考查函数模型在实际生活中的运用,解题的关键是要把实际问题转化为数学问题,正确写出表达式,有效表达出时间关于速度的关系式是解题的关键,作差法常用于比较两个数的大小关系.