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4、山东省潍坊市2019-2020学年度高一上学期期中考试数学试题（教师版）
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这是一份4、山东省潍坊市2019-2020学年度高一上学期期中考试数学试题（教师版），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
山东省潍坊市2019-2020学年度高一上学期期中考试数学试题18
2019~2020学年度高一年级模块检测试题
高一数学
满分:150分 时间:120分钟
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(★)已知全集U={-1,0,1,2},A={-1,1},则集合∁UA
= ( )
A.{0,2} B.{-1,0}
C.{0,1} D.{1,2}
考向 集合的运算
思路分析 根据全集及补集的定义求出A的补集即可.
解析 全集U={-1,0,1,2},A={-1,1},
∴∁UA={0,2},故选A.
答案 A
点评 本题考查集合补集的运算,在求补集时要掌握好补集的定义及补集的性质A∩(∁UA)=⌀,A∪(∁UA)=U的应用,不要出现错误.
2.(★★)命题“∃x∈(0,+∞),x+1x≥3”的否定是 ( )
A.∃x∈(0,+∞),x+1x≤3
B.∃x∈(0,+∞),x+1x<3
C.∀x∈(0,+∞),x+1x<3
D.∀x∈(0,+∞),x+1x≤3
考向 存在量词命题的否定
思路分析 直接利用存在量词命题的否定是全称量词命题,写出命题的否定命题即可.
解析 因为存在量词命题的否定是全称量词命题,所以命题“∃x∈(0,+∞),x+1x≥3”的否定是“∀x∈(0,+∞),x+1x<3”.故选C.
答案 C
点评 本题易错点在于误认为全称量词命题与存在量词命题的否定只改变命题量词,或只否定结论导致错误.全称量词命题与存在量词命题的否定,可以将条件和结论看成两部分,分别进行处理,同时在否定结论时注意结论的否定形式.
3.(★★)设x∈R,则“|x-3|<1”是“x>2”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
考向 充分条件与必要条件的判断; 解绝对值不等式
思路分析 先通过解绝对值不等式对条件中的不等式进行化简,然后利用充分性和必要性的判断规律来判断即可.
解析 解法一:由|x-3|<1,解得-12,反之不成立,
所以“|x-3|<1”是“x>2”的充分不必要条件.
解法二:由|x-3|<1,解得-1
答案 A
点评 对于有关不等式充分必要条件的判断可以转化为集合之间的包含关系:条件P表示的不等式记为集合A,条件Q表示的不等式记为集合B,如果A⫋B,则P是Q的充分不必要条件,Q是P的必要不充分条件,通俗的说:“小范围可以推出大范围,反之则不成立”.如果A=B,则P是Q的充要条件.
4.(★★)下列各式运算正确的是 ( )
A.a2+4a+5=(a+1)(a+5)
B.2a2+4ab+9b2=(2a+3b)2
C.a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
D.a3-b3=(a-b)(a2-ab+b2)
思路分析 根据多项式的乘法和完全平方公式,对四个选项通过计算逐一进行判断,排除不正确的选项即可.
解析 A选项,(a+1)(a+5)=a2+5a+a+5=a2+6a+5,故错误;
B选项,(2a+3b)2=4a2+12ab+9b2,故错误;
C选项,(a+b)(a2-ab+b2)=a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b3=a3+b3,故正确;
D选项,(a-b)(a2-ab+b2)=a3-a2b+ab2-a2b+ab2-b3=a3-2a2b+2ab2-b3,故错误.
故选C.
答案 C
点评 本题主要考查多项式的乘法运算,意在告诉学生在掌握公式时一定要记得牢、记得准确,不能记混.
5.(★★)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在(0,+∞)上增函数,设a=f(-3),b=f(π),c=f(-1),则a,b,c的大小关系是 ( )
A.a
思路分析 根据函数的奇偶性将要比较的几个自变量转化到同一单调区间,再利用函数的单调性进行比较得到答案.
解析 因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(-x)=f(x),故f(-3)=f(3),f(-1)=f(1),
又因为f(x)在(0,+∞)上是增函数,且1<3<π,
所以f(1)
点评 本题主要考查利用函数的奇偶性、单调性比较函数值的大小,应根据题中所给条件,将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性来解决,体现了转化与化归的数学思想.
6.(★★)我国的烟花名目繁多,其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h(单位:m)与时间t(单位:s)之间的关系为h(t)=-4.9t2+14.7t+17,那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面的高度约为 ( )
A.26米 B.28米
C.30米 D.32米
考向 二次函数的图象和性质
思路分析 把实际问题转化为数学问题,就是求二次函数何时取得最大值问题,通过配方写成顶点式即可求解.
解析 根据题意,h(t)=-4.9t2+14.7t+17=-4.9(t-1.5)2+28.025,所以,当t=1.5时,h(t)取得最大值,即此刻距地面的高度最高,约为28米.故选B.
答案 B
点评 本题主要考查函数模型在实际生活中的运用,解题的关键是要把实际问题转化为数学问题,通过解数学问题得到实际问题的解,体现了数学建模的核心素养.
7.(★★)∀x∈R,不等式(m2-4)x2+(m-2)x+1m+2>0恒成立,则实数m的取值范围是 ( )
A.[2,6] B.[2,6)∪{-2)
C.(-∞,-2)∪[2,6) D.[2,6)
考向 二次函数的图象和性质
思路分析 根据题意,可知m≠-2.当m2-4=0,即m=2时,不等式恒成立,当m2-4≠0时,根据m2-4>0,Δ<0,求出m的取值范围,再把这两种情况并在一起,即可得到实数m的取值范围.
解析 ∵∀x∈R,不等式(m2-4)x2+(m-2)x+1m+2>0恒成立,∴m≠-2.
①当m2-4=0,即m=2(m=-2舍去)时,
有14>0,∀x∈R恒成立,
∴m=2.
②当m2-4≠0时,有
m2-4>0,Δ=(m-2)2-4(m2-4)·1m+2<0,
解得2
故选D.
答案 D
点评 本题主要考查含参数的一元二次不等式恒成立的问题,理解并掌握“三个二次”的关系,结合判别式不难解决,易错点是忽略对二次项系数等0的讨论,也就是“真假二次”的问题.
8.(★★)读书能陶冶我们的情操,给我们知识和智慧.我国古代数学名著《算法统宗》中有以下问题:毛诗春秋周易书,九十四册共无余,毛诗一册三人读,春秋一册四人呼,周易五人读一本,要分每样几多书,就见学生多少数,请君布算莫踌躇.由此可推算,学生人数为 ( )
A.120 B.130
C.150 D.180
思路分析 根据题意,设出3种书每本的数量,设出学生人数,根据已知条件列方程组,解方程组即可.
解析 设毛诗x本,春秋y本,周易z本,学生人数为m,则
x+y+z=94,3x=m,4y=m,5z=m,解得m=120,x=40,y=30,z=24.故选A.
答案 A
9.(★★★)已知a,b为正实数,则下列判断中正确的个数是 ( )
①若1a<1b,则a>b;
②若a+b=1,则1a+4b的最小值是10;
③a+1ab+1b≥4;
④函数y=a+1a+1的最小值为1.
A.1 B.2
C.3 D.4
考向 基本不等式应用
思路分析 直接利用基本不等式的性质或者利用比较法分析每个判断,即可得到答案.
解析 对于①,由于a>0,b>0,
由1a<1b,得1a-1b=b-aab<0,
即a>b>0,故a>b,所以①正确.
对于②,由于a>0,b>0,
1a+4b=1a+4b(a+b)=5+ba+4ab≥5+2ba·4ab=9,
当且仅当ba=4ab,即b=2a=23时等号成立,故②错误.
对于③,由于a>0,b>0,
所以a+1a≥2,b+1b≥2,
根据不等式的性质,有a+1ab+1b≥4,
故③正确.
对于④,由于a>0,b>0,
所以y=a+1a+1=a+1+1a+1-1
≥2(a+1)·1a+1-1=2-1=1,
但是由于a+1=1a+1时,a=0或a=-2,
不符合题意,故等号不成立,
所以④错误.
综上所述,正确的判断个数为2个.
故选B.
答案 B
点评 本题考查证明不等式的常用方法:比较法、综合法,对于多个判断的选择,要判断一个命题正确,应该给出简单证明,要判断一个命题错误,要能够举出反例,这样才能保证结果的准确性,体现了逻辑推理、数学运算的核心素养,在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,本题将条件进行转化,其目的就是使其满足基本不等式中①“正”(各项均为正数)、②“定”(各项之和或各项之积为定值)、③“等”(验证等号取得的条件)的条件.
10.(★★)定义在R上的奇函数f(x)在[0,+∞)上是减函数,且f(-2)=1,则满足-1≤f(x-1)≤1的x的取值范围是 ( )
A.[-2,2] B.[-2,1]
C.[-1,3] D.[0,2]
考向 函数的图象和性质;函数的奇偶性;函数的单调性
思路分析 根据函数奇偶性和单调性的性质,判断出函数在R上的单调性,利用单调性即可得出结果.
解析 ∵y=f(x)为定义在R上的奇函数,且在[0,+∞)上是减函数,
∴y=f(x)在(-∞,0)上也是减函数,则函数y=f(x)在R上是减函数,
∵f(-2)=1,∴f(2)=-f(-2)=-1,
则-1≤f(x-1)≤1等价于f(2)≤f(x-1)≤f(-2),
又∵函数y=f(x)在R上是减函数,
∴-2≤x-1≤2,即-1≤x≤3,
所以满足-1≤f(x-1)≤1的x的取值范围为[-1,3].
故选C.
答案 C
点评 本题主要考查了函数奇偶性和单调性的应用,以及利用抽象函数的单调性解不等式问题,有关抽象函数的不等式一定要根据题设中所给条件以及单调性来脱去“f ”得到关于x的不等式,这也是解这类题的关键步骤.
11.(★★)关于x的方程5x2-(a+9)x+a2-a-2=0的两根分别在区间(0,1)和(1,2)内,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-3,-1)
B.(1-7,-1)∪(3,1+7)
C.(-2,-1)∪(2,3)
D.(2,6)
考向 函数零点的概念
思路分析 令f(x)=5x2-(a+9)x+a2-a-2,则原方程的两根分别在(0,1)和(1,2)内,转化为函数f(x)恰好有两个不同的零点分别在(0,1)和(1,2)内,然后利用零点存在性定理列出不等式组,从而可得a的取值范围.
解析 令f(x)=5x2-(a+9)x+a2-a-2,
∵关于x的方程5x2-(a+9)x+a2-a-2=0的两根分别在(0,1)和(1,2)内,
则f(0)=a2-a-2>0,f(1)=5-(a+9)+a2-a-2<0,f(2)=20-2(a+9)+a2-a-2>0,
解得1-7
故选B.
答案 B
点评 本题考查函数与方程的应用,把方程的根的分布问题转化为函数零点的问题,进一步转化为二次函数图象与x轴有两个不同的交点问题,根据零点存在性定理,利用数形结合思想使问题得到解决.
12.(★★★)已知函数f(x)满足f(2-x)+f(2+x)=6,g(x)=3x-1x-2,且f(x)与g(x)的图象交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(x8,y8),则x1+x2+…+x8+y1+y2+…+y8的值为 ( )
A.20 B.24
C.36 D.40
考向 函数的对称性
思路分析 由f(2-x)+f(2+x)=6,知函数f(x)的图象关于(2,3)成中心对称,g(x)=3x-1x-2=3+5x-2,图象关于点(2,3)成中心对称,故f(x)图象与g(x)图象的交点关于(2,3)成中心对称,即可求解.
解析 因为函数f(x)满足f(2-x)+f(2+x)=6,
所以函数f(x)的图象关于点(2,3)成中心对称,
又因为g(x)=3x-1x-2=3+5x-2,
所以g(x)的图象也关于点(2,3)成中心对称,
因此,f(x)图象与g(x)图象的交点(x1,y1),(x2,y2),…,(x8,y8)关于点(2,3)成中心对称,
所以x1+x2+…+x8+y1+y2+…+y8
=(x1+x2+…+x8)+(y1+y2+…+y8)
=12×8×(4+6)=40.
故选D.
答案 D
点评 本题主要考查函数图象的性质,包括函数图象的平移变换以及函数图象的对称性:若函数的图象关于x=a对称,则有f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x),若函数的图象关于点(a,0)中心对称,则有f(a+x)=-f(a-x)或f(x)=-f(2a-x),若函数的图象关于点(a,b)中心对称,则有f(a+x)+f(a-x)=2b或f(x)+f(2a-x)=2b,掌握这些常用的结论,有助于我们快速解决一些较难的问题.
第Ⅱ卷(非选择题,90分)
二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(★★)函数f(x)=x+2+1x-1的定义域是 .
考向 函数的概念
思路分析 由根式内部的代数式大于或等于0,分式的分母不等于0联立得不等式组,求解x的取值范围即可.
解析 由x+2≥0,x-1≠0,得x≥-2且x≠1,
所以函数y=x+2+1x-1的定义域是[-2,1)∪(1,+∞).
答案 [-2,1)∪(1,+∞)
点评 本题考查具体函数定义域的求解,解题时要熟悉一些常见基本初等函数求定义域的原则:分式(分母不为零)、二次根式(二次根式里面的整体大于或等于零)、对数(对数的底数大于零且不等于1、真数大于零)、零指数幂的底数不等于零.
14.(★★)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(1-x),则f(-2)= .
考向 函数的概念;函数的奇偶性
思路分析 根据奇函数的定义f(-x)=-f(x),先求出f(2)的值,进而可求出f(-2)的值.
解析 ∵函数f(x)是定义域为R的奇函数,
∴f(-x)=-f(x),∴f(-2)=-f(2)=-2(1-2)=2.
答案 2
点评 本题主要考查奇函数的定义,准确理解并运用奇函数的定义是解题的关键.
15.(★★)已知不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2
思路分析 本题考查一元二次不等式的解法及应用,首先利用一元二次不等式和一元二次方程的关系,求出a、b、c的关系,再化简所求解的不等式求解即可.
解析 由不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|2
则2+6=-ba,2×6=ca,
解得b=-8a,c=12a,
所以不等式cx2+bx+a<0,
即为12ax2-8ax+a<0,得12x2-8x+1>0,
解得x<16或x>12,
所以不等式的解集为xx<16或x>12.
答案 xx<16或x>12
点评 本题考查了一元二次不等式的解法,运用根与系数之间的关系即可求出结果,解答时也可以直接把2和6代入方程得到关于a、b、c的关系,然后再代入所求不等式进行求解,熟练掌握“三个二次”的关系是正确解答此类题的关键.
16.(★★★)在平面直角坐标系xOy中,对于点A(a,b),若函数y=f(x)满足:∀x∈[a-1,a+1],都有y∈[b-1,b+1],则称这个函数是点A的“界函数”.已知点B(m,n)在函数y=-12x2的图象上,若函数y=-12x2是点B的“界函数”,则m的取值范围是 .
考向 分段函数的性质;函数的值域;数形结合思想
思路分析 根据题意,结合新定义对m分成m≤-1,-1
由于点B在函数y=-12x2的图象上,
所以n=-12m2,
依题意∀x∈[m-1,m+1],都有y∈[n-1,n+1],
即∀x∈[m-1,m+1],都有y∈-12m2-1,-12m2+1,
当m+1≤0,即m≤-1时,
函数y=-12x2在[m-1,m+1]上递增,
最小值为-12(m-1)2,最大值为-12(m+1)2,
所以-12m2-1≤-12(m-1)2<-12(m+1)2≤-12m2+1,
此不等式在m≤-1时无解.
当m-1<0
最小值在区间[m-1,m+1]的端点取得,
故-12m2-1≤0≤-12m2+1,-12m2-1≤-12(m-1)2≤-12m2+1,-12m2-1≤-12(m+1)2≤-12m2+1
解得-12≤m≤12.
当m-1≥0,即m≥1时,
函数y=-12x2在[m-1,m+1]上递减,
最小值为-12(m+1)2,最大值为-12(m-1)2,
所以-12m2-1≤-12(m+1)2<-12(m-1)2≤-12m2+1,
此不等式在m≥1时无解.
综上所述,m的取值范围是-12,12.
答案 -12,12
点评 本题考查函数新定义的理解和运用,根据题中所给函数的性质合理进行分类讨论,转化为二次函数在闭区间求最值问题,体现了分类讨论、转化与化归思想方法的运用.
三、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(★★)(10分)已知集合A={x|-2≤x≤6},B={x|-3≤x≤5}.
(1)求A∩B,A∪B;
(2)若C={x|m+1≤x≤2m-1},C⊆(A∩B),求实数m的取值范围.
考向 集合的运算
思路分析 (1)根据交集、并集的定义直接求出A∩B、A∪B即可;
(2)根据C={x|m+1≤x≤2m-1},C⊆(A∩B),及(1)中A∩B的结果,按照C=⌀,或C≠⌀分情况讨论列出不等式组,求出实数m的取值范围.
解析 (1)由已知可得A∩B={x|-2≤x≤5}, (2分)
A∪B={x|-3≤x≤6}. (4分)
(2)①若C=⌀,则m+1>2m-1,∴m<2; (6分)
②若C≠⌀,则m+1≤2m-1,m+1≥-2,2m-1≤5,解得2≤m≤3, (9分)
综上可得,m≤3. (10分)
点评 本题主要考查了集合的运算,根据集合的包含关系求解参数问题,对于子集类问题的求解要注意空集的情况,空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集,这也是易错点.
18.(★★)(12分)已知函数f(x)=2x-ax+1(a>0),若不等式f(x)≥-1的解集为(-∞,-1)∪[0,+∞).
(1)求实数a的值;
(2)证明函数f(x)在[0,+∞)上是增函数.
考向 函数的单调性
思路分析 (1)由题意得2x-ax+1≥-1的解集为(-∞,-1)∪[0,+∞),首先把分式不等式等价转化为一元二次不等式,根据一元二次不等式的解集规律求出实数a的值即可;
(2)由(1)可求出f(x),运用定义法证明:任取x1,x2∈[0,+∞),设0≤x1
变形2x-ax+1+1=3x-a+1x+1≥0, (2分)
这等价于(3x-a+1)(x+1)≥0且x+1≠0,
∵a>0,∴a-13>-13>-1,∴解得x<-1或x≥a-13, (4分)
所以a-13=0,解得a=1. (6分)
(2)证明:由(1)得f(x)=2x-1x+1,
任取x1,x2∈[0,+∞),且x10, (7分)
那么f(x2)-f(x1)=2x2-1x2+1-2x1-1x1+1=3(x2-x1)(x1+1)(x2+1), (10分)
∵x2-x1>0,(x1+1)(x2+1)>0,
∴f(x2)-f(x1)>0, (11分)
∴函数f(x)在[0,+∞)上是增函数. (12分)
点评 本题主要考查分式不等式和一元二次不等式的解法,解分式不等式首先进行移项通分将一边化为0的形式,然后将分式不等式f(x)g(x)≤0或f(x)g(x)≥0进行同解变形转化为整式不等式f(x)·g(x)≤0,g(x)≠0或f(x)·g(x)≥0,g(x)≠0,再解出x的解集即可,体现了转化与化归的数学思想,还考查了利用定义证明函数单调性,熟练掌握证明单调性的一般步骤,体现了逻辑推理的核心素养.
19.(★★)(12分)已知函数f(x)=-2x+3(0≤x<2),x2-4x+3(x≥2),F(x)=f(|x|).
(1)判断F(x)的奇偶性,在给定的平面直角坐标系中,画出函数F(x)的大致图象,并写出该函数的单调区间;
(2)若函数H(x)=F(x)-t有两个零点,求t的取值范围.
考向 函数的解析式;函数的奇偶性;函数的单调性
思路分析 (1)利用奇偶性的定义,判断出F(x)为偶函数,根据函数f(x)的解析式以及F(x)图象的对称性,画出F(x)的图象,根据图象写出F(x)的单调区间;
(2)令H(x)=F(x)-t=0,F(x)=t,结合F(x)的图象与直线y=t有两个交点,求得t的取值范围.
解析 (1)由题意知F(x)的定义域为R, (1分)
又F(-x)=f(|-x|)=f(|x|)=F(x),
∴F(x)在R上是偶函数. (3分)
函数F(x)的大致图象如下图:
(7分)
观察图象可得,函数F(x)的单调递增区间为(-2,0),(2,+∞);单调递减区间为(-∞,-2),(0,2). (9分)
(2)当H(x)=F(x)-t有两个零点时,
即F(x)的图象与直线y=t有两个交点,
观察函数图象可得t>3或t=-1. (12分)
点评 本题主要考查函数的奇偶性、单调性,考查函数图象的对称性以及函数零点问题,体现了数形结合的数学思想.
20.(★★)(12分)已知函数f(x)=x2+(1-a)x-a(a∈R).
(1)解关于x的不等式f(x)<0;
(2)若∀a∈[-1,1],f(x)≥0恒成立,求实数x的取值范围.
考向 解一元二次不等式
思路分析 (1)不等式x2+(1-a)x-a<0通过分解因式得到(x-a)(x+1)<0,然后对a与-1的大小关系分类讨论即可;
(2)∀a∈[-1,1],f(x)≥0恒成立,把不等式看成关于a的不等式,构造关于a的一次函数,利用一次函数的单调性得到关于x的不等式组,求出x的取值范围即可.
解析 (1)解不等式x2+(1-a)x-a<0等价于
(x-a)(x+1)<0, (2分)
当a<-1时,不等式的解集为(a,-1);
当a=-1时,不等式的解集为⌀;
当a>-1时,不等式的解集为(-1,a). (6分)
(2)x2+(1-a)x-a=-a(x+1)+x2+x,
设g(a)=-a(x+1)+x2+x,a∈[-1,1], (8分)
要使g(a)≥0在a∈[-1,1]上恒成立,
只需g(-1)≥0,g(1)≥0, (9分)
即x2+2x+1≥0,x2-1≥0,
解得x≥1或x≤-1, (11分)
所以x的取值范围为{x|x≤-1或x≥1}. (12分)
点评 本题主要考查含参数的一元二次不等式问题,体现了分类讨论数学思想的应用,关于多元不等式恒成立问题,一般给出哪个变量的取值范围,就把哪个变量看做主元,其他的看做参数,根据所得主元的函数性质列出不等式求解,体现了转化与化归的数学思想.
21.(★★)(12分)第二届中国国际进口博览会于2019年11月5日至10日在上海国家会展中心举行,来自151个国家和地区的3617家企业参展,规模和品质均超过首届.更多新产品、新技术、新服务“全球首发,中国首展”,专(业)精(品)尖(端)特(色)产品精华荟萃.某跨国公司带来了高端空调模型参展,通过展会调研,中国甲企业计划在2020年与该跨国公司合资生产此款空调.生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元,每生产x千台空调,需另投入资金R(x)万元,且R(x)=10x2+ax,0
(2)2020年产量为多少(千台)时,企业所获年利润最大?最大年利润是多少?
注:利润=销售额-成本
考向 函数应用题;二次函数;基本不等式
思路分析 (1)通过利润=销售额-成本,分0
所以a=300, (1分)
当0
=-10x2+600x-260; (2分)
当x≥40时,
W(x)=900x-901x2-9450x+10000x-260=-x2+9190x-10000x, (4分)
所以W(x)=-10x2+600x-260,0
当x≥40时,W(x)=-x2+9190x-10000x
=-x-10000x+9190=-x+10000x+9190,
因为x>0,所以x+10000x≥210000=200,
当且仅当x=10000x,即x=100时等号成立,
此时W(x)≤-200+9190=8990,
所以W(x)max=8990万元, (10分)
因为8740<8990, (11分)
所以2020年产量为100(千台)时,企业所获利润最大,最大利润是8990万元. (12分)
点评 本题主要考查分段函数模型在实际生活中的运用,解题的关键是要把实际问题转化为数学问题,考查二次函数、基本不等式求最值有关问题的求解,着重考查了分析问题和解决问题的能力,体现了数学建模的核心素养.
22.(★★)(12分)已知二次函数y=f(x)满足:①∀x∈R,有f(-1-x)=f(-1+x);②f(0)=-3;③y=f(x)的图象与x轴两交点间的距离为4.
(1)求y=f(x)的解析式;
(2)记g(x)=f(x)+kx+5,x∈[-1,2].
(Ⅰ)若g(x)为单调函数,求k的取值范围;
(Ⅱ)记g(x)的最小值为h(k),讨论h(t2-4)=λ的零点个数.
考向 函数的概念;函数的单调性;函数与方程的关系
思路分析 (1)设出二次函数解析式,根据已知条件得到二次函数图象的对称轴、与y轴交点、根与系数的关系,由此列方程组,解方程组求得二次函数解析式;
(2)(Ⅰ)求得g(x)的解析式,根据其对称轴与区间[-1,2]的位置关系,求得k的取值范围;(Ⅱ)将k分成k≥0,-6
由题意知图象的对称轴为x=-1=-b2a, ①
f(0)=c=-3, ② (1分)
设f(x)=0的两个根分别为x1,x2,
则x1+x2=-ba,x1x2=ca,
|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=b2-4ac|a|=4,③ (2分)
由①②③解得a=1,b=2,c=-3,
∴f(x)=x2+2x-3. (3分)
(2)g(x)=x2+(k+2)x+2,其图象的对称轴为x=-k+22,
(Ⅰ)由题意知:-k+22≤-1或-k+22≥2, (4分)
∴k≥0或k≤-6. (5分)
(Ⅱ)①当k≥0时,对称轴x=-k+22≤-1,
g(x)在[-1,2]上单调递增,
h(k)=g(-1)=-k+1,
②当-6
③当k≤-6时,对称轴x=-k+22≥2,
g(x)在[-1,2]单调递减, (7分)
h(k)=g(2)=2k+10,
∴h(k)=-k+1,k≥0,-k2-4k+44,-6
ⅰ)当λ=1时,即h(m)=1,∴m=-4或m=0,
当t2-4=-4时,解得t=0,
当t2-4=0时,解得t=±2,
∴方程h(t2-4)=λ有3个零点.
ⅱ)当λ<1时,h(m)=λ有唯一解m1>0,t2-4=m1>0,
t=±m1+4,∴方程h(t2-4)=λ有2个零点.
ⅲ)当1<λ<2时,h(m)=λ有两个不同的零点m2,m3,令m2
∴t2-4=m2时,解得t=±m2+4,
t2-4=m3时,解得t=±m3+4,∴方程h(t2-4)=λ有4个不同的零点.
ⅳ)当λ=2时,即h(m)=2,∴m=-2=t2-4,
∴t=±2,∴方程h(t2-4)=λ有2个零点.
ⅴ)当λ>2时,h(m)=λ无解. (11分)
综上可得:
λ>2时无零点;
1<λ<2时,有4个零点;
λ=1时,有3个零点;
λ=2或λ<1时,有2个零点. (12分)
点评 本题主要考查利用待定系数法并根据二次函数的性质求得二次函数解析式,考查含有参数的二次函数在给定区间上的单调性讨论并求其最值问题;考查函数零点问题的求解策略,考查数形结合的数学思想.
山东省潍坊市2019-2020学年度高一上学期期中考试数学试题18
2019~2020学年度高一年级模块检测试题
高一数学
满分:150分 时间:120分钟
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(★)已知全集U={-1,0,1,2},A={-1,1},则集合∁UA
= ( )
A.{0,2} B.{-1,0}
C.{0,1} D.{1,2}
考向 集合的运算
思路分析 根据全集及补集的定义求出A的补集即可.
解析 全集U={-1,0,1,2},A={-1,1},
∴∁UA={0,2},故选A.
答案 A
点评 本题考查集合补集的运算,在求补集时要掌握好补集的定义及补集的性质A∩(∁UA)=⌀,A∪(∁UA)=U的应用,不要出现错误.
2.(★★)命题“∃x∈(0,+∞),x+1x≥3”的否定是 ( )
A.∃x∈(0,+∞),x+1x≤3
B.∃x∈(0,+∞),x+1x<3
C.∀x∈(0,+∞),x+1x<3
D.∀x∈(0,+∞),x+1x≤3
考向 存在量词命题的否定
思路分析 直接利用存在量词命题的否定是全称量词命题,写出命题的否定命题即可.
解析 因为存在量词命题的否定是全称量词命题,所以命题“∃x∈(0,+∞),x+1x≥3”的否定是“∀x∈(0,+∞),x+1x<3”.故选C.
答案 C
点评 本题易错点在于误认为全称量词命题与存在量词命题的否定只改变命题量词,或只否定结论导致错误.全称量词命题与存在量词命题的否定,可以将条件和结论看成两部分,分别进行处理,同时在否定结论时注意结论的否定形式.
3.(★★)设x∈R,则“|x-3|<1”是“x>2”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
考向 充分条件与必要条件的判断; 解绝对值不等式
思路分析 先通过解绝对值不等式对条件中的不等式进行化简,然后利用充分性和必要性的判断规律来判断即可.
解析 解法一:由|x-3|<1,解得-1
所以“|x-3|<1”是“x>2”的充分不必要条件.
解法二:由|x-3|<1,解得-1
答案 A
点评 对于有关不等式充分必要条件的判断可以转化为集合之间的包含关系:条件P表示的不等式记为集合A,条件Q表示的不等式记为集合B,如果A⫋B,则P是Q的充分不必要条件,Q是P的必要不充分条件,通俗的说:“小范围可以推出大范围,反之则不成立”.如果A=B,则P是Q的充要条件.
4.(★★)下列各式运算正确的是 ( )
A.a2+4a+5=(a+1)(a+5)
B.2a2+4ab+9b2=(2a+3b)2
C.a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
D.a3-b3=(a-b)(a2-ab+b2)
思路分析 根据多项式的乘法和完全平方公式,对四个选项通过计算逐一进行判断,排除不正确的选项即可.
解析 A选项,(a+1)(a+5)=a2+5a+a+5=a2+6a+5,故错误;
B选项,(2a+3b)2=4a2+12ab+9b2,故错误;
C选项,(a+b)(a2-ab+b2)=a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b3=a3+b3,故正确;
D选项,(a-b)(a2-ab+b2)=a3-a2b+ab2-a2b+ab2-b3=a3-2a2b+2ab2-b3,故错误.
故选C.
答案 C
点评 本题主要考查多项式的乘法运算,意在告诉学生在掌握公式时一定要记得牢、记得准确,不能记混.
5.(★★)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在(0,+∞)上增函数,设a=f(-3),b=f(π),c=f(-1),则a,b,c的大小关系是 ( )
A.a
思路分析 根据函数的奇偶性将要比较的几个自变量转化到同一单调区间,再利用函数的单调性进行比较得到答案.
解析 因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(-x)=f(x),故f(-3)=f(3),f(-1)=f(1),
又因为f(x)在(0,+∞)上是增函数,且1<3<π,
所以f(1)
点评 本题主要考查利用函数的奇偶性、单调性比较函数值的大小,应根据题中所给条件,将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性来解决,体现了转化与化归的数学思想.
6.(★★)我国的烟花名目繁多,其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h(单位:m)与时间t(单位:s)之间的关系为h(t)=-4.9t2+14.7t+17,那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面的高度约为 ( )
A.26米 B.28米
C.30米 D.32米
考向 二次函数的图象和性质
思路分析 把实际问题转化为数学问题,就是求二次函数何时取得最大值问题,通过配方写成顶点式即可求解.
解析 根据题意,h(t)=-4.9t2+14.7t+17=-4.9(t-1.5)2+28.025,所以,当t=1.5时,h(t)取得最大值,即此刻距地面的高度最高,约为28米.故选B.
答案 B
点评 本题主要考查函数模型在实际生活中的运用,解题的关键是要把实际问题转化为数学问题,通过解数学问题得到实际问题的解,体现了数学建模的核心素养.
7.(★★)∀x∈R,不等式(m2-4)x2+(m-2)x+1m+2>0恒成立,则实数m的取值范围是 ( )
A.[2,6] B.[2,6)∪{-2)
C.(-∞,-2)∪[2,6) D.[2,6)
考向 二次函数的图象和性质
思路分析 根据题意,可知m≠-2.当m2-4=0,即m=2时,不等式恒成立,当m2-4≠0时,根据m2-4>0,Δ<0,求出m的取值范围,再把这两种情况并在一起,即可得到实数m的取值范围.
解析 ∵∀x∈R,不等式(m2-4)x2+(m-2)x+1m+2>0恒成立,∴m≠-2.
①当m2-4=0,即m=2(m=-2舍去)时,
有14>0,∀x∈R恒成立,
∴m=2.
②当m2-4≠0时,有
m2-4>0,Δ=(m-2)2-4(m2-4)·1m+2<0,
解得2
故选D.
答案 D
点评 本题主要考查含参数的一元二次不等式恒成立的问题,理解并掌握“三个二次”的关系,结合判别式不难解决,易错点是忽略对二次项系数等0的讨论,也就是“真假二次”的问题.
8.(★★)读书能陶冶我们的情操,给我们知识和智慧.我国古代数学名著《算法统宗》中有以下问题:毛诗春秋周易书,九十四册共无余,毛诗一册三人读,春秋一册四人呼,周易五人读一本,要分每样几多书,就见学生多少数,请君布算莫踌躇.由此可推算,学生人数为 ( )
A.120 B.130
C.150 D.180
思路分析 根据题意,设出3种书每本的数量,设出学生人数,根据已知条件列方程组,解方程组即可.
解析 设毛诗x本,春秋y本,周易z本,学生人数为m,则
x+y+z=94,3x=m,4y=m,5z=m,解得m=120,x=40,y=30,z=24.故选A.
答案 A
9.(★★★)已知a,b为正实数,则下列判断中正确的个数是 ( )
①若1a<1b,则a>b;
②若a+b=1,则1a+4b的最小值是10;
③a+1ab+1b≥4;
④函数y=a+1a+1的最小值为1.
A.1 B.2
C.3 D.4
考向 基本不等式应用
思路分析 直接利用基本不等式的性质或者利用比较法分析每个判断,即可得到答案.
解析 对于①,由于a>0,b>0,
由1a<1b,得1a-1b=b-aab<0,
即a>b>0,故a>b,所以①正确.
对于②,由于a>0,b>0,
1a+4b=1a+4b(a+b)=5+ba+4ab≥5+2ba·4ab=9,
当且仅当ba=4ab,即b=2a=23时等号成立,故②错误.
对于③,由于a>0,b>0,
所以a+1a≥2,b+1b≥2,
根据不等式的性质,有a+1ab+1b≥4,
故③正确.
对于④,由于a>0,b>0,
所以y=a+1a+1=a+1+1a+1-1
≥2(a+1)·1a+1-1=2-1=1,
但是由于a+1=1a+1时,a=0或a=-2,
不符合题意,故等号不成立,
所以④错误.
综上所述,正确的判断个数为2个.
故选B.
答案 B
点评 本题考查证明不等式的常用方法:比较法、综合法,对于多个判断的选择,要判断一个命题正确,应该给出简单证明,要判断一个命题错误,要能够举出反例,这样才能保证结果的准确性,体现了逻辑推理、数学运算的核心素养,在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,本题将条件进行转化,其目的就是使其满足基本不等式中①“正”(各项均为正数)、②“定”(各项之和或各项之积为定值)、③“等”(验证等号取得的条件)的条件.
10.(★★)定义在R上的奇函数f(x)在[0,+∞)上是减函数,且f(-2)=1,则满足-1≤f(x-1)≤1的x的取值范围是 ( )
A.[-2,2] B.[-2,1]
C.[-1,3] D.[0,2]
考向 函数的图象和性质;函数的奇偶性;函数的单调性
思路分析 根据函数奇偶性和单调性的性质,判断出函数在R上的单调性,利用单调性即可得出结果.
解析 ∵y=f(x)为定义在R上的奇函数,且在[0,+∞)上是减函数,
∴y=f(x)在(-∞,0)上也是减函数,则函数y=f(x)在R上是减函数,
∵f(-2)=1,∴f(2)=-f(-2)=-1,
则-1≤f(x-1)≤1等价于f(2)≤f(x-1)≤f(-2),
又∵函数y=f(x)在R上是减函数,
∴-2≤x-1≤2,即-1≤x≤3,
所以满足-1≤f(x-1)≤1的x的取值范围为[-1,3].
故选C.
答案 C
点评 本题主要考查了函数奇偶性和单调性的应用,以及利用抽象函数的单调性解不等式问题,有关抽象函数的不等式一定要根据题设中所给条件以及单调性来脱去“f ”得到关于x的不等式,这也是解这类题的关键步骤.
11.(★★)关于x的方程5x2-(a+9)x+a2-a-2=0的两根分别在区间(0,1)和(1,2)内,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-3,-1)
B.(1-7,-1)∪(3,1+7)
C.(-2,-1)∪(2,3)
D.(2,6)
考向 函数零点的概念
思路分析 令f(x)=5x2-(a+9)x+a2-a-2,则原方程的两根分别在(0,1)和(1,2)内,转化为函数f(x)恰好有两个不同的零点分别在(0,1)和(1,2)内,然后利用零点存在性定理列出不等式组,从而可得a的取值范围.
解析 令f(x)=5x2-(a+9)x+a2-a-2,
∵关于x的方程5x2-(a+9)x+a2-a-2=0的两根分别在(0,1)和(1,2)内,
则f(0)=a2-a-2>0,f(1)=5-(a+9)+a2-a-2<0,f(2)=20-2(a+9)+a2-a-2>0,
解得1-7
故选B.
答案 B
点评 本题考查函数与方程的应用,把方程的根的分布问题转化为函数零点的问题,进一步转化为二次函数图象与x轴有两个不同的交点问题,根据零点存在性定理,利用数形结合思想使问题得到解决.
12.(★★★)已知函数f(x)满足f(2-x)+f(2+x)=6,g(x)=3x-1x-2,且f(x)与g(x)的图象交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(x8,y8),则x1+x2+…+x8+y1+y2+…+y8的值为 ( )
A.20 B.24
C.36 D.40
考向 函数的对称性
思路分析 由f(2-x)+f(2+x)=6,知函数f(x)的图象关于(2,3)成中心对称,g(x)=3x-1x-2=3+5x-2,图象关于点(2,3)成中心对称,故f(x)图象与g(x)图象的交点关于(2,3)成中心对称,即可求解.
解析 因为函数f(x)满足f(2-x)+f(2+x)=6,
所以函数f(x)的图象关于点(2,3)成中心对称,
又因为g(x)=3x-1x-2=3+5x-2,
所以g(x)的图象也关于点(2,3)成中心对称,
因此,f(x)图象与g(x)图象的交点(x1,y1),(x2,y2),…,(x8,y8)关于点(2,3)成中心对称,
所以x1+x2+…+x8+y1+y2+…+y8
=(x1+x2+…+x8)+(y1+y2+…+y8)
=12×8×(4+6)=40.
故选D.
答案 D
点评 本题主要考查函数图象的性质,包括函数图象的平移变换以及函数图象的对称性:若函数的图象关于x=a对称,则有f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x),若函数的图象关于点(a,0)中心对称,则有f(a+x)=-f(a-x)或f(x)=-f(2a-x),若函数的图象关于点(a,b)中心对称,则有f(a+x)+f(a-x)=2b或f(x)+f(2a-x)=2b,掌握这些常用的结论,有助于我们快速解决一些较难的问题.
第Ⅱ卷(非选择题,90分)
二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(★★)函数f(x)=x+2+1x-1的定义域是 .
考向 函数的概念
思路分析 由根式内部的代数式大于或等于0,分式的分母不等于0联立得不等式组,求解x的取值范围即可.
解析 由x+2≥0,x-1≠0,得x≥-2且x≠1,
所以函数y=x+2+1x-1的定义域是[-2,1)∪(1,+∞).
答案 [-2,1)∪(1,+∞)
点评 本题考查具体函数定义域的求解,解题时要熟悉一些常见基本初等函数求定义域的原则:分式(分母不为零)、二次根式(二次根式里面的整体大于或等于零)、对数(对数的底数大于零且不等于1、真数大于零)、零指数幂的底数不等于零.
14.(★★)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(1-x),则f(-2)= .
考向 函数的概念;函数的奇偶性
思路分析 根据奇函数的定义f(-x)=-f(x),先求出f(2)的值,进而可求出f(-2)的值.
解析 ∵函数f(x)是定义域为R的奇函数,
∴f(-x)=-f(x),∴f(-2)=-f(2)=-2(1-2)=2.
答案 2
点评 本题主要考查奇函数的定义,准确理解并运用奇函数的定义是解题的关键.
15.(★★)已知不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2
思路分析 本题考查一元二次不等式的解法及应用,首先利用一元二次不等式和一元二次方程的关系,求出a、b、c的关系,再化简所求解的不等式求解即可.
解析 由不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|2
则2+6=-ba,2×6=ca,
解得b=-8a,c=12a,
所以不等式cx2+bx+a<0,
即为12ax2-8ax+a<0,得12x2-8x+1>0,
解得x<16或x>12,
所以不等式的解集为xx<16或x>12.
答案 xx<16或x>12
点评 本题考查了一元二次不等式的解法,运用根与系数之间的关系即可求出结果,解答时也可以直接把2和6代入方程得到关于a、b、c的关系,然后再代入所求不等式进行求解,熟练掌握“三个二次”的关系是正确解答此类题的关键.
16.(★★★)在平面直角坐标系xOy中,对于点A(a,b),若函数y=f(x)满足:∀x∈[a-1,a+1],都有y∈[b-1,b+1],则称这个函数是点A的“界函数”.已知点B(m,n)在函数y=-12x2的图象上,若函数y=-12x2是点B的“界函数”,则m的取值范围是 .
考向 分段函数的性质;函数的值域;数形结合思想
思路分析 根据题意,结合新定义对m分成m≤-1,-1
由于点B在函数y=-12x2的图象上,
所以n=-12m2,
依题意∀x∈[m-1,m+1],都有y∈[n-1,n+1],
即∀x∈[m-1,m+1],都有y∈-12m2-1,-12m2+1,
当m+1≤0,即m≤-1时,
函数y=-12x2在[m-1,m+1]上递增,
最小值为-12(m-1)2,最大值为-12(m+1)2,
所以-12m2-1≤-12(m-1)2<-12(m+1)2≤-12m2+1,
此不等式在m≤-1时无解.
当m-1<0
最小值在区间[m-1,m+1]的端点取得,
故-12m2-1≤0≤-12m2+1,-12m2-1≤-12(m-1)2≤-12m2+1,-12m2-1≤-12(m+1)2≤-12m2+1
解得-12≤m≤12.
当m-1≥0,即m≥1时,
函数y=-12x2在[m-1,m+1]上递减,
最小值为-12(m+1)2,最大值为-12(m-1)2,
所以-12m2-1≤-12(m+1)2<-12(m-1)2≤-12m2+1,
此不等式在m≥1时无解.
综上所述,m的取值范围是-12,12.
答案 -12,12
点评 本题考查函数新定义的理解和运用,根据题中所给函数的性质合理进行分类讨论,转化为二次函数在闭区间求最值问题,体现了分类讨论、转化与化归思想方法的运用.
三、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(★★)(10分)已知集合A={x|-2≤x≤6},B={x|-3≤x≤5}.
(1)求A∩B,A∪B;
(2)若C={x|m+1≤x≤2m-1},C⊆(A∩B),求实数m的取值范围.
考向 集合的运算
思路分析 (1)根据交集、并集的定义直接求出A∩B、A∪B即可;
(2)根据C={x|m+1≤x≤2m-1},C⊆(A∩B),及(1)中A∩B的结果,按照C=⌀,或C≠⌀分情况讨论列出不等式组,求出实数m的取值范围.
解析 (1)由已知可得A∩B={x|-2≤x≤5}, (2分)
A∪B={x|-3≤x≤6}. (4分)
(2)①若C=⌀,则m+1>2m-1,∴m<2; (6分)
②若C≠⌀,则m+1≤2m-1,m+1≥-2,2m-1≤5,解得2≤m≤3, (9分)
综上可得,m≤3. (10分)
点评 本题主要考查了集合的运算,根据集合的包含关系求解参数问题,对于子集类问题的求解要注意空集的情况,空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集,这也是易错点.
18.(★★)(12分)已知函数f(x)=2x-ax+1(a>0),若不等式f(x)≥-1的解集为(-∞,-1)∪[0,+∞).
(1)求实数a的值;
(2)证明函数f(x)在[0,+∞)上是增函数.
考向 函数的单调性
思路分析 (1)由题意得2x-ax+1≥-1的解集为(-∞,-1)∪[0,+∞),首先把分式不等式等价转化为一元二次不等式,根据一元二次不等式的解集规律求出实数a的值即可;
(2)由(1)可求出f(x),运用定义法证明:任取x1,x2∈[0,+∞),设0≤x1
变形2x-ax+1+1=3x-a+1x+1≥0, (2分)
这等价于(3x-a+1)(x+1)≥0且x+1≠0,
∵a>0,∴a-13>-13>-1,∴解得x<-1或x≥a-13, (4分)
所以a-13=0,解得a=1. (6分)
(2)证明:由(1)得f(x)=2x-1x+1,
任取x1,x2∈[0,+∞),且x1
那么f(x2)-f(x1)=2x2-1x2+1-2x1-1x1+1=3(x2-x1)(x1+1)(x2+1), (10分)
∵x2-x1>0,(x1+1)(x2+1)>0,
∴f(x2)-f(x1)>0, (11分)
∴函数f(x)在[0,+∞)上是增函数. (12分)
点评 本题主要考查分式不等式和一元二次不等式的解法,解分式不等式首先进行移项通分将一边化为0的形式,然后将分式不等式f(x)g(x)≤0或f(x)g(x)≥0进行同解变形转化为整式不等式f(x)·g(x)≤0,g(x)≠0或f(x)·g(x)≥0,g(x)≠0,再解出x的解集即可,体现了转化与化归的数学思想,还考查了利用定义证明函数单调性,熟练掌握证明单调性的一般步骤,体现了逻辑推理的核心素养.
19.(★★)(12分)已知函数f(x)=-2x+3(0≤x<2),x2-4x+3(x≥2),F(x)=f(|x|).
(1)判断F(x)的奇偶性,在给定的平面直角坐标系中,画出函数F(x)的大致图象,并写出该函数的单调区间;
(2)若函数H(x)=F(x)-t有两个零点,求t的取值范围.
考向 函数的解析式;函数的奇偶性;函数的单调性
思路分析 (1)利用奇偶性的定义,判断出F(x)为偶函数,根据函数f(x)的解析式以及F(x)图象的对称性,画出F(x)的图象,根据图象写出F(x)的单调区间;
(2)令H(x)=F(x)-t=0,F(x)=t,结合F(x)的图象与直线y=t有两个交点,求得t的取值范围.
解析 (1)由题意知F(x)的定义域为R, (1分)
又F(-x)=f(|-x|)=f(|x|)=F(x),
∴F(x)在R上是偶函数. (3分)
函数F(x)的大致图象如下图:
(7分)
观察图象可得,函数F(x)的单调递增区间为(-2,0),(2,+∞);单调递减区间为(-∞,-2),(0,2). (9分)
(2)当H(x)=F(x)-t有两个零点时,
即F(x)的图象与直线y=t有两个交点,
观察函数图象可得t>3或t=-1. (12分)
点评 本题主要考查函数的奇偶性、单调性,考查函数图象的对称性以及函数零点问题,体现了数形结合的数学思想.
20.(★★)(12分)已知函数f(x)=x2+(1-a)x-a(a∈R).
(1)解关于x的不等式f(x)<0;
(2)若∀a∈[-1,1],f(x)≥0恒成立,求实数x的取值范围.
考向 解一元二次不等式
思路分析 (1)不等式x2+(1-a)x-a<0通过分解因式得到(x-a)(x+1)<0,然后对a与-1的大小关系分类讨论即可;
(2)∀a∈[-1,1],f(x)≥0恒成立,把不等式看成关于a的不等式,构造关于a的一次函数,利用一次函数的单调性得到关于x的不等式组,求出x的取值范围即可.
解析 (1)解不等式x2+(1-a)x-a<0等价于
(x-a)(x+1)<0, (2分)
当a<-1时,不等式的解集为(a,-1);
当a=-1时,不等式的解集为⌀;
当a>-1时,不等式的解集为(-1,a). (6分)
(2)x2+(1-a)x-a=-a(x+1)+x2+x,
设g(a)=-a(x+1)+x2+x,a∈[-1,1], (8分)
要使g(a)≥0在a∈[-1,1]上恒成立,
只需g(-1)≥0,g(1)≥0, (9分)
即x2+2x+1≥0,x2-1≥0,
解得x≥1或x≤-1, (11分)
所以x的取值范围为{x|x≤-1或x≥1}. (12分)
点评 本题主要考查含参数的一元二次不等式问题,体现了分类讨论数学思想的应用,关于多元不等式恒成立问题,一般给出哪个变量的取值范围,就把哪个变量看做主元,其他的看做参数,根据所得主元的函数性质列出不等式求解,体现了转化与化归的数学思想.
21.(★★)(12分)第二届中国国际进口博览会于2019年11月5日至10日在上海国家会展中心举行,来自151个国家和地区的3617家企业参展,规模和品质均超过首届.更多新产品、新技术、新服务“全球首发,中国首展”,专(业)精(品)尖(端)特(色)产品精华荟萃.某跨国公司带来了高端空调模型参展,通过展会调研,中国甲企业计划在2020年与该跨国公司合资生产此款空调.生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元,每生产x千台空调,需另投入资金R(x)万元,且R(x)=10x2+ax,0
(2)2020年产量为多少(千台)时,企业所获年利润最大?最大年利润是多少?
注:利润=销售额-成本
考向 函数应用题;二次函数;基本不等式
思路分析 (1)通过利润=销售额-成本,分0
所以a=300, (1分)
当0
=-10x2+600x-260; (2分)
当x≥40时,
W(x)=900x-901x2-9450x+10000x-260=-x2+9190x-10000x, (4分)
所以W(x)=-10x2+600x-260,0
当x≥40时,W(x)=-x2+9190x-10000x
=-x-10000x+9190=-x+10000x+9190,
因为x>0,所以x+10000x≥210000=200,
当且仅当x=10000x,即x=100时等号成立,
此时W(x)≤-200+9190=8990,
所以W(x)max=8990万元, (10分)
因为8740<8990, (11分)
所以2020年产量为100(千台)时,企业所获利润最大,最大利润是8990万元. (12分)
点评 本题主要考查分段函数模型在实际生活中的运用,解题的关键是要把实际问题转化为数学问题,考查二次函数、基本不等式求最值有关问题的求解,着重考查了分析问题和解决问题的能力,体现了数学建模的核心素养.
22.(★★)(12分)已知二次函数y=f(x)满足:①∀x∈R,有f(-1-x)=f(-1+x);②f(0)=-3;③y=f(x)的图象与x轴两交点间的距离为4.
(1)求y=f(x)的解析式;
(2)记g(x)=f(x)+kx+5,x∈[-1,2].
(Ⅰ)若g(x)为单调函数,求k的取值范围;
(Ⅱ)记g(x)的最小值为h(k),讨论h(t2-4)=λ的零点个数.
考向 函数的概念;函数的单调性;函数与方程的关系
思路分析 (1)设出二次函数解析式,根据已知条件得到二次函数图象的对称轴、与y轴交点、根与系数的关系,由此列方程组,解方程组求得二次函数解析式;
(2)(Ⅰ)求得g(x)的解析式,根据其对称轴与区间[-1,2]的位置关系,求得k的取值范围;(Ⅱ)将k分成k≥0,-6
由题意知图象的对称轴为x=-1=-b2a, ①
f(0)=c=-3, ② (1分)
设f(x)=0的两个根分别为x1,x2,
则x1+x2=-ba,x1x2=ca,
|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=b2-4ac|a|=4,③ (2分)
由①②③解得a=1,b=2,c=-3,
∴f(x)=x2+2x-3. (3分)
(2)g(x)=x2+(k+2)x+2,其图象的对称轴为x=-k+22,
(Ⅰ)由题意知:-k+22≤-1或-k+22≥2, (4分)
∴k≥0或k≤-6. (5分)
(Ⅱ)①当k≥0时,对称轴x=-k+22≤-1,
g(x)在[-1,2]上单调递增,
h(k)=g(-1)=-k+1,
②当-6
③当k≤-6时,对称轴x=-k+22≥2,
g(x)在[-1,2]单调递减, (7分)
h(k)=g(2)=2k+10,
∴h(k)=-k+1,k≥0,-k2-4k+44,-6
ⅰ)当λ=1时,即h(m)=1,∴m=-4或m=0,
当t2-4=-4时,解得t=0,
当t2-4=0时,解得t=±2,
∴方程h(t2-4)=λ有3个零点.
ⅱ)当λ<1时,h(m)=λ有唯一解m1>0,t2-4=m1>0,
t=±m1+4,∴方程h(t2-4)=λ有2个零点.
ⅲ)当1<λ<2时,h(m)=λ有两个不同的零点m2,m3,令m2
∴t2-4=m2时,解得t=±m2+4,
t2-4=m3时,解得t=±m3+4,∴方程h(t2-4)=λ有4个不同的零点.
ⅳ)当λ=2时,即h(m)=2,∴m=-2=t2-4,
∴t=±2,∴方程h(t2-4)=λ有2个零点.
ⅴ)当λ>2时,h(m)=λ无解. (11分)
综上可得:
λ>2时无零点;
1<λ<2时,有4个零点;
λ=1时,有3个零点;
λ=2或λ<1时,有2个零点. (12分)
点评 本题主要考查利用待定系数法并根据二次函数的性质求得二次函数解析式,考查含有参数的二次函数在给定区间上的单调性讨论并求其最值问题;考查函数零点问题的求解策略,考查数形结合的数学思想.
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