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9、辽宁省大连市第二十四中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题（教师版）
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这是一份9、辽宁省大连市第二十四中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题（教师版），共13页。试卷主要包含了Ⅱ卷在答题纸上作答等内容，欢迎下载使用。
辽宁省大连市第二十四中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题6
2019~2020学年度高一年级模块检测试题
高一数学
注意事项:
1.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效。
2.Ⅱ卷在答题纸上作答。答题前,考生在答题纸上务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚。
第Ⅰ卷(选择题,共40分)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.(★)已知a>b,且ab≠0,则下列不等式正确的是 ( )
A.2a>2b B.a2>b3
C.|a|>|b| D.1a<1b
考向 指数函数的性质 不等式的性质
思路分析 可取a=1,b=-2,代入选项B,C,D,排除不正确的选项,结合指数函数的单调性及不等式的性质判断.
解析 由y=2x为增函数,可得2a>2b,故A正确,∵a>b,且ab≠0,可取a=1,b=-2,可得a21b,故D错误.故选A.
答案 A
点评 通过代特殊值排除不正确选项是解此类题常用方法,认为某选项正确,一定要有根据,认为某选项错误,要举出反例,培养思维的严谨性.
2.(★★)已知集合M={y|y=x2-2x-1,x∈R},P={x|-2≤x≤4},则集合M与集合P的关系是 ( )
A.P=M B.P∈M
C.M⫋P D.M⫌P
考向 二次函数的值域 集合的概念
思路分析 先把集合M化简,再对选项逐个分析即可.
解析 ∵M={y|y=x2-2x-1,x∈R}={y|y=(x-1)2-2}={y|y≥-2},P={x|-2≤x≤4},∴P⫋M,故选D.
答案 D
点评 本题要注意符号的使用,⊆、⫋用于集合与集合之间,∈、∉用于元素与集合之间,在判断集合之间的包含关系前一定要先把所给集合正确的化简.
3.(★★)在下列给出的两个命题中,真命题的是 ( )
A.∀a∈R,∃b=Q,a2+b2=0
B.∀n∈Z,∃m∈Z,mn=m
C.∀n∈Z,∃m∈Z,n>m2
D.∀a∈R,3b∈Q,a2+b2=1
考向 含有量词的命题的真假判断
思路分析 根据含有量词的命题的概念对选项逐一分析进行判断即可.
解析 A选项,当a=1时,不存在b∈Q,满足a2+b2=0,故A是假命题;B选项,∀n∈Z,∃m=0∈Z,满足mn=m,故B是真命题;C选项,当n=-1时,不存在m∈Z,满足n>m2,故C是假命题;D选项,当a=2时,不存在b∈Q,满足a2+b2=1,故D是假命题.故选B.
答案 B
点评 本题考查含有量词的命题真假的判断和应用,要注意对全称量词“∀”和存在量词“∃”的理解,解题时,可通过找反例来推翻命题.
4.(★★)函数y=12π·e-x2的部分图像大致是 ( )
考向 函数奇偶性的应用 指数函数的值域
思路分析 先根据函数是偶函数,其图像关于y轴对称,可排除A、B选项,再由函数值恒大于零,可排除D选项,从而得出结论.
解析 ∵函数y=12π·e-x2的定义域为R,将解析式中的x换成-x,函数解析式不变,故函数为偶函数,所以函数的图像关于y轴对称,故可排除A、B选项,又∵e-x2>0恒成立,∴y=12π·e-x2的函数值恒大于零,可排除D选项,故选C.
答案 C
点评 函数y=12π·e-x2的图像我们并不能准确画出,只能根据函数的性质来判断其图像所有的特征,从而排除不符合的图像,一般要从函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、过某个定点等方面来综合判断.
5.(★★)若x>2m2-3是-1
C.(-∞,-1]∪[1,+∞) D.[-1,1]
考向 充分、必要条件的综合应用
思路分析 根据充分、必要条件的定义,结合不等式之间的关系进行判断即可.
解析 ∵x>2m2-3是-1
∴2m2-3≤-1,解得-1≤m≤1.
故选D.
答案 D
点评 充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上,解题时需注意:
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解;
(2)要注意区间端点值的检验,尤其是利用两个集合之间的关系,求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易漏解或增解.
6.(★★)已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f(2x-1)
C.12,23 D.12,23
考向 函数奇偶性 单调性的综合应用
思路分析 根据函数奇偶性和单调性,将不等式进行转化求解即可.
解析 ∵f(x)为偶函数,∴f(x)=f(|x|),
∴不等式f(2x-1)
∴|2x-1|<13,解得13
答案 A
点评 本题充分利用了偶函数的性质:f(-x)=f(x)=f(|x|),把不等式f(2x-1)
A.(1,2) B.(2,3)
C.(1,3) D.(3,4)
考向 一元二次方程根的分布
思路分析 若方程x2+(1-k)x-2(k+1)=0有两个相等实根,则k=-3,此时x=-2∉(2,3),若方程有两个不等实根,设f(x)=x2+(1-k)x-2(k+1),根据f(x)在(2,3)内有一个零点,列关系式进而得出答案.
解析 若方程x2+(1-k)x-2(k+1)=0有两个相等实根,则Δ=(1-k)2+8(k+1)=0,解得k=-3,此时x=-2∉(2,3),不满足题意.
若方程x2+(1-k)x-2(k+1)=0有两个不等实根,且一个根在(2,3)内,
则设f(x)=x2+(1-k)x-2(k+1),满足f(2)·f(3)<0,
即(4-4k)(10-5k)<0,解得k∈(1,2).
故选A.
答案 A
点评 本题考查一元二次方程根的分布问题,可以转化为求函数零点的问题,用到了分类讨论的数学思想方法.
8.(★★)已知23≤x≤53,-1≤y≤1,则8x·12y的取值范围是 ( )
A.[23,26] B.[2,26]
C.12,26 D.[2,25]
考向 不等式性质 指数函数性质
思路分析 首先运用指数幂运算法则代简8x·12y=23x-y,然后根据已知中x,y的取值范围求出3x-y的取值范围,进一步求出8x·12y的取值范围即可.
解析 由题意知,8x·12y=(23)x·(2-1)y=23x-y,
又∵23≤x≤53,-1≤y≤1,∴2≤3x≤5,-1≤-y≤1,
∴1≤3x-y≤6,∴21≤23x-y≤26.
故选B.
答案 B
点评 本题通过指数幂运算法则对所求结果进行变形找到与已知的联系,在使用不等式性质时需注意不等式性质成立条件和适用范围.
9.(★★)已知函数f(x)=-ax,x≤-1,(3-2a)x+2,x>-1在R上为增函数,则实数a的取值范围是 ( )
A.0,32 B.0,32
C.1,32 D.1,32
考向 基本初等函数的单调性 分段函数的单调性
思路分析 由于f(x)在R上为增函数,因此当x≤-1时,反比例函数y=-ax中a>0,
当x>-1时,一次函数y=(3-2a)x+2中,有3-2a>0,且在分界点处a≤2a-1成立即可.
解析 由已知函数f(x)=-ax,x≤-1,(3-2a)x+2,x>-1在R上为增函数,
所以有a>0,3-2a>0,a≤2a-1,解得1≤a<32,
∴实数a的取值范围是1,32.
故选C.
答案 C
点评 分段函数在定义域内为单调函数是常考题型,需熟练掌握基本初等函数的单调性,同时还要保证分段函数在分界点处也单调,这也是容易忽略的地方.
10.(★★)已知实数x,y满足xy-2=x+y,且x>1,则y(x+8)的最小值是 ( )
A.103+12 B.63+12
C.83+12 D.43+12
考向 基本不等式的综合应用
思路分析 由题意可得y=x+2x-1,x>1,则y(x+8)=(x+2)(x+8)x-1,运用换元法,令t=x-1(t>0),将所求转化为关于t的式子,由基本不等式可求出最小值.
解析 ∵实数x,y满足xy-2=x+y,且x>1,
∴y=x+2x-1,x>1,
则y(x+8)=(x+2)(x+8)x-1,
令t=x-1(t>0),则y(x+8)=(t+3)(t+9)t=t2+12t+27t=t+27t+12≥2t·27t+12=63+12,
当且仅当t=27t,即t=33>1时,等号成立,此时y(x+8)取得最小值63+12,故选B.
答案 B
点评 本题考查“条件最值”问题,通过对条件的转化,代入所求结果得到关于x的式子,通过换元可进一步化为满足基本不等式求最值的条件式进而求得最值,需注意对使最值成立的等号成立条件进行检验.
11.(★★★)已知函数f(x)=2x-2-2,x≥0,x+2,x<0,g(x)=x2-2x,x≥0,1x,x<0,则函数f[g(x)]的所有零点之和是 ( )
A.72 B.32 C.52 D.12
考向 函数的零点 复合函数的概念
思路分析 思路一:先求得f[g(x)]的解析式,需分x≥2或x=0,0
思路三:利用数形结合思想方法,分别作出y=f(x),y=g(x)的图像即可.
解析 解法一:∵f(x)=2x-2-2,x≥0,x+2,x<0,g(x)=x2-2x,x≥0,1x,x<0,
∴f[g(x)]=2x2-2x-2-2,x≥2或x=0,x2-2x+2,0
得x2-2x-2=1,解得x=3或x=-1(舍去);
②当0
∴函数f[g(x)]的所有零点之和是3-12=52,
故选C.
解法二:∵f(x)=2x-2-2,x≥0,x+2,x<0,g(x)=x2-2x,x≥0,1x,x<0,
f[g(x)]可以写成y=f(u),u=g(x)的形式,
∴令f(u)=0,可解得u=3或u=-2,
于是得x≥0,x2-2x=3或x≥0,x2-2x=-2或x<0,1x=-2,
分别解得x=3或无解或x=-12.
∴函数f[g(x)]的所有零点之和是3-12=52,
故选C.
解法三:由f(x)=2x-2-2,x≥0,x+2,x<0,g(x)=x2-2x,x≥0,1x,x<0,
知f[g(x)]可以写成y=f(u),u=g(x)的形式,分别画出y=f(u),u=g(x)的图像.
如图:
y=f(u)的零点有2个:-2,3,直线u=3,u=-2与u=g(x)的图像分别有一个交点(3,3),-12,-2,
故函数f[g(x)]的所有零点之和是3-12=52.
答案 C
点评 在f[g(x)]的解析式不太复杂的情况下可以考虑先求解析式再求零点,这样比较容易理解.解法二需要对函数间的对应关系理解非常透彻,基本思路是将一个较复杂的数学问题分解成若干个基本的小问题来解决,这样可以优化解题思路,降低问题难度,需注意分类讨论时要做到不重不漏.解法三用到了数形结合思想方法,是数学解题中常用的思想方法,数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、形象化,能够使抽象思维变为形象思维,有助于把握数学问题的本质.
12.(★★★)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1),若对任意x∈(-∞,m],都有f(x)≥-32,则m的取值范围是 ( )
A.-∞,103 B.-∞,113
C.-∞,154 D.-∞,134
考向 分段函数的应用 函数图像的变换
思路分析 由f(x+1)=2f(x),得f(x)=2f(x-1),分段求出函数解析式,结合图像可得m的取值范围.
解析 ∵f(x+1)=2f(x),∴f(x)=2f(x-1),
又∵当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1)∈-14,0,
∴当x∈(1,2]时,x-1∈(0,1],f(x)=2f(x-1)=2(x-1)(x-2)∈-12,0,
当x∈(2,3]时,x-1∈(1,2],f(x)=2f(x-1)=4(x-2)(x-3)∈[-1,0),
当x∈(3,4]时,x-1∈(2,3],f(x)=2f(x-1)=8(x-3)(x-4)∈[-2,0],
当x∈(-1,0]时,x+1∈(0,1],f(x)=12f(x+1)=12(x+1)x∈-18,0.
……
∴f(x)=…,12(x+1)x,-1
由图像可知当x∈(3,4]时,
8(x-3)(x-4)=-32,
解得x=134或x=154,
若对任意x∈(-∞,m],都有f(x)≥-32,则只需当x∈(-∞,m]时,f(x)min≥-32,则有m≤134.
故选D.
答案 D
点评 本题主要考查函数的解析式,函数的图像,不等式恒成立问题,意在考查分类讨论思想,数形结合思想,考查了数学抽象,逻辑推理,直观想象,数学运算的核心素养.
第Ⅱ卷(非选择题,60分)
注意事项:
1.第Ⅱ卷必须使用0.5mm黑色签字笔作答。
2.请将答案书写在答题纸的相应位置,直接答在试卷上无效。
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答案题中相应位置.)
13.(★★)已知A=xx-2x+1<0,B={x|(x-a)(x-b)<0},若“a=-1”是“A∩B=⌀”的充分条件,则实数b的取值范围是 .
考向 不等式解法 集合的运算 充分、必要条件
思路分析 首先解分式不等式化简集合A,再对b分类讨论化简集合B,根据A∩B=⌀,列出关于b的不等式可得结论.
解析 A=xx-2x+1<0={x|-1
∴实数b的取值范围是(-∞,-1],
故答案为(-∞,-1].
答案 (-∞,-1]
点评 本题考查分式不等式、含参数一元二次不等式的解法,以及集合的运算和充分条件的定义,需掌握将分式不等式等价转化为整式不等式的方法,含参数一元二次不等式对根的大小讨论写出解集是正确解题的关键.
14.(★★)已知函数f(x)=ex-e-x,对任意的k∈[-3,3],f(kx-2)+f(x)<0恒成立,则x的取值范围为 .
考向 函数的奇偶性 指数函数的单调性
思路分析 先确定f(x)为单调递增的奇函数,再利用对任意k∈[-3,3],f(kx-2)+f(x)<0恒成立,建立不等式,即可求出x的取值范围.
解析 当x∈R时,f(-x)=e-x-ex=-f(x),∴f(x)为奇函数,
由y=ex为单调递增的指数函数,
易知f(x)=ex-e-x为R上的增函数,
故由f(kx-2)+f(x)<0有f(kx-2)<-f(x)=f(-x),
则kx-2<-x,即xk+x-2<0对于k∈[-3,3]恒成立,
将变量看成k,k∈[-3,3],x为常数,
则xk+x-2<0表示一条直线在[-3,3]上的纵坐标小于零,
所以有-3x+x-2<0,3x+x-2<0,
解得-1
点评 利用函数的奇偶性、单调性将不等式进行转化,脱去不等式中的符号“f”,转化为具体不等式,此题给出了k∈[-3,3],所以把k看作变量,把x看为常数,也是一种常见解决问题的方法,要正确理解并掌握.
15.(★★)某服装学院的大学生提前创业,想开一家服装专卖店,经过预算,店面装修费为10000元,每天需要房租、水电等费用100元,受营销方法、经营信誉度等因素的影响,专卖店销售总收入P与店面经营天数x之间的关系是P(x)=300x-12x2,0≤x≤300,45000,x≥300,则总利润最大时,店面经营天数是 .
考向 函数应用题 分段函数 二次函数最值问题
思路分析 利润=收益-成本,由已知分段求出函数解析式,然后分段求出最大值,最后得出所求利润的最大值.
解析 设总利润为L(x),则
L(x)=-12x2+300x-100x-10000,0≤x<300,45000-100x-10000,x≥300,
即L(x)=-12(x-200)2+10000,0≤x<300,-100x+35000,x≥300.
当0≤x<300时,L(x)max=10000,此时x=200,
当x≥300时,L(x)max=5000,此时x=300,
所以总利润最大时,店面经营天数是200,故答案为200.
答案 200
点评 应用分段函数时要注意:①分段函数的“段”要分的合理,不重不漏.②分段函数的定义域为每一段函数自变量的取值范围的并集.③分段函数的值域求法为逐段求函数值的范围,最后求并集.本题考查了数学建模的核心素养.数学建模的过程主要包括:在实际情况中从数学的视角发现问题,提出问题,分析问题,构建模型,求解结论,验证结果并改进模型,最终解决实际问题.
16.(★★★)已知函数f(x)=a-|x+1|,x≤1,(x-a)2,x>1,函数g(x)=2-f(x),若函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,则实数a的取值范围是 .
考向 利用数形结合的思想方法,结合函数零点的概念求参数的取值范围.
思路分析 根据函数g(x)和f(x)的关系,将y=f(x)-g(x)=0转化为f(x)=1,利用数形结合的思想方法进行求解即可.
解析 ∵函数g(x)=2-f(x),y=f(x)-g(x)恰有4个零点,
∴方程f(x)=1恰有4个实数根.
当x≤1时,由|x+1|=a-1,
解得x=a-2或x=-a,
所以a-2≤1,-a≤1,a-2≠-a,a-1≥0,得1
∴a-1>1,a+1>1,解得a>2,
综上2
点评 本题考查函数与方程的应用,把函数零点问题转化为求方程的根的问题,结合方程的特征,也可以借助函数图像直观的看出满足题意的情况,从而列不等式解决问题.
三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时应写出必要文字说明,证明过程及演算步骤)
17.(★★)(本小题满分10分)设集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}.
(1)当m=3且x∈Z时,求A∩B;
(2)当x∈R时,不存在元素x,使x∈A与x∈B同时成立,求实数m的取值范围.
考向 集合的运算
思路分析 (1)根据题意,分别求出集合A,B,由交集的定义分析可得答案.
(2)根据题意,分析可得A∩B=⌀,分两种情况讨论:当m+1>2m-1,即m<2时,B=⌀;当m+1≤2m-1,即m≥2时,列不等式组求出m的取值范围即可.
解析 (1)当m=3时,B={x|4≤x≤5},
所以A∩B={x|-2≤x≤5}∩{x|4≤x≤5}={x|4≤x≤5},
又x∈Z,所以A∩B={4,5}.
(2)∵x∈R,且A={x|-2≤x≤5},
B={x|m+1≤x≤2m-1}.
又不存在元素x,使x∈A与x∈B同时成立,
即A∩B=⌀,
∴当B=⌀时,得m+1>2m-1,解得m<2,符合题意;
当B≠⌀时,即m+1≤2m-1,解得m≥2,
有m≥2,m+1>5或m≥2,2m-1<-2,
解得m>4.
综上,实数m的取值范围是{m|m<2或m>4}.
点评 本题第(2)问中当x∈R时,不存在元素x,使x∈A与x∈B同时成立转化为A∩B=⌀是解题的突破口.此题易错点是忽略集合B为空集的情况,如果条件改为“B=[m+1,2m-1]”,那么B就不能是空集.
18.(★★)(本小题满分12分)已知f(x)是二次函数,且满足f(0)=2,f(x+1)-f(x)=2x+3.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设h(x)=f(x)-2tx,当x∈[1,+∞)时,求函数h(x)的最小值.
考向 待定系数法求函数解析式 含参数的二次函数最值问题
思路分析 (1)利用待定系数法,设出f(x)的解析式代入已知条件求出参数即可.
(2)求出二次函数h(x)图像的对称轴,根据对称轴与区间[1,+∞)的位置分两种情况讨论,利用二次函数的单调性求出最小值.
解析 (1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
∵f(0)=2,f(x+1)-f(x)=2x+3,
∴c=2,a(x+1)2+b(x+1)+c-[ax2+bx+c]=2x+3,
∴c=2,2ax+a+b=2x+3,∴c=2,2a=2,a+b=3,
解得c=2,a=1,b=2,∴f(x)=x2+2x+2.
(2)由题意知h(x)=x2+2(1-t)x+2,
其图像的对称轴为直线x=t-1.
①当t-1≤1,即t≤2时,函数在[1,+∞)上单调递增,
则h(x)min=h(1)=5-2t;
②当t-1>1,即t>2时,函数在[t-1,+∞)上单调递增,
则h(x)min=h(t-1)=-t2+2t+1.
综上,h(x)min=5-2t,t≤2,-t2+2t+1,t>2.
点评 (1)考查求二次函数解析式的方法,一般使用待定系数法,根据题设条件可设①一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0);②顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0);③双根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),选择合适形式代入已知条件求出参数值即可.
(2)二次函数求最值问题,一般要对参数进行讨论,首先要确定分类标准,分类讨论过程做到不重不漏,一般从以下几方面考虑:①真假二次;②开口方向;③对称轴与所给区间的关系等.
19.(★★)(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1),其中a,b均为实数.
(1)若函数f(x)的图像经过点A(0,2),B(1,3),求函数y=1f(x)的值域;
(2)若函数f(x)的定义域和值域都是[-1,1],求2a+b的值.
考向 指数函数的图像和性质
思路分析 (1)由题意求出a,b的值,可得函数f(x)的解析式,利用指数函数的性质求得函数y=1f(x)的值域.
(2)根据函数f(x)的定义域和值域都是[-1,1],利用指数函数的单调性得到关于a,b的方程组,解出a,b的值可得a+b.
解析 (1)因为函数f(x)的图像经过点A(0,2),B(1,3),
所以a0+b=2,a1+b=3⇒a=2,b=1,
所以f(x)=2x+1.
因为2x>0,所以2x+1>1,即f(x)>1,所以y=1f(x)∈(0,1),
故y=1f(x)的值域为(0,1).
(2)当a>1时,函数f(x)=ax+b在[-1,1]上为增函数,
由题意得a-1+b=-1,a+b=1,
解得a=2+1,b=-2,所以2a+b=2+2.
当0
解得a=2-1,b=-2,所以2a+b=2-2.
综上,a+b=2+2或2-2.
点评 (1)中求f(x)解析式的过程利用了方程思想,也就是把题设条件转化为含有未知数的方程,通过解方程组求得未知数的值,利用指数函数、反比例函数的单调性求出函数的值域,这就需要熟练掌握基本初等函数的性质,(2)在利用指数函数单调性解题的过程中一定不要忘记对底数分a>1和0
(1)写出k关于x的函数关系式;
(2)应安排多少名人员参与抢修,才能使总损失最小?
(注:总损失=因渗水造成的直接损失+部门的各项支出费用)
考向 函数模型及其应用 基本不等式求最值
思路分析 (1)由题意得,要抢修完成必须使得抢修面积等于渗水的面积,即可得3kx=300+6k,化简变形得k=100x-2,x≥3且x∈N.
(2)总损失=因渗水造成的直接损失+服装补贴费+劳务费及耗材费,从而得到总损失y关于人员x的函数关系,利用基本不等式求出最小值即可.
解析 (1)由题意,可得3kx=300+6k,
所以k=100x-2,x≥3,x∈N.也可以写成k=100x-2,x>2,x∈N
(2)设总损失为y元,则y=300(300+6k)+600x+300kx
=121200+600x-2+400x-2
≥121200+600×2×20=145200,
当且仅当x-2=400x-2,即x=22时,等号成立,
所以应安排22名人员参与抢修,才能使总损失最小.
点评 解决实际问题的步骤:(1)审题,弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择函数模型;(2)建模,将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识建立适当的函数模型;(3)求解数学模型,得出数学结论;(4)还原,将数学结论还原为实际问题.在利用基本不等式求最值的过程中要善于构造出使基本不等式成立的一正、二定、三相等的条件.本题考查了数学建模和数学运算的核心素养.
21.(★★★)(本小题满分12分)已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a>0)在区间[0,3]上有最大值4和最小值1.
(1)求a,b的值;
(2)设f(x)=g(x)x,若不等式f(2x)-k·2x≥0在x∈[-1,1]上有解,求实数k的取值范围.
考向 二次函数的图像和性质 指数幂运算 换元法应用
思路分析 (1)由a>0可知二次函数g(x)的图像开口向上,可求出图像的对称轴方程,根据函数f(x)在区间[0,3]上有最大值4和最小值1,列出关于a,b的方程组,求解a,b的值即可.
(2)利用(1)中求出的解析式,把不等式f(2x)-k·2x≥0在x∈[-1,1]上有解,转化为34·2x-32+74·2x-k·2x≥0在x∈[-1,1]上有解,分离变量k,构造辅助函数,由k小于或等于函数在x∈[-1,1]上的最大值,求出k的取值范围,然后利用换元法化为二次函数,利用二次函数求最值.
解析 (1)∵a>0,函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a>0)图像的对称轴为直线x=1,且开口向上,
∴g(x)在[0,1]上为减函数,在[1,3]上为增函数,
∵g(x)在区间[0,3]上有最大值4和最小值1.
∴g(1)=a-2a+1+b=1,g(3)=9a-6a+1+b=4,解得a=34,b=34.
(2)由(1)可得f(x)=g(x)x=34x-32+74x,
即f(2x)=34·2x-32+74·2x,
所以不等式f(2k)-k·2x≥0在x∈[-1,1]上有解,
可化为34·2x-32+74·2x-k·2x≥0在x∈[-1,1]上有解,
即k≤34-32·2x+7412x2max,
令t=12x,因为x∈[-1,1],所以t∈12,2,
记h(t)=74t2-32t+34,其图像的对称轴为直线t=37,
又t∈12,2,所以h(t)单调递增,
故当t=2时,h(t)取最大值为194,
所以实数k的取值范围是k≤194.
点评 不等式在某个区间上恒成立(或存在性成立)问题的转化方法(含变分离):
(1)f(x)≥a恒成立⇔f(x)min≥a,存在x使f(x)≥a成立(或者是f(x)≥a有解)⇔f(x)max≥a.
(2)f(x)≤b恒成立⇔f(x)max≤b,存在x使f(x)≤b成立⇔f(x)min≤b.
换元法是解决较复杂问题时常用的方法,通过换元可使看似很复杂问题变得简单明了,需注意换元过程转化的等价性,本题多次用到转化与化归的思想方法,注意理解并掌握.
22.(★★★)(本小题满分12分)对于函数f(x)与g(x),记集合Df>g={x|f(x)>g(x)}.
(1)设f(x)=|x-2|,g(x)=1,求Df>g;
(2)设f(x)=ax2+ax+1,g(x)=x2+x,若Df>g=R,求实数a的取值范围.
(3)设f1(x)=x-b+1,f2(x)=x-bx-1,h(x)=0,若Df1>ℎ∪Df2>ℎ=R,求实数b的取值范围.
考向 解不等式应用 新定义问题 分类讨论思想
思路分析 (1)由题意得不等式|x-2|>1,解绝对值不等式即可.
(2)由Df>g=R,得不等式(a-1)x2+(a-1)x+1>0在R上恒成立,利用二次函数性质,分类讨论,即可求解.
(3)由f1(x)>h(x),可得x>b-1,又由f2(x)>h(x),可得x-bx-1>0,分类讨论,使得Df1>ℎ∪Df2>ℎ=R,即可求解.
解析 (1)由题意,函数f(x)=|x-2|,g(x)=1.
令|x-2|>1,即x-2>1或x-2<-1,解得x>3或x<1,
所以Df>g={x|x>3或x<1}.
(2)由题意,函数f(x)=ax2+ax+1,g(x)=x2+x,
又由Df>g=R,得不等式ax2+ax+1>x2+x的解集为R,
即(a-1)x2+(a-1)x+1>0在R上恒成立.
①当a-1=0,即a=1时,不等式为1>0,在R上恒成立;
②当a-1≠0时,则满足a-1>0且Δ=(a-1)2-4(a-1)<0,解得1
(3)由题意,函数f1(x)=x-b+1,f2(x)=x-bx-1,h(x)=0.
由f1(x)>h(x),可得x-b+1>0,解得x>b-1.
又由f2(x)>h(x),可得x-bx-1>0.
①当b=1时,不等式x-bx-1>0的解集为{x|x≠1},
若Df1>ℎ∪Df2>ℎ=R,
则需满足b-1<1,即b<2,此时b=1.
②当b>1时,不等式x-bx-1>0的解集为{x|x<1或x>b},
若Df1>ℎ∪Df2>ℎ=R,
则需满足b-1<1,即b<2,此时11},
若Df1>ℎ∪Df2>ℎ=R,
则需满足b-1
点评 解决本题的关键是正确理解新定义的集合,将新定义问题转化为我们已学过的、熟悉的一个或多个知识来解决.解题过程中多处用到分类讨论的数学思想,它是我们解决较复杂问题常用的方法,第(2)问易忽略对a-1=0的讨论导致结果不完整.
辽宁省大连市第二十四中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题6
2019~2020学年度高一年级模块检测试题
高一数学
注意事项:
1.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效。
2.Ⅱ卷在答题纸上作答。答题前,考生在答题纸上务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚。
第Ⅰ卷(选择题,共40分)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.(★)已知a>b,且ab≠0,则下列不等式正确的是 ( )
A.2a>2b B.a2>b3
C.|a|>|b| D.1a<1b
考向 指数函数的性质 不等式的性质
思路分析 可取a=1,b=-2,代入选项B,C,D,排除不正确的选项,结合指数函数的单调性及不等式的性质判断.
解析 由y=2x为增函数,可得2a>2b,故A正确,∵a>b,且ab≠0,可取a=1,b=-2,可得a2
答案 A
点评 通过代特殊值排除不正确选项是解此类题常用方法,认为某选项正确,一定要有根据,认为某选项错误,要举出反例,培养思维的严谨性.
2.(★★)已知集合M={y|y=x2-2x-1,x∈R},P={x|-2≤x≤4},则集合M与集合P的关系是 ( )
A.P=M B.P∈M
C.M⫋P D.M⫌P
考向 二次函数的值域 集合的概念
思路分析 先把集合M化简,再对选项逐个分析即可.
解析 ∵M={y|y=x2-2x-1,x∈R}={y|y=(x-1)2-2}={y|y≥-2},P={x|-2≤x≤4},∴P⫋M,故选D.
答案 D
点评 本题要注意符号的使用,⊆、⫋用于集合与集合之间,∈、∉用于元素与集合之间,在判断集合之间的包含关系前一定要先把所给集合正确的化简.
3.(★★)在下列给出的两个命题中,真命题的是 ( )
A.∀a∈R,∃b=Q,a2+b2=0
B.∀n∈Z,∃m∈Z,mn=m
C.∀n∈Z,∃m∈Z,n>m2
D.∀a∈R,3b∈Q,a2+b2=1
考向 含有量词的命题的真假判断
思路分析 根据含有量词的命题的概念对选项逐一分析进行判断即可.
解析 A选项,当a=1时,不存在b∈Q,满足a2+b2=0,故A是假命题;B选项,∀n∈Z,∃m=0∈Z,满足mn=m,故B是真命题;C选项,当n=-1时,不存在m∈Z,满足n>m2,故C是假命题;D选项,当a=2时,不存在b∈Q,满足a2+b2=1,故D是假命题.故选B.
答案 B
点评 本题考查含有量词的命题真假的判断和应用,要注意对全称量词“∀”和存在量词“∃”的理解,解题时,可通过找反例来推翻命题.
4.(★★)函数y=12π·e-x2的部分图像大致是 ( )
考向 函数奇偶性的应用 指数函数的值域
思路分析 先根据函数是偶函数,其图像关于y轴对称,可排除A、B选项,再由函数值恒大于零,可排除D选项,从而得出结论.
解析 ∵函数y=12π·e-x2的定义域为R,将解析式中的x换成-x,函数解析式不变,故函数为偶函数,所以函数的图像关于y轴对称,故可排除A、B选项,又∵e-x2>0恒成立,∴y=12π·e-x2的函数值恒大于零,可排除D选项,故选C.
答案 C
点评 函数y=12π·e-x2的图像我们并不能准确画出,只能根据函数的性质来判断其图像所有的特征,从而排除不符合的图像,一般要从函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、过某个定点等方面来综合判断.
5.(★★)若x>2m2-3是-1
C.(-∞,-1]∪[1,+∞) D.[-1,1]
考向 充分、必要条件的综合应用
思路分析 根据充分、必要条件的定义,结合不等式之间的关系进行判断即可.
解析 ∵x>2m2-3是-1
∴2m2-3≤-1,解得-1≤m≤1.
故选D.
答案 D
点评 充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上,解题时需注意:
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解;
(2)要注意区间端点值的检验,尤其是利用两个集合之间的关系,求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易漏解或增解.
6.(★★)已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f(2x-1)
C.12,23 D.12,23
考向 函数奇偶性 单调性的综合应用
思路分析 根据函数奇偶性和单调性,将不等式进行转化求解即可.
解析 ∵f(x)为偶函数,∴f(x)=f(|x|),
∴不等式f(2x-1)
∴|2x-1|<13,解得13
答案 A
点评 本题充分利用了偶函数的性质:f(-x)=f(x)=f(|x|),把不等式f(2x-1)
A.(1,2) B.(2,3)
C.(1,3) D.(3,4)
考向 一元二次方程根的分布
思路分析 若方程x2+(1-k)x-2(k+1)=0有两个相等实根,则k=-3,此时x=-2∉(2,3),若方程有两个不等实根,设f(x)=x2+(1-k)x-2(k+1),根据f(x)在(2,3)内有一个零点,列关系式进而得出答案.
解析 若方程x2+(1-k)x-2(k+1)=0有两个相等实根,则Δ=(1-k)2+8(k+1)=0,解得k=-3,此时x=-2∉(2,3),不满足题意.
若方程x2+(1-k)x-2(k+1)=0有两个不等实根,且一个根在(2,3)内,
则设f(x)=x2+(1-k)x-2(k+1),满足f(2)·f(3)<0,
即(4-4k)(10-5k)<0,解得k∈(1,2).
故选A.
答案 A
点评 本题考查一元二次方程根的分布问题,可以转化为求函数零点的问题,用到了分类讨论的数学思想方法.
8.(★★)已知23≤x≤53,-1≤y≤1,则8x·12y的取值范围是 ( )
A.[23,26] B.[2,26]
C.12,26 D.[2,25]
考向 不等式性质 指数函数性质
思路分析 首先运用指数幂运算法则代简8x·12y=23x-y,然后根据已知中x,y的取值范围求出3x-y的取值范围,进一步求出8x·12y的取值范围即可.
解析 由题意知,8x·12y=(23)x·(2-1)y=23x-y,
又∵23≤x≤53,-1≤y≤1,∴2≤3x≤5,-1≤-y≤1,
∴1≤3x-y≤6,∴21≤23x-y≤26.
故选B.
答案 B
点评 本题通过指数幂运算法则对所求结果进行变形找到与已知的联系,在使用不等式性质时需注意不等式性质成立条件和适用范围.
9.(★★)已知函数f(x)=-ax,x≤-1,(3-2a)x+2,x>-1在R上为增函数,则实数a的取值范围是 ( )
A.0,32 B.0,32
C.1,32 D.1,32
考向 基本初等函数的单调性 分段函数的单调性
思路分析 由于f(x)在R上为增函数,因此当x≤-1时,反比例函数y=-ax中a>0,
当x>-1时,一次函数y=(3-2a)x+2中,有3-2a>0,且在分界点处a≤2a-1成立即可.
解析 由已知函数f(x)=-ax,x≤-1,(3-2a)x+2,x>-1在R上为增函数,
所以有a>0,3-2a>0,a≤2a-1,解得1≤a<32,
∴实数a的取值范围是1,32.
故选C.
答案 C
点评 分段函数在定义域内为单调函数是常考题型,需熟练掌握基本初等函数的单调性,同时还要保证分段函数在分界点处也单调,这也是容易忽略的地方.
10.(★★)已知实数x,y满足xy-2=x+y,且x>1,则y(x+8)的最小值是 ( )
A.103+12 B.63+12
C.83+12 D.43+12
考向 基本不等式的综合应用
思路分析 由题意可得y=x+2x-1,x>1,则y(x+8)=(x+2)(x+8)x-1,运用换元法,令t=x-1(t>0),将所求转化为关于t的式子,由基本不等式可求出最小值.
解析 ∵实数x,y满足xy-2=x+y,且x>1,
∴y=x+2x-1,x>1,
则y(x+8)=(x+2)(x+8)x-1,
令t=x-1(t>0),则y(x+8)=(t+3)(t+9)t=t2+12t+27t=t+27t+12≥2t·27t+12=63+12,
当且仅当t=27t,即t=33>1时,等号成立,此时y(x+8)取得最小值63+12,故选B.
答案 B
点评 本题考查“条件最值”问题,通过对条件的转化,代入所求结果得到关于x的式子,通过换元可进一步化为满足基本不等式求最值的条件式进而求得最值,需注意对使最值成立的等号成立条件进行检验.
11.(★★★)已知函数f(x)=2x-2-2,x≥0,x+2,x<0,g(x)=x2-2x,x≥0,1x,x<0,则函数f[g(x)]的所有零点之和是 ( )
A.72 B.32 C.52 D.12
考向 函数的零点 复合函数的概念
思路分析 思路一:先求得f[g(x)]的解析式,需分x≥2或x=0,0
思路三:利用数形结合思想方法,分别作出y=f(x),y=g(x)的图像即可.
解析 解法一:∵f(x)=2x-2-2,x≥0,x+2,x<0,g(x)=x2-2x,x≥0,1x,x<0,
∴f[g(x)]=2x2-2x-2-2,x≥2或x=0,x2-2x+2,0
得x2-2x-2=1,解得x=3或x=-1(舍去);
②当0
∴函数f[g(x)]的所有零点之和是3-12=52,
故选C.
解法二:∵f(x)=2x-2-2,x≥0,x+2,x<0,g(x)=x2-2x,x≥0,1x,x<0,
f[g(x)]可以写成y=f(u),u=g(x)的形式,
∴令f(u)=0,可解得u=3或u=-2,
于是得x≥0,x2-2x=3或x≥0,x2-2x=-2或x<0,1x=-2,
分别解得x=3或无解或x=-12.
∴函数f[g(x)]的所有零点之和是3-12=52,
故选C.
解法三:由f(x)=2x-2-2,x≥0,x+2,x<0,g(x)=x2-2x,x≥0,1x,x<0,
知f[g(x)]可以写成y=f(u),u=g(x)的形式,分别画出y=f(u),u=g(x)的图像.
如图:
y=f(u)的零点有2个:-2,3,直线u=3,u=-2与u=g(x)的图像分别有一个交点(3,3),-12,-2,
故函数f[g(x)]的所有零点之和是3-12=52.
答案 C
点评 在f[g(x)]的解析式不太复杂的情况下可以考虑先求解析式再求零点,这样比较容易理解.解法二需要对函数间的对应关系理解非常透彻,基本思路是将一个较复杂的数学问题分解成若干个基本的小问题来解决,这样可以优化解题思路,降低问题难度,需注意分类讨论时要做到不重不漏.解法三用到了数形结合思想方法,是数学解题中常用的思想方法,数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、形象化,能够使抽象思维变为形象思维,有助于把握数学问题的本质.
12.(★★★)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1),若对任意x∈(-∞,m],都有f(x)≥-32,则m的取值范围是 ( )
A.-∞,103 B.-∞,113
C.-∞,154 D.-∞,134
考向 分段函数的应用 函数图像的变换
思路分析 由f(x+1)=2f(x),得f(x)=2f(x-1),分段求出函数解析式,结合图像可得m的取值范围.
解析 ∵f(x+1)=2f(x),∴f(x)=2f(x-1),
又∵当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1)∈-14,0,
∴当x∈(1,2]时,x-1∈(0,1],f(x)=2f(x-1)=2(x-1)(x-2)∈-12,0,
当x∈(2,3]时,x-1∈(1,2],f(x)=2f(x-1)=4(x-2)(x-3)∈[-1,0),
当x∈(3,4]时,x-1∈(2,3],f(x)=2f(x-1)=8(x-3)(x-4)∈[-2,0],
当x∈(-1,0]时,x+1∈(0,1],f(x)=12f(x+1)=12(x+1)x∈-18,0.
……
∴f(x)=…,12(x+1)x,-1
由图像可知当x∈(3,4]时,
8(x-3)(x-4)=-32,
解得x=134或x=154,
若对任意x∈(-∞,m],都有f(x)≥-32,则只需当x∈(-∞,m]时,f(x)min≥-32,则有m≤134.
故选D.
答案 D
点评 本题主要考查函数的解析式,函数的图像,不等式恒成立问题,意在考查分类讨论思想,数形结合思想,考查了数学抽象,逻辑推理,直观想象,数学运算的核心素养.
第Ⅱ卷(非选择题,60分)
注意事项:
1.第Ⅱ卷必须使用0.5mm黑色签字笔作答。
2.请将答案书写在答题纸的相应位置,直接答在试卷上无效。
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答案题中相应位置.)
13.(★★)已知A=xx-2x+1<0,B={x|(x-a)(x-b)<0},若“a=-1”是“A∩B=⌀”的充分条件,则实数b的取值范围是 .
考向 不等式解法 集合的运算 充分、必要条件
思路分析 首先解分式不等式化简集合A,再对b分类讨论化简集合B,根据A∩B=⌀,列出关于b的不等式可得结论.
解析 A=xx-2x+1<0={x|-1
∴实数b的取值范围是(-∞,-1],
故答案为(-∞,-1].
答案 (-∞,-1]
点评 本题考查分式不等式、含参数一元二次不等式的解法,以及集合的运算和充分条件的定义,需掌握将分式不等式等价转化为整式不等式的方法,含参数一元二次不等式对根的大小讨论写出解集是正确解题的关键.
14.(★★)已知函数f(x)=ex-e-x,对任意的k∈[-3,3],f(kx-2)+f(x)<0恒成立,则x的取值范围为 .
考向 函数的奇偶性 指数函数的单调性
思路分析 先确定f(x)为单调递增的奇函数,再利用对任意k∈[-3,3],f(kx-2)+f(x)<0恒成立,建立不等式,即可求出x的取值范围.
解析 当x∈R时,f(-x)=e-x-ex=-f(x),∴f(x)为奇函数,
由y=ex为单调递增的指数函数,
易知f(x)=ex-e-x为R上的增函数,
故由f(kx-2)+f(x)<0有f(kx-2)<-f(x)=f(-x),
则kx-2<-x,即xk+x-2<0对于k∈[-3,3]恒成立,
将变量看成k,k∈[-3,3],x为常数,
则xk+x-2<0表示一条直线在[-3,3]上的纵坐标小于零,
所以有-3x+x-2<0,3x+x-2<0,
解得-1
点评 利用函数的奇偶性、单调性将不等式进行转化,脱去不等式中的符号“f”,转化为具体不等式,此题给出了k∈[-3,3],所以把k看作变量,把x看为常数,也是一种常见解决问题的方法,要正确理解并掌握.
15.(★★)某服装学院的大学生提前创业,想开一家服装专卖店,经过预算,店面装修费为10000元,每天需要房租、水电等费用100元,受营销方法、经营信誉度等因素的影响,专卖店销售总收入P与店面经营天数x之间的关系是P(x)=300x-12x2,0≤x≤300,45000,x≥300,则总利润最大时,店面经营天数是 .
考向 函数应用题 分段函数 二次函数最值问题
思路分析 利润=收益-成本,由已知分段求出函数解析式,然后分段求出最大值,最后得出所求利润的最大值.
解析 设总利润为L(x),则
L(x)=-12x2+300x-100x-10000,0≤x<300,45000-100x-10000,x≥300,
即L(x)=-12(x-200)2+10000,0≤x<300,-100x+35000,x≥300.
当0≤x<300时,L(x)max=10000,此时x=200,
当x≥300时,L(x)max=5000,此时x=300,
所以总利润最大时,店面经营天数是200,故答案为200.
答案 200
点评 应用分段函数时要注意:①分段函数的“段”要分的合理,不重不漏.②分段函数的定义域为每一段函数自变量的取值范围的并集.③分段函数的值域求法为逐段求函数值的范围,最后求并集.本题考查了数学建模的核心素养.数学建模的过程主要包括:在实际情况中从数学的视角发现问题,提出问题,分析问题,构建模型,求解结论,验证结果并改进模型,最终解决实际问题.
16.(★★★)已知函数f(x)=a-|x+1|,x≤1,(x-a)2,x>1,函数g(x)=2-f(x),若函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,则实数a的取值范围是 .
考向 利用数形结合的思想方法,结合函数零点的概念求参数的取值范围.
思路分析 根据函数g(x)和f(x)的关系,将y=f(x)-g(x)=0转化为f(x)=1,利用数形结合的思想方法进行求解即可.
解析 ∵函数g(x)=2-f(x),y=f(x)-g(x)恰有4个零点,
∴方程f(x)=1恰有4个实数根.
当x≤1时,由|x+1|=a-1,
解得x=a-2或x=-a,
所以a-2≤1,-a≤1,a-2≠-a,a-1≥0,得1
∴a-1>1,a+1>1,解得a>2,
综上2
点评 本题考查函数与方程的应用,把函数零点问题转化为求方程的根的问题,结合方程的特征,也可以借助函数图像直观的看出满足题意的情况,从而列不等式解决问题.
三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时应写出必要文字说明,证明过程及演算步骤)
17.(★★)(本小题满分10分)设集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}.
(1)当m=3且x∈Z时,求A∩B;
(2)当x∈R时,不存在元素x,使x∈A与x∈B同时成立,求实数m的取值范围.
考向 集合的运算
思路分析 (1)根据题意,分别求出集合A,B,由交集的定义分析可得答案.
(2)根据题意,分析可得A∩B=⌀,分两种情况讨论:当m+1>2m-1,即m<2时,B=⌀;当m+1≤2m-1,即m≥2时,列不等式组求出m的取值范围即可.
解析 (1)当m=3时,B={x|4≤x≤5},
所以A∩B={x|-2≤x≤5}∩{x|4≤x≤5}={x|4≤x≤5},
又x∈Z,所以A∩B={4,5}.
(2)∵x∈R,且A={x|-2≤x≤5},
B={x|m+1≤x≤2m-1}.
又不存在元素x,使x∈A与x∈B同时成立,
即A∩B=⌀,
∴当B=⌀时,得m+1>2m-1,解得m<2,符合题意;
当B≠⌀时,即m+1≤2m-1,解得m≥2,
有m≥2,m+1>5或m≥2,2m-1<-2,
解得m>4.
综上,实数m的取值范围是{m|m<2或m>4}.
点评 本题第(2)问中当x∈R时,不存在元素x,使x∈A与x∈B同时成立转化为A∩B=⌀是解题的突破口.此题易错点是忽略集合B为空集的情况,如果条件改为“B=[m+1,2m-1]”,那么B就不能是空集.
18.(★★)(本小题满分12分)已知f(x)是二次函数,且满足f(0)=2,f(x+1)-f(x)=2x+3.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设h(x)=f(x)-2tx,当x∈[1,+∞)时,求函数h(x)的最小值.
考向 待定系数法求函数解析式 含参数的二次函数最值问题
思路分析 (1)利用待定系数法,设出f(x)的解析式代入已知条件求出参数即可.
(2)求出二次函数h(x)图像的对称轴,根据对称轴与区间[1,+∞)的位置分两种情况讨论,利用二次函数的单调性求出最小值.
解析 (1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
∵f(0)=2,f(x+1)-f(x)=2x+3,
∴c=2,a(x+1)2+b(x+1)+c-[ax2+bx+c]=2x+3,
∴c=2,2ax+a+b=2x+3,∴c=2,2a=2,a+b=3,
解得c=2,a=1,b=2,∴f(x)=x2+2x+2.
(2)由题意知h(x)=x2+2(1-t)x+2,
其图像的对称轴为直线x=t-1.
①当t-1≤1,即t≤2时,函数在[1,+∞)上单调递增,
则h(x)min=h(1)=5-2t;
②当t-1>1,即t>2时,函数在[t-1,+∞)上单调递增,
则h(x)min=h(t-1)=-t2+2t+1.
综上,h(x)min=5-2t,t≤2,-t2+2t+1,t>2.
点评 (1)考查求二次函数解析式的方法,一般使用待定系数法,根据题设条件可设①一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0);②顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0);③双根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),选择合适形式代入已知条件求出参数值即可.
(2)二次函数求最值问题,一般要对参数进行讨论,首先要确定分类标准,分类讨论过程做到不重不漏,一般从以下几方面考虑:①真假二次;②开口方向;③对称轴与所给区间的关系等.
19.(★★)(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1),其中a,b均为实数.
(1)若函数f(x)的图像经过点A(0,2),B(1,3),求函数y=1f(x)的值域;
(2)若函数f(x)的定义域和值域都是[-1,1],求2a+b的值.
考向 指数函数的图像和性质
思路分析 (1)由题意求出a,b的值,可得函数f(x)的解析式,利用指数函数的性质求得函数y=1f(x)的值域.
(2)根据函数f(x)的定义域和值域都是[-1,1],利用指数函数的单调性得到关于a,b的方程组,解出a,b的值可得a+b.
解析 (1)因为函数f(x)的图像经过点A(0,2),B(1,3),
所以a0+b=2,a1+b=3⇒a=2,b=1,
所以f(x)=2x+1.
因为2x>0,所以2x+1>1,即f(x)>1,所以y=1f(x)∈(0,1),
故y=1f(x)的值域为(0,1).
(2)当a>1时,函数f(x)=ax+b在[-1,1]上为增函数,
由题意得a-1+b=-1,a+b=1,
解得a=2+1,b=-2,所以2a+b=2+2.
当0
解得a=2-1,b=-2,所以2a+b=2-2.
综上,a+b=2+2或2-2.
点评 (1)中求f(x)解析式的过程利用了方程思想,也就是把题设条件转化为含有未知数的方程,通过解方程组求得未知数的值,利用指数函数、反比例函数的单调性求出函数的值域,这就需要熟练掌握基本初等函数的性质,(2)在利用指数函数单调性解题的过程中一定不要忘记对底数分a>1和0
(1)写出k关于x的函数关系式;
(2)应安排多少名人员参与抢修,才能使总损失最小?
(注:总损失=因渗水造成的直接损失+部门的各项支出费用)
考向 函数模型及其应用 基本不等式求最值
思路分析 (1)由题意得,要抢修完成必须使得抢修面积等于渗水的面积,即可得3kx=300+6k,化简变形得k=100x-2,x≥3且x∈N.
(2)总损失=因渗水造成的直接损失+服装补贴费+劳务费及耗材费,从而得到总损失y关于人员x的函数关系,利用基本不等式求出最小值即可.
解析 (1)由题意,可得3kx=300+6k,
所以k=100x-2,x≥3,x∈N.也可以写成k=100x-2,x>2,x∈N
(2)设总损失为y元,则y=300(300+6k)+600x+300kx
=121200+600x-2+400x-2
≥121200+600×2×20=145200,
当且仅当x-2=400x-2,即x=22时,等号成立,
所以应安排22名人员参与抢修,才能使总损失最小.
点评 解决实际问题的步骤:(1)审题,弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择函数模型;(2)建模,将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识建立适当的函数模型;(3)求解数学模型,得出数学结论;(4)还原,将数学结论还原为实际问题.在利用基本不等式求最值的过程中要善于构造出使基本不等式成立的一正、二定、三相等的条件.本题考查了数学建模和数学运算的核心素养.
21.(★★★)(本小题满分12分)已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a>0)在区间[0,3]上有最大值4和最小值1.
(1)求a,b的值;
(2)设f(x)=g(x)x,若不等式f(2x)-k·2x≥0在x∈[-1,1]上有解,求实数k的取值范围.
考向 二次函数的图像和性质 指数幂运算 换元法应用
思路分析 (1)由a>0可知二次函数g(x)的图像开口向上,可求出图像的对称轴方程,根据函数f(x)在区间[0,3]上有最大值4和最小值1,列出关于a,b的方程组,求解a,b的值即可.
(2)利用(1)中求出的解析式,把不等式f(2x)-k·2x≥0在x∈[-1,1]上有解,转化为34·2x-32+74·2x-k·2x≥0在x∈[-1,1]上有解,分离变量k,构造辅助函数,由k小于或等于函数在x∈[-1,1]上的最大值,求出k的取值范围,然后利用换元法化为二次函数,利用二次函数求最值.
解析 (1)∵a>0,函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a>0)图像的对称轴为直线x=1,且开口向上,
∴g(x)在[0,1]上为减函数,在[1,3]上为增函数,
∵g(x)在区间[0,3]上有最大值4和最小值1.
∴g(1)=a-2a+1+b=1,g(3)=9a-6a+1+b=4,解得a=34,b=34.
(2)由(1)可得f(x)=g(x)x=34x-32+74x,
即f(2x)=34·2x-32+74·2x,
所以不等式f(2k)-k·2x≥0在x∈[-1,1]上有解,
可化为34·2x-32+74·2x-k·2x≥0在x∈[-1,1]上有解,
即k≤34-32·2x+7412x2max,
令t=12x,因为x∈[-1,1],所以t∈12,2,
记h(t)=74t2-32t+34,其图像的对称轴为直线t=37,
又t∈12,2,所以h(t)单调递增,
故当t=2时,h(t)取最大值为194,
所以实数k的取值范围是k≤194.
点评 不等式在某个区间上恒成立(或存在性成立)问题的转化方法(含变分离):
(1)f(x)≥a恒成立⇔f(x)min≥a,存在x使f(x)≥a成立(或者是f(x)≥a有解)⇔f(x)max≥a.
(2)f(x)≤b恒成立⇔f(x)max≤b,存在x使f(x)≤b成立⇔f(x)min≤b.
换元法是解决较复杂问题时常用的方法,通过换元可使看似很复杂问题变得简单明了,需注意换元过程转化的等价性,本题多次用到转化与化归的思想方法,注意理解并掌握.
22.(★★★)(本小题满分12分)对于函数f(x)与g(x),记集合Df>g={x|f(x)>g(x)}.
(1)设f(x)=|x-2|,g(x)=1,求Df>g;
(2)设f(x)=ax2+ax+1,g(x)=x2+x,若Df>g=R,求实数a的取值范围.
(3)设f1(x)=x-b+1,f2(x)=x-bx-1,h(x)=0,若Df1>ℎ∪Df2>ℎ=R,求实数b的取值范围.
考向 解不等式应用 新定义问题 分类讨论思想
思路分析 (1)由题意得不等式|x-2|>1,解绝对值不等式即可.
(2)由Df>g=R,得不等式(a-1)x2+(a-1)x+1>0在R上恒成立,利用二次函数性质,分类讨论,即可求解.
(3)由f1(x)>h(x),可得x>b-1,又由f2(x)>h(x),可得x-bx-1>0,分类讨论,使得Df1>ℎ∪Df2>ℎ=R,即可求解.
解析 (1)由题意,函数f(x)=|x-2|,g(x)=1.
令|x-2|>1,即x-2>1或x-2<-1,解得x>3或x<1,
所以Df>g={x|x>3或x<1}.
(2)由题意,函数f(x)=ax2+ax+1,g(x)=x2+x,
又由Df>g=R,得不等式ax2+ax+1>x2+x的解集为R,
即(a-1)x2+(a-1)x+1>0在R上恒成立.
①当a-1=0,即a=1时,不等式为1>0,在R上恒成立;
②当a-1≠0时,则满足a-1>0且Δ=(a-1)2-4(a-1)<0,解得1
(3)由题意,函数f1(x)=x-b+1,f2(x)=x-bx-1,h(x)=0.
由f1(x)>h(x),可得x-b+1>0,解得x>b-1.
又由f2(x)>h(x),可得x-bx-1>0.
①当b=1时,不等式x-bx-1>0的解集为{x|x≠1},
若Df1>ℎ∪Df2>ℎ=R,
则需满足b-1<1,即b<2,此时b=1.
②当b>1时,不等式x-bx-1>0的解集为{x|x<1或x>b},
若Df1>ℎ∪Df2>ℎ=R,
则需满足b-1<1,即b<2,此时1
若Df1>ℎ∪Df2>ℎ=R,
则需满足b-1
点评 解决本题的关键是正确理解新定义的集合,将新定义问题转化为我们已学过的、熟悉的一个或多个知识来解决.解题过程中多处用到分类讨论的数学思想,它是我们解决较复杂问题常用的方法,第(2)问易忽略对a-1=0的讨论导致结果不完整.
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