2、山东省青岛市第二中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题（学生版）

这是一份2、山东省青岛市第二中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题（学生版），共13页。试卷主要包含了Ⅱ卷在答题纸上作答等内容，欢迎下载使用。

2、山东省青岛市第二中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题
2019~2020学年度高一年级模块检测试题

高一数学
注意事项:
1.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效。
2.Ⅱ卷在答题纸上作答。答题前,考生在答题纸上务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚。

第Ⅰ卷(选择题,共60分)
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(★)若集合A=cosπ2,eln1,B={x∈Zx2+2x≤0},则A∪B= (　　)
A.{0,1} B.{-1,0}
C.{-1,0,1} D.{-2,-1,0,1}
2.(★★)下列函数中,其定义域与函数y=12x的值域相同的是 (　　)
A.y=2x B.y=x+1x
C.y=x12 D.y=lnx-x
3.(★★)已知幂函数y=f(x)的图象经过点(3,33),则log13f(3)= (　　)
A.-13 B.-1
C.13 D.3
4.(★★)样本中共有五个个体,其值分别是a,1,2,3,4,若样本的平均数是2,则样本的极差和标准差分别是 (　　)
A.5,2 B.5,2
C.4,2 D.4,2
5.(★★)从甲袋中摸出一个红球的概率是13,从乙袋中摸出一个红球的概率是12,从两袋中各摸一个球,则2个球中恰有1个红球的概率是 (　　)
A.56 B.12
C.23 D.16
6.(★★)函数f(x)=2-|x|-1的图象大致为 (　　)

7.(★★)[x]表示不超过x的最大整数,例如[3.5]=3,[-0.5]=-1.已知x0是方程lnx+3x-15=0的根,则[x0]=(　　)
A.2 B.3
C.4 D.5
8.(★★★)已知函数f(x)的定义域为R,图象恒过(1,1)点,对任意x1-1,则不等式f[log2(2x-1)]<2-log2(2x-1)的解集为 (　　)
A.(0,+∞) B.(-∞,log23)
C.(-∞,0)∪(0,log23) D.(0,log23)
二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.(★★)在△ABC中,下列关系恒成立的是 (　　)
A.tan(A+B)=tanC B.cos(2A+2B)=cos2C
C.sinA+B2=sinC2 D.sinA+B2=cosC2
10.(★★)某市12月17日至21日期间空气质量呈现重度及以上污染水平,经市政府批准,该市启动了空气重度污染红色预警,期间实行机动车“单双号”限行等措施.某报社调查中心联合问卷网,对2400人进行问卷调查,并根据调查结果得到如下饼图,则下列结论正确的是 (　　)

A.“不支持”部分所占的比例大约是整体的112
B.“一般”部分所占的人数估计是800
C.饼图中如果圆的半径为2,那么“非常支持”部分扇形的面积是76π
D.“支持”部分所占的人数估计是1100
11.(★★★)《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)是后世西方数学家处理问题的重要依据.通过这一方法,很多代数中的公理或定理都能够通过图形实现证明,称为“无字证明”.如图所示,C为线段AB上的点,且AC=a,BC=b,O为AB的中点,以AB为直径作半圆,过点C作AB的垂线,交半圆于D,连结OD,AD,BD,过点C作OD的垂线,垂足为E,则该图形可以完成的无字证明为 (　　)

A.a+b2≥ab(a>0,b>0)
B.a2+b2≥2ab(a>0,b>0)
C.ab≥21a+1b(a>0,b>0)
D.a2+b22≥a+b2(a≥0,b>0)
12.(★★★)下列命题为真命题的是 (　　)
A.若命题p:∃n∈N,n2>2n,则¬p:∀n∈N,n2≤2n
B.若a>b>0,c C.若f(x)是定义在R上的减函数,则“a+b≤0”是“f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)”的充要条件
D.若ai,bi,ci(i=1,2)是全不为0的实数,则“a1a2=b1b2=c1c2”是“不等式a1x2+b1x+c1>0和a2x2+b2x+c2>0的解集相等”的充分不必要条件

第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
注意事项:
1.第Ⅱ卷必须使用0.5mm黑色签字笔作答。
2.请将答案书写在答题纸的相应位置,直接答在试卷上无效。
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(★★)已知x12+x-12=2,则x+x-1=　　　　. 
14.(★★★)若正数x,y满足x+2y=xy,则x+2y的最小值为　　　　. 
15.(★★)方程lg(3sinx)=lg(cosx)的解集为　　　　. 
16.(★★★)已知函数f(x)=x2-4,x≤a,3x-2-1,x>a,当a=2时,不等式f(x)<2的解集是　　　　;当函数f(x)有四个零点时,实数a的取值范围是　　　　. 
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(★★)已知A={x|x2-3ax+2a2>0,a>0},B={x|x2-x-6≥0},x∈A是x∈B的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
18.(★★)已知A=-13-20+810.25-(-3)2×823+(log53)·log325,B=log2(4B+2A),求A,B的值.
19.(★★)青岛二中有羽毛球社、乒乓球社和篮球社,三个社团的人数分别为27,9,18,现采用分层抽样的方法从这三个社团中抽取 6 人参加活动.
(1)求应从这三个社团中分别抽取的学生人数;
(2)将抽取的6名学生进行编号,编号分别为A1,A2,A3,A4,A5,A6,从这6名学生中随机抽出2名参加体育测试.
①用所给的编号列出所有可能的结果;
②设事件A是“编号为A1,A2的两名学生中至少有一人被抽到”,求事件 A发生的概率.
20.(★★)已知α∈π2,3π4,且sinα-cosα=2105.
(1)求tanα+1tanα的值;
(2)求cosπ2-α-2cos(α+π)-sin(-α)+cos(2π-α)的值.
21.(★★)已知奇函数f(x)=a·2x-12x+1的定义域为[-a-2,3b].
(1)求实数a,b的值;
(2)若x∈[-a-2,3b]时,方程[f(x)]2+f(x)-m=0有解,求m的取值范围.
22.(★★★)已知函数f(x)=log2x+1,g(x)=f(x2)+[f(x)]2.
(1)求方程g(x)=2的解集;
(2)若f(x)的定义域是[1,16],求函数g(x)的最值;
(3)若不等式[f(x)]2+log2x+4>m·f(x)对于任意x∈[1,16]恒成立,求m的取值范围.


2、山东省青岛市第二中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题
2019~2020学年度高一年级模块检测试题

答案全解全析
1.考向　集合的运算
思路分析　先求出集合B,集合A等价于{0,1},再根据并集的定义即可求出A∪B.
解析　因为cosπ2=0,eln1=e0=1,所以A={0,1}.
因为B={x∈Z|x2+2x≤0},
所以B={x∈Z|-2≤x≤0}={-2,-1,0}.
所以A∪B={-2,-1,0,1}.
故选D.
答案　D
点评　本题考查集合运算中的并集运算,在进行集合化简或集合运算时,一定要注意集合的代表元素,熟练掌握集合的基础知识是解答好该类集合题目的关键.
2.考向　函数的定义域、值域
思路分析　根据题意,指数函数y=12x的值域是(0,+∞),依次分析每个选项中函数的定义域是不是(0,+∞)即可.
解析　指数函数y=12x的值域是(0,+∞).
对于A,函数y=2x的定义域是R;
对于B,函数y=x+1x的定义域是{x|x≠0};
对于C,函数y=x12的定义域是{x|x≥0};
对于D,函数y=lnx-x的定义域是{x|x>0},满足题意.
故选D.
答案　D
点评　本题考查具体函数求定义域和值域问题,对于具体函数求定义域,要熟悉一些常见基本初等函数求定义域的原则:分式(分母不为零)、二次根式(二次根式里面的整体大于或等于零)、对数(对数的底数大于零且不等于1、真数大于零)、零指数幂的底数不等于零,掌握基本初等函数的图象和性质是正确解题的关键.
3.考向　对数函数的图象和性质　幂函数的图象和性质
思路分析　根据题意,设幂函数y=xα,将点(3,33)代入,求出α的值,进一步求出f(3),从而求出log13f(3).
解析　设幂函数的解析式为y=f(x)=xα,将点(3,33)代入,得3α=33=313,
所以α=13,所以y=f(x)=x13,
所以f(3)=313,
所以log13f(3)=log13313=13log133=13log1313-1=-13.
答案　A
点评　本题考查利用待定系数法求函数解析式,要熟练掌握基本初等函数的一般表达式,还要熟练掌握对数的运算性质,如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么
(1)loga(M·N)=logaM+logaN;(2)logaMN=logaM-logaN;(3)logaMn=nlogaM;(4)alogaN=N.
4.考向　平均数、极差和标准差的计算
思路分析　由样本平均数求出a,极差是最大值和最小值的差值,标准差代入公式计算即可.
解析　因为样本的平均数是2,
所以a+1+2+3+45=2,解得a=0.
所以极差为4-0=4;
标准差s=
15(0-2)2+(1-2)2+(2-2)2+(3-2)2+(4-2)2=2,
故选D.
答案　D
点评　本题考查平均数、极差、标准差的概念和计算公式,准确理解这些概念并熟记这些公式是解题的关键.
5.考向　相互独立事件的概率计算
思路分析　2个球中恰有1个红球包括从甲袋中摸出一个球是红球,从乙袋中摸出一个球不是红球和从甲袋中摸出一个球不是红球,从乙袋中摸出一个球是红球两种情况,分别计算概率再求和即可.
解析　根据题意,2个球中恰有1个红球包括从甲袋中摸出一个球是红球,从乙袋中摸出一个球不是红球和从甲袋中摸出一个球不是红球,从乙袋中摸出一个球是红球两种情况.
从甲袋中摸出一个球是红球,从乙袋中摸出一个球不是红球的概率为13×1-12=16,
从甲袋中摸出一个球不是红球,从乙袋中摸出一个球是红球的概率为1-13×12=13,
所以从两袋中各摸一个球,2个球中恰有1个红球的概率是16+13=12.
故选B.
答案　B
点评　本题考查相互独立事件的概率计算,注意将所求问题分情况讨论,体现了分类讨论的数学思想,准确理解 “独立事件”的概念是解题的关键.
6.考向　指数型函数的图象和性质
思路分析　根据题意,判断出函数f(x)=2-|x|-1是偶函数,排除C,由函数的定义排除A,化简f(x)的解析式,当x>0时,得到-1<12|x|-1<0,且f(x)在(0,+∞)上是减函数.
解析　∵f(x)=2-|x|-1,∴f(-x)=2-|-x|-1=2-|x|-1=f(x),
∴函数f(x)=2-|x|-1是偶函数,排除C;
根据函数的定义可排除A;
∵f(x)=2-|x|-1=12|x|-1,
当x>0时,0<12x<1,
∴-1<12x-1<0,且f(x)在(0,+∞)上是减函数.
故选B.
答案　B
点评　本题考查指数型函数的图象和性质,判断函数图象一般可通过函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、特殊值等方面排除不正确选项.
7.考向　函数零点存在性定理　函数新定义问题
思路分析　设f(x)=lnx+3x-15,由函数零点存在性定理判断出方程lnx+3x-15=0的根所在区间,进而求得[x0].
解析　令f(x)=lnx+3x-15,
当x=4时,f(4)=ln4+3×4-15<0,
当x=5时,f(5)=ln5+3×5-15>0,
所以f(4)·f(5)<0,又因为函数f(x)的图象在(0,+∞)上是一条连续不断的曲线,所以f(x)在(4,5)上有零点,即方程lnx+3x-15=0在(4,5)内有根.
所以[x0]=4.
故选C.
答案　C
点评　本题主要考查函数零点存在性定理的应用,如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么函数f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.
8.考向　函数的图象和性质　函数的单调性
思路分析　由对任意x1-1得出y=R(x)=f(x)+x是增函数,再由f[log2(2x-1)]+log2(2x-1)<2=f(1)+1,得到log2(2x-1)<1,从而求得x的范围.
解析　因为对任意x1 f(x1)-f(x2)x1-x2>-1,即f(x1)-f(x2)+(x1-x2)x1-x2>0,
亦即[f(x1)+x1]-[f(x2)+x2]x1-x2>0,
所以函数y=f(x)+x在R上是增函数.
设R(x)=f(x)+x,f[log2(2x-1)]<2-log2(2x-1),
即f[log2(2x-1)]+log2(2x-1)<2=f(1)+1,
即R[log2(2x-1)] 所以0<2x-1<2,解得0 故选D.
答案　D
点评　本题考查抽象函数单调性的综合应用,除了掌握单调性的定义外,还经常会用到变式,设x1,x2∈[a,b]且x1≠x2,那么f(x)在[a,b]上是增函数⇔f(x2)-f(x1)x2-x1>0⇔[f(x2)-f(x1)](x2-x1)>0;解决本题的关键是通过已知构造出新的单调函数,利用函数单调性脱去“f”得到关于x的不等式;本题多次用到转化与化归的思想方法,注意体会并掌握.
9.考向　三角函数的诱导公式　三角形内角和定理
思路分析　根据三角形内角和定理A+B+C=π和诱导公式化简即可.
解析　tan(A+B)=tan(π-C)=-tanC,故A中等式不正确.
cos(2A+2B)=cos[2(π-C)]=cos(-2C)=cos2C,故B中等式正确.
sinA+B2=sinπ-C2=cosC2,故C中等式不正确,D中等式正确;
故选BD.
答案　BD
点评　本题考查利用三角形内角和定理及诱导公式进行化简运算,注意三角形内角和定理是作为“隐含”条件来出现的,在解决有关三角形问题时一定不要忽略这一点.
10.考向　几何概型
思路分析　根据圆的周角是2π对选项逐一分析,依次进行判断即可.
解析　因为圆的周角是2π,所以
A选项:“不支持”部分占2π-11π12-7π12-π3=π6,
所以“不支持”部分所占的比例大约是整体的π62π=112,正确;
B选项:“一般”部分所占比例为π32π=16,
所以“一般”部分所占的人数估计是2400×16=400,不正确;
C选项:“非常支持”部分所占比例为7π122π=724,
所以面积是724×π×22=7π6,正确;
D选项:“支持”部分所占比例为11π122π=1124,
所以“支持”部分所占的人数估计是1124×2400=1100,正确.
故选ACD.
答案　ACD
点评　本题考查饼图在几何概型实际问题中的应用,若每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型.在几何概型中,事件A的概率公式为P(A)=构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).
11.考向　基本不等式的应用
思路分析　利用射影定理及OD≥CD,CD≥DE求解.
解析　由题意得AC+CB=a+b,由射影定理可知CD=ab,
∵OD≥CD,
∴a+b2≥ab(a>0,b>0),A正确;
由射影定理可知CD2=DE·OD,
即DE=CD2OD=aba+b2=21a+1b,
又CD≥DE,所以ab≥21a+1b(a>0,b>0),C正确.
故选AC.
答案　AC
点评　本题考查通过几何图形对基本不等式证明,解决本题的关键是找到图中线段的长度关系,通过建立a,b与所找线段之间的关系,达到用几何法证明不等式的目的.
12.考向　充分条件与必要条件的判断　特称命题的否定
思路分析　直接利用特称命题的否定是全称命题写出命题的否定即可判断A选项;利用不等式的性质即可判断B选项;根据函数单调性的定义以及充分必要条件的定义即可判断C选项;利用一元二次不等式解集的规律即可判断D选项.
解析　A选项:特称命题的否定是全称命题,
所以命题p:∃x∈N,n2>2n的否定为
∀n∈N,n2≤2n,A是真命题.
B选项:∵cb>0,∴-c>-d>0,-ac>-bd>0,
又∵cd>0,∴-accd>-bdcd,即-ad>-bc,
∴ad C选项:若a+b≤0,则a≤-b,b≤-a,
∵f(x)在R上单调递减,∴f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a),
∴f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),充分性满足;
“若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则a+b≤0”的逆否命题是
“若a+b>0,则f(a)+f(b) 由a+b>0,得a>-b,b>-a,又f(x)在R上单调递减,
∴f(a) ∴f(a)+f(b) ∴“a+b≤0”是“f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)”的充要条件,C是真命题.
D选项:设a1a2=b1b2=c1c2=m(m≠0),
则a1=ma2,b1=mb2,c1=mc2,
所以不等式a1x2+b1x+c1>0等价于m(a2x2+b2x+c2)>0.
若m>0,则m(a2x2+b2x+c2)>0等价于a2x2+b2x+c2>0,此时两者解集相等;
若m<0,则m(a2x2+b2x+c2)>0等价于a2x2+b2x+c2<0,此时两者解集不相等.
由不等式a1x2+b1x+c1>0和a2x2+b2x+c2>0的解集相等推不出两个不等式的系数之间的关系.
所以“a1a2=b1b2=c1c2”是“不等式a1x2+b1x+c1>0和a2x2+b2x+c2>0的解集相等”的既不充分也不必要条件,D是假命题.
故选ABC.
答案　ABC
点评　此题考查命题的真假判断,易错点在于误认为全称命题与特称命题的否定只改变量词或只否定结论;利用单调性的定义结合充分必要条件判断是难点,注意掌握原命题和逆否命题是等价命题的应用,体现了“正难则反”的思想方法;解一元二次不等式问题要注意利用“三个二次”的关系,还要注意对二次项系数的讨论,这也是易错点.
13.考向　幂指数的运算性质
思路分析　根据题意,整体平方后化简即可.
解析　因为(x12+x-12)2=x+x-1+2=4,
所以x+x-1=2,故答案为2.
答案　2
点评　此题考查幂指数的运算,注意观察已知式和所求式之间的联系,利用整体思想,对已知式进行平方,平方是一种常用的式子处理方法,注意掌握.
14.考向　基本不等式的应用
思路分析　先将x+2y=xy变形为x+2yxy=1y+2x=1,再进行乘“1”变化,使用基本不等式即可求解.
解析　因为x+2y=xy,所以x+2yxy=1y+2x=1,又x,y是正数,
所以x+2y=(x+2y)1y+2x
=4+xy+4yx≥4+2xy·4yx=8,
当且仅当x=2y,x+2y=xy,即x=4,y=2时取等号.
所以x+2y的最小值为8.
故答案为8.
点评　本题考查基本不等式的应用,在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,解题中注意乘“1”变化,本题将条件进行转化的目的就是使其满足基本不等式中①“正”(条件中字母为正数)、②“定”(不等式的一边必须为定值)、③“等”(等号取得的条件)的条件.
15.考向　对数函数的图象和性质　已知三角函数值求角
思路分析　由对数函数y=lgx是增函数,将求方程lg(3sinx)=lg(cosx)的解转化为求解3sinx=cosx>0即可.
解析　因为对数函数y=lgx是增函数,所以方程lg(3sinx)=lg(cosx)的解等价于3sinx=cosx>0的解,化简得tanx=33,且角x在第一象限,解得x=2kπ+π6,k∈Z.
故答案为xx=2kπ+π6,k∈Z.
答案　xx=2kπ+π6,k∈Z
点评　本题考查对数方程、三角函数方程的解,易错点是在将对数方程化为普通方程的过程中,忽略真数大于0的条件,注意三角函数方程解集的表达形式.
16.考向　函数概念的应用　函数零点概念的应用
思路分析　(1)当a=2时,画出分段函数f(x)的图象,利用数形结合的思想即可求解.
(2)根据函数图象较易求得a的取值范围.
解析　(1)当a=2时,f(x)=x2-4,x≤2,3x-2-1,x>2,其图象如下图.

当x≤2时,令x2-4=2,解得x=-6(x=6舍去),
当x≥2时,令3x-2-1=2,解得x=3.
结合图可知,f(x)<2的解集为{x|-6 (2)令x2-4=0,解得x=±2,令3x-2-1=0,解得x=2.
当a≥-2时,函数f(x)有两个零点.
答案　{x|-6 点评　本题主要考查分段函数有关图象问题,关键点是结合已知条件画出函数图象,利用数形结合得到答案.通过数形结合,可增强解题的直观性,降低思维难度.
17.考向　集合的运算　解一元二次不等式　充分必要条件
思路分析　先化简集合A、B,将x∈A是x∈B的必要不充分条件转化为B是A的真子集,根据B是A的真子集求解a的取值范围即可.
解析　由x2-3ax+2a2>0,a>0解得x2a,
所以A={x|x2a,a>0},
由x2-x-6≥0解得x≤-2或x≥3,
所以B={x|x≤-2或x≥3}.
因为x∈A是x∈B的必要不充分条件,所以B是A的真子集.
所以a>-2,2a<3,a>0,解得0 所以实数a的取值范围是0,32.
点评　本题考查一元二次不等式的解法,根据“三个二次”的关系熟练解出一元二次不等式的解集;将“x∈A是x∈B 的必要不充分条件”准确“翻译”为集合间的真子集关系是解题的关键,也是常用的转化方法.
18.考向　幂指数的运算　对数的运算
思路分析　直接利用幂指数的运算性质、对数的运算性质化简即可.
解析　A=-13-20+810.25-(-3)2×823+(log53)·log325
=1+(34)14-3×(23)23+(log53)·log525log53
=1+3-3×4+log525
=-8+2=-6.
由B=log2(4B+2A),得
2B=4B-12,
令t=2B(t>0),
所以t2-t-12=0,解得t=-3(舍)或t=4,
所以2B=4,解得B=2.
点评　本题考查指数幂、对数的化简求值,对数的换底公式logab=logcblogca以及由对数的换底公式得到的性质logab=1logba,logambn=nmlogab一定要熟练掌握,并且要注意通过换元求方程的解.
19.考向　分层抽样　古典概型
思路分析　(1)根据题意,先算出每个社团占的比例,再按分层抽样求得结果.
(2)列出所有情况,“编号为A1,A2的两名学生中至少有一人被抽到”包括两名学生中一人被抽到一人没被抽到和两人都被抽到两种情况,根据古典概型的公式即可求出结果.
解析　(1)羽毛球社团人数:6×2727+9+18=3;
乒乓球社人数:6×927+9+18=1;
篮球社人数:6×1827+9+18=2.
所以应从这三个社团中分别抽取的学生人数为3,1,2.
(2)①{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共15种情况.
②“编号为A1,A2的两名学生中至少有一人被抽到”包括两名学生中一人被抽到一人没被抽到和两人都被抽到两种情况.
设B为事件“一人被抽到一人没被抽到”,共8种情况,则P(B)=815,
设C为事件“两人都抽到”,包括1种情况,则C=115,
所以事件A发生的概率P(A)=P(B)+P(C)=815+115=35.
点评　本题考查分层抽样和古典概型,注意掌握分层抽样的抽法和列举法,对于古典概型,事件A发生的概率P(A)=事件A包含的基本事件个数基本事件的总数.
20.考向　同角三角函数的基本关系　三角函数的诱导公式
思路分析　(1)根据题意,利用同角三角函数的基本关系式求出tanα,代入即可.
(2)利用诱导公式化简求值即可.
解析　因为sinα-cosα=2105,所以(sinα-cosα)2=85,
即sin2α-2sinαcosα+cos2αsin2α+cos2α=85,
分子、分母同除以cos2α得tan2α-2tanα+1tan2α+1=85,
解得tanα=-3或tanα=-13,
因为α∈π2,3π4,所以tanα=-3,
(1)tanα+1tanα=-3-13=-103.
(2)cosπ2-α-2cos(α+π)-sin(-α)+cos(2π-α)
=sinα+2cosαsinα+cosα=tanα+2tanα+1,将tanα=-3代入,得原式=12.
点评　本题考查利用同角三角函数的基本关系式和诱导公式进行化简求值,化简过程中注意平方关系式sin2α+cos2α=1的灵活应用,尤其是平方关系式的逆向使用,也就是“1”的转化,熟练掌握三角函数的诱导公式,简记为“奇变偶不变,符号看象限”.
21.考向　函数的概念　函数的奇偶性
思路分析　(1)根据题意,奇函数的定义域关于原点对称,在x=0处有意义,由此列方程即可求解.
(2)通过换元将方程转化为一个一元二次方程求解,然后进行参变分离转化为求二次函数的值域问题.
解析　(1)∵奇函数的定义域关于原点对称,∴-a-2+3b=0,即3b-a=2.
又函数f(x)在x=0处有定义,
∴f(0)=a·20-120+1=0,解得a=1,∴b=1.
(2)由(1)可得x∈[-3,3],f(x)=2x-12x+1,令f(x)=2x-12x+1=t,
则t=(2x+1)-22x+1=1-22x+1,
∵x∈[-3,3],∴2x∈18,8,∴t∈-79,79,
∴方程[f(x)]2+f(x)-m=0在x∈[-3,3]上有解等价于t2+t-m=0在-79≤t≤79上有解,等价于m=t2+t在-79≤t≤79上有解.
当t∈-79,79时,函数y=t2+t=t+122-14在-79,-12上为减函数,在-12,79上为增函数,
∴函数y=t2+t的值域为-14,11281,
∴m∈-14,11281.
∴当m∈-14,11281时,方程[f(x)]2+f(x)-m=0有解.
点评　本题考查利用奇函数的性质求参数的值,换元法是一种常用的转化方法,通过换元可以将一些较复杂问题转化为比较简单问题来解决,但是一定要注意换元的等价性;对于方程有解问题可以通过参变分离转化为求函数的值域,注意体会这种方法,本题体现了转化的数学思想方法.
22.考向　函数的概念　对数的运算性质
思路分析　(1)根据题意,将f(x)的解析式代入 g(x)的解析式中求解关于log2x的方程即可.
(2)写出g(x)的表达式后,通过换元法转化为关于t的二次函数在闭区间求最值问题.
(3)将不等式进行换元处理后,分离参数求解m的取值范围.
解析　(1)g(x)=f(x2)+[f(x)]2
=log2x2+1+(log2x+1)2
=(log2x)2+4log2x+2.
令g(x)=2,即(log2x)2+4log2x+2=2,
即log2x=0或log2x=-4,解得x=1或x=116,
所以方程的解集为1,116.
(2)因为f(x)的定义域是[1,16],所以0≤log2x≤4,
又g(x)=(log2x)2+4log2x+2,
设t=log2x(0≤t≤4),则y=h(t)=t2+4t+2(0≤t≤4),
其图象的对称轴为t=-2,所以h(t)在[0,4]上为增函数,
所以h(0)≤h(t)≤h(4),即2≤h(t)≤34,
所以g(x)min=2,g(x)max=34.
(3)设k=f(x)(1≤k≤5),
则不等式[f(x)]2+log2x+4>m·f(x)对于任意x∈[1,16]恒成立等价于不等式k2+k+3>mk对于任意k∈[1,5]恒成立,
即m 所以m 又k+3k+1≥2k·3k+1=23+1,
当且仅当k=3k,即k=3∈[1,5]时,等号成立,
所以m<23+1.
点评　本题考查换元法和二次函数在闭区间上的恒成立问题,通过“参变分离”的方法,转化为基本不等式求最值问题;不等式在某个区间上恒成立(或存在性成立)问题的转化方法:首先是“参变分离”,化为(1)f(x)≥a恒成立⇔f(x)min≥a;存在x使f(x)≥a成立(或f(x)≥a有解)⇔f(x)max≥a;
(2)f(x)≤b恒成立⇔f(x)max≤b;存在x使f(x)≤b成立(或f(x)≤b有解)⇔f(x)min≤b;本题多次用到转化与化归的思想方法,同学们要注意体会















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