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2、【全国百强校】山东省济宁市嘉祥一中2019-2020学年度第一学期关于期中检测数学试卷（学生版）
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这是一份2、【全国百强校】山东省济宁市嘉祥一中2019-2020学年度第一学期关于期中检测数学试卷（学生版），共11页。试卷主要包含了选择题，多选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
【全国百强校】山东省济宁市嘉祥一中2019-2020学年度第一学期关于期中检测数学试卷15
2019~2020学年度高一年级模块检测试题
高一数学
满分:150分 时间:120分钟
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)
1.(★)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,6},B={1,3,5,7},则A∩(∁UB)等于 ( )
A.{2,4,6} B.{1,3,5} C.{2,4,5} D.{2,5}
2.(★)函数f(x)=ln(3-x)+2x-4的定义域为 ( )
A.(2,3) B.[2,+∞) C.(-∞,3) D.[2,3)
3.(★)命题“∀x∈R,|x|+x3≥0”的否定是 ( )
A.∀x∈R,|x|+x2<0 B.∀x∈R,|x|+x2≤0
C.∃x∈R|x|+x2<0 D.∃x∈R,|x|+x2≥0
4.(★)下列函数中,既是奇函数又在定义域内单调递减的函数为 ( )
A.y=-log2x B.y=-x3
C.y=1x D.y=12x
5.(★★)函数y=ax与y=log1ax(a>0且a≠1)在同一坐标系中的图像只可能是 ( )
6.(★★)已知a=log30.5,b=30.5,c=0.30.3,则a、b、c三者的大小关系是 ( )
A.a>b>c B.b>c>a C.b>a>c D.c>b>a
7.(★★)已知正数m,n满足m(n-1)=8n,则m+2n的最小值是 ( )
A.18 B.16 C.8 D.10
8.(★★)王昌龄是盛唐著名的边塞诗人,被誉为“七绝圣手”,其《从军行》传诵至今,“青海长云暗雪山,孤城遥望玉门关,黄沙百战穿金甲,不破楼兰终不还”,由此推断,其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的 ( )
A.必要条件
B.充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
9.(★★)函数f(x)=1-x2|x+3|-3的奇偶性是 ( )
A.奇函数 B.偶函数
C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数
10.(★★)已知函数f(x)=x2,x>1,(4-a2)x-1,x≤1.若f(x)是R上的增函数,则实数a的取值范围为 ( )
A.(1,+∞) B.[4,8) C.[1,4) D.[2,8)
二、多选题(本大题共3小题,每小题4分,共12分)
11.(★★)若函数y=x2-4x-4的定义域为[0,m],值域为[-8,-4],则实数m的值可能为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
12.(★★)设a>0,b>0,则下列不等式恒成立的是 ( )
A.a2+1>a B.a2+9>6a
C.(a+b)1a+1b≥4 D.a+1ab+1b≥4
13.(★★)下列结论中不正确的有 ( )
A.函数f(x)=12 x2-x的单调递增区间为-∞,12
B.函数f(x)=2x-12x+1为奇函数
C.函数y=1x+1的单调递减区间是(-∞,1)和(1,+∞)
D.1x>1是x<1的必要不充分条件
第Ⅱ卷(非选择题,98分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)
14.(★★)化简求值:12lg3249-43lg8+lg245+5log52=
15.(★★)设函数f(x)是定义域为R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(1-x),则x<0时,f(x)的解析式为 .
16.(★★)设f(x)是定义在R上的函数,且满足f(x+2)=f(x),当x∈[-1,1)时,f(x)=-4x2+2,-1≤x<0,x,0≤x<1,则f20192= .
17.(★★★)已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且满足f(ab)=f(a)+f(b),f12=-1,如果对0
18.(★★)已知幂函数f(x)=(m2-5m+7)xm-1为偶函数.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若g(x)=f(x)-ax-3在[1,3]上不是单调函数,求实数a的取值范围.
19.(★★)已知集合A={x|3≤3x≤27},B={x|log2x>1}.
(1)求A∩B,(∁RB)∪A;
(2)已知集合C={x|1
21.(★★)已知函数f(x)=a+22x-1.
(1)求f(x)的定义域;
(2)若f(x)为奇函数,求a的值,并求f(x)的值域.
22.(★★)山东新旧动能转换综合试验区是党的十九大后获批的首个区域性国家发展战略,也是中国第一个以新旧动能转换为主题的区域发展战略.泰安某高新技术企业决定抓住发展.加快企业发展,已知该企业的年固定成本为500万元,每生产设备x(x>0)台,需另投入成本y1万元.若年产量不足80台,则y1=12x2+40x;若年产量不小于80台,则y1=101x+8100x-2180,每台设备售价为100万元,通过市场分析,该企业生产的设备能全部售完.
(1)写出年利润y(万元)关于年产量x(台)的关系式;
(2)年产量为多少台时,该企业所获利润最大?
23.(★★★)已知函数f(x)=mx2-2mx+n(m>0)在区间[1,3]上的最大值为5,最小值为1,设g(x)=f(x)x.
(1)求m、n的值;
(2)证明:函数g(x)在2,+∞上是增函数;
(3)若函数F(x)=g(2x)-k·2x=0,x∈[-1,1]能成立,求实数k的取值范围.
【全国百强校】山东省济宁市嘉祥一中2019-2020学年度第一学期关于期中检测数学试卷15
答案全解全析
1.考向 集合的运算、解不等式
分析 根据全集及补集的定义求出B的补集,再根据交集的定义运算即可.
解析 全集U={1,2,3,4,5,6,7},B={1,3,5,7},
∴∁UB={2,4,6},
又∵A={2,4,6},∴A∩(∁UB)={2,4,6},
故选A.
答案 A
点评 本题考查集合的补集,交集的运算,在求补集时要掌握好补集的定义及补集的性质:A∩(∁UA)=⌀,A∪(∁UA)=U的应用,不要出现错误.
2.考向 函数的概念、指数函数、对数函数的简单应用
分析 根据函数f(x)的解析式,由根式内部的代数式大于或等于0,对数的真数大于0联立得不等式组,求解x的解集即可.
解析 由题意得3-x>0,2x-4≥0,解得2≤x<3,所以函数f(x)的定义域为[2,3).故选D.
答案 D
点评 本题考查具体函数定义域的求解,解题时要熟悉一些常见基本初等函数求定义域的原则:分式(分母不为零)、二次根式(二次根式里面的整体大于或等于零)、对数(对数的底数大于零且不等于1、真数大于零)、零指数幂(底数不等于零),然后对每一部分所满足的条件求交集即可.
3.考向 全称量词命题的否定
分析 直接利用全称量词命题的否定是存在量词命题,写出命题的否定即可.
解析 因为全称量词命题的否定是存在量词命题,所以命题“∀x∈R,|x|+x2≥0”的否定是“∃x∈R,|x|+x2<0”.故选C.
答案 C
点评 本题易错点在于误认为全称量词命题与存在量词命题的否定只改变命题量词,或只否定结论.全称量词命题与存在量词命题的否定,可以将条件和结论看成两部分,分别进行处理,同时在否定结论时注意结论的否定形式.
4.第四章指数函数与对数函数 4.2指数函数4.4对数函数考向 函数的单调性、函数的奇偶性
分析 根据题意,先求函数的定义域,再判断奇偶性,最后可以利用基本初等函数的单调性判断,依次分析选项中函数的奇偶性与单调性,综合即可得答案.
解析 根据题意,依次分析选项:
对于A,y=-log2x,是对数函数,定义域为(0,+∞),不关于原点对称,故y=-log2x是非奇非偶函数,不符合题意;
对于B,y=-x3,是幂函数,定义域为R,关于原点对称,既是奇函数又是减函数,但不是定义域上的减函数,符合题意;
对于C,y=1x,是反比例函数,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,是奇函数,在(-∞,0),(0,+∞)上是减函数,但不是定义域上的减函数,不符合题意;
对于D,y=12x,定义域为R,根据指数函数的图象可知y=12x为非奇非偶函数,不符合题意.故选B.
答案 B
点评 本题考查函数奇偶性与单调性的判定,关键是掌握函数奇偶性与单调性的定义和性质,以及基本初等函数的奇偶性与单调性,对于奇偶性的判断,一定要先看函数的定义域,如果定义域不是关于原点的对称区间,则一定是非奇非偶函数.
5.考向 指数函数的图像和性质、对数函数的图像和性质
分析 根据题意,分01两种情况,根据指数函数、对数函数图像特征,对四个选项中的图像逐一进行判断,排除不符合条件的选项即可.
解析 A中,根据函数y=ax的图像特征,知a>1,此时0<1a<1,函数y=log1ax应为减函数,显然不符合;
B中,根据函数y=ax的图像特征,知01,函数y=log1ax应为增函数,显然不符合;
C中,根据函数y=ax的图像特征,知a>1,此时0<1a<1,函数y=log1ax应为减函数,显然C符合;
D中,函数y=log1ax的定义域为(0,+∞),显然不符合.故选C.
答案 C
点评 本题主要考查指数函数、对数函数的图像和性质,需要熟练掌握指数函数、对数函数的图像和性质,题中利用指数函数、对数函数的定义域、单调性进行判断是解题的关键.
6.考向 指数函数的图像和性质
分析 根据指数函数、对数函数的性质,分别判断a,b,c的取值范围即可得结果.
解析 由对数函数的图像和性质知,a=log30.5
综上可得b>c>a,故选B.
答案 B
点评 本题考查大小比较,解题的关键是利用指数函数、对数函数的性质,对于底数不同、指数不同、真数不同的指数、对数值的大小比较,不便于直接利用单调性时,可以借助中间量,比如“1”“0”或者“-1”等来进行大小比较.
7.考向 基本不等式的应用
分析 根据题意,分析可得8n+m=mn,进而可得8m+1n=1,则m+2n=(m+2n)8m+1n,结合基本不等式可得答案.
解析 ∵m(n-1)=8n,m>0,n>0,∴8n+m=mn,进而可得8m+1n=1,
则m+2n=(m+2n)8m+1n=8+16nm+mn+2=10+16nm+mn≥10+216nm·mn=18,当且仅当16nm=mn,即m=12,n=3时,等号成立,所以m+2n的最小值为18.故选A.
答案 A
点评 本题考查利用基本不等式求最值,在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中①“正”(即条件要求中字母为正数)、②“定”(不等式的另一边必须为定值)、③“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.
8.考向 充分条件与必要条件的判断
分析 首先,阅读理解题意,再利用充分必要条件的定义进行判断即可.
解析 由题意可知,原诗句为“不破楼兰”则“不返家乡”,此句话等同于“返回家乡”则“攻破楼兰”,所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件.故选A.
答案 A
点评 正确理解充分、必要条件的定义:若P⇒Q,则P是Q成立的充分条件,若Q⇒P,则P是Q成立的必要条件.若P⇔Q,则P是Q成立的充要条件.
9.考向 函数的定义域、函数的奇偶性
分析 根据题意,先求函数的定义域,分析可得其定义域关于原点对称,然后可以化简函数的解析式,再判断f(-x)与f(x)的关系,即可得到答案.
解析 对于函数f(x)=1-x2|x+3|-3,要使函数f(x)有意义,则1-x2≥0,|x+3|-3≠0解得-1≤x≤1且x≠0,所以函数f(x)的定义域为{x|-1≤x≤1且x≠0},关于原点对称.函数f(x)=1-x2|x+3|-3=1-x2x,又因为f(-x)=1-x2-x=-f(x),所以函数f(x)为奇函数.
故选A.
答案 A
点评 本题考查函数的奇偶性,而化简函数解析式是正确判断f(-x)与f(x)关系的重要环节,在函数定义域内化简又是关键一步,所以本题隐含的解题关键就是求函数的定义域,所有研究函数的问题都离不开函数的定义域,这一点要牢记.
10.考向 函数的单调性,分段函数的性质
分析 根据题意,函数f(x)=x2,x>1,(4-a2)x-1,x≤1是R上的增函数,则分段函数在每一段上都是单调递增的,且在分界点处也是单调递增的,由此得到关于a的不等式组,即可求得a的取值范围.
解析 因为函数f(x)=x2,x>1,(4-a2)x-1,x≤1是R上的增函数,
所以当x≤1时,f(x)=4-a2x-1单调递增,则有4-a2>0,解得a<8,
又函数在(-∞,+∞)上是增函数,4-a2×1-1≤1,即3-a2≤1,解得a≥4.
综上可得4≤a<8,故选B.
答案 B
点评 本题主要考查分段函数的单调性,首先要保证分段函数在每一段上的单调性相同,还要保证分段函数在分界点处也是单调的才可以,这也是同学们容易错的地方,此外熟练掌握基本初等函数的性质是正确解题的关键.
11.考向 函数的概念、函数的性质
分析 根据二次函数的图像和性质可得,函数y=x2-4x-4的图像开口向上,对称轴为x=2,故f(0)=f(4)=-4,f(2)=-8,可得m的取值范围,从而求得结果.
解析 由题意知:函数y=x2-4x-4的图像是开口向上,对称轴为x=2的抛物线,
所以f(0)=f(4)=-4,f(2)=-8,
又因为函数y=x2-4x-4的定义域为[0,m],值域为[-8,-4],所以2≤m≤4,即m的取值范围是[2,4].故选ABC.
答案 ABC
点评 本题主要考查了二次函数对称性的应用,及函数的值域,其中根据函数图像的对称性和合理利用二次函数的图像与性质求解是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力.
12.考向 利用基本不等式求最值,不等式性质的应用
分析 对四个选项逐一判断,利用不等式的性质以及基本不等式分析得出正确结论,A选项作差判断,B选项作差判断,C、D选项利用基本不等式判断.
解析 A选项,因为a2+1-a=a-122+34>0恒成立,故a2+1>a恒成立;
B选项,a2+9-6a=(a-3)2≥0,因为当a=3时等号成立,所以a2+9>6a当a=3时不成立;
C选项,∵a>0,b>0,∴(a+b)1a+1b=2+ba+ab≥4,当且仅当a=b时等号成立,故(a+b)1a+1b≥4恒成立;
D选项,∵a>0,b>0,∴a+1a≥2,b+1b≥2,∴a+1ab+1b≥4,当且仅当a=b=1时等号成立,故a+1ab+1b≥4恒成立.故选ACD.
答案 ACD
点评 本题考查基本不等式,要判断一个命题正确,应该给出简单证明,要判断一个命题错误,要能够举出反例,这样才能保证结果的准确性,体现了逻辑推理、数学运算的核心素养.
12.考向 函数的图像和性质、函数的奇偶性、函数的单调性
分析 根据基本初等函数的性质,结合函数奇偶性的定义、函数单调性的判断规律,对每个选项逐步排除,一一筛选,即可得出结果.
解析 对于A,f(x)=12 x2-x为复合函数,令y=12u,u=x2-x,因为y=12u是指数函数,在R上是减函数,u=x2-x是二次函数,在-∞,12上单调递减,在12,+∞上单调递增,所以函数f(x)=12 x2-x的单调递增区间为-∞,12,故正确;
对于B,f(x)=2x-12x+1,函数的定义域为R,f(-x)=2-x-12-x+1=1-2x1+2x=-f(x),所以f(x)为奇函数,故正确;
对于C,y=1x+1,函数的定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞),所以减区间不可能是(-∞,1),故错误;
对于D,1x>1⇔01,所以1x>1是x<1的充分不必要条件,故错误.故选CD.
答案 CD
点评 本题主要考查了基本初等函数的性质应用以及复合函数的单调性,综合的知识点较多,着重考查了分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力.
14.考向 对数运算
分析 化根式为分数指数幂,然后运用对数的运算性质化简即可.
答案 52
解析 12lg3249-43lg8+lg245+5log52
=12(lg32-lg49)-23lg8+12lg245+2
=52lg2-lg7-2lg2+12lg5+lg7+2=12(lg2+lg5)+2=52.
点评 本题主要考查对数的运算性质,如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么
(1)loga(M·N)=logaM+logaN;(2)logaMN=logaM+logaN;(3)logaMn=nlogaM;(4)alogaN=N.这些对数运算性质必须熟记,也是我们准确进行对数运算的关键.
15.考向 函数的奇偶性
分析 根据题意,设x<0,得到-x>0,代入已知中所给函数f(x)的解析式,利用奇函数的性质即可求解.
答案 f(x)=x(1+x)
解析 根据题意,函数的定义域是R,当x≥0时,f(x)=x(1-x),设x<0,则-x>0,∴f(-x)=-x(1+x),因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),
所以-f(x)=-x(1+x),即f(x)=x(1+x)(x<0).
点评 本题考查了根据函数奇偶性求函数解析式,一定要注意让求哪一区间上的函数解析式,必须设自变量“x”在哪一区间上,这样保证解题过程中无论怎样变换,最后的结果也是所要求的.
16.考向 分段函数的概念
分析 根据题意,得f20192=f2×505-12=f-12,再根据分段函数的解析式代入即可.
答案 1
解析 ∵函数f(x)=-4x2+2,-1≤x<0,x,0≤x<1,且满足f(x+2)=f(x),所以f20192=f2×505-12=f-12=-4×-122+2=1.
点评 本题主要考查了分段函数求值问题,要加强对分段函数的理解,分段函数是指在定义域的不同阶段上的对应法则不同,因此分段函数求函数值时,一定要判断自变量属于哪一段,代入相应的解析式求值,本题首先要将自变量转化到已知分段函数的定义域内,然后确定代入哪一段分段函数,准确计算是完成解答的关键,考查了推理运算能力.
17.考向 函数的奇偶性、函数的单调性
分析 根据题意,利用赋值法分析可得f(4)=2,结合函数单调性的定义分析可得函数f(x)在区间(0,+∞)上为增函数,据此可得f(x)+f(x-3)≤2⇒f(x(x-3))≤f(4)⇒0
解析 函数f(x)的定义域为(0,+∞),且满足f(ab)=f(a)+f(b),f12=-1,
令a=b=1,则f(1×1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0,
令a=2,b=12,则f(1)=f2×12=f(2)+f12=0,
所以f(2)=-f12=1,
令a=b=2,则f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2)=2,即f(4)=2,
又由于0
18.考向 幂函数的图像和性质
分析 (1)根据幂函数的定义求出m的值,再利用奇偶性进行检验,即可求出函数解析式.
(2)求出函数g(x)的解析式,根据二次函数的单调性求出a的值即可.
解析 (1)由题意知函数f(x)=(m2-5m+7)xm-1为幂函数,则m2-5m+7=1,解得m=2或m=3,
又因为函数f(x)为偶函数,所以m=3,
故f(x)=x2.
(2)g(x)=f(x)-ax-3=x2-ax-3,g(x)图象的对称轴为x=a2,
∵g(x)在[1,3]上不是单调函数,∴1
19.考向 集合的运算,解指数、对数不等式
分析 (1)根据指数函数和对数函数的单调性化简集合A、B,再进行交、并、补运算;
(2)对集合C进行分类讨论,求出a的取值范围.
解析 (1)3≤3x≤27,即31≤3x≤33,根据指数函数的单调性得,1≤x≤3,
∴A={x|1≤x≤3}.又∵log2x>1=log22,∴x>2,∴B={x|x>2}.
∴A∩B={x|1≤x≤3}∩{x|x>2}={x|2
(2)由(1)知,A={x|1≤x≤3},若C⊆A,
则当C=⌀时,得a≤1,当C≠⌀时,得1
点评 本题考查集合的交集、并集、补集的运算,由集合的包含关系求解参数取值范围,关键是能够通过集合的包含关系,建立含参数的不等式再求解,体现了转化与化归的数学思想.易错点为忽略集合C为空集的情况,在解决有关A∩B=⌀,A⊆B等集合问题时,往往易忽略空集的情况,一定要先考虑⌀是否成立,以防漏解.
20.考向 解一元二次不等式
分析 根据题意,首先对a分类讨论,利用一元二次不等式解集的规律即可得出a的取值范围,然后再利用所得结论解不等式即可.
解析 根据题意,不等式ax2+2ax+1≥0对任意x∈R恒成立,则
①当a=0时,原不等式可得,1≥0,不等式恒成立;
②当a≠0时,则a>0,Δ=4a2-4a≤0,解得0
由x2-x-a2+a<0得(x-a)[x-(1-a)]<0,
∵0≤a≤1,∴(ⅰ)当1-a>a,即0≤a<12时,a
(ⅲ)当1-a
当12
21.考向 函数的奇偶性,指数函数的图像和性质
分析 (1)由分式成立的条件可得2x-1≠0,从而可得函数的定义域;
(2)由函数是奇函数可得f(-x)=-f(x)对定义域内的任意x都成立,求出a的值,再结合函数的单调性求出函数的值域.
解析 (1)根据题意,使函数f(x)=a+22x+1有意义,则
有2x-1≠0,可得x≠0.
所以,函数f(x)的定义域为{x|x≠0}.
(2)∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),即f(-x)+f(x)=0,
∵f(-x)=a+22-x-1=a+2·2x1-2x=a-2(2x-1)+22x-1=(a-2)-22x-1,
∴f(-x)+f(x)=(a-2)-22x-1+a+22x-1=2a-2=0,
∴a=1,∴f(x)=1+22x-1,
当x>0时,2x-1>0,22x-1>0,∴f(x)>1,
当x<0时,因为函数是奇函数,∴f(x)<-1.
所以函数f(x)的值域为(-∞,-1)∪(1,+∞).
点评 本题考查函数的定义域、奇偶性、单调性的综合应用,结合指数函数的性质进行运算,熟练掌握幂指数的运算性质是正确解题的关键.
22.考向 函数应用题,二次函数,基本不等式
分析 (1)通过利润=销售收入-成本,分0
x≥80时,y=100x-101x+8100x-2180-500=1680-x+8100x,
∴y=-12x2+60x-500,0
x≥80时,y=1680-x+8100x≤1680-2x·8100x=1500,
当且仅当x=8100x,即x=90时,y取得最大值1500万元,
综上可得,年产量为90台时,该企业所获得利润最大,为1500万元.
点评 本题主要考查分段函数模型在实际生活中的应用,解题的关键是要把实际问题转化为数学问题,考查二次函数、基本不等式求最值,着重考查了分析问题和解决问题的能力,体现了数学建模的核心素养.
23.考向 函数的单调性
分析 (1)根据二次函数的单调性求出f(1)=1,f(3)=5,求出m,n的值;
(2)根据题意,运用定义法证明:任取x1,x2∈[2,+∞),设2≤x1
解析 (1)f(x)=m(x-1)2-m+n(m>0),对称轴为x=1,
∵m>0,∴f(x)在区间[1,3]上为增函数,∴f(1)=1,f(3)=5,解得m=1,n=2.
(2)证明:由(1)得f(x)=x2-2x+2,∴g(x)=f(x)x=x2-2x+2x=x+2x-2.
任取x1,x2∈[2,+∞),设2≤x1
因为2≤x12,x1-x2<0,所以g(x1)-g(x2)=(x1-x2)x1x2-2x1x2<0,
所以g(x1)
即g(2x)-k·2x=0在x∈[-1,1]上有解,
即2x+22x-2-k·2x=0在x∈[-1,1]上有解,
分离参数得k=1+2·12x2-2·12x在x∈[-1,1]上有解.
令t=12x,则t∈12,2,
即k=2t2-2t+1在t∈12,2上有解,
k=2t2-2t+1=2t-122+12∈12,5,
所以k的取值范围是12,5.
点评 本题考查函数的单调性的判断和证明,注意运用定义法解题,考查运算能力,本题中函数f(x)=x+kx(k>0)其实就是经常用到的“对勾函数”,它的单调增区间为(-∞,-k),(k,+∞),单调减区间为(-k,0),(0,k).方程在某个区间有解常用的方法是“参变分离”,化为f(x)=a在某个区间有解,转化为求f(x)的值域.本题多次用到转化与化归的思想方法,注意体会并掌握.
【全国百强校】山东省济宁市嘉祥一中2019-2020学年度第一学期关于期中检测数学试卷15
2019~2020学年度高一年级模块检测试题
高一数学
满分:150分 时间:120分钟
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)
1.(★)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,6},B={1,3,5,7},则A∩(∁UB)等于 ( )
A.{2,4,6} B.{1,3,5} C.{2,4,5} D.{2,5}
2.(★)函数f(x)=ln(3-x)+2x-4的定义域为 ( )
A.(2,3) B.[2,+∞) C.(-∞,3) D.[2,3)
3.(★)命题“∀x∈R,|x|+x3≥0”的否定是 ( )
A.∀x∈R,|x|+x2<0 B.∀x∈R,|x|+x2≤0
C.∃x∈R|x|+x2<0 D.∃x∈R,|x|+x2≥0
4.(★)下列函数中,既是奇函数又在定义域内单调递减的函数为 ( )
A.y=-log2x B.y=-x3
C.y=1x D.y=12x
5.(★★)函数y=ax与y=log1ax(a>0且a≠1)在同一坐标系中的图像只可能是 ( )
6.(★★)已知a=log30.5,b=30.5,c=0.30.3,则a、b、c三者的大小关系是 ( )
A.a>b>c B.b>c>a C.b>a>c D.c>b>a
7.(★★)已知正数m,n满足m(n-1)=8n,则m+2n的最小值是 ( )
A.18 B.16 C.8 D.10
8.(★★)王昌龄是盛唐著名的边塞诗人,被誉为“七绝圣手”,其《从军行》传诵至今,“青海长云暗雪山,孤城遥望玉门关,黄沙百战穿金甲,不破楼兰终不还”,由此推断,其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的 ( )
A.必要条件
B.充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
9.(★★)函数f(x)=1-x2|x+3|-3的奇偶性是 ( )
A.奇函数 B.偶函数
C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数
10.(★★)已知函数f(x)=x2,x>1,(4-a2)x-1,x≤1.若f(x)是R上的增函数,则实数a的取值范围为 ( )
A.(1,+∞) B.[4,8) C.[1,4) D.[2,8)
二、多选题(本大题共3小题,每小题4分,共12分)
11.(★★)若函数y=x2-4x-4的定义域为[0,m],值域为[-8,-4],则实数m的值可能为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
12.(★★)设a>0,b>0,则下列不等式恒成立的是 ( )
A.a2+1>a B.a2+9>6a
C.(a+b)1a+1b≥4 D.a+1ab+1b≥4
13.(★★)下列结论中不正确的有 ( )
A.函数f(x)=12 x2-x的单调递增区间为-∞,12
B.函数f(x)=2x-12x+1为奇函数
C.函数y=1x+1的单调递减区间是(-∞,1)和(1,+∞)
D.1x>1是x<1的必要不充分条件
第Ⅱ卷(非选择题,98分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)
14.(★★)化简求值:12lg3249-43lg8+lg245+5log52=
15.(★★)设函数f(x)是定义域为R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(1-x),则x<0时,f(x)的解析式为 .
16.(★★)设f(x)是定义在R上的函数,且满足f(x+2)=f(x),当x∈[-1,1)时,f(x)=-4x2+2,-1≤x<0,x,0≤x<1,则f20192= .
17.(★★★)已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且满足f(ab)=f(a)+f(b),f12=-1,如果对0
18.(★★)已知幂函数f(x)=(m2-5m+7)xm-1为偶函数.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若g(x)=f(x)-ax-3在[1,3]上不是单调函数,求实数a的取值范围.
19.(★★)已知集合A={x|3≤3x≤27},B={x|log2x>1}.
(1)求A∩B,(∁RB)∪A;
(2)已知集合C={x|1
21.(★★)已知函数f(x)=a+22x-1.
(1)求f(x)的定义域;
(2)若f(x)为奇函数,求a的值,并求f(x)的值域.
22.(★★)山东新旧动能转换综合试验区是党的十九大后获批的首个区域性国家发展战略,也是中国第一个以新旧动能转换为主题的区域发展战略.泰安某高新技术企业决定抓住发展.加快企业发展,已知该企业的年固定成本为500万元,每生产设备x(x>0)台,需另投入成本y1万元.若年产量不足80台,则y1=12x2+40x;若年产量不小于80台,则y1=101x+8100x-2180,每台设备售价为100万元,通过市场分析,该企业生产的设备能全部售完.
(1)写出年利润y(万元)关于年产量x(台)的关系式;
(2)年产量为多少台时,该企业所获利润最大?
23.(★★★)已知函数f(x)=mx2-2mx+n(m>0)在区间[1,3]上的最大值为5,最小值为1,设g(x)=f(x)x.
(1)求m、n的值;
(2)证明:函数g(x)在2,+∞上是增函数;
(3)若函数F(x)=g(2x)-k·2x=0,x∈[-1,1]能成立,求实数k的取值范围.
【全国百强校】山东省济宁市嘉祥一中2019-2020学年度第一学期关于期中检测数学试卷15
答案全解全析
1.考向 集合的运算、解不等式
分析 根据全集及补集的定义求出B的补集,再根据交集的定义运算即可.
解析 全集U={1,2,3,4,5,6,7},B={1,3,5,7},
∴∁UB={2,4,6},
又∵A={2,4,6},∴A∩(∁UB)={2,4,6},
故选A.
答案 A
点评 本题考查集合的补集,交集的运算,在求补集时要掌握好补集的定义及补集的性质:A∩(∁UA)=⌀,A∪(∁UA)=U的应用,不要出现错误.
2.考向 函数的概念、指数函数、对数函数的简单应用
分析 根据函数f(x)的解析式,由根式内部的代数式大于或等于0,对数的真数大于0联立得不等式组,求解x的解集即可.
解析 由题意得3-x>0,2x-4≥0,解得2≤x<3,所以函数f(x)的定义域为[2,3).故选D.
答案 D
点评 本题考查具体函数定义域的求解,解题时要熟悉一些常见基本初等函数求定义域的原则:分式(分母不为零)、二次根式(二次根式里面的整体大于或等于零)、对数(对数的底数大于零且不等于1、真数大于零)、零指数幂(底数不等于零),然后对每一部分所满足的条件求交集即可.
3.考向 全称量词命题的否定
分析 直接利用全称量词命题的否定是存在量词命题,写出命题的否定即可.
解析 因为全称量词命题的否定是存在量词命题,所以命题“∀x∈R,|x|+x2≥0”的否定是“∃x∈R,|x|+x2<0”.故选C.
答案 C
点评 本题易错点在于误认为全称量词命题与存在量词命题的否定只改变命题量词,或只否定结论.全称量词命题与存在量词命题的否定,可以将条件和结论看成两部分,分别进行处理,同时在否定结论时注意结论的否定形式.
4.第四章指数函数与对数函数 4.2指数函数4.4对数函数考向 函数的单调性、函数的奇偶性
分析 根据题意,先求函数的定义域,再判断奇偶性,最后可以利用基本初等函数的单调性判断,依次分析选项中函数的奇偶性与单调性,综合即可得答案.
解析 根据题意,依次分析选项:
对于A,y=-log2x,是对数函数,定义域为(0,+∞),不关于原点对称,故y=-log2x是非奇非偶函数,不符合题意;
对于B,y=-x3,是幂函数,定义域为R,关于原点对称,既是奇函数又是减函数,但不是定义域上的减函数,符合题意;
对于C,y=1x,是反比例函数,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,是奇函数,在(-∞,0),(0,+∞)上是减函数,但不是定义域上的减函数,不符合题意;
对于D,y=12x,定义域为R,根据指数函数的图象可知y=12x为非奇非偶函数,不符合题意.故选B.
答案 B
点评 本题考查函数奇偶性与单调性的判定,关键是掌握函数奇偶性与单调性的定义和性质,以及基本初等函数的奇偶性与单调性,对于奇偶性的判断,一定要先看函数的定义域,如果定义域不是关于原点的对称区间,则一定是非奇非偶函数.
5.考向 指数函数的图像和性质、对数函数的图像和性质
分析 根据题意,分0
解析 A中,根据函数y=ax的图像特征,知a>1,此时0<1a<1,函数y=log1ax应为减函数,显然不符合;
B中,根据函数y=ax的图像特征,知0
C中,根据函数y=ax的图像特征,知a>1,此时0<1a<1,函数y=log1ax应为减函数,显然C符合;
D中,函数y=log1ax的定义域为(0,+∞),显然不符合.故选C.
答案 C
点评 本题主要考查指数函数、对数函数的图像和性质,需要熟练掌握指数函数、对数函数的图像和性质,题中利用指数函数、对数函数的定义域、单调性进行判断是解题的关键.
6.考向 指数函数的图像和性质
分析 根据指数函数、对数函数的性质,分别判断a,b,c的取值范围即可得结果.
解析 由对数函数的图像和性质知,a=log30.5
综上可得b>c>a,故选B.
答案 B
点评 本题考查大小比较,解题的关键是利用指数函数、对数函数的性质,对于底数不同、指数不同、真数不同的指数、对数值的大小比较,不便于直接利用单调性时,可以借助中间量,比如“1”“0”或者“-1”等来进行大小比较.
7.考向 基本不等式的应用
分析 根据题意,分析可得8n+m=mn,进而可得8m+1n=1,则m+2n=(m+2n)8m+1n,结合基本不等式可得答案.
解析 ∵m(n-1)=8n,m>0,n>0,∴8n+m=mn,进而可得8m+1n=1,
则m+2n=(m+2n)8m+1n=8+16nm+mn+2=10+16nm+mn≥10+216nm·mn=18,当且仅当16nm=mn,即m=12,n=3时,等号成立,所以m+2n的最小值为18.故选A.
答案 A
点评 本题考查利用基本不等式求最值,在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中①“正”(即条件要求中字母为正数)、②“定”(不等式的另一边必须为定值)、③“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.
8.考向 充分条件与必要条件的判断
分析 首先,阅读理解题意,再利用充分必要条件的定义进行判断即可.
解析 由题意可知,原诗句为“不破楼兰”则“不返家乡”,此句话等同于“返回家乡”则“攻破楼兰”,所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件.故选A.
答案 A
点评 正确理解充分、必要条件的定义:若P⇒Q,则P是Q成立的充分条件,若Q⇒P,则P是Q成立的必要条件.若P⇔Q,则P是Q成立的充要条件.
9.考向 函数的定义域、函数的奇偶性
分析 根据题意,先求函数的定义域,分析可得其定义域关于原点对称,然后可以化简函数的解析式,再判断f(-x)与f(x)的关系,即可得到答案.
解析 对于函数f(x)=1-x2|x+3|-3,要使函数f(x)有意义,则1-x2≥0,|x+3|-3≠0解得-1≤x≤1且x≠0,所以函数f(x)的定义域为{x|-1≤x≤1且x≠0},关于原点对称.函数f(x)=1-x2|x+3|-3=1-x2x,又因为f(-x)=1-x2-x=-f(x),所以函数f(x)为奇函数.
故选A.
答案 A
点评 本题考查函数的奇偶性,而化简函数解析式是正确判断f(-x)与f(x)关系的重要环节,在函数定义域内化简又是关键一步,所以本题隐含的解题关键就是求函数的定义域,所有研究函数的问题都离不开函数的定义域,这一点要牢记.
10.考向 函数的单调性,分段函数的性质
分析 根据题意,函数f(x)=x2,x>1,(4-a2)x-1,x≤1是R上的增函数,则分段函数在每一段上都是单调递增的,且在分界点处也是单调递增的,由此得到关于a的不等式组,即可求得a的取值范围.
解析 因为函数f(x)=x2,x>1,(4-a2)x-1,x≤1是R上的增函数,
所以当x≤1时,f(x)=4-a2x-1单调递增,则有4-a2>0,解得a<8,
又函数在(-∞,+∞)上是增函数,4-a2×1-1≤1,即3-a2≤1,解得a≥4.
综上可得4≤a<8,故选B.
答案 B
点评 本题主要考查分段函数的单调性,首先要保证分段函数在每一段上的单调性相同,还要保证分段函数在分界点处也是单调的才可以,这也是同学们容易错的地方,此外熟练掌握基本初等函数的性质是正确解题的关键.
11.考向 函数的概念、函数的性质
分析 根据二次函数的图像和性质可得,函数y=x2-4x-4的图像开口向上,对称轴为x=2,故f(0)=f(4)=-4,f(2)=-8,可得m的取值范围,从而求得结果.
解析 由题意知:函数y=x2-4x-4的图像是开口向上,对称轴为x=2的抛物线,
所以f(0)=f(4)=-4,f(2)=-8,
又因为函数y=x2-4x-4的定义域为[0,m],值域为[-8,-4],所以2≤m≤4,即m的取值范围是[2,4].故选ABC.
答案 ABC
点评 本题主要考查了二次函数对称性的应用,及函数的值域,其中根据函数图像的对称性和合理利用二次函数的图像与性质求解是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力.
12.考向 利用基本不等式求最值,不等式性质的应用
分析 对四个选项逐一判断,利用不等式的性质以及基本不等式分析得出正确结论,A选项作差判断,B选项作差判断,C、D选项利用基本不等式判断.
解析 A选项,因为a2+1-a=a-122+34>0恒成立,故a2+1>a恒成立;
B选项,a2+9-6a=(a-3)2≥0,因为当a=3时等号成立,所以a2+9>6a当a=3时不成立;
C选项,∵a>0,b>0,∴(a+b)1a+1b=2+ba+ab≥4,当且仅当a=b时等号成立,故(a+b)1a+1b≥4恒成立;
D选项,∵a>0,b>0,∴a+1a≥2,b+1b≥2,∴a+1ab+1b≥4,当且仅当a=b=1时等号成立,故a+1ab+1b≥4恒成立.故选ACD.
答案 ACD
点评 本题考查基本不等式,要判断一个命题正确,应该给出简单证明,要判断一个命题错误,要能够举出反例,这样才能保证结果的准确性,体现了逻辑推理、数学运算的核心素养.
12.考向 函数的图像和性质、函数的奇偶性、函数的单调性
分析 根据基本初等函数的性质,结合函数奇偶性的定义、函数单调性的判断规律,对每个选项逐步排除,一一筛选,即可得出结果.
解析 对于A,f(x)=12 x2-x为复合函数,令y=12u,u=x2-x,因为y=12u是指数函数,在R上是减函数,u=x2-x是二次函数,在-∞,12上单调递减,在12,+∞上单调递增,所以函数f(x)=12 x2-x的单调递增区间为-∞,12,故正确;
对于B,f(x)=2x-12x+1,函数的定义域为R,f(-x)=2-x-12-x+1=1-2x1+2x=-f(x),所以f(x)为奇函数,故正确;
对于C,y=1x+1,函数的定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞),所以减区间不可能是(-∞,1),故错误;
对于D,1x>1⇔0
答案 CD
点评 本题主要考查了基本初等函数的性质应用以及复合函数的单调性,综合的知识点较多,着重考查了分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力.
14.考向 对数运算
分析 化根式为分数指数幂,然后运用对数的运算性质化简即可.
答案 52
解析 12lg3249-43lg8+lg245+5log52
=12(lg32-lg49)-23lg8+12lg245+2
=52lg2-lg7-2lg2+12lg5+lg7+2=12(lg2+lg5)+2=52.
点评 本题主要考查对数的运算性质,如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么
(1)loga(M·N)=logaM+logaN;(2)logaMN=logaM+logaN;(3)logaMn=nlogaM;(4)alogaN=N.这些对数运算性质必须熟记,也是我们准确进行对数运算的关键.
15.考向 函数的奇偶性
分析 根据题意,设x<0,得到-x>0,代入已知中所给函数f(x)的解析式,利用奇函数的性质即可求解.
答案 f(x)=x(1+x)
解析 根据题意,函数的定义域是R,当x≥0时,f(x)=x(1-x),设x<0,则-x>0,∴f(-x)=-x(1+x),因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),
所以-f(x)=-x(1+x),即f(x)=x(1+x)(x<0).
点评 本题考查了根据函数奇偶性求函数解析式,一定要注意让求哪一区间上的函数解析式,必须设自变量“x”在哪一区间上,这样保证解题过程中无论怎样变换,最后的结果也是所要求的.
16.考向 分段函数的概念
分析 根据题意,得f20192=f2×505-12=f-12,再根据分段函数的解析式代入即可.
答案 1
解析 ∵函数f(x)=-4x2+2,-1≤x<0,x,0≤x<1,且满足f(x+2)=f(x),所以f20192=f2×505-12=f-12=-4×-122+2=1.
点评 本题主要考查了分段函数求值问题,要加强对分段函数的理解,分段函数是指在定义域的不同阶段上的对应法则不同,因此分段函数求函数值时,一定要判断自变量属于哪一段,代入相应的解析式求值,本题首先要将自变量转化到已知分段函数的定义域内,然后确定代入哪一段分段函数,准确计算是完成解答的关键,考查了推理运算能力.
17.考向 函数的奇偶性、函数的单调性
分析 根据题意,利用赋值法分析可得f(4)=2,结合函数单调性的定义分析可得函数f(x)在区间(0,+∞)上为增函数,据此可得f(x)+f(x-3)≤2⇒f(x(x-3))≤f(4)⇒0
解析 函数f(x)的定义域为(0,+∞),且满足f(ab)=f(a)+f(b),f12=-1,
令a=b=1,则f(1×1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0,
令a=2,b=12,则f(1)=f2×12=f(2)+f12=0,
所以f(2)=-f12=1,
令a=b=2,则f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2)=2,即f(4)=2,
又由于0
18.考向 幂函数的图像和性质
分析 (1)根据幂函数的定义求出m的值,再利用奇偶性进行检验,即可求出函数解析式.
(2)求出函数g(x)的解析式,根据二次函数的单调性求出a的值即可.
解析 (1)由题意知函数f(x)=(m2-5m+7)xm-1为幂函数,则m2-5m+7=1,解得m=2或m=3,
又因为函数f(x)为偶函数,所以m=3,
故f(x)=x2.
(2)g(x)=f(x)-ax-3=x2-ax-3,g(x)图象的对称轴为x=a2,
∵g(x)在[1,3]上不是单调函数,∴1
19.考向 集合的运算,解指数、对数不等式
分析 (1)根据指数函数和对数函数的单调性化简集合A、B,再进行交、并、补运算;
(2)对集合C进行分类讨论,求出a的取值范围.
解析 (1)3≤3x≤27,即31≤3x≤33,根据指数函数的单调性得,1≤x≤3,
∴A={x|1≤x≤3}.又∵log2x>1=log22,∴x>2,∴B={x|x>2}.
∴A∩B={x|1≤x≤3}∩{x|x>2}={x|2
(2)由(1)知,A={x|1≤x≤3},若C⊆A,
则当C=⌀时,得a≤1,当C≠⌀时,得1
点评 本题考查集合的交集、并集、补集的运算,由集合的包含关系求解参数取值范围,关键是能够通过集合的包含关系,建立含参数的不等式再求解,体现了转化与化归的数学思想.易错点为忽略集合C为空集的情况,在解决有关A∩B=⌀,A⊆B等集合问题时,往往易忽略空集的情况,一定要先考虑⌀是否成立,以防漏解.
20.考向 解一元二次不等式
分析 根据题意,首先对a分类讨论,利用一元二次不等式解集的规律即可得出a的取值范围,然后再利用所得结论解不等式即可.
解析 根据题意,不等式ax2+2ax+1≥0对任意x∈R恒成立,则
①当a=0时,原不等式可得,1≥0,不等式恒成立;
②当a≠0时,则a>0,Δ=4a2-4a≤0,解得0
由x2-x-a2+a<0得(x-a)[x-(1-a)]<0,
∵0≤a≤1,∴(ⅰ)当1-a>a,即0≤a<12时,a
(ⅲ)当1-a
当12
21.考向 函数的奇偶性,指数函数的图像和性质
分析 (1)由分式成立的条件可得2x-1≠0,从而可得函数的定义域;
(2)由函数是奇函数可得f(-x)=-f(x)对定义域内的任意x都成立,求出a的值,再结合函数的单调性求出函数的值域.
解析 (1)根据题意,使函数f(x)=a+22x+1有意义,则
有2x-1≠0,可得x≠0.
所以,函数f(x)的定义域为{x|x≠0}.
(2)∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),即f(-x)+f(x)=0,
∵f(-x)=a+22-x-1=a+2·2x1-2x=a-2(2x-1)+22x-1=(a-2)-22x-1,
∴f(-x)+f(x)=(a-2)-22x-1+a+22x-1=2a-2=0,
∴a=1,∴f(x)=1+22x-1,
当x>0时,2x-1>0,22x-1>0,∴f(x)>1,
当x<0时,因为函数是奇函数,∴f(x)<-1.
所以函数f(x)的值域为(-∞,-1)∪(1,+∞).
点评 本题考查函数的定义域、奇偶性、单调性的综合应用,结合指数函数的性质进行运算,熟练掌握幂指数的运算性质是正确解题的关键.
22.考向 函数应用题,二次函数,基本不等式
分析 (1)通过利润=销售收入-成本,分0
x≥80时,y=100x-101x+8100x-2180-500=1680-x+8100x,
∴y=-12x2+60x-500,0
x≥80时,y=1680-x+8100x≤1680-2x·8100x=1500,
当且仅当x=8100x,即x=90时,y取得最大值1500万元,
综上可得,年产量为90台时,该企业所获得利润最大,为1500万元.
点评 本题主要考查分段函数模型在实际生活中的应用,解题的关键是要把实际问题转化为数学问题,考查二次函数、基本不等式求最值,着重考查了分析问题和解决问题的能力,体现了数学建模的核心素养.
23.考向 函数的单调性
分析 (1)根据二次函数的单调性求出f(1)=1,f(3)=5,求出m,n的值;
(2)根据题意,运用定义法证明:任取x1,x2∈[2,+∞),设2≤x1
解析 (1)f(x)=m(x-1)2-m+n(m>0),对称轴为x=1,
∵m>0,∴f(x)在区间[1,3]上为增函数,∴f(1)=1,f(3)=5,解得m=1,n=2.
(2)证明:由(1)得f(x)=x2-2x+2,∴g(x)=f(x)x=x2-2x+2x=x+2x-2.
任取x1,x2∈[2,+∞),设2≤x1
因为2≤x1
所以g(x1)
即g(2x)-k·2x=0在x∈[-1,1]上有解,
即2x+22x-2-k·2x=0在x∈[-1,1]上有解,
分离参数得k=1+2·12x2-2·12x在x∈[-1,1]上有解.
令t=12x,则t∈12,2,
即k=2t2-2t+1在t∈12,2上有解,
k=2t2-2t+1=2t-122+12∈12,5,
所以k的取值范围是12,5.
点评 本题考查函数的单调性的判断和证明,注意运用定义法解题,考查运算能力,本题中函数f(x)=x+kx(k>0)其实就是经常用到的“对勾函数”,它的单调增区间为(-∞,-k),(k,+∞),单调减区间为(-k,0),(0,k).方程在某个区间有解常用的方法是“参变分离”,化为f(x)=a在某个区间有解,转化为求f(x)的值域.本题多次用到转化与化归的思想方法,注意体会并掌握.
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