人教版新课标A必修43.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式同步测试题

第三章　三角恒等变换

3.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式

3.1.2　两角和与差的正弦、余弦、正切公式

基础过关练

题组一　给角求值

1.(2018吉林长春外国语学校高一下月考)cos 24°cos 36°-sin 24°sin 36°的值为(　　)

A.0 B. C. D.-

2.(2019江苏高一期末)计算sin 95°cos 50°-cos 95°·sin 50°的结果为(　　)

A.- B. C. D.

3.=(　　)

A. B. C.1 D.

4.在平面直角坐标系中,点O(0,0),P(6,8),将向量绕点O按逆时针方向旋转后得到向量,则点Q的坐标是(　　)

A.(-7,-) B.(-7,)

C.(-4,-2) D.(-4,2)

5.cos-sin的值是(　　)

A. B.- C.0 D.

6.(2019湖南师大附中高一期中)=　　　　. 

题组二　给值求角

7.已知α,β为锐角,且cos α=,cos β=,则α+β的值是(　　)

A. B. C. D.

8.(2018辽宁省实验中学高一期中)已知tan α,tan β是方程x2+3x+4=0的两根,且α,β∈,则α+β的值为(　　)

A. B.

C.或 D.或

9.若(tan α-1)(tan β-1)=2,求α+β的值.

10.(2019吉林省实验中学高三月考(理))已知方程x2+3ax+3a+1=0(a>1)的两根分别为tan α、tan β,且α,β∈,求α+β的值.

题组三　给值求值

11.若cos α=-,α是第三象限角,则sin=(　　)

A.- B. C.- D.

12.(2020吉林长春外国语学校高一下月考)已知α,β是锐角,且sin α=,cos β=,则sin(α+β)的值是(　　)

A. B. C. D.

13.(2019湖南师大附中高二期中)在△ABC中,已知cos A=,cos B=,则cos(A+B)的值为(　　)

A.-              B.-

C.或 D.

14.(2018广西马山金伦中学高一下期末)角α的终边经过点(2,-1),则tan的值为(　　)

A.- B. C.- D.

15.已知α为钝角,且sin=,求cos的值.

16.(2018安徽高一期末)若cos(α+60°)=-,30°<α<120°,求sin α的值.

17.(2020重庆一中高一上期末)已知sin=,α∈,求tan的值.

18.(2019浙江衢州高一下期末)已知sin(30°+α)=,60°<α<150°,求cos(30°+α)与cos α的值.

19.(2019山西师大附中高一二诊)在△ABC中,C=120°,tan A+tan B=,求tan A·tan B的值.

20.(2020湖南隆回一中高一上期末)已知点P(4,3)为角α终边上的一点.

(1)求sin α的值;

(2)求sin的值.

能力提升练

一、选择题

1.(★★☆)在△ABC中,如果sin A=2sin Ccos B,那么这个三角形是(　　)

A.锐角三角形 B.直角三角形

C.等腰三角形 D.等边三角形

2.(2020上海行知中学高一调研,★★☆)下列四个命题,其中是假命题的是(　　)

A.不存在无穷多个角α和β,使得sin(α+β)=sin α·cos β-cos αsin β

B.存在这样的角α和β,使得cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin β

C.对任意角α和β,都有cos(α+β)=cos αcos β-sin α·sin β

D.不存在这样的角α和β,使得sin(α+β)≠sin αcos β+cos αsin β

3.(★★☆)=(　　)

A.-1 B.1 C. D.-

二、填空题

4.(2020上海交通大学附中高一月考,★★☆)小瑗在解试题:“已知锐角α与β的值,求α+β的正弦值”时,误将两角和的正弦公式错记成了“sin(α+β)=cos αcos β+sin αsin β”,解得的结果为,发现与标准答案一致,那么原题中的锐角α的值为　　　　(写出所有的可能值). 

5.(2019安徽高考模拟,★★☆)(1+tan 20°)·(1+tan 25°)=　　　　. 

三、解答题

6.(2019上海金山中学高一下期中,★★☆)如图所示,在直角坐标系xOy中,角α的顶点是原点,始边与x轴正半轴重合,终边交单位圆于点A,且α∈.将角α的终边按逆时针方向旋转,交单位圆于点B.若点A的横坐标为,求点B的横坐标.

7.(2020吉林长春十一中高一上期末,★★☆)设cos α=-,tan β=,π<α<,0<β<.

(1)求sin(α-β)的值;

(2)求α-β的值.

8.(2019上海七宝中学高一下期中,★★☆)已知π<α<,π<β<,sin α=-,cos β=-.求:

(1)α-β的值;

(2)tan(2α-β)的值.

9.(★★★)已知△ABC中,B=60°,且+=-,若A>C,求A的值.

答案全解全析

第三章　三角恒等变换

3.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式

3.1.2　两角和与差的正弦、

余弦、正切公式

基础过关练

1.B　cos 24°cos 36°-sin 24°sin 36°

=cos(24°+36°)=cos 60°=.故选B.

2.C　sin 95°cos 50°-cos 95°sin 50°=sin(95°-50°)=sin 45°=.

3.A　==tan 30°=.

4.A　因为点O(0,0),P(6,8),所以=(6,8),设=(10cos θ,10sin θ),则cos θ=,sin θ=.设Q(x,y),则x=10cosθ+=10cos θcos-sin θsin=-7,y=10sinθ+=10sin θcos+cos θsin =-,所以点Q的坐标为(-7,-).

5.A　cos--sin-=cos+sin=cos+sin

=sincos+cossin

=sin+=sin=.

6.答案　1

解析　原式=

=

==1.

7.B　因为α,β为锐角,且cos α=,cos β=,所以sin α=,sin β=,

所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=-,由α,β为锐角,可得0<α+β<π,故α+β=,故选B.

8.A　∵tan α,tan β是方程x2+3x+4=0的两根,

∴tan α+tan β=-3,tan αtan β=4,

∴tan(α+β)===.

∵α,β∈,,

∴α,β∈,π,则α+β∈(π,2π),

∴α+β=.故选A.

9.解析　∵(tan α-1)(tan β-1)=2,

∴tan αtan β-tan α-tan β+1=2,

∴tan α+tan β=tan αtan β-1,

∴=-1,即tan(α+β)=-1,

∴α+β=kπ-,k∈Z.

10.解析　∵方程x2+3ax+3a+1=0的两根分别为tan α、tan β,

∴tan α+tan β=-3a,tan αtan β=3a+1,

∴tan(α+β)==1,

又∵α,β∈,

tan α+tan β=-3a<0,tan αtan β=3a+1>0,

∴tan α<0,tan β<0,∴α,β∈,

∴α+β∈(-π,0),又tan(α+β)=1,

∴α+β=-.

11.A　因为cos α=-,α是第三象限角,所以sin α=-,由两角和的正弦公式可得sinα+=sin αcos+cos αsin=-×+-×=- .

12.C　因为α,β是锐角,且sin α=,cos β=,所以cos α=,sin β=.

所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=×+×=,故选C.

13.A　在△ABC中,cos A=,cos B=,

∴sin A==,

sin B==,

∴cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B

=×-×=-.故选A.

14.D　∵角α的终边经过点(2,-1),

∴由三角函数的定义,可知tan α=-,

∴tanα+=

==.故选D.

15.解析　∵α是钝角,且sinα+=,

∴cosα+=-,

∴cosα+=cosα++

=cosα+cos-sinα+·sin=-×-×=-.

16.解析　因为cos(α+60°)=-,30°<α<120°,

所以sin(α+60°)==,

所以sin α=sin[(α+60°)-60°]=sin(α+60°)cos 60°-cos(α+60°)sin 60°

=×+×=.

17.解析　因为α∈,π,所以α+∈,,所以cosα+<0.

由sinα+=,可得cosα+=-,

所以tanα+==-.

所以tanα-=tanα+-

=

==-7.

18.解析　∵60°<α<150°,

∴90°<30°+α<180°,

∵sin(30°+α)=,

∴cos(30°+α)=-

=-=-.

∴cos α=cos[(30°+α)-30°]=cos(30°+α)cos 30°+sin(30°+α)·sin 30°

=×+×=.

19.解析　tan C=tan(π-A-B)=-tan(A+B)=-=-=-,所以tan Atan B=.

20.解析　(1)由题意得sin α==.

(2)由题意得cos α=,

∴sinα+=sin αcos +cos αsin =×+×=.

能力提升练

一、选择题

1.C　∵A+B+C=π,∴A=π-(B+C).

结合已知可得sin(B+C)=2sin Ccos B⇒sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Ccos B⇒sin Bcos C-cos Bsin C=0⇒sin(B-C)=0.

∵0<B<π,0<C<π,∴-π<B-C<π,∴B-C=0,∴B=C.又无法判断其是不是锐角、直角、等边三角形,故△ABC为等腰三角形.

2.A　对于选项A,当β=0时, sin(α+β)=sin α=sin α·1-cos α·0=sin α,此时α任意,故A为假命题;

对于选项B,当α=0时,cos(α+β)=cos β=1·cos β+0·sin β=cos β,故B为真命题;

对于选项C,为两角和的余弦公式的正确表达,故C为真命题;

对于选项D,原命题的逆否命题为当sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β时, 存在这样的角α和β,由两角和的正弦公式可知这是正确的,故为真命题,则原命题为真命题.

故选A.

3.D　∵tan 60°=tan(10°+50°)

=,

∴tan 10°+tan 50°=tan 60°-tan 60°tan 10°·tan 50°,

∴原式=

=

=-tan 60°=-.

二、填空题

4.答案　,,

解析　因为sin αcos β+cos αsin β=cos αcos β+sin αsin β,

所以sin αcos β-cos αcos β=sin αsin β-cos α·sin β,

所以(sin α-cos α)(sin β-cos β)=0,

又因为α与β为锐角,所以α=或β=,

当α=时,sin=,所以β=或β=,

当β=时,sin=,所以α=或α=,

综上可知,锐角α的可能值为,,.

故答案为,,.

5.答案　2

解析　因为(1+tan 20°)·(1+tan 25°)=1+tan 25°+tan 20°+tan 20°tan 25°,

且tan 45°=tan(25°+20°)==1,

所以tan 25°+tan 20°=1-tan 20°tan 25°,

所以(1+tan 20°)·(1+tan 25°)=1+1-tan 20°tan 25°+tan 20°tan 25°=2.

三、解答题

6.解析　设A(x1,y1),B(x2,y2).由三角函数的定义,得x1=cos α=,x2=cosα+.

因为α∈,,cos α=,所以sin α==.所以x2=cosα+=cos α-sin α=,

即点B的横坐标为.

7.解析　(1)因为π<α<,cos α=-,所以sin α=-.又0<β<,tan β=,所以sin β=,cos β=,

所以sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=×+×=-.

(2)因为0<β<,所以-<-β<0.

又π<α<,所以<α-β<.

因为sin(α-β)=-,所以α-β=.

8.解析　(1)∵π<α<,π<β<,

∴cos α<0,sin β<0,-<α-β<.

又sin α=-,cos β=-,

∴cos α=-,sin β=-.

∴sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β

=×-×

=-=-.

又-<α-β<,∴α-β=-.

(2)由(1)知tan(α-β)=tan=-1,tan α===,

∴tan(2α-β)=tan[α+(α-β)]

===-.

9.解析　由B=60°得A+C=120°.

设=α,则A=+=60°+α,

C=-=60°-α,

故+=+

=+

==.

故=-=-2,

整理得4cos2α+2cos α-3=0,

即(2cos α-)(2cos α+3)=0.

∵0°<A<120°,0°<C<120°,且A>C,

∴0°<α<60°,∴<cos α<1,

∴2cos α+3>0,∴2cos α-=0,

∴cos α=,故α=45°,A=60°+45°=105°.