高中数学人教版新课标A必修4第二章 平面向量综合与测试精练

第二章　平面向量

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易混易错练

易错点1　对向量的有关概念理解不清致错

1.(2020广东江门高一月考,★★☆)下列命题中:

①a∥b⇔存在唯一的实数λ,使得b=λa;

②e为单位向量,且a∥e,则a=±|a|e;

③|a·a·a|=|a|3;

④a与b共线,b与c共线,则a与c共线;

⑤若a·b=b·c且b≠0,则a=c.

其中正确命题的序号是　　　　. 

易错点2　分不清向量坐标与点的坐标致错

2.(★★☆)已知A(2,3),B(5,4),C(7,10),=+λ(λ∈R),点P在第三象限,求λ的取值范围.

易错点3　对向量共线的概念理解不全面致错

3.(★★☆)若向量a=(-1,x)与b=(-x,4)共线,求x的值.

易错点4　对向量的夹角理解有误致错

4.(★★☆)在△ABC中,已知||=6,||=5,∠A=30°,求·.

5.(★★☆)已知a,b的夹角为120°,且|a|=1,|b|=2,当向量a+λb与λa+b的夹角为钝角时,求λ的取值范围.

6.(★★☆)已知单位向量e1与e2的夹角为α,且cos α=,向量a=3e1-2e2与b=3e1-e2的夹角为β,求cos β的值.

思想方法练

一、方程思想在向量运算及求参数中的应用

1.(2019吉林长春高三上期中,★★☆)已知向量a=(1,2),b=(m,-1),且(a+b)⊥a,则实数m等于(　　)

A.-1 B.2 C.-3 D.4

2.(2020江西九江十校高三联考,★★☆)如图,四边形ABCD为平行四边形,=,=,若=λ+μ,则λ-μ的值为(　　)

A. B. C. D.1

3.(★★☆)已知△ABC中,∠A=120°,且AB=3,AC=4,若=λ+,且⊥,则实数λ的值为(　　)

A. B. C.6 D.

4.(★★☆)已知|a|=3,b=(1,).

(1)若a,b共线且方向相同,求a的坐标;

(2)若a与b不共线,k为何值时,a+kb与a-kb互相垂直?

5.(2019广西桂林高一下期末,★★☆)已知a,b为两个不共线向量,|a|=2,|b|=1,c=2a-b,d=a+kb.

(1)若c∥d,求实数k的值;

(2)若k=-7,且c⊥d,求a·b的值.

二、数形结合思想在解决平面向量问题中的应用

6.(2019福建闽侯二中高三上期中,★★☆)如图所示的方格纸中有定点O,P,Q,E,F,G,H,则+=(　　)

A. B. C. D.

7.(2019重庆一中高一下月考,★★☆)如图,e1、e2为互相垂直的两个单位向量,则|a+b|=(　　)

A.5 B.5 C.7 D.8

8.(2020山东莱州一中高三月考,★★☆)在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,如图,则下列等式不成立的是(　　)

A.||2=·

B.||2=·

C.||2=·

D.||2=

9.(2019海南文昌中学高一下期中,★★★)如图,四边形ABCD是正方形,延长CD至点E,使得DE=CD.若动点P从点A出发,沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点,且=λ+μ,则下列叙述正确的是(　　)

A.满足λ+μ=2的点P必为BC的中点

B.满足λ+μ=1的点P有且只有一个

C.λ+μ的最大值为3

D.λ+μ的最小值不存在

10.(★★☆)如图,在平行四边形ABCD中,∠BAD=,AB,AD边的长分别为2,1.若M,N分别是BC,CD边上的点,且满足=,则·的取值范围是　　　　. 

11.(★★★)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,AB=2,CD=1,BC=a(a>0),P为线段AD(含端点)上的一个动点,设=x(0≤x≤1),·=y,对于函数y=f(x),给出以下三个结论:

①当a=2时,函数f(x)的值域为[1,4];

②对于任意的a>0,均有f(1)=1;

③对于任意的a>0,函数f(x)的最大值为4.

其中正确结论的序号为　　　　. 

12.(2018江苏苏州高一下期末,★★☆)如图所示,在6×4的网格中,每个小正方形的边长均为1,点O,A,B,C均为格点(格点是指每个小正方形的顶点),求·的值.

13.(2018天津武清高三上期中,★★★)如图,梯形ABCD中,AB∥DC,AB=BC=2,CD=1,∠ABC=,E是BC上一动点,求·的最小值.

三、转化与化归思想在解决平面向量问题中的应用

14.(★★☆)在△ABC中,AB=2,AC=3,BC=,若向量m满足|m-2-|=3,则|m|的最大值与最小值的和为(　　)

A.7 B.8 C.9 D.10

15.(★★☆)△ABC是边长为3的等边三角形,=2λ,=λ,连接EF,交AC于点D.

(1)当λ=时,设=a,=b,用向量a,b表示;

(2)当λ为何值时,·取得最大值?求出最大值.

答案全解全析

第二章　平面向量

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易混易错练

1.答案　②③

解析　若a为零向量,则①不成立.当b为零向量时,④不成立.根据向量数量积的概念可知⑤错误.故正确命题的序号为②③.

2.解析　设P(x,y),则=(x-2,y-3),

又=+λ=(3,1)+λ(5,7)=(3+5λ,1+7λ),于是(x-2,y-3)=(3+5λ,1+7λ),

即解得因为点P在第三象限,所以x=5+5λ<0且y=4+7λ<0,解得λ<-1.

3.解析　因为a与b共线,所以(-1)×4-x(-x)=0,解得x=±2.

当x=2时,a=(-1,2),b=(-2,4),此时a,b同向;

当x=-2时,a=(-1,-2),b=(2,4),b=-2a,此时a,b反向.

4.解析　因为||=6,||=5,∠A=30°,

向量和的夹角为∠A的补角,为150°,

所以·=||×||×cos 150°=6×5×- =-15.

5.解析　因为|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为120°,

所以a·b=|a||b|cos 120°=1×2×=-1.

因为向量a+λb与λa+b的夹角为钝角,

所以(a+λb)·(λa+b)<0,且两向量不共线.

又(a+λb)·(λa+b)=λa2+(λ2+1)a·b+λb2,所以λ-(λ2+1)+4λ<0,

解得λ<或λ>.

又当(a+λb)∥(λa+b)时,λ=±1,

所以λ的取值范围是(-∞,-1)∪∪.

6.解析　a·b=(3e1-2e2)·(3e1-e2)=9+2-9×1×1×=8.

∵|a|2=(3e1-2e2)2=9+4-12×1×1×=9,∴|a|=3.

∵|b|2=(3e1-e2)2=9+1-6×1×1×=8,

∴|b|=2,∴cos β===.

思想方法练

1.C　向量a=(1,2),b=(m,-1),

∴a+b=(1+m,1).

∵(a+b)⊥a,

∴(a+b)·a=0,即1+m+2=0,

∴m=-3.故选C.

2.D　选取,为基底,则=+=+,=+=-.

又=λ+μ=λ(+ )+μ-=λ++(λ-μ),

所以λ-μ=1.故选D.

3.A　因为⊥,所以·=(λ+)·(-)=-λ++(λ-1)·=0,即-λ×32+42+(λ-1)×4×3cos 120°=0,∴λ=.

4.解析　(1)设a=(x,y),∵|a|=3,b=(1,),且a,b共线,∴解得或又∵a,b方向相同,

∴a=(,).

(2)∵a+kb与a-kb互相垂直,∴(a+kb)·(a-kb)=a2-k2b2=|a|2-k2|b|2=0,∵|a|=3,b=(1,),∴9-3k2=0,解得k=±,∴当k=±时,a+kb与a-kb互相垂直.

5.解析　(1)∵c∥d,∴可设c=λd=λa+λkb(λ∈R),∴2a-b=λa+λkb.

∵a,b不共线,∴解得k=- .

(2)∵k=-7,∴d=a-7b.

又∵c⊥d,∴(2a-b)·(a-7b)=0.

∴2a2-15a·b+7b2=0.

又∵|a|=2,|b|=1,∴8-15a·b+7=0.

∴a·b=1.

6.D　在方格纸上作出+,如图,

易知+=-=,故选D.

7.A　由题图可得a=-e1-4e2,b=-3e1+e2,

∴a+b=-4e1-3e2,

∵e1⊥e2,且|e1|=|e2|=1,∴|a+b|===5.故选A.

8.C　·=||||cos A=||2,故选项A正确;

·=||||cos B=||2,故选项B正确;

·=||||cos(π-∠ACD)<0,又||2>0,故选项C错误;

因为△ABC是直角三角形,所以|AC|·|BC|=|AB|·|CD|,

由选项A,B可得||2=,故选项D正确.

故选C.

9.C　由题意,不妨设正方形的边长为1,建立如图所示的平面直角坐标系,

则B(1,0),E(-1,1),故=(1,0),=(-1,1),=λ+μ=(λ-μ,μ).当λ=μ=1时,=(0,1),此时点P与点D重合,满足λ+μ=2,但P不是BC的中点,故A错误.当λ=1,μ=0时,=(1,0),此时点P与点B重合,满足λ+μ=1;当λ=,μ=时,=0,,此时点P为AD的中点,满足λ+μ=1,故满足λ+μ=1的点不唯一,故B错误.当P∈AB时,有0≤λ-μ≤1,μ=0,可得0≤λ≤1,故有0≤λ+μ≤1;当P∈BC时,有λ-μ=1,0≤μ≤1,所以0≤λ-1≤1,故1≤λ≤2,故1≤λ+μ≤3;当P∈CD时,有0≤λ-μ≤1,μ=1,所以0≤λ-1≤1,故1≤λ≤2,故2≤λ+μ≤3;当P∈AD时,有λ-μ=0,0≤μ≤1,所以0≤λ≤1,故0≤λ+μ≤2.综上可得0≤λ+μ≤3,故C正确,D错误.故选C.

10.答案　[2,5]

解析　设==λ,则λ∈[0,1],则·=(+)·(+)

=(+λ)·[+(λ-1)]

=·+(λ-1)·+λ·+λ(λ-1)·=1×2×+(λ-1)×(-4)+λ×1+λ(λ-1)×(-1)

=1+4-4λ+λ-λ2+λ=-(λ+1)2+6.

∵λ∈[0,1],∴·∈[2,5].

11.答案　②③

解析　如图所示,建立平面直角坐标系.

∵AB=2,CD=1,BC=a(a>0),

∴B(0,0),A(-2,0),D(-1,a),C(0,a).

∵=x(0≤x≤1),

∴=+x=(-2,0)+x(1,a)=(x-2,xa),

∴=-=(0,a)-(x-2,xa)=(2-x,a-xa),

∴y=f(x)=·=(2-x,-xa)·(2-x,a-xa)=(2-x)2-ax(a-xa)=(a2+1)x2-(4+a2)x+4.

①当a=2时,y=f(x)=5x2-8x+4=+,

∵0≤x≤1,∴当x=时,f(x)取得最小值,

又f(0)=4,f(1)=1,∴f(x)max=f(0)=4.

综上可得,函数f(x)的值域为,因此①不正确.

②由y=f(x)=(a2+1)x2-(4+a2)x+4可得,对任意的a∈(0,+∞),都有f(1)=1成立,因此②正确.

③由y=f(x)=(a2+1)x2-(4+a2)x+4可知,f(x)图象的对称轴为直线x=,令x0=,

当0<a≤时,1≤x0,∴函数f(x)在[0,1]上单调递减,因此当x=0时,函数f(x)取得最大值4.当a>时,0<x0<1,函数f(x)在[0,x0)上单调递减,在(x0,1]上单调递增.又f(0)=4,f(1)=1,∴f(x)max=f(0)=4.因此③正确.

综上可知,只有②③正确.

12.解析　设水平向右和竖直向上的单位向量分别为e1和e2,则|e1 |=|e2 |=1且e1·e2=0,

由题图可知=3e1+2e2,=6e1-3e2,

所以·=(3e1+2e2)·(6e1-3e2)=18+3e1·e2-6=12.

13.解析　过C作CF⊥AB,垂足为F,

因为AB=BC=2,CD=1,∠ABC=,

所以BF=1,CF=,AF=1,

因为AF∥CD,所以四边形AFCD为矩形.

以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示.

则A(0,0),C(1,),B(2,0),D(0,),故=(1,-).设E(x,y),

所以=(x-1,y-).

因为∥,

所以y-+(x-1)=0,

所以y=-x+2.

因为=(x,y),=(x,y-),

所以·=x2+y2-y=x2+(2-x)2-(2-x)=4x2-9x+6=4x-2+(1≤x≤2),

故当x=时,·有最小值.

14.D　由AB=2,AC=3,BC=得BC2=AB2+AC2,即∠A为直角,以A点为原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),C(0,3),设m=(x,y),∵|m-2-|=3,∴(x-4)2+(y-3)2=9,故|m|的最大值与最小值可转化为圆(x-4)2+(y-3)2=9上的点到原点距离的最大值和最小值,故最大值为5+3=8,最小值为5-3=2,∴|m|的最大值与最小值的和为10.

15.解析　(1)由题意可知=b,

==a,

故=-=-a+b.

(2)由题意得,||=3λ,||=3-3λ,

||=6λ,||=6λ-3,

所以·=(6λ-3)(3-3λ)cos 60°=-9λ2+λ-=-9λ-2+<λ<1.

故当λ=时,·有最大值,为.