数学必修41.4 三角函数的图象与性质同步达标检测题

第一章　三角函数

1.4　三角函数的图象与性质

1.4.3　正切函数的性质与图象

基础过关练

题组一　正切(型)函数的图象

1.(2019广西桂林中学高一期中)函数y=tanx-在一个周期内的图象是(　　)

2.(2020陕西黄陵中学高一上月考)函数y=|tan x|,y=tan x,y=tan(-x),y=tan|x|在上的大致图象依次是下图中的(　　)

A.①②③④ B.②①③④

C.①②④③ D.②①④③

3.与函数y=tan的图象不相交的一条直线是(　　)

A.x= B.y= C.x= D.x=

4.函数y=tan x+sin x-|tan x-sin x|在区间内的图象是(　　)

题组二　正切(型)函数的定义域、值域

5.(2020新疆石河子第二中学高一月考)已知函数y=tan,则其定义域是(　　)

A.             B.

C.           D.

6.函数y=tan(cos x)的值域是(　　)

A. B.          C.[-tan 1,tan 1] D.以上均不对

7.(2019辽宁高一月考)函数y=的定义域为(　　)

A.,k∈Z                     B.,k∈Z

C.,k∈Z                 D.,k∈Z

8.求函数y=-tan2x+4tan x+1,x∈的值域.

题组三　正切(型)函数的奇偶性、周期性与图象的对称性

9.(2020河南辉县一中高一下月考)函数y=tan 是(　　)

A.最小正周期为4π的奇函数        B.最小正周期为2π的奇函数

C.最小正周期为4π的偶函数        D.最小正周期为2π的偶函数

10.(2020河北张家口一中高一月考)下列各点不是函数f(x)=tan图象的对称中心的是(　　)

A. B.       C. D.

11.(2018福建福州三中高一下期末)函数y=tan x的相邻两个周期的图象与直线y=2及y=-2围成的图形的面积是　　　　. 

12.(2020江苏沭阳修远中学高一上月考)f(x)=atan -bsin x+4(其中a,b为常数,ab≠0),若f(3)=5,则f(2 016π-3)=　　　　. 

题组四　正切(型)函数的单调性

13.(2020四川成都外国语学校高一上期末)函数f(x)=tan的单调递增区间为(　　)

A.,k∈Z           B.,k∈Z

C.,k∈Z           D.,k∈Z

14.(2020陕西西安高一下月考)已知a=tan 1,b=tan 2,c=tan 3,则(　　)

A.a<b<c         B.c<b<a          C.b<c<a D.b<a<c

15.(2019安徽高一期末)y=的单调递增区间为　　　　　　　　　　. 

16.(2020安徽涡阳一中高一月考)已知a=tan,b=tan,c=sin,则a、b、c的大小关系是　      　　　. 

17.比较tan与tan的大小.

18.(1)求满足-<tan x≤1的x的取值范围;

(2)求不等式tan2x+≥-1的解集.

能力提升练

一、选择题

1.(2019陕西高一期中,★★☆)函数y=2tan的定义域为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　

A.              B.

C. D.

2.(★★☆)函数f(x)=2tan+1的图象的一个对称中心可以是(　　)

A. B.         C.      D.

3.(2020江西师大附中高三月考,★★☆)在四个函数y=sin|2x|,y=|sin x|,y=sin,y=tan2x-中,最小正周期为π的所有函数的个数为(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

4.(★★☆)下列关于函数y=tan的说法正确的是(　　)

A.在区间上单调递增  B.最小正周期是π

C.图象关于点对称          D.图象关于直线x=对称

二、填空题

5.(2020广东中山一中高一月考,★★☆)不等式tan2x-≥的解集为　　　　　　　　　. 

6.(2019河南高一期末,★★☆)若直线y=c(c∈R)与函数y=tan ωx(ω≠0)的图象相邻的两个交点之间的距离为1,则函数y=tan ωx图象的对称中心为　　　　. 

7.(2020甘肃兰州一中高一下期末,★★☆)关于函数f(x)=tan,有以下命题:

①函数f(x)的定义域是;            ②函数f(x)是奇函数;

③函数f(x)的图象关于点对称;                         ④函数f(x)的一个单调递增区间为.

其中正确命题的序号是　　　　　　　. 

三、解答题

8.(2020河北鸡泽一中高一下月考,★★☆)设函数f(x)=tan.

(1)求函数f(x)的定义域、最小正周期、单调区间及图象的对称中心;

(2)求不等式-1≤f(x)≤的解集.

9.(★★☆)已知函数f(x)=x2+2xtan θ-1,x∈[-1,],其中θ∈.

(1)当θ=-时,求函数f(x)的最大值与最小值;

(2)求θ的取值范围,使y=f(x)在区间[-1,]上是单调函数.

答案全解全析

第一章　三角函数

1.4　三角函数的图象与性质

1.4.3　正切函数的性质

与图象

基础过关练

1.A　当x=时, tan=0,排除C,D;

当x=时, tan=tan,无意义,排除B.故选A.

2.C　y=|tan x|≥0,易知其图象为①;y=tan x的图象为②;y=tan(-x)=-tan x,易知其图象与y=tan x的图象关于x轴对称,故其图象为④;y=tan|x|=其图象为③.故选C.

3.D　令2x+=+kπ,k∈Z,得x=+,k∈Z,令k=0,得x=.

∴x=为函数图象的一条渐近线,即直线x=与函数的图象不相交.故选D.

4.D　函数 y=tan x+sin x-|tan x-sin x|=当x∈,π时,函数y=2tan x<0;当x∈π,时,函数y=2sin x为减函数,且-2<y≤0.观察选项可知选D.

5.C　令x+≠kπ+(k∈Z),

得x≠2kπ+(k∈Z),

∴函数y=tan的定义域为

x,k∈Z.

6.C　∵-1≤cos x≤1,且函数y=tan x在[-1,1]上为增函数,

∴tan(-1)≤tan(cos x)≤tan 1,

即-tan 1≤tan(cos x)≤tan 1,

∴函数y=tan(cos x)的值域为[-tan 1,tan 1],故选C.

7.A　由题意得tan-1≥0,

即tan≥1,

故kπ+≤x+<kπ+,k∈Z,

解得kπ≤x<kπ+,k∈Z,故选A.

8.解析　∵x∈,

∴tan x∈[-1,1].

令tan x=t,则t∈[-1,1],

∴y=-t2+4t+1=-(t-2)2+5.

∴当t=-1,即x=-时,ymin=-4;

当t=1,即x=时,ymax=4.

故所求函数的值域为[-4,4].

9.B　函数的定义域关于原点对称,令f(x)=tan,则f(-x)=tan=-f(x),∴该函数为奇函数,其最小正周期T==2π,故选B.

10.B　令2x+=(k∈Z),

得x=-=π(k∈Z),

所以该函数图象的对称中心为(k∈Z).

结合所给的选项知,A、C、D中的点都是f(x)图象的对称中心.故选B.

11.答案　4π

解析　由题意,画出函数图象,如图所示.

根据正切曲线的对称性可知,阴影部分的面积等于矩形ABCD的面积.故所求面积等于4π.

12.答案　3

 解析　因为f(3)=atan-bsin 3+4=5,所以atan-bsin 3=1,又f(x)=atan-bsin x+4的最小正周期为2π,所以f(2 016π-3)=f(-3)=atan--bsin(-3)+4=-atan-bsin 3+4=-1+4=3.

13.A　令-+kπ<x+<+kπ,k∈Z,得-+2k<x<+2k,k∈Z,即单调递增区间为-+2k,+2k(k∈Z).故选A.

14.C　由题意可知a=tan 1>0,b=tan 2=-tan(π-2)<0,c=tan 3=-tan(π-3)<0.

∵>π-2>π-3>0,且y=tan x在0,上单调递增,∴tan(π-2)>tan(π-3)>0,∴-tan(π-2)<-tan(π-3)<0.综上可得,a>0>c>b,即b<c<a.故选C.

15.答案　,k∈Z

解析　对于函数y=,令kπ<x+<kπ+,k∈Z,

求得kπ-<x<kπ+,k∈Z,

所以函数的单调递增区间为,k∈Z.

16.答案　c<a<b

解析　∵y=tan x在上单调递增,且0<<<,

∴tan<tan,即a<b,

tan-sin=-sin

=sin·,

∵0<cos<1,sin>0,

∴tan-sin>0,即a>c,∴c<a<b.

17.解析　tan=tan=tan,

tan=tan=tan.

∵0<<<,y=tan x在内单调递增,

∴tan<tan,即tan>tan.

18.解析　(1)在-,上,当tan x=-时,x=-;当tan x=1时,x=.

∵y=tan x在-,上单调递增,

∴当-<tan x≤1时,-<x≤,

∵正切函数的最小正周期是π,

∴满足-<tan x≤1的x的取值范围是x<x≤kπ+,k∈Z.

(2)设t=2x+,在-,上,当tan t=-1时,t=-.

∵y=tan t在上单调递增,

∴当tan t≥-1时,-+kπ≤t<+kπ,k∈Z,即-+kπ≤2x+<+kπ,k∈Z,

∴-+≤x<+,k∈Z,

所以原不等式的解集为

.

能力提升练

一、选择题

1.D　令2x+≠kπ+,k∈Z,

得x≠+,k∈Z,

故函数的定义域为 x+,k∈Z,故选D.

2.D　令3x+=(k∈Z),解得x=-(k∈Z).又∵f(x)=2tan3x++1的图象是由y=2tan3x+的图象向上平移1个单位长度得到的,∴对称中心为-,1(k∈Z).令k=0,则对称中心为-,1,故选D.

3.B　函数y=sin|2x|不是周期函数,不满足条件;y=|sin x|的图象可看作是将y=sin x在x轴上方的图象保持不变,在x 轴下方的图象翻折到x轴上方得到的,故y=|sin x|的最小正周期是y=sin x最小正周期的,∴函数y=|sin x|的最小正周期为π,满足条件;函数y=sin2x+的最小正周期为=π,满足条件;函数y=tan2x-的最小正周期为,不满足条件.综上,最小正周期为π的有2个.故选B.

4.B　令kπ-<x+<kπ+,k∈Z,得kπ-<x<kπ+,k∈Z,显然-,不是kπ-,kπ+(k∈Z)的子区间,故A错误;易知该函数的最小正周期为π,故B正确;令x+=,k∈Z,得x=-,k∈Z,不存在满足题意的k值,使得x=,故C错误;正切曲线没有对称轴,因此函数y=tanx+的图象也没有对称轴,故D错误.故选B.

二、填空题

5.答案　,k∈Z

解析　由tan≥,得+kπ≤2x-<+kπ,k∈Z,

解得+≤x<+,k∈Z,

所以不等式的解集为,k∈Z.

6.答案　,k∈Z

解析　∵直线y=c(c∈R)与函数y=tan ωx(ω≠0)的图象相邻的两个交点之间的距离为1,

∴最小正周期T=1,∴ω=π,y=tan πx.

令πx=(k∈Z),解得x=,k∈Z,

∴函数图象的对称中心为,k∈Z.

7.答案　①③

解析　对于①,令2x-≠kπ+,k∈Z,得x≠+,k∈Z,①正确;对于②,由于函数f(x)的定义域不关于原点对称,所以f(x)是非奇非偶函数,②错误;对于③,由于f=tan-=0,所以函数f(x)的图象关于点,0对称,③正确;对于④,令kπ-<2x-<kπ+,k∈Z,解得-<x<+,k∈Z,故函数f(x)的单调递增区间为-,+,k∈Z,区间-,不是其子区间,④错误.故正确命题的序号为①③.

三、解答题

8.解析　(1)令-≠kπ+,k∈Z,得x≠+2kπ,k∈Z,即函数的定义域为.最小正周期T==2π.令-+kπ<-<+kπ,k∈Z,得-+2kπ<x<+2kπ,k∈Z,即函数f(x)的单调递增区间为-+2kπ,+2kπ,k∈Z,无单调递减区间.令-=,k∈Z,得x=+kπ,k∈Z,即对称中心为+kπ,0(k∈Z).

(2)令kπ-≤-≤kπ+,k∈Z,得+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z,即不等式-1≤f(x)≤的解集为.

9.解析　(1)当θ=-时,

f(x)=x2-x-1=x-2-,x∈[-1,],

∴当x=时,f(x)取得最小值-;

当x=-1时,f(x)取得最大值.

(2)函数f(x)=x2+2xtan θ-1=(x+tan θ)2-1-tan2θ的图象的对称轴为直线x=-tan θ.

∵y=f(x)在区间[-1,]上单调,

∴-tan θ≤-1或-tan θ≥,

即tan θ≥1或tan θ≤-.

又θ∈-,,

∴θ的取值范围是∪,.