人教版新课标A必修41.1 任意角和弧度制习题

第一章　三角函数

1.1　任意角和弧度制

1.1.2　弧度制

基础过关练

题组一　对弧度制概念的理解

1.下列命题中,正确的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　

A.1弧度是1度的圆心角所对的弧

B.1弧度是长度为半径长的弧

C.1弧度是1度的弧与1度的角之和

D.1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角

2.圆的半径变为原来的3倍,而所对弧长不变,则该弧所对的圆心角是原来圆心角的　　　　. 

题组二　弧度制与角度制的互化

3.(2020安徽合肥第十一中学高二月考)将225°角化为弧度是(　　)

A. B. C. D.

4.(2020陕西吴起高级中学高一下月考)把- rad化成角度是(　　)

A.18° B.-18° C.36° D.-36°

5.(2019新疆乌鲁木齐七十中高一上期中)时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为(　　)

A. B.-        C. D.-

6.(2019河南高一期中)下列各式不正确的是(　　)

A. rad=60° B.405°=

C.335°= D.705°=

7.(2019浙江台州高一上期末)-60°=　　　　弧度,它是第　　　　象限的角. 

题组三　弧度制下终边相同的角

8.把-表示成α+2kπ(k∈Z)的形式,使|α|最小的角α的值是(　　)

A.- B.-          C. D.

9.(2019上海复旦附中高一期中)已知α=1 690°,θ∈(-2π,0),若角θ与角α的终边相同,则θ=　    　.(用弧度制表示) 

题组四　弧度制下弧长与扇形面积公式的应用

10.若一扇形的圆心角为144°,半径为5 cm,则扇形的面积为(　　)

A.8π cm2 B.10π cm2 C.8 cm2 D.10 cm2

11.(2020泉州泉港一中高一月考)若2弧度的圆心角所对的弦长为4,则这个圆心角所对的弧长为(　　)

A.2sin       B.                C.4cos            D.

12.(2020广东揭阳一中高一下月考)已知半径为1的扇形的面积为,则扇形的圆心角为(　　)

A. B. C. D.

13.(2020安徽太和中学高一下质检)已知扇形的面积为2,扇形的圆心角的弧度数是,求扇形的周长.

14.(2020江西玉山一中高一月考)在半径为6的圆O中,已知弦AB的长为6.求:

(1)弦AB所对的圆心角α的大小;

(2)α所在的扇形的弧长l以及弧所在弓形的面积.

能力提升练

一、选择题

1.(2020吉林延边二中高一月考,★★☆)将钟表拨慢5分钟,则分针转过的弧度数是(　　)

A. B.- C. D.-

2.(★★☆)下列与终边相同的角的表达式中正确的是(　　)

A.2kπ+135°(k∈Z) B.k·360°+(k∈Z)

C.k·360°+135°(k∈Z) D.kπ+(k∈Z)

3.(2019广东仲元中学高一下期中,★★☆)若扇形的周长是16,圆心角是度,则扇形的面积是(　　)

A.16 B.32 C.8 D.64

4.(2020江苏连云港锦屏高级中学高一期中,★★☆)已知扇形的周长为6 cm,面积为2 cm2,则扇形的圆心角的弧度数为(　　)

A.1 B.4 C.1或4      D.2或4

5.(2020广西田阳高一月考,★★☆)中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下,折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成的,设扇形的面积为S1,圆面中剩余部分的面积为S2,当S1与S2的比值为时,扇面看上去较为美观,那么此时扇形的圆心角的弧度数为(　　)

A.(3-)π B.(-1)π

C.(+1)π D.(-2)π

6.(2019浙江高一期末,★★☆)如图所示,用两种方案将一块顶角为120°,腰长为2的等腰三角形钢板OAB裁剪成扇形,设方案一,方案二中扇形的面积分别为S1,S2,周长分别为l1,l2,则(　　)

A.S1=S2,l1>l2 B.S1=S2,l1<l2

C.S1>S2,l1=l2 D.S1<S2,l1=l2

二、填空题

7.(2020江苏苏州高一上调研,★★☆)在Rt△ABO中挖去以点O为圆心,OB为半径的扇形BOC(如图),使得扇形BOC的面积是Rt△ABO面积的一半.设∠AOB=α(rad),则的值为　　　　. 

8.(2019上海建平中学高一下期中,★★☆)若扇形的圆心角为,则扇形的内切圆的面积与扇形面积之比为　　　　. 

9.(2019山西平遥中学高一下期末,★★★)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作.其中《方田》这一章给出了计算弧田(由圆弧和其所对的弦所围成)面积的经验公式:弧田面积=(弦×矢+矢2).公式中“弦”指圆弧所对的弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差,按照上述经验公式计算所得弧田面积与实际面积之间存在误差.现有圆心角为,弦长等于6米的弧田.按照上述经验公式计算所得弧田面积S1与实际面积S2的误差为　　　　平方米.(用S2-S1计算) 

三、解答题

10.(★★☆)用弧度表示终边在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合.

11.(2019甘肃会宁一中高一期中,★★☆)(1)已知扇形的周长为8,面积是4,求扇形的圆心角;

(2)已知扇形的周长为40,当它的半径和圆心角取何值时,扇形的面积最大?

答案全解全析

第一章　三角函数

1.1　任意角和弧度制

1.1.2　弧度制

基础过关练

1.D　由1弧度角的定义:长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角,可知D正确.

2.答案　

解析　根据弧度数计算公式|α|=可得,l=|α|r=|α|·3r,即圆心角变为原来圆心角的.

3.B　1°= rad,所以225°=225×= rad,故选B.

4.D　1 rad=°,则- rad化成角度是-×°=-36°,故选D.

5.D　分针在1点到3点20分这段时间里转过的度数为-6°×(2×60+20)=-840°,化成弧度为-840×=-,故选D.

6.C　 rad=×°=60°,405°=405×=,335°=335×=,705°=705×=.故选C.

7.答案　-;四

解析　-60°=-60×=-,它是第四象限的角.

8.A　令-=α+2kπ(k∈Z),

则α=--2kπ(k∈Z).

当k=-1时,α=-,|α|=;

当k=-2时,α=,|α|=>;

当k=0时,α=-,|α|=>.

∴使|α|最小的角α的值是-.

9.答案　-

解析　α=1 690°==10π-,

∵角θ与角α的终边相同,∴θ=2kπ-(k∈Z),又θ∈(-2π,0),∴θ=-.

10.B　∵144°=,∴S=αr2=××25=10π(cm2),故选B.

11.B　如图所示,在☉O中,AB=4,C是AB的中点,所以OC⊥AB,设∠AOB=2α=2,则∠BOC=α=1,在Rt△OCB中,sin α=,即sin 1=,所以OB=,所以2弧度的圆心角所对的弧长为2·=.

故选B.

12.B　设扇形的圆心角为α,半径为R,则扇形的面积为S=αR2=α×12=,

解得α=,故选B.

13.解析　设扇形的弧长为l,半径为R,由题意可得lR=2,=,

解得l=2,R=2,则扇形的周长为l+2R=4+2.

14.解析　(1)由题意得△OAB为正三角形,所以弦AB所对的圆心角α=.

(2)弧长l=αr=×6=2π, S扇形=lr=×2π×6=6π,S△OAB=×62=9,

∴S弓形=6π-9.

能力提升练

一、选择题

1.C　分针转一周为60分钟,转过的角度为2π,将钟表拨慢5分钟,分针按逆时针方向旋转,则分针所转过的弧度数为×2π=. 故选C.

2.C　与终边相同的角可以写成2kπ+(k∈Z)或k·360°+135°(k∈Z),角度制与弧度制不能混用,所以只有C正确.

3.A　因为度等于2弧度,所以扇形的弧长l=2r.

因为扇形的周长是16,所以l+2r=16,所以r=4,l=8.

因此扇形的面积是lr=×8×4=16.

故选A.

4.C　设扇形的圆心角为α,半径为R cm,则解得或故选C.

5.A　因为扇形的面积公式为R2α,所以S1与S2所在扇形圆心角的比即为它们的面积比,

设S1与S2所在扇形圆心角分别为α,β,

则=,又α+β=2π,解得α=(3-)π.

6.A　∵△AOB是顶角为120°,腰长为2的等腰三角形,∴A=B=30°=,

方案一中扇形的周长l1=2+2+2×=4+ ,

方案二中OD=1,其周长l2=1+1+1×=2+,

方案一中扇形的面积S1=××22=,

方案二中扇形的面积S2=××12=,

所以S1=S2,l1>l2.故选A.

二、填空题

7.答案　

解析　设BO=a,AB=b,则Rt△ABO的面积为,扇形BOC的面积为·α,则=·α,故α=,因为tan α=,所以=.

8.答案　2∶3

解析　设扇形的半径为R,内切圆的半径为r,∵扇形的圆心角为,

∴R-r=2r,∴R=3r,

∴扇形的面积为==,

又内切圆的面积为πr2,∴扇形的内切圆的面积与扇形面积之比为2∶3.

9.答案　4π-6-

解析　设扇形的半径为r米,则圆心到弦的距离为米,由勾股定理得r2=32+2,解得r=2.

所以扇形面积等于··(2)2=4π(平方米),

S2=4π-×6×2×cos =(4π-3)平方米.

圆心到弦的距离等于米,所以矢长为米,

按照题目中弧田面积的经验公式计算得S1=(弦×矢+矢2)=×(6×+3)=(平方米).

所以4π-3-=4π-6-.

故答案为4π-6-.

三、解答题

10.解析　(1)330°角的终边与-30°角的终边相同,将-30°化为弧度为-,而75°=75×=,

所以终边在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为α<α<2kπ+,k∈Z.

(2)30°=,210°=,因为这两个角的终边所在的直线相同,

所以终边在直线AB上的角为α=kπ+,k∈Z,

又终边在y轴上的角为β=kπ+,k∈Z,

所以终边在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为γ<γ<kπ+,k∈Z.

11.解析　(1)设扇形的圆心角为α,半径为r,则由题意可得αr+2r=8,αr2=4.

解得α=2.

(2)设扇形的半径和弧长分别为r和l,

由题意可得2r+l=40,

则扇形的面积S=lr=(40-2r)·r=-(r-10)2+100.

∴当r=10时,S取最大值,此时l=20,

圆心角α==2.

∴当半径为10,圆心角为2时,扇形的面积最大,最大值为100.