数学人教版新课标A第二章 数列2.2 等差数列练习

2.2　等差数列

基础过关练

题组一　等差数列的定义

1.下列命题:①数列6,4,2,0是公差为2的等差数列;②数列a,a-1,a-2,a-3是公差为-1的等差数列;③等差数列的通项公式一定能写成an=kn+b的形式(k,b为常数);④数列{2n+1}是等差数列.其中正确命题的序号是(　　)

A.①② B.①③ C.②③④ D.③④

2.若数列{an}是公差为d的等差数列,则数列{dan}是(　　)

A.公差为d的等差数列

B.公差为2d的等差数列

C.公差为d2的等差数列

D.公差为4d的等差数列

3.若数列{an}的通项公式是an=2(n+1)+3,则此数列(　　)

A.是公差为2的等差数列

B.是公差为3的等差数列

C.是公差为5的等差数列

D.不是等差数列

题组二　等差中项

4.若a=,b=,则a,b的等差中项为(　　)

A. B. C. D.

5.在等差数列{an}中,a2 000=log27,a2 022=log2,则a2 011=　(　　)

A.0 B.7 C.1 D.49

6.已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,则m和n的等差中项是(　　)

A.2 B.3 C.6 D.9

7.在等差数列{an}中,a1+a9=10,则a5=(　　)

A.5 B.6 C.8 D.9

8.一个等差数列的连续4项是a,x,b,2x,则=　　　　.

题组三　等差数列的通项公式

9.在数列{an}中,a1=2,2an+1=2an+1,则a101=(　　)

A.49 B.50 C.51 D.52

10.已知首项为-24的等差数列{an}从第10项起为正数,则公差d的取值范围是(　　)

A. B.

C.      D.

11.已知等差数列{an}中各项都不相等,a1=2,且a4+a8=,则公差d=(　　)

A.0 B. C.2 D.0或

12.在数列{an}中,若a1=1,a2=,=+(n∈N*),则该数列的通项公式为(　　)

A.an= B.an=

C.an= D.an=

13.已知等差数列{an}中,a4=8,a8=4,则其通项公式an=　　　　.

题组四　等差数列的性质

14.等差数列{an}中,a7+a9=16,a4=1,则a12的值是(　　)

A.15 B.30 C.31 D.64

15.若{an}是等差数列,则下列数列中仍为等差数列的有(　　)

①{|an|};②{an+1-an};③{pan+q}(p,q为常数);④{2an+n}.

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

16.等差数列{an}中,a15=8,a60=20,则a105=　　　　.

17.在等差数列{an}中,a3+a7=37,则a2+a4+a6+a8=　　　　.

18.已知等差数列{an}的公差d>0,且a3a7=-12,a4+a6=-4,求{an}的通项公式.

能力提升练

一、选择题

1.(2020北京石景山高二期末,★★☆)如果2,a,b,c,10成等差数列,那么c-a=(　　)

A.1 B.2 C.4 D.8

2.(2019山东济宁一中月考,★★☆)已知数列{an}中,a3=2,a7=1,若为等差数列,则a11等于(　　)

A.1 B. C. D.2

3.(★★☆)在等差数列{an}中,a1+a4+a7=45,a2+a5+a8=29,则a3+a6+a9等于(　　)

A.13 B.18

C.20 D.22

4.(2019山西大学附属中学高二期末,★★☆)已知{an}是公差为正数的等差数列,a1+a2+a3=15,a1·a2·a3=80,则a11+a12+a13的值为(　　)

A.105 B.120

C.90 D.75

5.(★★☆)已知{an}是首项为a,公差为1的等差数列,数列{bn}满足bn=,若对任意的n∈N*,都有bn≥b8成立,则实数a的取值范围是(　　)

A.(-8,-7) B.(-7,-6)

C.(-8,-6) D.(-6,-5)

6.(2020广东深圳宝安高二期末,★★☆)在等差数列{an}中,a5=33,a45=153,则201是该数列的第　　项(　　)

A.60 B.61 C.62 D.63

7.(★★☆)在等差数列{an}中,已知a5+a10=12,则3a7+a9=(　　)

A.12 B.18 C.24 D.30

8.(★★☆)在数列{an}中,a2=2,a6=0,且数列是等差数列,则a4=(　　)

A. B. C. D.

二、填空题

9.(2020河北张家口高二期末,★★☆)若数列{an}满足a3=,an-an+1=2an·an+1,n∈N*,则数列{an}的通项公式an=　　　　.

10.(2019安徽淮北第一中学期末,★★☆)设数列{an}满足a1=1,a2=3,且2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1,则a20=　　　　.

三、解答题

11.(★★☆)已知四个数成递增等差数列,中间两数的和为2,首末两项的积为-8,求这四个数.

12.(2019江苏泰州泰兴中学高一期中,★★★)在数列{an}中,a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n≥2,n∈N*).

(1)证明:数列是等差数列;

(2)求数列{an}的通项公式;

(3)若λan+≥λ对任意的n≥2恒成立,求实数λ的取值范围.

答案全解全析

基础过关练

1.C　根据等差数列的定义,①中,数列6,4,2,0的公差为-2,①错;②③④均正确.

2.C　由等差数列的定义得,dan-dan-1=d(an-an-1)=d2(n≥2,n∈N*),故选C.

3.A　由题意知,an=2n+5,则an+1-an=[2(n+1)+5]-(2n+5)=2,根据等差数列的定义知,数列{an}是公差为2的等差数列.

4.A　设a,b的等差中项为x,则2x=a+b=+=2,所以x=.

5.A　因为数列{an}是等差数列,所以2a2 011=a2 000+a2 022=log27+log2=log21=0,故

a2 011=0.

6.B　由已知得解得所以m和n的等差中项为=3.

7.A　由等差中项的性质得:a1+a9=2a5=10,所以a5=5.

8.答案　

解析　由题意,得所以a=x,b=x,所以=.

9.D　∵2an+1=2an+1,∴an+1-an=,∴数列{an}是首项为2,公差为的等差数列,∴a101=2+100×=52.

10.D　易知an=-24+(n-1)d.由题意,可知第10项是该等差数列的第一个正数项,则解得<d≤3.

11.B　由题意知d≠0,则a4+a8=⇒a1+3d+a1+7d=(a1+2d)2.又a1=2,所以4+10d=(2+2d)2,解得d=或d=0(舍去),故选B.

12.A　由=+,得-=-,则数列是首项为=1,公差为-=2-1=1的等差数列,所以=n,即an=.

13.答案　12-n

解析　设等差数列{an}的首项为a1,公差为d.由已知得解得所以an=a1+(n-1)d=11+(n-1)×(-1)=12-n.

14.A　由等差数列的性质可得,a7+a9=a4+a12,即16=1+a12,所以a12=15,故选A.

15.C　数列-1,1,3是等差数列,取绝对值后为1,1,3,不是等差数列,①不符合;若{an}是等差数列,利用等差数列的定义,知{an+1-an}为常数列,故是公差为0的等差数列,②符合;设{an}的公差为d,则(pan+q)-(pan-1+q)=p(an-an-1)=pd(n≥2)为常数,故{pan+q}是等差数列,③符合;(2an+n)-(2an-1+n-1)=2(an-an-1)+1=2d+1(n≥2),故{2an+n}是等差数列,④符合.故选C.

16.答案　32

解析　由等差数列的性质知:a15,a60,a105成等差数列,所以2a60=a15+a105,所以a105=2a60-a15=40-8=32.

17.答案　74

解析　依题意得a2+a4+a6+a8=(a2+a8)+(a4+a6)=2(a3+a7)=74.

18.解析　由等差数列的性质,得a3+a7=a4+a6=-4,

又∵a3a7=-12,∴a3,a7是方程x2+4x-12=0的两根.

∵d>0,∴a3=-6,a7=2.∴a7-a3=4d=8,∴d=2.∴an=a3+(n-3)d=-6+2(n-3)=2n-12.

能力提升练

一、选择题

1.C　设等差数列的公差为d,则10-2=4d,解得d=2,所以c-a=2d=4,故选C.

2.C　解法一:设数列的公差为d,则=+4d,所以d==,

所以=+4d=,即a11=.

解法二:因为为等差数列,所以由等差中项的性质可得2×=+,即1=+,解得a11=.

3.A　由等差数列的性质可知:a1+a4+a7=3a4=45,a2+a5+a8=3a5=29,

所以a4=15,a5=.又2a5=a4+a6,所以a6=2a5-a4=.

因为a3+a6+a9=3a6,所以a3+a6+a9=3×=13.

4.A　设等差数列{an}的公差为d(d>0).由等差数列的性质得a1+a2+a3=3a2=15,所以a2=5.

因为a1·a2·a3=80,所以a1·a3=16,所以(a2-d)(a2+d)=16,即(5-d)(5+d)=16,所以d2=9,又因为d>0,所以d=3.所以a11+a12+a13=3a12=3(a2+10d)=3×(5+10×3)=105.

5.A　因为对任意的n∈N*,都有bn≥b8成立,且bn=,所以≥.又数列{an}的公差为1,所以数列{an}为递增数列,所以即解得-8<a<-7.

6.B　设等差数列{an}的公差为d.∵数列{an}为等差数列,且a5=33,a45=153,∴d=3.

∴an=a45+3(n-45)=3n+18.令3n+18=201,解得n=61.故选B.

7.C　设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则a5+a10=2a1+13d=12,

所以3a7+a9=3(a1+6d)+a1+8d=4a1+26d=2(a5+a10)=24.

8.A　设bn=,则数列{bn}是等差数列,且b2==,b6==1.

由等差数列的性质,得b4=(b2+b6)=,即=,解得a4=.故选A.

二、填空题

9.答案　

解析　∵an-an+1=2an·an+1,∴-=2,∴数列是公差为2的等差数列,又=5,∴=+2(n-3)=2n-1,即an=.

10.答案　

解析　∵2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1,

∴数列{nan}是等差数列,且公差d=2a2-a1=5,首项为1,

∴20a20=1+(20-1)×5=96,∴a20=.

三、解答题

11.解析　设这四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为2d).依题意,得(a-d)+(a+d)=2,且(a-3d)(a+3d)=-8,即a=1,a2-9d2=-8,∴d2=1,∴d=1或d=-1.

又四个数成递增等差数列,∴d>0,∴d=1,故所求的四个数分别为-2,0,2,4.

12.解析　(1)证明:由3anan-1+an-an-1=0(n≥2),得-=3(n≥2),

所以数列是以1为首项,3为公差的等差数列.

(2)由(1)可得=1+3(n-1)=3n-2,所以an=.

(3)λan+≥λ对任意的n≥2恒成立,

即+3n-2≥λ对任意的n≥2恒成立,

整理,得λ≤对任意的n≥2恒成立.

令f(n)=,则只需满足λ≤f(n)min即可.

因为f(n+1)-f(n)=-==3-,

所以当n≥2时, f(n+1)-f(n)>0,

即f(2)<f(3)<f(4)<…,所以f(2)最小.

又f(2)=,

所以λ≤,

所以实数λ的取值范围为.