人教版新课标A必修5第二章 数列2.4 等比数列练习

2.4　等比数列

基础过关练

题组一　等比数列的定义

1.有下列4个说法:

①等比数列中的某一项可以为0;

②等比数列中公比的取值范围是(-∞,+∞);

③若一个常数列是等比数列,则这个常数列的公比为1;

④若b2=ac,则a,b,c成等比数列.

其中说法正确的个数为(　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

2.已知数列a,a(1-a),a(1-a)2,…是等比数列,则实数a的取值范围是(　　)

A.a≠1 B.a≠0或a≠1

C.a≠0 D.a≠0且a≠1

3.在数列{an}中,若an+1=3an,a1=2,则a4=(　　)

A.108 B.54 C.36 D.18

4.已知下面四个数列:

①1,1,2,4,8,16,32,64;

②数列{an}中,=2,=2;

③常数列a,a,…,a,…;

④数列{an}中,=q(q≠0),其中n∈N*.

其中一定是等比数列的有　　　　.(填序号)

题组二　等比中项

5.(2019山东菏泽高二期末)2-与2+的等比中项是(　　)

A.1 B.-1 C.2 D.-1或1

6.在等比数列{an}中,a1=,q=2,则a4与a8的等比中项为(　　)

A.±4 B.4 C.± D.

7.等比数列x,3x+3,6x+6,…的第四项等于(　　)

A.-24 B.0 C.12 D.24

8.已知{an}为等比数列,且an>0,a2·a4+2a3·a5+a4·a6=25,则a3+a5等于(　　)

A.5 B.10 C.15 D.20

题组三　等比数列的通项公式

9.已知等比数列{an}中,a1=32,公比q=-,则a6=(　　)

A.1 B.-1 C.2 D.

10.在等比数列{an}中,a1=8,a4=64,则公比q为(　　)

A.2 B.3 C.4 D.8

11.已知等比数列{an}的公比q=-,则=(　　)

A.- B.-3 C. D.3

12.(2020湖北宜昌示范高中协作体高二期末)已知{an}是首项为1的等比数列,数列{bn}满足b1=2,b2=5,且anbn+1=anbn+an+1.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)求数列{bn}的前n项和Sn.

题组四　等比数列的性质

13.若数列{an}是等比数列,则下面四个数列中为等比数列的有(　　)

①{can}(c为常数);②{an+an+1};③{an·an+1};④{}.

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

14.在等比数列{an}中,a4=6,a8=18,则a12=(　　)

A.24 B.30 C.54 D.108

15.在等比数列{an}中,an>0,且a2=1-a1,a4=9-a3,则a4+a5的值为(　　)

A.16 B.27 C.36 D.81

16.设各项均为正数的等比数列{an}满足a4a8=3a7,则log3(a1a2·…·a9)=(　　)

A.38 B.39 C.9 D.7

17.在正项等比数列{an}中,a1a5-2a3a5+a3a7=36,a2a4+2a2a6+a4a6=100,求数列{an}的通项公式.

能力提升练

一、选择题

1.(2020四川自贡高一期末,★★☆)已知等差数列{an}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a2=(　　)

A.-4 B.-6 C.-8 D.-10

2.(2019北京西城高二期末,★★☆)已知|x|>y>0.将x,x-y,x+y,四个数按照一定顺序排列成一个数列,则(　　)

A.当x>0时,存在满足已知条件的x,y,使四个数构成等比数列

B.当x>0时,存在满足已知条件的x,y,使四个数构成等差数列

C.当x<0时,存在满足已知条件的x,y,使四个数构成等比数列

D.当x<0时,存在满足已知条件的x,y,使四个数构成等差数列

3.(2019北京丰台高二检测,★★☆)已知数列{an}是公差不为0的等差数列,且a1,a3,a7为等比数列{bn}的连续三项,则数列{bn}的公比为(　　)

A. B.4

C.2 D.

4.(★★☆)一个等比数列中,前三项的积为2,最后三项的积为4,且所有项的积为64,则该数列有(　　)

A.10项 B.11项

C.12项 D.13项

5.(★★☆) 在正项等比数列{an}中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,则n等于(　　)

A.12 B.13

C.14 D.15

6.(2020浙江丽水高一期末,★★★)对于无穷数列{an},给出下列命题:

①若数列{an}既是等差数列,又是等比数列,则数列{an}是常数列;

②若等差数列{an}满足|an|≤2 019,则数列{an}是常数列;

③若等比数列{an}满足|an|≤2 019,则数列{an}是常数列;

④若各项均为正数的等比数列{an}满足1≤an≤2 019,则数列{an}是常数列.

其中正确命题的个数是(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

二、填空题

7.(★★☆)若一个直角三角形的三边构成等比数列,则较小锐角的正弦值是　　　　.

8.(2019安徽合肥一六八中学月考,★★☆)若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则=　　　　.

9.(★★☆)一个蜂巢里有1只蜜蜂.第1天,它飞出去找回了5个伙伴;第2天,6只蜜蜂飞出去,各自找回了5个伙伴;……,如果这个找伙伴的过程继续下去,第6天所有的蜜蜂都归巢后,蜂巢中一共有　　　　只蜜蜂.

三、解答题

10.(2020河南郑州高二期末,★★☆)已知{an}是首项为2,各项均为正数的等比数列,且a2+a3=12.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.

11.(2020山西太原第五中学高二阶段性测试,★★☆)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-2.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)设bn=log2a1+log2a2+…+log2an,求使(n-8)bn≥nk对任意n∈N*恒成立的实数k的取值范围.

答案全解全析

基础过关练

1.B　对于①,因为等比数列中的各项都不为0,所以①不正确;对于②,因为等比数列的公比不为0,所以②不正确;对于③,若一个常数列是等比数列,则这个常数不为0,根据等比数列的定义知此数列的公比为1,所以③正确;对于④,只有当a,b,c都不为0时,a,b,c才成等比数列,所以④不正确.因此,正确的说法只有1个,故选B.

2.D　由于a,a(1-a),a(1-a)2,…是等比数列,所以需同时满足a≠0,1-a≠0,所以a≠0且a≠1.

3.B　因为an+1=3an,所以数列{an}是公比为3的等比数列,又a1=2,所以a4=33×2=54.

4.答案　④

解析　①不符合“每一项与它的前一项的比等于同一常数”,故不是等比数列.

②不一定是等比数列.当{an}只有3项时,{an}是等比数列;当{an}的项数超过3时,不一定符合.

③不一定是等比数列.若常数列是各项都为0的数列,则不是等比数列;若常数列各项均不为0时,则是等比数列.

④等比数列的定义用式子的形式表示:在数列{an}中,对任意n∈N*,有=q(q≠0),那么{an}是等比数列.

5.D　根据题意,设2-与2+的等比中项是m,则m2=(2-)(2+)=1,解得m=-1或1.故选D.

6.A　由题意得(±a6)2=a4a8,因为a1=,q=2,所以a4与a8的等比中项为±a6=±4.

7.A　由题意知(3x+3)2=x(6x+6),即x2+4x+3=0,解得x=-3或x=-1(舍去),所以等比数列的前3项是-3,-6,-12,则第四项为-24.

8.A　由数列等比中项的性质知a2·a4=,a4·a6=,所以+2a3·a5+=25,即(a3+a5)2=25.

又an>0,所以a3+a5>0,所以a3+a5=5.

9.B　由题知a6=a1·q5=32×=-1.

10.A　由a4=a1·q3=64及已知,得q3=8,所以q=2.

11.B　在等比数列{an}中,a2+a4+a6+a8=q(a1+a3+a5+a7),所以==-3.

12.解析　(1)将n=1代入已知等式,得a1b2=a1b1+a2,∴a2=a1b2-a1b1=3a1.

∴{an}是首项为1,公比为3的等比数列,∴an=1·3n-1=3n-1.

(2)由(1)及已知得bn+1-bn==3,∴{bn}是首项为2,公差为3的等差数列,

∴bn=2+3(n-1)=3n-1.

∴Sn===.

13.B　对于①,若{an}是等比数列,则当c=0时,{can}不是等比数列;对于②,若{an}是公比q=-1的等比数列,则an+an+1=0,所以{an+an+1}不是等比数列;对于③④,由等比数列的定义可知均为等比数列.故选B.

14.C　由等比数列的性质知a4,a8,a12成等比数列,则=a4·a12,

所以a12===54.

15.B　解法一:设等比数列{an}的公比为q,由已知得即

∴q2=9,∵an>0,∴q=3,∴a4+a5=q(a3+a4)=3×9=27.故选B.

解法二:设等比数列{an}的公比为q,由an>0,可知q>0.

由已知,得=q2=9,解得q=3或q=-3(舍).

根据等比数列的性质可得,a1+a2,a2+a3,a3+a4,a4+a5成等比数列,且公比为3,所以a4+a5=1×33=27.故选B.

16.C　由题意得a4a8=a5a7=3a7且a7≠0,所以a5=3,所以log3(a1a2·…·a9)=log3=log339=9.

17.解析　设等比数列{an}的公比为q.因为数列{an}为等比数列,所以a1a5=,a3a7=,所以由题意,得-2a3a5+=36.

同理,得+2a3a5+=100.

所以

因为an>0,所以

解得或分别解得或

所以an=a1qn-1=2n-2或an=a1qn-1=26-n.

能力提升练

一、选择题

1.B　因为a1,a3,a4成等比数列,所以=a1·a4,又因为{an}是公差为2的等差数列,所以(a2+2)2=(a2-2)·(a2+2×2),解得a2=-6,故选B.

2.D　当x=-5,y=4时,满足|x|>y>0,且x-y,x,x+y,的值分别为-9,-5,-1,3,构成公差为4的等差数列.由此判断出D选项正确.故选D.

3.C　因为a1,a3,a7为等比数列{bn}的连续三项,所以=a1a7.设{an}的公差为d(d≠0),则(a1+2d)2=a1(a1+6d),所以a1=2d,所以数列{bn}的公比为==2.

4.C　设该等比数列为{an},由已知a1a2a3=2,an-2an-1an=4及等比数列的性质,得(a1an)3=8,所以a1an=2.

又因为a1a2a3…an=64=26=(a1an)6,

所以该数列有12项.故选C.

5.C　设等比数列{an}的公比为q,由a1a2a3=4=q3与a4a5a6=12=q12,可得q9=3,又因为an-1anan+1=q3n-3=q3·q3n-6=324,所以q3n-6=81=34=q36,所以n=14,故选C.

6.C　既是等差数列也是等比数列的数列是非零常数列,所以①正确.设等差数列{an}的公差为d,若d>0,当n无限大时,an=a1+(n-1)d无限大,必有|an|>2 019;若d<0,当n无限大时,an=a1+(n-1)d无限小,必有|an|>2 019;若d=0,则a1=a2=…=an,要满足|an|≤2 019,只需|a1|≤2 019即可,所以②正确.设等比数列{an}的公比为-1,首项为1,则满足|an|≤2 019,但数列{an}不是常数列,所以③错误.设各项均为正数的等比数列{an}的公比为q,若1≤an≤2 019,当|q|>1,n无限大时,|an|=|a1·qn-1|无限大,不满足;当0<|q|<1,n无限大时,|an|=|a1·qn-1|趋于零,不满足.综上得q=1,所以④正确.故选C.

二、填空题

7.答案　

解析　设该直角三角形的三边长分别为a,aq,aq2(q>1),则(aq2)2=(aq)2+a2,∴q2=.记较小锐角为θ,则sin θ==.

8.答案　1

解析　设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.因为a1=b1=-1,a4=b4=8,所以解得所以a2=2,b2=2.所以==1.

9.答案　46 656

解析　设第n天蜂巢中的蜜蜂数量为an,根据题意得数列{an}成等比数列,且a1=6,q=6,所以{an}的通项公式为an=6×6n-1,到第6天,所有的蜜蜂都归巢后,蜂巢中一共有a6=6×65=66=46 656只蜜蜂.

三、解答题

10.解析　(1)设等比数列{an}的公比为q.由a1=2及a2+a3=12,得q+q2=6,∴q=-3或q=2.

又{an}的各项均为正数,∴q>0,∴q=2.∴an=2n.

(2)由(1)及已知,得bn===-,

∴Tn=1-+-+…+-=1-=.

11.解析　(1)由Sn=2an-2可得a1=2.

因为Sn=2an-2,

所以当n≥2时,an=Sn-=2an-2即=2.

所以数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,所以an=2n(n∈N*).

(2)结合(1)得bn=log2a1+log2a2+…+log2an=1+2+3+…+n=.

所以(n-8)bn≥nk对任意n∈N*恒成立等价于≥k对任意n∈N*恒成立,等价于k≤.

设cn=(n-8)(n+1),则当n=3或4时,cn取得最小值-10,所以k≤-10.