2020-2021学年3.4 基本不等式综合训练题

3.4　基本不等式:≤

基础过关练

题组一　对基本不等式的理解

1.给出下列条件:①ab>0;②ab<0;③a>0,b>0;④a<0,b<0.其中能使+≥2成立的条件有(　　)

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

2.给出下面四个推导过程:

①因为a,b是正实数,所以+≥2=2;

②因为x,y是正实数,所以lg x+lg y≥2;

③因为a∈R,且a≠0,所以+a≥2=4;

④因为x,y∈R,xy<0,所以+=-≤-2=-2.

其中正确的推导为(　　)

A.①② B.②③ C.③④ D.①④

题组二　利用基本不等式比较大小

3.若0<a<1,0<b<1,且a≠b,则a+b,2,2ab,a2+b2中最大的是(　　)

A.a2+b2 B.2 C.2ab D.a+b

4.已知正数x,y满足xy=36,则x+y与12的大小关系是　　　　.

5.已知a>b>c,则与的大小关系是　　　　　　.

6.若四个正数a,b,c,d成等差数列,x是a和d的等差中项,y是b和c的等比中项,则x和y的大小关系是　　　　.

题组三　利用基本不等式求最值

7.已知0<x<1,则x(3-3x)取得最大值时x的值为(　　)

A. B. C. D.

8.函数y=3x2+的最小值是(　　)

A.3-3 B.3 C.6 D.6-3

9.已知a>0,b>0,则++2的最小值是(　　)

A.2 B.2 C.4 D.5

10.设a,b满足2a+3b=6(a>0,b>0),则+的最小值为　(　　)

A. B. C. D.4

题组四　利用基本不等式证明不等式

11.已知a,b,c都是正数,求证:(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc.

12.已知a>0,b>0,c>0,d>0,求证:+≥4.

题组五　利用基本不等式解决实际问题

13.(2020山东泰安一中高一期中)山东新旧动能转换综合试验区是党的十九大后获批的首个区域性国家发展战略,也是中国第一个以新旧动能转换为主题的区域发展战略综合试验区.泰安某高新技术企业决定抓住发展机遇,加快企业发展.已知该企业的年固定成本为500万元,每生产设备x(x>0)台,需另投入成本y1万元.若年产量不足80台,则y1=万元;若年产量不小于80台,则y1=万元.若每台设备售价为100万元,通过市场分析,该企业生产的设备能全部售完.

(1)写出年利润y(万元)关于年产量x(台)的关系式;

(2)年产量为多少台时,该企业所获利润最大?

能力提升练

一、选择题

1.(2020福建南平高一期末,★★☆)若a,b都是正数,则的最小值为(　　)

A.5 B.7 C.9 D.13

2.(2020山东师大附中高一学业质量检测,★★☆)设x,y是正实数,(x+y)≥a恒成立,则实数a的最大值为(　　)

A.2 B.4 C.8 D.16

3.(2019江苏连云港高一期末,★★☆)已知x>0,y>0,2x-=-y,则2x+y的最小值为(　　)

A. B.2 C.3 D.4

4.(2020吉林省实验中学高一期末,★★☆)设a>0,b>0,若3是3a与3b的等比中项,则+的最小值为(　　)

A.2 B. C. D.3

5.(2019安徽合肥一中、合肥六中高一期末,★★☆)若正实数x,y满足x+y=1,则+的最小值为(　　)

A. B. C. D.

6.(2020湖北荆州中学、宜昌一中高二期末联考,★★★)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且=cos B+cos C,=8,则△ABC的周长的最小值为　(　　)

A.3 B.3+3

C.4 D.4+4

二、填空题

7.(2020浙江丽水高一期末,★★☆)设正数a,b满足a2+4b2+=4,则a=　　　　,b=　　　　.

8.(2019山东菏泽高二期末,★★☆)已知x>0,y>0,且+=2,若4x+y>7m-m2恒成立,则m的取值范围为　　　　.

9.(2020湖北荆州中学、宜昌一中高二期末联考,★★★)若各项均为正数的数列{an}满足an+2=an+1+an,且a5=5,则+的最小值为　　　　.

三、解答题

10.(2019吉林松原扶余一中高一期末,★★☆)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin2A+sin2C-sin Asin C=sin2B.

(1)求角B的大小;

(2)若b=2,求a+c的最大值.

11.(★★☆)已知函数f(x)=lg x(x是正实数),若x1,x2∈(0,+∞),判断[f(x1)+f(x2)]与f 的大小并加以证明.

12.(★★☆)已知a,b,c为不全相等的正实数,且abc=1.求证:++<++.

13.(★★★)某开发商用9 000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼,规划要求写字楼每层建筑面积为2 000平方米.已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4 000元,从第二层开始,每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元.

(1)若该写字楼共x层,总开发费用为y万元,求函数y=f(x)的表达式;(总开发费用=总建筑费用+购地费用)

(2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低,该写字楼应建为多少层?

14.(2020河南郑州高二期末,★★★)《郑州市城市生活垃圾分类管理办法》已经政府常务会议审议通过,自2019年12月1日起施行.垃圾分类是对垃圾收集处置传统方式的改革,是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法.所谓垃圾其实都是资源,当你放错了位置时它才是垃圾.某企业在市科研部门的支持下进行研究,把厨余垃圾加工处理为一种可销售的产品.已知该企业每周的加工处理量最少为75吨,最多为100吨.周加工处理成本y(元)与周加工处理量x(吨)之间的函数关系可近似表示为y=x2-30x+2 700,且每加工处理1吨厨余垃圾得到的产品售价为16元.

(1)该企业每周加工处理量为多少吨时,才能使每吨产品的平均加工处理成本最低?

(2)该企业每周能否获利?如果获利,求出利润的最大值;如果不获利,则需要市政府至少补贴多少元才能使该企业不亏损?

答案全解全析

基础过关练

1.C　当,均为正数时,+≥2,故只需a,b同号即可,∴①③④均可以.故选C.

2.D　①由于a,b是正实数,所以,是正实数,符合基本不等式的条件,故①推导正确;

②虽然x,y是正实数,但当x∈(0,1),y∈(0,1)时,lg x和lg y都是负数,所以②的推导过程错误;

③a∈R,且a≠0,不符合基本不等式的条件,所以③的推导错误;

④由xy<0,得,均为负数,但在推导过程中将整体+提出负号后,-,-均变为正数,符合基本不等式的条件,故④推导正确.

3.D　解法一:∵0<a<1,0<b<1,且a≠b,∴a2+b2>2ab,a+b>2,a>a2,b>b2,∴a+b>a2+b2,故选D.

解法二:取a=,b=,则a2+b2=,2=,2ab=,a+b=,显然最大.故选D.

4.答案　x+y≥12

解析　由x,y为正数,得x+y≥2=12,当且仅当x=y=6时,等号成立.

5.答案　≤

解析　观察题中两式的特点知,(a-b)+(b-c)=a-c.

∵a>b>c,∴a-b>0,b-c>0,

∴≤=,当且仅当a-b=b-c,即2b=a+c时取“=”.

∴≤.

6.答案　x≥y

解析　由题意得,x==,y=.

∵b,c都是正数,

∴≥(当且仅当b=c时取“=”),

∴x≥y.

7.B　∵0<x<1,∴0<3-3x<3,∴x(3-3x)=×3x(3-3x)≤×=×=,当且仅当3x=3-3x,即x=时取等号.

8.D　y=3x2+=3(x2+1)+-3≥2·-3=2-3=6-3,当且仅当x2=-1时,等号成立,故选D.

9.C　∵a>0,b>0,∴+≥,

当且仅当a=b时取等号,

∴++2≥+2≥4,

当且仅当=2,即ab=1时取等号,∴当且仅当a=b=1时,++2取最小值4.

10.A　∵2a+3b=6,∴+=1,

∴+==++≥+2=+2=,

当且仅当=,即a=b=时,等号成立.

11.证明　∵a,b,c都是正数,

∴a+b≥2>0,b+c≥2>0,c+a≥2>0,

∴(a+b)(b+c)(c+a)≥2·2·2·=8abc,即(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc,当且仅当a=b=c时,等号成立.

12.证明　+=+++=+≥2+2=4,

当且仅当a=b且c=d时取“=”,所以+≥4.

13.解析　(1)当0<x<80时,y=100x--500=-x2+60x-500;

当x≥80时,y=100x--500=1 680-.

所以y=

(2)当0<x<80时,y=-x2+60x-500=-(x-60)2+1 300,所以当x=60时,y取得最大值,最大值为1 300万元;

当x≥80时,y=1 680-≤1 680-2=1 500,当且仅当x=,即x=90时,y取得最大值,最大值为1 500万元.

所以当年产量为90台时,该企业所获利润最大,最大利润为1 500万元.

能力提升练

一、选择题

1.C　因为a,b都是正数,所以=5++≥5+2=9,当且仅当b=2a>0时取等号,故选C.

2.B　因为x,y是正实数,所以(x+y)·=2++≥4(当且仅当x=y时,等号成立),所以a≤4,故实数a的最大值为4.

3.C　∵2x-=-y,∴2x+y=+.

∴(2x+y)2=(2x+y)·=2+++8=10++≥2+10=18,∴2x+y≥=3.

4.C　∵3是3a与3b的等比中项,∴3a·3b=32,即a+b=2.

∴+=×(a+b)=≥×(5+2)=,当且仅当=,即a=,b=时取等号.

5.D　∵x>0,y>0,x+y=1,∴x+1+y=2,

∴+=·=≥×(5+2)=,当且仅当x=,y=时取等号,故选D.

6.D　因为=cos B+cos C,所以根据正弦定理可得=cos B+cos C,

所以sin(A+C)+sin(A+B)=sin Acos B+sin Acos C,

所以cos Asin C+cos Asin B=0,即cos A·(sin C+sin B)=0.

又在△ABC中,sin C+sin B≠0,所以cos A=0,所以A=90°.

所以sin A=1,所以bc=8,所以a+b+c=+b+c≥+2=4+4,当且仅当b=c时取等号.所以△ABC的周长的最小值为4+4.故选D.

二、填空题

7.答案　1;

解析　因为a2+4b2+=(a-2b)2+4ab+≥(a-2b)2+2=(a-2b)2+4≥4,

当且仅当a-2b=0且2ab=1,即a=1,b=时,a2+4b2+=4,所以a=1,b=.

8.答案　(-∞,3)∪(4,+∞)

解析　∵x>0,y>0,且+=2,

∴4x+y=(4x+y)×=×≥12+2=12,

当且仅当=且+=2,即x=,y=6时,等号成立,∴4x+y的最小值为12.

∵4x+y>7m-m2恒成立,

∴12>7m-m2,解得m<3或m>4,

∴m的取值范围为(-∞,3)∪(4,+∞).

9.答案　

解析　∵an+2=an+1+an,∴a3=a2+a1,a4=a3+a2=2a2+a1,又a5=5,

∴a5=a4+a3=3a2+2a1=5,∴+=1.

∵数列{an}的各项均为正数,

∴a1>0,a2>0,

∴+==++≥2+=,当且仅当3a2=2a1,且+=1,即a1=,a2=时取等号.故+的最小值为.

三、解答题

10.解析　(1)由正弦定理得a2+c2-ac=b2,由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,

∴cos B=.又∵0°<B<180°,∴B=30°.

(2)由余弦定理得cos B=,即=,

化简,得(a+c)2-4=(+2)ac.

∵(a+c)2-4=(+2)ac≤(+2)×,即(a+c)2≤16(2+),

当且仅当a=c时取等号,∴(a+c)max=2+2.

11.解析　[f(x1)+f(x2)]≤f.

证明:[f(x1)+f(x2)]=(lg x1+lg x2)=lg(x1x2)=lg,

f=lg,

∵x1,x2∈(0,+∞),

∴≤,

当且仅当x1=x2时,等号成立.

又∵f(x)=lg x在区间(0,+∞)上是增函数,

∴lg≤lg,

即[f(x1)+f(x2)]≤f.

12.证明　因为a,b,c都是正实数,且abc=1,

所以+≥2=2(当且仅当a=b时取等号),

+≥2=2(当且仅当b=c时取等号),

+≥2=2(当且仅当a=c时取等号),

以上三个不等式相加,得

2≥2(++),

又因为a,b,c不全相等,所以不能取等号,

所以2>2(++),

即++<++.

13.解析　(1)由已知得,写字楼最下面一层的总建筑费用为4 000×2 000=8 000 000(元)=800(万元),从第二层开始,每层的建筑总费用比其下面一层多100×2 000=200 000(元)=20(万元),

写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以800为首项,20为公差的等差数列,

所以函数表达式为y=f(x)=800x+×20+9 000=10x2+790x+9 000(x∈N*).

(2)设写字楼每平方米的平均开发费用为w元,则由(1)知,w=×10 000=

=50≥50×(2+79)=6 950,

当且仅当x=,即x=30时,等号成立.

所以该写字楼建为30层时,每平方米的平均开发费用最低.

14.解析　(1)由题意可知,每吨产品的平均加工成本为=+-30≥2-30=30,当且仅当=,即x=90时,等号成立.故该企业每周加工处理量为90吨时,才能使每吨的平均加工成本最低.

(2)设该企业每月获利S元,则S=16x-y=-x2+46x-2 700.当x∈[75,100]时,函数S=16x-y=-x2+46x-2 700单调递减,所以当x=75时,函数取得最大值,Smax=-1 125.

所以该企业不获利,需要市政府每周至少补贴1 125元,才能不亏损.