数学2.1曲线与方程同步练习题

这是一份数学2.1曲线与方程同步练习题，共13页。试卷主要包含了1　曲线与方程*，已知M为直线l等内容，欢迎下载使用。

2.1.1 曲线与方程
2.1.2 求曲线的方程
基础过关练
题组一 曲线与方程的概念
1.已知曲线C的方程为x3+x+y-1=0,则下列各点中在曲线C上的点是( )
A.(0,0)B.(-1,3)
C.(1,1)D.(-1,1)
2.(2018天津耀华中学高二上学期月考)直线x-y=0与曲线xy=1的交点坐标是( )
A.(1,1) B.(-1,-1)
C.(1,1),(-1,-1)D.(0,0)
3.已知0≤α<2π,点P(cs α,sin α)在曲线(x-2)2+y2=3上,则α的值为( )
A.π3 B.5π3 C.π3或5π3 D.π3或π6
4.“点M在曲线y2=4x上”是“点M的坐标满足方程y=-2x”的 ( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
题组二 方程的曲线
5.方程4x2-y2+6x-3y=0表示的图形是( )
A.直线2x-y=0
B.直线2x+y+3=0
C.直线2x-y=0和直线2x+y+3=0
D.直线2x+y=0和直线2x-y+3=0
6.下列四个选项中,方程与曲线相符合的是( )
7.方程|x|+|y|=1表示的曲线所围成图形的面积为 .
题组三 求曲线的方程
8.设A为圆(x-1)2+y2=1上的动点,PA是圆的切线,且|PA|=1,则点P的轨迹方程是( )
A.(x-1)2+y2=2B.(x-1)2+y2=4
C.y2=2x D.y2=-2x
9.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A(1,0),B(2,2).若点C满足OC=OA+t(OB-OA),其中t∈R,则点C的轨迹方程为 .
10.(2018湖南岳阳一中高二上学期期末)已知M为直线l:2x-y+3=0上的一动点,A(4,2)为一定点,点P在直线AM上运动,且AP=3PM,求动点P的轨迹方程.
11.已知△ABC中,AB=2,AC=2BC.
(1)求点C的轨迹方程;
(2)求△ABC的面积的最大值.
能力提升练
一、选择题
1.(2018海南海口一中高二上学期月考,★★☆)方程xy2+x2y=1所表示的曲线( )
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称
C.关于原点中心对称D.关于直线y=x对称
2.(2020鄂东南九校高二期中联考,★★☆)方程(3x-y+1)(y-1-x2)=0表示的曲线为( )
A.一条线段和半个圆B.一条线段和一个圆
C.一条直线和半个圆D.两条线段
3.(2020北京朝阳高三期末,★★☆)笛卡儿、牛顿都研究过方程(x-1)(x-2)(x-3)=xy,关于这个方程的曲线有下列说法:①该曲线关于y轴对称;②该曲线关于原点对称;③该曲线不经过第三象限;④该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数.其中正确的是( )
A.②③B.①④C.③D.③④
4.(2019江西南昌高三开学摸底考试,★★☆)在平面直角坐标系xOy中,已知M(-1,2),N(1,0),动点P满足|PM·ON|=|PN|,则动点P的轨迹方程是( )
A.y2=4xB.x2=4yC.y2=-4xD.x2=-4y
5.(★★☆)方程x2+y2=1(xy<0)表示的曲线形状是( )
6.(2018吉林长春五县期末,★★★)已知定点M(-3,0),N(2,0),若动点P满足|PM|=2|PN|,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )
A.100π9 B.142π9
C.10π3 D.9π
二、填空题
7.(2020贵州贵阳高二期末,★★☆)以古希腊数学家阿波罗尼斯命名的阿波罗尼斯圆,是指到两定点的距离之比为常数λ(λ>0,λ≠1)的动点M的轨迹.已知A(-2,0),B(2,0),动点M满足|MA||MB|=2,此时阿波罗尼斯圆的方程为 .
8.(2020北京房山高二期末,★★☆)已知曲线W的方程为|y|+x2-5x=0.
①请写出曲线W的一条对称轴方程: ;
②曲线W上的点的横坐标的取值范围是 .
三、解答题
9.(2019贵州铜仁一中高二入学考试,★★☆)已知动点M到点A(-1,0)与点B(2,0)的距离之比为2∶1,记动点M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)过点P(5,-4)作曲线C的切线,求切线方程.
10.(2019上海七宝中学高二期末,★★★)在平面直角坐标系xOy中,曲线Γ:x2+y2=1(y≥0).
(1)如图1,点B为曲线Γ上的动点,点A(2,0),求线段AB的中点的轨迹方程;
(2)如图2,点B为曲线Γ上的动点,点A(2,0),将△OAB绕点A顺时针旋转90°得到△DAC,求线段OC长度的最大值.
答案全解全析
基础过关练
1.B 点P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上⇔f(x0,y0)=0.经验证知点(-1,3)在曲线C上.
2.C 由x-y=0,xy=1,得x=1,y=1或x=-1,y=-1.故选C.
3.C 将点P的坐标代入方程(x-2)2+y2=3,得(cs α-2)2+sin2α=3,解得cs α=12.又0≤α<2π,所以α=π3或5π3.
4.B 设M(x0,y0),由点M的坐标满足方程y=-2x,得y0=-2x0,∴y02=4x0,∴点M在曲线y2=4x上.反之不成立,故选B.
5.C ∵4x2-y2+6x-3y=(2x+y)(2x-y)+3(2x-y)=(2x-y)(2x+y+3)=0,
∴原方程表示直线2x-y=0和2x+y+3=0.
6.D 对于A,点(0,-1)满足方程,但不在曲线上,排除A;对于B,点(1,-1)满足方程,但不在曲线上,排除B;对于C,由于曲线上第三象限的点的横、纵坐标均小于0,不满足方程,排除C.故选D.
7.答案 2
解析 方程表示的图形是边长为2的正方形(如图所示),其面积为(2)2=2.
8.A 设圆(x-1)2+y2=1的圆心为C,半径为r,则C(1,0),r=1,依题意得|PC|2=r2+|PA|2,即|PC|2=2,所以点P的轨迹是以C为圆心,2为半径的圆,因此点P的轨迹方程是(x-1)2+y2=2.
9.答案 y=2x-2
解析 设点C(x,y),则OC=(x,y).因为点A(1,0),B(2,2),所以OA+t(OB-OA)=(1+t,2t),所以x=t+1,y=2t,消去t,得点C的轨迹方程为y=2x-2.
10.解析 设M(x0,y0),P(x,y),
则AP=(x-4,y-2),PM=(x0-x,y0-y),
由题意可得x-4=3(x0-x),y-2=3(y0-y),
所以x0=4x-43,y0=4y-23.
因为点M(x0,y0)在直线2x-y+3=0上,
所以2×4x-43-4y-23+3=0,即8x-4y+3=0,
所以点P的轨迹方程为8x-4y+3=0.
11.解析 (1)以直线AB为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0).设C(x,y),
由AC=2BC,得(x+1)2+y2=2[(x-1)2+y2],
即(x-3)2+y2=8,
又在△ABC中,y≠0,
所以点C的轨迹方程为(x-3)2+y2=8(y≠0).
(2)因为AB=2,所以S△ABC=12×2×|y|=|y|.因为(x-3)2+y2=8(y≠0),
所以0<|y|≤22,所以S△ABC≤22,即△ABC的面积的最大值为22.
能力提升练
一、选择题
1.D 设P(x0,y0)是曲线xy2+x2y=1上的任意一点,则x0y02+x02y0=1.设点P关于直线y=x的对称点为P',则P'(y0,x0),因为y0x02+y02x0=x0y02+x02y0=1,所以P'在曲线xy2+x2y=1上,故该曲线关于直线y=x对称.
2.A 由方程(3x-y+1)(y-1-x2)=0得y=1-x2(y≥0)或3x-y+1=0,且满足-1≤x≤1,即x2+y2=1(y≥0)或3x-y+1=0(-1≤x≤1),
∴方程(3x-y+1)(y-1-x2)=0表示一条线段和半个圆.
3.C 将x=-x代入得到(x+1)(x+2)(x+3)=xy,方程改变,故该曲线不关于y轴对称;
将x=-x,y=-y代入得到(x+1)(x+2)(x+3)=-xy,方程改变,故该曲线不关于原点对称;
当x<0,y<0时,(x-1)(x-2)(x-3)<0,xy>0,显然方程不成立,∴该曲线不经过第三象限;
令x=-1,易得y=24,即(-1,24)在曲线上,同理可得(1,0),(2,0),(3,0)也在曲线上,∴该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数是错误的.
4.A 设P(x,y),因为M(-1,2),N(1,0),所以PM=(-1-x,2-y),ON=(1,0),PN=(1-x,-y),因为|PM·ON|=|PN|,所以|1+x|=(1-x)2+(-y)2,
整理得y2=4x.
5.C 方程x2+y2=1(xy<0)表示以原点为圆心,1为半径的圆在第二、四象限的部分,故选C.
6.A 设P(x,y),则由|PM|=2|PN|,
得(x+3)2+y2=4[(x-2)2+y2],
化简,得3x2+3y2-22x+7=0,
即x-1132+y2=1009,
所以所求图形的面积S=100π9.
二、填空题
7.答案 x2+y2-12x+4=0
解析 设M(x,y),因为|MA||MB|=2,
所以(x+2)2+y2(x-2)2+y2=2,
整理得x2+y2-12x+4=0.
8.答案 ①y=0或x=52 ②[0,5]
解析 ①由W的方程知,若(x,y)是曲线上的点,则(x,-y)也是曲线上的点,因此直线y=0是曲线W的一条对称轴.同理,点52-x,y与52+x,y也都是曲线上的点,因此直线x=52也是曲线W的一条对称轴.
②由|y|+x2-5x=0得|y|=-x2+5x,因为|y|≥0,所以-x2+5x≥0,解得0≤x≤5.
三、解答题
9.解析 (1)设动点M的坐标为(x,y),
则|MA|=(x+1)2+y2,
|MB|=(x-2)2+y2
所以(x+1)2+y2(x-2)2+y2=2,
化简得(x-3)2+y2=4.
因此,动点M的轨迹方程为(x-3)2+y2=4.
(2)当过点P的直线斜率不存在时,直线方程为x-5=0,
圆心C(3,0)到直线x-5=0的距离等于2,此时直线x-5=0与曲线C相切;
当过点P的切线斜率存在时,不妨设斜率为k,
则切线方程为y+4=k(x-5),即kx-y-5k-4=0,
由圆心到切线的距离等于半径,得|3k-5k-4|k2+1=2,解得k=-34.
所以切线方程为3x+4y+1=0.
综上所述,切线方程为x-5=0和3x+4y+1=0.
10.解析 (1)设点B的坐标为(x0,y0),则y0≥0,设线段AB的中点为M(x,y),
因为点B在曲线Γ上,所以x02+y02=1.①
因为M为线段AB的中点,
所以x=x0+22,y=y02,则x0=2x-2,y0=2y,
代入①式得(2x-2)2+4y2=1,
化简得(x-1)2+y2=14,其中y≥0.
则线段AB的中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=14(y≥0).
(2)如图所示,将△OAB绕点A顺时针旋转90°得到△DAC,易知点D(2,2),
结合图形可知,点C在曲线(x-2)2+(y-2)2=1(x≥2)上运动,
则问题转化为求原点O到曲线(x-2)2+(y-2)2=1(x≥2)上一点C的距离的最大值,
连接OD并延长交曲线(x-2)2+(y-2)2=1(x≥2)于点C',当点C与C'重合时,|OC|取得最大值,且|OC|max=|OD|+1=22+1.