高中数学人教版新课标A选修2-12.2椭圆练习题

这是一份高中数学人教版新课标A选修2-12.2椭圆练习题，共13页。试卷主要包含了已知动圆M和定圆C1等内容，欢迎下载使用。

基础过关练
题组一 椭圆的定义及应用
1.椭圆x225+y2=1上一点P到一个焦点的距离为2,则点P到另一个焦点的距离为( )
A.5B.6C.7D.8
2.平面内,若点M到定点F1(0,-1),F2(0,1)的距离之和为2,则点M的轨迹为( )
A.椭圆 B.直线F1F2
C.线段F1F2D.线段F1F2的垂直平分线
3.已知△ABC的顶点B,C在椭圆x23+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另一个焦点F在BC上,则△ABC的周长是( )
A.23 B.6 C.43 D.12
4.已知椭圆x225+y29=1上一点M到焦点F1的距离为2,N是MF1的中点,则|ON|等于( )
A.2B.4C.6D.32
5.已知F1,F2为椭圆x225+y29=1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A,B两点.若|F2A|+|F2B|=12,则|AB|= .
6.已知椭圆x29+y22=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上.若|PF1|=4,则|PF2|= ,∠F1PF2的大小为 .
题组二 椭圆的标准方程
7.已知椭圆的焦点在y轴上,椭圆上任意一点到两焦点的距离和为8,焦距为215,则此椭圆的标准方程为 .
8.设F1,F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,当a=2b时,点P在椭圆上,且PF1⊥PF2,|PF1|·|PF2|=2,求椭圆的标准方程.
题组三 与椭圆有关的轨迹问题
9.已知椭圆的焦点是F1,F2,P是椭圆上的一个动点,如果延长F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,那么动点Q的轨迹是( )
A.圆 B.椭圆
C.抛物线 D.无法确定
10.已知动圆M和定圆C1:x2+(y-3)2=64相内切,并且外切于定圆C2:x2+(y+3)2=4,求动圆圆心M的轨迹方程.
题组四 椭圆方程中的求参问题
11.如果方程x2m2+y2m+6=1表示焦点在x轴上的椭圆,那么实数m的取值范围是( )
A.(3,+∞)
B.(-∞,-2)
C.(3,+∞)∪(-∞,-2)
D.(3,+∞)∪(-6,-2)
12.若方程x2m+y22m-1=1表示椭圆,则实数m的取值范围是 .
13.若椭圆2kx2+ky2=1的一个焦点的坐标为(0,-4),则k的值为 .
能力提升练
一、选择题
1.(2020江西南昌高二月考,★★☆)如图,已知F1,F2分别是椭 圆T:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,P是椭圆上任意一点,过点F2作∠F1PF2的外角平分线的垂线,垂足为Q,则点Q的轨迹为( )

A.直线B.圆
C.椭圆D.椭圆的一部分
2.(2020陕西宝鸡中学高三第一次模拟,★★☆)已知椭圆x24+y22=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,且|PF1|=3,则△PF1F2的面积为( )
A.22B.2C.32D.3
3.(2019湖南长沙开福高三月考,★★☆)设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,|F1F2|=22,P是C上一点,若|PF1|-|PF2|=a,且sin∠PF1F2=13,则椭圆C的方程为( )
A.x24+y23=1 B.x26+y23=1
C.x26+y24=1 D.x24+y22=1
4.(2018四川成都外国语学校期末,★★★)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,M是椭圆上任一点,若MF1·MF2的取值范围为[-3,3],则椭圆的标准方程为( )
A.x29+y23=1 B.x26+y23=1
C.x212+y24=1 D.x24+y2=1
二、填空题
5.(2018广东潮州期末,★★★)已知椭圆x29+y24=1的焦点为F1,F2,点P为椭圆上的动点,当∠F1PF2为直角时,点P的横坐标是 .
6.(2019云南师范大学附属中学高三月考,★★☆)设F1,F2分别为椭圆C:x24+y2=1的左、右焦点,M为C上一点,∠F1MF2=π2,则△F1MF2的面积为 .
三、解答题
7.(2019湖北武汉部分学校高三质检,★★☆)设O为坐标原点,动点M在椭圆E:x24+y22=1上,过点M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足NP=2NM.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)设A(1,0),在x轴上是否存在一定点B,使|BP|=2|AP|总成立?若存在,求出B点坐标;若不存在,说明理由.
8.(2018黑龙江双鸭山期末,★★★)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点M1,32,F1,F2是椭圆C的两个焦点,|F1F2|=23,P是椭圆C上的一个动点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若点P在第一象限,且PF1·PF2≤14,求点P的横坐标的取值范围.
答案全解全析
基础过关练
1.D 易知a=5,因为点P到一个焦点的距离为2,所以点P到另一个焦点的距离为2×5-2=8.
2.C 由|MF1|+|MF2|=2=|F1F2|知,点M的轨迹是线段F1F2.
3.C 由椭圆方程,知a=3.
由椭圆的定义,得|BF|+|BA|=|CF|+|CA|=2a=23,
所以|BC|+|BA|+|CA|=(|BF|+|CF|)+|BA|+|CA|=43,即△ABC的周长为43.
4.B 设椭圆的另一个焦点为F2,连接MF2,因为椭圆x225+y29=1上一点M到焦点F1的距离为2,所以|MF1|=2,又|MF1|+|MF2|=2a=10,所以|MF2|=8.
因为N是MF1的中点,O是F1F2的中点,所以|ON|=12|MF2|=4.
5.答案 8
解析 因为直线AB过椭圆的焦点F1,所以在△F2AB中,|F2A|+|F2B|+|AB|=4a=20,又|F2A|+|F2B|=12,所以|AB|=8.
6.答案 2;120°
解析 由题意得|PF1|+|PF2|=6,|F1F2|=27,因为|PF1|=4,所以|PF2|=2.
在△PF1F2中,cs∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1||PF2|=-12,
所以∠F1PF2=120°.
7.答案 y216+x2=1
解析 由已知得2a=8,2c=215,
所以a=4,c=15,a2=16,c2=15,
所以b2=a2-c2=16-15=1.
因为椭圆的焦点在y轴上,
所以椭圆的标准方程为y216+x2=1.
8.解析 ∵a=2b,b2+c2=a2,∴c2=3b2.
又PF1⊥PF2,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=12b2.
由椭圆的定义及已知得|PF1|+|PF2|=2a=4b,又|PF1|·|PF2|=2,
∴(|PF1|+|PF2|)2=12b2+4=16b2,
∴b2=1,a2=4.
∴椭圆的标准方程为x24+y2=1.
9.A 由题意得|PF1|+|PF2|=2a(a为大于零的常数,且2a>|F1F2|),|PQ|=|PF2|,
所以|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,即|F1Q|=2a.
所以动点Q到定点F1的距离等于定长2a,故动点Q的轨迹是圆.
10.解析 设动圆M的半径为r,圆心M(x,y),易知两定圆圆心C1(0,3),C2(0,-3),半径r1=8,r2=2,则|MC1|=8-r,|MC2|=r+2.故|MC1|+|MC2|=(8-r)+(r+2)=10.又|C1C2|=6<10,所以动圆圆心M的轨迹是焦点在y轴上的椭圆(不包含与y轴负半轴的交点),设其方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0,y≠-5),其焦点为C1(0,3),C2(0,-3),2a=10,即a=5,c=3,则b2=a2-c2=25-9=16.所以动圆圆心M的轨迹方程是y225+x216=1(y≠-5).
11.D 由于椭圆的焦点在x轴上,所以m2>m+6,m+6>0,即(m+2)(m-3)>0,m>-6,
解得m>3或-612.答案 m|m>12且m≠1
解析 由方程x2m+y22m-1=1表示椭圆,
知m>0,2m-1>0,m≠2m-1,解得m>12且m≠1.
13.答案 132
解析 易知k>0,椭圆焦点在y轴上,椭圆方程变形为y21k+x212k=1,所以1k-12k=16,解得k=132.
能力提升练
一、选择题
1.B 延长F2Q,与F1P的延长线交于点M,连接OQ.
因为PQ是∠F1PF2的外角的平分线,且PQ⊥F2M,所以|PF2|=|PM|,且Q为线段F2M的中点.又O为线段F1F2的中点,所以由三角形中位线定理,得|OQ|=12|F1M|=12(|PF1|+|PF2|).由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=2a,所以|OQ|=a,所以点O与Q之间的距离为定值a,所以点Q的轨迹是以原点为圆心,半径为a的圆.
2.B 因为椭圆x24+y22=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,且|PF1|=3,所以|PF1|+|PF2|=2a=4,|PF2|=4-3=1,c=a2-b2=2,
所以|F1F2|=2c=22,易得|PF1|2=|F1F2|2+|PF2|2,
所以△PF1F2是以|PF1|为斜边的直角三角形,
则S△PF1F2=12×|PF2|×|F1F2|=12×1×22=2.
3.D 由|PF1|-|PF2|=a,|PF1|+|PF2|=2a,得|PF1|=32a,|PF2|=12a,
在△PF1F2中,由正弦定理得|PF1|sin∠PF2F1=|PF2|sin∠PF1F2,又sin∠PF1F2=13,
∴sin∠PF2F1=1,即∠PF2F1=90°,
∴|F1F2|2+|PF2|2=|PF1|2,
即(2c)2+12a2=32a2,
整理得a2=2c2.
∵|F1F2|=2c=22,∴c=2,
∴a2=4,b2=a2-c2=2,
∴椭圆C的方程为x24+y22=1.
4.A 设M(x,y),F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),
则MF1=(-c-x,-y),MF2=(c-x,-y),
所以MF1·MF2=(-c-x,-y)·(c-x,-y)=x2+y2-c2,
又x2+y2的几何意义为点(0,0)与点M的距离的平方,所以x2+y2的最大值为a2,最小值为b2,所以MF1·MF2的取值范围是[b2-c2,a2-c2].
所以a2-c2=3,b2-c2=-3,结合b2+c2=a2,
解得a2=9,b2=3,c2=6,所以椭圆的方程为x29+y23=1.故选A.
二、填空题
5.答案 ±355
解析 由题意得a2=9,b2=4,所以c2=a2-b2=5,所以c=5.设P(x,y),令F1的坐标为(-5,0),F2的坐标为(5,0),
因为∠F1PF2=90°,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=20,
即(x+5)2+y2+(x-5)2+y2=20,所以x2+y2=5.又x29+y24=1,所以y2=41-x29,
所以x2+41-x29=5,解得x=±355.
所以点P的横坐标为±355.
6.答案 1
解析 由题意可得,a=2,b=1,c=a2-b2=3,则|F1F2|=2c=23.
如图,由题意知∠F1MF2=π2.在Rt△MF1F2中,由勾股定理得|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2=12.
由椭圆的定义得|MF1|+|MF2|=2a=4,
∴|MF1|2+2|MF1|·|MF2|+|MF2|2=16,∴|MF1|·|MF2|=2,
因此,△F1MF2的面积为12|MF1|·|MF2|=12×2=1,故答案为1.
三、解答题
7.解析 (1)设P(x,y),M(x1,y1),则N(x1,0),NP=(x-x1,y),NM=(0,y1).
∵M在椭圆E上,∴x124+y122=1(*),
由NP=2NM,得x=x1,y=2y1,即x1=x,y1=22y,
代入(*)式,得x2+y2=4,
即点P的轨迹方程为x2+y2=4.
(2)假设存在点B(m,0)满足条件,设P(x,y),
由|BP|=2|AP|,得
(x-m)2+y2=2(x-1)2+y2,
即点P的轨迹方程为3x2+3y2+(2m-8)x=m2-4,
由(1)知点P的轨迹方程为x2+y2=4,
故2m-8=0,m2-4=12,解得m=4,
∴存在点B(4,0)满足条件.
8.解析 (1)∵椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点M1,32,F1,F2是椭圆C的两个焦点,|F1F2|=23,
∴2c=23,1a2+34b2=1,a2=b2+c2,解得a=2,b=1,c=3.
∴椭圆C的标准方程为x24+y2=1.
(2)设P(x,y)(x>0,y>0),∵c=3,
∴令F1(-3,0),F2(3,0),
则PF1=(-3-x,-y),PF2=(3-x,-y),
∴PF1·PF2=(-3-x,-y)·(3-x,-y)=x2+y2-3,
又x24+y2=1,即y2=1-x24,
∴PF1·PF2=x2+y2-3=x2+1-x24-3
=14(3x2-8)≤14,
解得-3≤x≤3,
∵x>0,∴0∴点P的横坐标的取值范围是(0,3].