数学2.2椭圆第1课时巩固练习

2.2.2　椭圆的简单几何性质

第1课时　椭圆的简单几何性质及其应用

基础过关练

题组一　椭圆的性质及应用

1.焦点在x轴上,右焦点到短轴端点的距离为2,到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是(　　)

A.+=1   B.+y2=1

C.+=1    D.x2+=1

2.过椭圆+=1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为(　　)

A.8,6   B.4,3  C.2,   D.4,2

3.(2019陕西宝鸡高二上学期期末)把椭圆+=1的长轴AB分成8等份,过每个分点作x轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点P1,P2,…,P7,F是左焦点,则|P1F|+|P2F|+…+|P7F|等于(　　)

A.21 B.28 C.35 D.42

4.设AB是椭圆的长轴,点C在椭圆上,且∠CBA=,若AB=4,BC=,则椭圆的两个焦点之间的距离为　　　　. 

题组二　与椭圆离心率有关的问题

5.已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰好是一个正方形的四个顶点,则该椭圆的离心率为(　　)

A.    B. 

C. D.

6.已知焦点在y轴上的椭圆mx2+y2=1的离心率为,则m的值为(　　)

A.1 B.2 

C.3 D.4

7.已知焦点在x轴上的椭圆方程为+y2=1(a>0),过焦点作垂直于x轴的直线交椭圆于A,B两点,且|AB|=1,则该椭圆的离心率为(　　)

A.   B. 

C.   D.

8.已知椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F1,右顶点为A,点B在椭圆上,且BF1⊥x轴,直线AB与y轴交于点P,其中=2,则椭圆的离心率为　　　　. 

题组三　与椭圆有关的范围问题

9.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为(　　)

A.2 B.3 

C.6 D.8

10.已知F1,F2是椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点,若椭圆上存在一点P,使得∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率e的取值范围是(　　)

A. B.

C. D.

11.已知点P为椭圆x2+2y2=98上的一个动点,点A的坐标为(0,5),则|PA|的最小值为　　　　. 

12.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率e=,连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为4.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)设A,B是直线l:x=2上的不同两点,若·=0,求|AB|的最小值.

能力提升练

一、选择题

1.(2019辽宁抚顺六校期末联考,★★☆)已知椭圆x2+=1(b>0)的离心率为,则b等于(　　)

A.3 B.    C.   D.

2.(2019山西大同高三开学考试,★★☆)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为,过F1的直线l交C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么椭圆C的方程为(　　)

A.+=1   B.+=1

C.+=1   D.+=1

3.(2020重庆沙坪坝高二期末,★★☆)已知F是椭圆E:+=1(a>b>0)的左焦点,经过原点的直线l与椭圆E交于P,Q两点,若|PF|=2|QF|,且∠PFQ=120°,则椭圆E的离心率为(　　)

A.  B. 

C.    D.

4.(2019黑龙江大庆四中高二上学期期中,★★★)已知点P(x,y)(x≠0,y≠0)是椭圆+=1上的一个动点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,O是坐标原点,若M是∠F1PF2的平分线上的一点,且·=0,则||的取值范围为(　　)

A.[0,3)    B.(0,2)

C.[2,3) D.[0,4]

二、填空题

5.(2019皖西南联盟高二期末联考,★★☆)阿基米德不仅是著名的物理学家,也是著名的数学家,他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴,焦点在y轴上,且椭圆C的离心率为,面积为20π,则椭圆C的标准方程为　　　　. 

6.(2019河北石家庄二中高二月考,★★☆)已知椭圆+=1(a>b>0),点P是椭圆上且在第一象限的点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,O是坐标原点,过F2作∠F1PF2的外角的平分线的垂线,垂足为A,若|OA|=2b,则椭圆的离心率为　　　　. 

三、解答题

7.(2019河北张家口高三开学考试,★★☆)设F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,M是C上且在第一象限内的一点,且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N.

(1)若直线MN的斜率为,求C的离心率;

(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b的值.

8.(★★★)如图,F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,A是椭圆C的顶点,B是直线AF2与椭圆C的另一个交点,AF1=F1F2.

(1)求椭圆C的离心率;

(2)已知△AF1B的面积为40,求a,b的值.

答案全解全析

基础过关练

1.A　依题意得a=2,a+c=3,故c=1,b==,故所求椭圆的标准方程是+=1.

2.B　过椭圆焦点的最长弦为长轴,其长度为4,最短弦为垂直于长轴的弦.易知c=1,将x=1代入+=1,得+=1,解得y2=,即y=±,所以最短弦的长为2×=3.故选B.

3.C　设椭圆的右焦点为F',则由椭圆的定义得|P1F|+|P1F'|=10,由椭圆的对称性,知|P1F'|=|P7F|,∴|P1F|+|P7F|=10.同理,|P2F|+|P6F|=10,|P3F|+|P5F|=10.又|P4F|=5,∴|P1F|+|P2F|+…+|P7F|=35.

4.答案　

解析　不妨设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),由题意知2a=4,∴a=2.

∵∠CBA=,BC=,

∴不妨设点C的坐标为(-1,1).

∵点C在椭圆上,∴+=1,

∴b2=,∴c2=a2-b2=4-=,c=,则椭圆的两个焦点之间的距离为.

5.D　依题意得椭圆的焦距和短轴长相等,故b=c,∴a2-c2=c2,∴e=.

6.D　将椭圆的方程化为标准形式为y2+=1,由题意得a2=1,b2=,∴c2=a2-b2=1-,∴离心率e===,∴m=4.

7.A　易知椭圆的焦点坐标为(±,0),

∵|AB|=1,∴当x=±时,y=±.不妨设A,则+=1,

解得a=2,∴椭圆的离心率为e==.故选A.

8.答案　

解析　如图,易知△ABF1∽△APO,

则=,即=,所以a=2c,

所以e==.

9.C　由题意得F(-1,0),设点P(x0,y0),

则=3(-2≤x0≤2),

·=x0(x0+1)+=+x0+=+x0+3=(x0+2)2+2,

当x0=2时,·取得最大值,最大值为6.

10. C　在△PF1F2中,设|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=2a,根据余弦定理,得(2c)2=m2+n2-

2mncos 60°,整理得(m+n)2-3mn=4c2,所以3mn=4a2-4c2,

所以4a2-4c2=3mn≤3=3a2(当且仅当m=n时,等号成立),即a2≤4c2,故e2=≥,又0<e<1,

所以≤e<1.

11.答案　2

解析　设P(x,y),则|PA|==.

因为点P为椭圆x2+2y2=98上的一点,

所以x2=98-2y2,-7≤y≤7,

则|PA|=

=,

因为-7≤y≤7,

所以当y=7时,|PA|min=2.

12.解析　(1)由题意得

解得

所以椭圆的标准方程为+=1.

(2)由(1)知,F1(-,0),F2(,0),设直线l:x=2上的不同两点A,B的坐标分别为(2,y1),(2,y2),则=(-3,-y1),=(-,-y2),

由·=0,得y1y2+6=0,

即y2=-,不妨设y1>0,则|AB|=|y1-y2|=y1+≥2,当且仅当y1=,y2=-时等号成立,所以|AB|的最小值是2.

能力提升练

一、选择题

1.B　易知b2+1>1,由题意得==,解得b=或b=-(舍去),故选B.

2.D　由△ABF2的周长为16,得|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|=16,根据椭圆的性质,得4a=16,即a=4.又椭圆的离心率为,即=,所以c=2,b2=a2-c2=8,则椭圆C的方程为+=1.

3.A　如图,设椭圆的右焦点为F',连接PF',QF',根据椭圆的对称性知,线段FF'与线段PQ在点O处互相平分,所以四边形PFQF'为平行四边形,∴|FQ|=|PF'|,∠FPF'=60°.根据椭圆的定义,得|PF|+|PF'|=2a,又|PF|=2|QF|,∴|PF'|=a,|PF|=a,而|FF'|=2c.在△F'PF中,由余弦定理,得(2c)2=+-2×a×a×cos 60°,即=,

∴椭圆的离心率e==.

4.B　如图,延长PF2,F1M交于点N,则△PF1N为等腰三角形,M为F1N的中点,||=||=(||-||)=·|||-|||.由图可知,当P在短轴端点时,||取得最小值,此时||=0,当P在长轴端点时,||取得最大值,此时||=2,但点P不能在坐标轴上,所以||的取值范围为(0,2).

二、填空题

5.答案　+=1

解析　设椭圆C的标准方程为+=1(a>b>0),则椭圆C的面积为S=πab=20π,又e==,解得a2=25,b2=16.所以椭圆C的标准方程为+=1.

6.答案　

解析　如图,延长F2A交F1P的延长线于点M.

由题意可知|PM|=|PF2|,

由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a,

则|PF1|+|PM|=|MF1|=2a.

易知OA是△F1F2M的中位线,

∴|OA|=|MF1|=a.

又|OA|=2b,∴2b=a,

则a2=4b2=4(a2-c2),

即c2=a2,∴e2=,

又e∈(0,1),∴e=.

三、解答题

7.解析　(1)根据c=及题设知M,

由kMN==,得=,即2b2=3ac.

将b2=a2-c2代入,得2c2+3ac-2a2=0,即2e2+3e-2=0,解得e=或e=-2(舍去).

故C的离心率为.

(2)由题意知,原点O为F1F2的中点,MF2∥y轴,

设直线MF1与y轴的交点为D,则D(0,2)是线段MF1的中点,故=4,即b2=4a.①

由|MN|=5|F1N|,得|DF1|=2|F1N|,

则=2.

设N(x1,y1),由题意知y1<0,则

即

代入C的方程,得+=1.②

由①②及a2=b2+c2得+=1,

解得a=7,则b==2.

8.解析　(1)∵AF1=F1F2,

∴a=2c,∴e==.

(2)设|BF2|=m,则|BF1|=2a-m.

∵AF1=F1F2=AF2,∴△AF1F2是等边三角形,

∴∠F1F2B=180°-∠F1F2A=180°-60°=120°.

在△BF1F2中,|BF1|2=|BF2|2+|F1F2|2-2|BF2||F1F2|cos∠F1F2B,

即(2a-m)2=m2+a2-2am×,

∴m=a.

∵△AF1B的面积S=|BA||F1A|sin 60°

=××a×=40,

∴a=10,∴c=5,b=5.