人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制图文ppt课件

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制图文ppt课件，共43页。PPT课件主要包含了必备知识·自主学习，半径长，关键能力·合作学习，课堂检测·素养达标等内容，欢迎下载使用。

1.弧度制(1)弧度制①定义：以_____为单位来度量角的单位制.②1弧度的角：长度等于_______的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.③表示方法：1弧度记作1 rad.(2)角的弧度数的计算在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，那么，|α|= .
(3)本质：角的两种不同的度量模式，适用情况不同，而且弧度制是表示角的默认形式.(4)应用：角度制更容易理解和运算，与小学、初中知识更容易衔接；弧度制表示角应用更广泛，与实数一一对应.
【思考】初中学习的角度制是怎样定义的？1°角是多少？提示：定义：用度为单位来度量角的单位制；1度的角：周角的 为1度角，记作1°.
2.角度制与弧度制的换算
【思考】角度制、弧度制都是角的度量制，那么它们之间换算的关键是什么？提示：计算时，我们要特别注意π rad=180°，用这个公式进行互化即可.
3.扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<π)为其圆心角，则(1)弧长公式：l=____.(2)扇形面积公式：S= = .
【思考】初中学过的半径为r，圆心角为n°的扇形弧长、面积公式分别是什么？　提示：半径为r，圆心角为n°的扇形弧长公式为l= ，扇形面积公式为S扇= .
【基础小测】 1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)1弧度就是1°的圆心角所对的弧.(　　)(2)“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关.(　　)(3) 1弧度的角是周角的 .(　　)提示：(1)×.1弧度是长度等于半径的圆弧所对的圆心角.(2)×.“1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，当半径变大时，弧也变大，弧长与半径比值是一个定值，所以与所在圆的半径大小无关.(3)×.1弧度的角是周角的 .
2.(教材二次开发：例题改编)将角1 080°化为弧度制等于(　　)A.1 080　　　　B. C. D.6π【解析】选D.1 080°=180°×6，所以1 080°化为弧度制是6π.
3.半径为2，圆心角为 的扇形的面积是_______. 【解析】由已知得S扇= .答案：
类型一　弧度与角度的互化(数学运算)【题组训练】 1.角 化为角度是_______. 2.角105°的弧度数是_______. 3.已知α=15°，β= ，γ=1，θ=105°，φ= ，试比较α，β，γ，θ，φ的大小.
【解析】 1. = × °=252°.答案：252°2.105°=105× rad= rad.答案： rad
3.方法一(化为弧度)：α=15°=15× = ，θ=105°=105× = .显然 < <1< ，故α<β<γ<θ=φ.方法二(化为角度)：β= = × °=18°，γ=1≈57.30°，φ= × °=105°.显然，15°<18°<57.30°<105°，故α<β<γ<θ=φ.
【解题策略】角度制与弧度制互化的关键与方法(1)关键：抓住互化公式π rad=180°.(2)方法：度数× =弧度数；弧度数× °=度数.(3)角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度.
【补偿训练】将下列角度与弧度进行互化：(1) =_______；(2)- =_______； (3)10°=_______；(4)-855°= _______. 
【解析】(1) = ×180°=15 330°.(2)- =- ×180°=-105°.(3)10°=10× = .(4)-855°=-855× =- .答案：(1)15 330°　(2)-105°　(3) 　(4)-
类型二　利用弧度制表示角(数学运算)【典例】1.在0到2π范围内，与角- 终边相同的角是(　　)A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D.
2.用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(包括边界)的角θ的集合.
【思路导引】1.先根据终边相同的角的关系写出集合，再在0到2π上找到符合题意的角即可.2.先在0～π内找到边界表示的角，加上kπ即可，注意边界的实虚线的不同表示方法.
【解析】1.选C.与角- 终边相同的角是2kπ+ ，k∈Z，令k=1，可得与角- 终边相同的角是 .
2.因为30°= rad，210°= rad，这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线AB上的角为α=kπ+ ，k∈Z，而终边在y轴上的角为β=kπ+ ，k∈Z，从而终边落在阴影部分内的角的集合为
【解题策略】 1.弧度制下与角α终边相同的角的表示：在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β=2kπ+α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍.2.根据已知图形写出区域角的集合的步骤：(1)仔细观察图形.(2)写出区域边界作为终边时角的表示.(3)用不等式表示区域范围内的角.
【跟踪训练】 1.下列与 的终边相同的角的表达式中，正确的是(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.2kπ+45°(k∈Z)B.k·360°+ (k∈Z)C.k·360°-315°(k∈Z)D.kπ+ (k∈Z)
2.用弧度表示终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合.
【解析】1.选C.A，B中弧度与角度混用，不正确； π=2π+ ，所以 π与 终边相同.-315°=-360°+45°，所以-315°也与45°终边相同.D中kπ+ π(k∈Z)，当k=1时，kπ+ π= π，但当k=0时，kπ+ π= π与 π终边不同°角的终边与-30°角的终边相同，将-30°化为弧度，即- ，而75°=75× = ，所以终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为
类型三　扇形的弧长公式及面积公式(数学运算) 　角度1　利用公式求弧长和面积 【典例】已知扇形圆心角为 ，面积为 ，则扇形的弧长等于(　　)A. 　　　B. 　　　C. 　　　D.
【思路导引】利用扇形面积计算公式求出扇形的半径，再用弧长公式求弧长即可.【解析】选C.设圆的半径为r，则 × ·r2= ，解得r=2(负值舍去).所以扇形的弧长=2× = .
【变式探究】一个扇形的弧长与面积的数值都是6，则这个扇形的圆心角是(　　)A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4【解析】选C.设扇形的圆心角的弧度数为θ，半径为R，由题意，得 解得θ=3.
角度2　利用公式求扇形面积的最值 【典例】已知扇形的周长是40 cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？【思路导引】设扇形的半径为r，弧长为l，根据扇形的周长为40，用半径r表示弧长l，把面积S写成半径r的二次函数，求最值即可.
【解析】设扇形的半径为r，面积为S，弧长为l，圆心角为α(0<α<2π)，则l+2r=40，故l=40-2r，又因为S= lr= (40-2r)r=-r2+20r=-(r-10)2+100(0【解题策略】(1)要根据已知量、未知量之间的关系，合理选择公式，建立方程(组)、不等式(组)或函数解决问题.(2)弧长、面积的最值问题：利用圆心角的弧度数、半径表示出弧长或面积，利用函数知识求最值，一般多利用二次函数的最值求解.
【题组训练】1.圆的半径为r，该圆上长为 r的圆弧所对的圆心角是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　A. radB. radC. radD. rad【解析】选B.由α= ，得α= = ，因此圆弧所对的圆心角是 rad.
2.如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为(　　)A.2B. C.2sin 1D. 【解析】选D.连接圆心B与弦AC的中点F，则以弦心距BF、弦AC的一半AF、半径AB为长度的线段构成一个直角三角形，AF为2，其所对的圆心角∠ABF=1，故半径|AB|= .这个圆心角所对的弧长为2× = .
3.已知扇形中60°的圆心角所对的弦长是2，则这个圆心角所对的弓形面积是(　　)A. B. C. D.
【解析】选D.如图所示，扇形中60°的圆心角所对的弦长是2，所以△AOB为等边三角形，其面积为 ×2×2×sin 60°= ；又扇形的面积为 ×π×22= ，所以弓形面积为 .
1.下列说法中，错误的是(　　)A.半圆弧所对的圆心角是π radB.周角的大小等于2πC.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度【解析】选D.根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A，B，C均正确，D错误.
2.1 920°的角化为弧度数为(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　 A. radB. radC. π radD. π rad【解析】选D.因为1°= rad，所以1 920°=1 920× = π rad.
3.时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为(　　)A. πB.- πC. πD.- π【解析】选B.显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了 周，转过的弧度为- ×2π=- π.
4.若某扇形的弧长为 ，圆心角为 ，则该扇形的半径是(　　)A. 　　　　B. 　　　　C.1　　　　D.2【解析】选D.设扇形的半径为r，因为扇形的弧长为 ，圆心角为 ，所以由扇形的弧长公式可得： = ×r，解得r=2.
5.(教材二次开发：练习改编)在直径为20 cm的圆中，150°的圆心角所对的弧长为_______. 【解析】150°=150× = ，半径R=10 cm，所以l=αR= ×10= (cm).答案： cm